Ecuaciones Lineales, Cuadráticas, Inecuaciones

Ing. Jhonny Ruiz Núñez

ECUACIONES Es una igualdad entre expresiones algebraicas, en la que se tiene una o más letras incógnitas. 5x2 + 3x3y3z = 4x + y - z Primer miembro

Segundo miembro

Se denomina solución de una ecuación a un valor o conjunto de valores de la incógnita en estudio, para lo cual se verifica la igualdad.

PARTES DE UNA ECUACIÓN

TERMINO

Combinación de números y símbolos unidos por operaciones de multiplicación o división. Ejemplo

Dada la expresión: 5x2 + 3x3y3z

5x2 Sus términos son:

3x3y3z

FACTOR

Es cada uno de los componente componentess de un término.

Ejemplo Dada la expresión:

5x2 + 3x3y3z 5

Sus factores son:

x2 3 x3y3z

COEFICIENTE

Es la parte numérica de un término.

Ejemplo Dada la expresión:

5x2 + 3x3y3z 5

Sus coeficientes son

3

GRADO DE UN TÉRMINO

Es la suma de los exponentes de las variables. Ejemplo

Dada la expresión:

3x3y3z

El grado del término es

7   3+3+1

ECUACIONES DE PRIMER GRADO O LINEALES Tiene una incógnita elevado a la unidad. ECUACIONES LINEALES CON UNA VARIABLE Forma general: a x + b = 0 , con a  x 

b a

0

Ejemplos

2x+3 = 0 3x-5 = 0

 x 

3

 x 

2 5 3

ECUACIONES EQUIVALENTES Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.

Forma general: Ejemplos

ax + b = dx + c 6x - 5 = 2x + 7 4x = 12 x=3

Ejemplos 20 x  (5 x  2)  (  x  8)  (5 x  6)  ( 9  8 x)  x  x  x 1  2(3  x)  2( x  2)  5x    x3 2

 y 

1

2 3

 y  1

( y  3) 

3 4 1

1

 

 x  1 2 3x  3 4 (2 x  3)2  5( x  2)  (3x  1)2  (5x  2)( x  1)  0

3

2

( x  2)2  x( x  3)  3( x  4)( x  3)  ( x  2)( x  1)  2

2  x  3 1

 x

a





6 2x  5 1

 x

1  5 x  1    5  5 1

2

b





3 x 3 1

 x

a

0



1  3x  1     3  3 1

2

1

 x

b

8  15

3w  a 2b



4(w  a) b



2w  6 3b



2  6a b

3 30 3 5  8(1 x )  2  x  2  2 x 4  2 x

ECUACIONES CUADRÁTICAS Forma general: ax2 + bx + c = 0 Donde a,b y c son números reales

METODOS DE SOLUCIÓN

A

6 x 2  x  12  0

FACTORIZACIÓN Ejemplos

1

 x 2  x  12  0

 x  12  0 2 2 3 x  x  4  0  x  4 x  2  5  0 4 x 2  2 x 2 0  x

2

B

COMPLETANDO CUADRADOS Ejemplos  x 2

 4x 1

2 x 2

C

 8x  3

8 x  3  8 x 2 6 x  6  x 2

FORMULA CUADRÁTICA  x 

b  b2  4ac

Ejemplos  x 2  6 x  1  0  x 2

 3( x  1)

2a

2.1 x 2  4.7 x  6.2  0  x 2  ( x  5)2

 5  16(3  x)

EL DISCRIMINANTE El valor de las raíces depende del valor que tome el binomio b2 – 4ac, llamado discriminante ( ).

La discriminante puede ser: 0 Las raíces son reales y desiguales 0 Las raíces son imaginarias y desiguales b  x   x  = 0 Las raíces son reales iguales 2a 1

2

Ejemplos Utilice el discriminante para determinar el numero de soluciones reales de la ecuación:

4 x

2

 5x 

13 8

0

2 x 2  6 x  3  0

OTROS TIPOS DE ECUACIONES UNA ECUACION QUE INVOLUCRA UN RADICAL Resuelva: 1

2 x  1  1  x

2

5  x  1  x  2

3

4

5

 x  5  x

5

3 x  1  2 x  1  1 7 x  8  3x  1  x  1

UNA ECUACION DE CUARTO GRADO DE TIPO CUADRÁTICO Resuelva: 1

2

3

4

5

 x

4

 13x  36  0

4

 13x  40  0

 x

 x

2

4

2

 5x  4  0 2

2 x 4  4 x 2  1  0

 x

6

 2x  3  0 3

UNA ECUACION QUE CONTIENE POTENCIAS FRACCIONARIAS Resuelva: 1

 x 4/ 3  5 x 2/ 3  6  0  x  3 4 x  4  0

2

3

4

1/ 2 3/ 2 5/ 2  x   x   x  4( 1) 5( 1) ( 1) 1/ 2

 x

 3x

1/ 2

 10x

3/ 2

0

UNA ECUACION CON VALOR ABSOLUTO Teoremas: | x | = b  (b ≥ 0)  (x = b  x = - b) |x|=|b|x=b x=-b

Resuelva: 1

2

3

3 x  5

 x  4

 0.01

 x  7

 4

3 x  8 4

 11

2 x

3

8

5

6

2 x  1  x

7

 x

8

 x

2



 3  2x

4

 x 

2

 5  2x  3 2



3



2x

1

Ing. Jhonny Ruiz Núñez

Huancayo, 2010

DESIGUALDADES Es la relación que existe entre dos expresiones reales de diferente valor. Los símbolos que se utilizan para expresar una desigualdad son:  “es mayor que”  “es menor que”  “es menor o igual que”  “es mayor que o igual que”  “es diferente que” Si a



b son dos expresiones reales, entonces:

INTERVALOS ES EL CONJUNTO DE NÚMEROS CONTENIDOS ENTRE DOS NÚMEROS FIJOS DENOMINADOS EXTREMOS, LOS CUALES PUEDEN FORMAR  PARTE DEL INTERVALO.

x

IR / a x b

Dado: a   b y a, b   R se tiene los siguientes tipos de intervalos:

 A  INTERVALO ABIERTO

B

INTERVALO CERRADO

C

INTERVALO SEMIABIERTO POR LA DERECHA 

D

INTERVALO SEMIABIERTO POR LA IZQUIERDA 

E

INTERVALO NO ACOTADO EN UNO O EN AMBOS EXTREMOS

OPERACIONES CON INTERVALOS

 5, 0   3, 4    5, 4  

 6, 2   1, 4    1, 2  

Dado el intervalo C= -6, 3 . Determine su complemento

C  

6,3  , 6  3, 

DESIGUALDADES LINEALES

Se llama inecuación de primer miembro a toda inecuación que admite alguna de las siguientes formas: ax + b  0 ; ax + b  0 ax + b  0 ; ax + b  0

Ejemplos Resuelva las desigualdades y grafique el conjunto solución 1

2

3

2x – 5 < 9 -2(3x – 8)  5(4x – 2) 8

( x  4) 

3

 x 4

5

2

1



2 x

4

6 3

6

2 5

2 9

(3x  2)

 2x 

1 3

 4 x   x  6

(4 x  2)  ( x  2) 

4 13

(4 x  5)

Ejemplos Resuelva las inecuaciones con un par de desigualdades simultáneas 1

2

3

4

5

6

-7 < x – 2 < 4 8  3r + 1

4 

1 

2 x  1

2

3

1

4  3 x

2

5

6

3 x

5

4

 

13

2

3 5 x  2

   x





2 

1 4

11 5

 2x 

14 5

DESIGUALDADES NO LINEALES Forma:

1

METODO DE LA DISCRIMINANTE INECUACIONES CUADRÁTICAS Forma de la Inecuación

A ax2 + bx + c > 0 (a>o)

B ax2 + bx + c < 0 (a>o)

Raíces de la Ecuación ax2 + bx + c = 0

Conjunto solución

A.1

>0 Raíces diferentes x1 < x2

<- ,x1>



A.2

=0 Raíz real única x

A.3

<0 Raíces no reales

R 

B.1

>0 Raíces diferentes x1 < x2



B.2

=0 Raíz real única r

B.3

<0 Raíces no reales

R- x

2

METODO DE LOS SIGNOS DE LA MULTIPLICACIÓN Pasos: Factorizar el trinomio de la forma ax2 + bx + c Aplicar:

a.b a.b a.b a.b

3

0 0 0 0

(a (a (a (a

0 b 0) (a 0 b 0) 0 b 0) (a 0 b 0) 0 b 0) (a 0 b 0) 0 b 0) (a 0 b 0)

METODO DE LOS PUNTOS CRÍTICOS

Ejemplos Resuelva las desigualdades no lineales. Exprese la solución mediante la notación de intervalos y grafique el conjunto solución 1

x2-x-6>0

2

x2-9x+18<0

3

6x2 – 11x + 9 > 0

4

5

6

(x - 5)3(x + 4)2(x - 1)

7



0

(x-3)2(x-l)0 2x2 – 6x + 3 < 0

8

x3 – 2x2 – 3x  0

9

x3 – 4x > 0

10

11

12

(-2x+1)(3x-2)3(2x-5)12 < 0

x4-x3-13x2+x+12 < 0 x3-9x2+26x-24 < 0

(x2 + 7)(x2 + 25)(x2 – 4)(x4 + 3) > 0

DESIGUALDADES FRACCIONARIAS

Forma general:

ax  b cx  d 

0

 bx  c 0 2 a'x  b'x  c' ax

2

 P( x ) Q( x)

0

Ejemplos Resuelva las desigualdades: 1

2

3

4

5

4 x  3

 x  2

3

 x  1

0

6

 1

7

x

1

8

( x 2  x  1)( x  7)40

9

1   x

2 x 2  8 x  6  z   6 3

1

0

10

3

x2 4

 x  1

 0 x

( x 2  1)( x  3) 5 ( x  2)12 ( x  5)( x  7)

 x  2  x  3

(4 x

3



3 x  2

4

1   x

2



0

x 1 x2

 2)10 0 ( x 2  2) 87 (2 x  8)12 0 0 22 77 ( x  6) (2 x  3)

DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO

TEOREMA 1

Sean x , a ,Є R ,entonces: 1)  x

 a  a  0 y a   x  a 

2)  x

 a   x  a ó x  a 

Corolario:

1)  x

 a  a  0 y a   x  a 

2)  x

 a   x  a ó x  a  TEOREMA 2

1) a  b  a  b a  b  0 2) a  b  a  b a  b   0 Corolario:

1) a

 b  a  b a  b   0

2) a

 b  a  ba  b  0