MATEMÁTICA BÁSICA Escuela de Ingeniería Civil ECUACIONES E INECUACIONES
ECUACIONES LINEALES R esolver los los s ig uientes uientes problem problema as : PROBLEMA 01.- Un obrero que trabaja en una planta planta de extracción extracción de Gas recibió
S/. 624 por trabajar 48 horas. El Gerente paga el doble cada hora trabajada después de las 35 horas y el triple por las horas trabajadas el domingo. El obrero trabajó 4 domingos, 1 hora cada domingo. ¿Cuál es el salario regular por hora del obrero? Paga (x) Hora Regular x 35h Extra 2x 9h Domingo 3x 4h 4 domingo 1 hora cada uno: 4 horas 35(x)+2x(9)+3x(4)=624 35x + 18x + 12x = 624 65x= 624 X= 9.6 Rpta:
Su salario es de 9.6 soles por hora
PROBLEMA 02.- Durante su primera hora de trabajo, el dueño de un puesto de
revistas vendió la cuarta parte de los diarios que tenía y, durante la segunda hora vendió la sexta parte de los que le quedaban. Contó los ejemplares y notó que aún había 25. ¿Cuántos diarios tenía al principio? Datos:
Horas diarias: x Vendió 1: x/4 Vendió 2: ( )
Queda: 3x/4 Queda: 3x/24 3
= 25 24 3 = 600 = 200
Rpta:
Trabajó 200 horas diarias
PROBLEMA 03.- Una persona invirtió $ 20 000 ; parte a un interés del 6% anual y el
resto al 7% anual. El interés total al final de 1 año fue equivalente a una tasa del 6,75 % anual sobre el total inicial de $ 20 000. ¿Cuánto a invertido a cada tasa? Datos:
Invirtió: $20000 --------- 6% anual X interés al 6% anual (20000-x) interés al 7% anual $20 000 al 6,75% 6(x) + 7(20000-x)= 20 000(6,75) 6x+140 000-7x= 135000 5000=x Rpta:
Invirtió en tasa $5000
PROBLEMA 04.- Un fabricante de queso ha mezclado cierta cantidad de leche de
vaca a 0,50 nuevos soles/litro con otra cantidad de leche de oveja a 0,80 nuevos soles/litro, obteniendo 300 litros de mezcla a un precio de 0,70 nuevos soles/litro. ¿Cuántos litros de cada clase empleó? Datos:
Leche de vaca: $0.50 ………(x) Leche de oveja: $0.80 ……...(y)
Total: 300 litros
Litros: x + y=300---------1 0.50 (x)+0.80 (y)=300 (0.7) 0.50x+0.80y=210 =
210 − 0.8 0.5
Reemplazamos (1) 210 − 0.8
+ = 300 0.5 210 − 0,3 = 150 0.3 = 60 y = 200
Rpta:
200 litros de leche de oveja 100 litros de leche de vaca
PROBLEMA 05.- En la tienda Estilo Real, un
saco de caballero tenía un descuento del 15% y se vendió en S/. 123,25 ¿Cuál era el precio original? Datos:
Descuento: 15% Queda: 85% Precio: x 85 100
= 123,25
85 = 12325 = 145
Rpta:
Su precio original fue 145 soles
PROBLEMA 06.- Una molécula de azúcar tiene el doble de átomos de hidrógeno que
de oxígeno y un átomo más de carbono que de oxígeno. Si una molécula de azúcar tiene un total de 45 átomos, ¿cuántos son de oxígeno y cuántos de hidrógeno? Datos:
O=x H=2x
C=x+1
O + H + C = 45 X + 2X + X+1=45 4X+1=45 4X=44 X=11 Rpta:
Oxigeno: hay 11 átomos
Hidrógeno: Hay 22 átomos
PROBLEMA 07.- Hace 10 años la edad de un padre era el triple de la edad del hijo.
Dentro de 10 años, la edad del padre será los 5/3 de la edad del hijo. ¿Cuál es la edad actual del padre? Pasado Presente Futuro Padre X-10 X X+10 Hijo Y-10 Y Y+10 − 10 = 3( − 10)
X-10=3Y-30 X-3Y= -20
X+10=3/5(y+10) 3X+30=5Y+50 3X-5Y=20
20= -X+3Y ------- (x5) 20=3X-5Y--------- (x3) 160=4x X=40 Rpta:
la edad actual del padre es 40 años
PROBLEMA 08.- Un estudiante lee 64 páginas de la novela “Cien años de soledad” y
al día siguiente lee 1/3 de lo que le falta; si todavía le quedan por leer los 4/7 del total de páginas, ¿cuántas páginas tiene dicha novela? Datos:
Total de Paginas: X Día 1=64 paginas Día=1/3(X-64) Día=4/7 64+1/3(X-64)+4X/7=X 64+X/3-64/3=3X/7 64-64/3=3X/7 -X/3 (92-64)/3= (9X-7X)/2 128(7)=2X 448=X
Rpta:
La novela tiene 448 páginas en total
PROBLEMA 09.- En las rebajas de SAGA, César compró tres camisas y dos
pantalones por 336 soles. César recuerda que el precio de un pantalón era el doble que el de una camisa. ¿Puedes ayudar a César a averiguar el precio de cada cosa? Datos:
x= Camisas y= pantalones y=2x 3x+2y=336 3x+2(2y)=336 7x=366 x=48 Rpta:
Cada camisa cuesta 48 soles
Cada pantalón cuesta 96 soles
PROBLEMA 10.- Astrid compró 5 bolígrafos y le sobran 2 dólares. Si hubiera
necesitado comprar 9 bolígrafos, le hubiera sobrado 1 dólar. ¿Cuánto le cuesta un bolígrafo? ¿Cuánto dinero llevó Astrid? Datos:
X= valor del bolígrafo Bolígrafo --- x 5 bolígrafos --- 5x+2 9 bolígrafos ---- 9x+1 5x+2=9x+1 1=4x X=1/4 X=0.25 Rpta:
Cada bolígrafo costo 0.25 soles Astrid llevo 5x+2=3.25 soles
ECUACIONES CUADRÁTICAS R esolver los s ig uientes problemas : PROBLEMA 01.- La piscina de un centro deportivo tiene 15 metros de ancho por 20
metros de largo. Los miembros del club desean agregar un pasillo de ancho uniforme alrededor de la piscina. Tienen suficiente material para 74 metros cuadrados. ¿Que tan ancho puede ser este pasillo? X 20 x
Área de la piscina: 300 Área del pasillo: 74 metros
15
(15+2X)(20+2X)=300+74 300+ 30X+40X+4X2=374 4x2+70x =74 2x2+35x-37=0 (2x+37) (x-1) Se toma el valor positivo Rpta: el ancho del pasillo puede ser 1 metro PROBLEMA 02 Jhon Williams es un fotógrafo profesional y tiene una foto de 6 por 8 .-
pulgadas. Desea ampliar la foto la misma cantidad cada lado, de modo que la foto resultante tenga un área de 120 pulgadas cuadradas. ¿En cuanto tiene que aumentar la longitud de cada lado? Área total: 120 (6+2x)(8+2x)=120 48+12x+16x+4x2=120 4x2+28x-72=0 (2x+9) (x-2) Se toma el valor positivo Rpta:
La longitud de cada lado debe aumentar en 2 pulgadas
Juan quiere comprar una alfombra para un cuarto que tiene 15 metros de largo y 12 metros de ancho. Quiere tener una franja uniforme de piso alrededor de la alfombra. Sólo puede comprar 108 metros cuadrados de alfombra. ¿Qué dimensiones debe tener la alfombra? PROBLEMA 03
.-
Área del cuarto: 180 (15-2x)(12-2x)=108 180-30x-24x+4x2=108 4x2-54x+72=0 2x2-27x+36=0 (2x-3) (x-12) X=3/2 Rpta: Reemplazamos (15-2x)=12 (12-2x)=9 La alfombra es de 9 metros de ancho y 12 metros de largo
Se debe repartir S/. 60 000 entre cierto número de amigos, presentes en una reunión, de manera exacta entre ellos. Alguien nota que si hubieran dos amigos menos, a cada uno le tocaría S/. 2 500 más. ¿Cuántos son los amigos presentes y cuanto le toca a cada uno? PROBLEMA 04
.-
Datos:
N° de amigos presentes. Dinero que le corresponde a cada uno.: (60000/x)
Si hubieran dos amigos menos: (x-2)=2500
(x-2)(60000/x +2500)=60000 (x-2)(60000/x+25000/x) =60000 60000x+2500x2-120000-5000x=60000x 25x2-50x-1200=0 x2-2x-48=0 (x-8) (x+6)=0 X=8 Rpta: Los amigos presentes son 8 y a cada uno te tocaría 7500 soles. X=8 60000/8=7500
De cada esquina de una hoja metálica cuadrada, se corta un cuadrado de 9 centímetros por lado. Se doblan los lados para construir una caja sin tapa. Si la caja debe contener 144 centímetros cúbicos, ¿cuáles deben ser las dimensiones de la hoja metálica? PROBLEMA 05
.-
Datos:
Dimensiones de la hoja metálica: x 2 Lados: (x-18) (x-18) (x-18)9=144 (x-18) (x-18)=16 (x-18)2=16 x-18=4 x=22 Rpta:
Las dimensiones dela caja metálica tiene que ser de 22 por 22 metros.
PROBLEMA 06.- Un terreno rectangular de 4 x 8 m. es usado como jardín. Se decide
poner una vereda de ancho uniforme en toda la orilla interior de modo que 12 m del terreno se dejen para flores. ¿Cuál debe ser el ancho de la vereda? 2
Datos:
Ancho de la vereda: x Ancho: 4m Largo: 8m Sur. Del jardín = 12m 2 (4-2x) (8-2x)=12 32-8x-16x+4x2=12 4x2-24x+20=0 X2-6x+5x=0 (x-5) (x-1) X=1 Rpta:
El ancho de la vereda debe ser de 1 metro
PROBLEMA 07.- Para vallar una finca rectangular de 750 m² se han utilizado 110 m
de cerca. Calcula las dimensiones de la finca. Datos: Área=750m2
(55-x)x=750 55x-x2=750 -(x2+55x+750)=0 x2-55x-750=0 (x-30) (x-25)
X=30 x=25 Rpta:
Las dimensiones de la finca es30 por 25 m.
PROBLEMA 08.- Un granjero intenta cercar un terreno rectangular, utilizando parte
de su granero para uno de los lados y tela de alambre para los otros 3 lados. Si se desea que el lado paralelo al granero sea el doble que el lado adyacente y que el área del terreno sea de 128m 2, ¿cuántos metros de tela de alambre debe comprar? Datos:
Área=128m2 X: tela de alambre 2x(x)=128 2x2=128 x2=64 X=8 Rpta:
Debe comprar 32m de tela de alambre.
PROBLEMA 09.- Una pieza rectangular es 4 cm más larga que ancha. Con ella se
construye una caja de 840 cm3 cortando un cuadrado de 6 cm de lado en cada esquina y doblando los bordes. Halla las dimensiones de la caja. Datos:
Volumen de la caja es: A=840 Día 1 =6 Día2 = (x− 12) Día=(x- 8) 6(x− 12)(x- 8) = 840 (x− 12)(x- 8)=140
x2-20x-44=0 (x-22) (x+2) X=22 Rpta
Las dimensiones de la caja son 22cm y 26 cm
PROBLEMA 10.- Una caja mide 5 cm de altura y de ancho, cinco cm. más que de
largo. Su volumen es 1500cm 3. Calcular la longitud y la anchura. Datos:
V=1500 cm3 ALTURA: 5 LARGO: X ANCHO: X+5 5(x)(x+5)=1500 5x2+25x-1500=0 x2+5x-300=0 (x+20)(x-15)=0 x=15 Rpta:
La longitud es 15cm la anchura es 20 cm
INECUACIONES R esolver los s ig uientes problemas : Una mezcla de 16 litros de agua y alcohol contiene un 25% de alcohol.
¿Cuántos litros de alcohol deben añadirse para obtener una mezcla que contenga menos del 50% de alcohol?
Solución:
X(75)+(16-x)25<16(50) 75x+400-25x<800 50x<800 x<8 Rpta: Deben añadirse 7 litros
Un estudiante de medicina ha ahorrado $ 400 para comprarse un reproductor
de DVD y algunas películas. Si el reproductor de DVD le cuesta $ 195 y las películas $ 12.50 cada una. Determine la cantidad máxima de películas que puede comprar el estudiante. Datos:
Estudiante: $400 DVD: $195 Películas: $12.50 c/u 400-195>12.5(x) 205>12.5x 205/12.5>x 16.4>x X<16.4 Rpta:
La cantidad máxima de películas que puede comprar el estudiante es 16
Ácido
clorhídric o.- ¿Cuántos galones de ácido clorhídrico se deben agregar a
12 galones de una solución al 30% para obtener una solución a más de 40%?
Solución:
30(12)+100(x)>40(12+x) 360+100x>480+40x 60x>120 x>2 C.S= {2;+infinito> Rpta: Se debe agregar más de 2 galones de ácido clorhídrico. Un tensiómetro tiene un precio de 600-5x nuevos soles, si x tensiómetro
pueden venderse al mes en el mercado. ¿Cuántos tensiómetros deberán venderse cada mes con el objeto de obtener ingresos por lo menos de S/.18 000 ? Datos: Tensiómetro: S/. 600-5x X(600-5x)≥18000 600x-5x2≥18000 - x2+120X≥3600 x2-120X+3600≤0 (x-60) (x-60) ≤0 x≤60 Rpta:
Debe una cantidad menor a 60 tensiómetros.
Las dimensiones de la sala de pediatría son 8m de largo y 5m de ancho; si se
aumenta una misma cantidad a ambas dimensiones, el área aumenta más de 30 m2. Calcule el mínimo valor entero de dicha cantidad. (5+2X)(8+2X)>70 40+10X+16X+4X2>70 4X2+26X-30>0 2X2+13X-15>0 (2x+15) (x-1) x>1 Rpta:
El mínimo valor entero de dicha cantidad es 1 m.
Una vaca permanece atada a un poste que se encuentra en el centro de un
terreno circular de 20 metros de diámetro. El terreno está sembrado de maíz. ¿Qué longitud debe tener la cuerda que ata a la vaca para que al menos 64 m2 de siembra no sean consumidos por ella?
Datos:
A: πr 2
L: 10m
At- Ac≥64π 100 π-L2π≥64 π Π(100-L2)≥64 π -L2≥36 L≤6 -6≤L≤6 Rpta
La longitud que debe tener la cuerda atada a la vaca es 6 m.
Una llamada telefónica de larga distancia cuesta S/. 2.5 los primeros tres
minutos y 40 céntimos cada minuto adicional. ¿Durante cuántos minutos puede hablar una persona que tiene 8 soles de crédito?
Datos: S/.2.25 por min. 0.4min adicional
2.5(3)+0.4(x)≤8 7.5+0.4x≤8 0.4x≤8-7.5 x≤1.25 Rpta
Puede hablar una persona hasta 4 min.
4min 15 s
Mg tr. J ulio C ésar Moreno Des calzi
