EC. DE CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
MOMENTO LÍNEAL
MOMENTO ANGULAR
EC. DE CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
ECUACIÓN DE MOMENTO LÍNEAL
ECUACIÓN DE MOMENTO LÍNEAL
ECUACIÓN DE MOMENTO LÍNEAL
ECUACIÓN DE MOMENTO LÍNEAL
APLICACIONES VC FIJOS
APLICACIONES VC FIJOS
APLICACIONES VC MOVILES
SIMPLIFICACIONES
SELECCIÓN DEL VC • •
VC se puede seleccionar arbitrariamente pero su selección complica o facilita el análisis. consideraciones: – – – –
–
Defina claramente las superficies de control de manera que sean normales al flujo. Identifique todos los flujo que atraviesan las SC. Identifique las fuerzas de interés que actúan en el VC y en las SC. Para VC en movimiento use la velocidad relativa
Para tomar en cuenta las aproximaciones de velocidad constante
= Factor de corrección de la cantidad
de movimiento
EJEMPLOS VC FIJOS Por el codo de la fig fluye agua que descarga a la atmosfera. Los diámetros respectivos de las secciones 1 y 2 son 10 cm y 3 cm. Cuando el flujo de peso es 150 N/s, la presión en 1 es 233 kPa. calcule las fuerzas sobre la abrazadera en la sección 1.
EJEMPLOS VC FIJOS
EJEMPLOS VC FIJOS Gasolina es mezclada al pasar a través de la “Y” horizontal que se muestra en la fig, Determine la magnitud de las componentes horizontal y vertical de la fuerza ejercida por el agua si la presión en 3 es p 3 = 145 kPa. Asuma flujo sin fricción.
Fx
Fy
F = V m V m x
x
s
x
e
F = V m V m y
F = F P A cos 30 P A cos 45 P A V m V m = V m cos 30 V m cos 45 V m x
x
x
s
1
x
1
2
1
1
2
3
2
2
y
s
y
e
3
3
3
e
F x P 1 A1 cos 30 P 2 A2 cos 45 P 3 A3 = V 1m1 cos 30 V 2 m2 cos 45 V 3 m3 F = P 1 A1 cos 30 P 2 A2 cos 45 P 3 A3 V 1 m1 cos 30 V 2 m2 cos 45 V 3 m3
Fx Fy
F
y
= F y P 1 A1 sen30 P 2 A2 sen45
V m V m = V m sen30 V m sen45 y
s
y
1
1
2
2
e
F y P 1 A1 sen30 P 2 A2 sen45 = V 1 m1 sen30 V 2 m2 sen45 F y = V 1 m1 sen30 V 2 m2 sen45 P 1 A1 sen30 P 2 A2 sen45
Fx
Fy F x = P 1 A1 cos 30 P 2 A2 cos 45 P 3 A3 V 1 m1 cos 30 V 2 m2 cos 45 V 3 m3 P 3 = 145kPa, Q3 = Q1 Q2 = 30 3.4 = 33.4lps = 0.0334 V 1 =
Q1 A1
=
4 * 0.03 0.2 2
= 0.955
m s
; V 2 =
4 * 0.0034 0.212
= 0.433
m s
m3 s
, V =
, V 3 =
Q
A 4 * 0.0334 0.212
2 P V 2 P V 2 P V 2 P P V V 2 1 1 z = 2 2 z = 3 3 z 1 = 3 3 1 1 2 3 2 g 2 g 2 g 2 g 2 g 2 2 = 145 0.680 1.063 2 0.955 2 = 145.074 P = P V V kPa 1 3 2 3 1 2 0.680 2 2 1 063 2 0 433 2 = 145 320kPa P = P V V = 145
= 1.063
m s
Fy
F x
F x = P 1 A1 cos 30 P 2 A2 cos 45 P 3 A3 V 1 m1 cos 30 V 2 m2 cos 45 V 3 m3 F x = 145.074 0.12 cos 30 145.32 0.05 2 cos 45 145 0.12 ... ...0.680 * 0.03 * 0.955 cos 30 0.68 * 0.0034 * 0.433 cos 45 0.68 * 0.0334 * 1.063 F = 0.1922kN x
F y = V 1 m1 sen30 V 2 m2 sen 45 P 1 A1 sen30 P 2 A2 sen 45 F y = 0.680 * 0.03 * 0.955 sen30 0.68 * 0.0034 * 0.433 sen45 ... ...145.074 0.12 sen30 145.32 0.05 2 sen 45 F = 1.481kN
EJEMPLOS VC FIJOS Agua (30°C) del depósito a presión de 3 bar, fluye hacia la bifurcación de donde sale por las áreas 1 y 2 .la tubería principal tiene un diámetro de 0.3 m, la pérdida de carga desde el depósito a la brida B es de 4 mca, la lectura h=0.3m, las velocidades de salida en la bifurcación son iguales V1=V2. .En estas circunstancias calcule: a) caudales de salida en la bifurcación b) perdidas de carga en cada rama de la bifurcación y c) reacciones en la brida B. Datos: A1= 0.05 m2, A2=0.03 m2, P1= 2.5 bars, P2=2.4 bars.
Analizando el tubo de pitot
V x
2
2 g
P x
=
P y
; V x =
2 g ( p y p x )
p = p y p x = h ( S Hg 1) con = 9.764kN / m 3 y S Hg = 13.56 V x =
2 x9.81 x0.3 x (13.56 1)
= 8.598 m
s
FUERZAS SOBRE PLACAS, PALETAS O ALABES FIJOS En la figura se muestra el flujo de agua a través de un conducto de 50 cm de alto y 1 m de ancho. La compuerta BC regula el chorro de agua que sale del conducto variando el ángulo β. Determine el valor de este ángulo que hará que la fuerza del chorro sobre la placa sea de 3 kN. Observe que la compuerta cierra totalmente el conducto cuando β= 90°.
EJEMPLOS VC FIJOS Por la T horizontal que se muestra en la fig 3 esta circulando agua. Con los siguientes datos Q1 = 0.25 m 3/s, Q2 = 0.15 m 3/s, p1 = 100 kPa, p2 = 70 kPa, p 3 = 80 kPa, D1 = 15 cm, D2 = 10 cm, D 3 = 15 cm calcule las fuerzas necesarias para mantener quieta la T.
EJEMPLOS VC FIJOS Agua descarga a la atmosfera a través del dispositivo hidráulico mostrado en la fig, determine las componentes horizontal y vertical de la fuerza requerida en la brida (flange) para mantener fijo el dispositivo.
EJEMPLOS VC FIJOS En un canal abierto el flujo de agua es controlado por una compuerta de esclusa, como se muestra en la fig, suponiendo distribución hidrostática en las secciones de entrada y salida, determine la fuerza por unidad de ancho que ejerce el flujo sobre la compuerta.
EJEMPLOS VC FIJOS
La fig muestra la sección de transición en un pequeño canal. Corriente arriba de la transición, el canal es de 5m de ancho, con una profundidad del agua de 4m y la velocidad del agua es de 0.75 m/s. Al salir de la transición y corriente abajo de la misma, el canal tiene un ancho de 1.5 m y el agua una profundidad de 3.6m. Determine la fuerza sobre las paredes de la sección de transición
EJEMPLOS VC FIJOS
EJEMPLOS VC FIJOS En el dispositivo que se muestra en la fig, en el punto A entran 30 L/s de agua a 20ºC con una presión de p1=300 kPa. En C se aspira 1 L/s de aceite con una S=0.65. Un flujo de la mezcla de agua y aceite sale por B a una presión manométrica p2 de 150 kPa. Las dimensiones de D1 y D2 son 200 y 250 mm respectivamente. Determine el empuje horizontal sobre el dispositivo. Asuma flujo sin fricción.
Un caudal de 600 l/s de agua fluye sin fricción por una tubería horizontal de 45 cm de diámetro que se bifurca en dos de 15 cm y 30 cm de diámetro como indica la figura (P.6). Se pide: Fuerzas Fx y Fy a que está sometida la pieza en Y
Un codo convergente desvía el flujo 135 en un plano vertical. El diámetro de la entrada es 400 mm y el de la salida 200mm, el volumen del codo entre esas secciones es de 0.2 m 3. Si el caudal de agua es 0.4 m 3/s y las presione en la entrada y salida del codo son de 150 kPa y 90 kPa respectivamente, la masa del codo es de 13 kg, Calcule las fuerzas de sujeción horizontal y vertical necesarias para mantener en su sitio el codo. °
APLICACIONES VC MOVILES
APLICACIONES VC MOVILES
ECUACIÓN DE MOMENTO LÍNEAL VC moviéndose con velocidad constante Un VC (fijo en relación en relación con un marco de referencia xyz .) moviéndose con una velocidad constante, V rf , relativa a un marco de referencia fijo (inercial) XYZ también es inercial, puesto que no tiene aceleración respecto a XYZ. Es valida la ecuación.
Siempre que: 1. Todas las velocidades se miden relativas al VC 2. Todas las derivadas respecto al tiempo se miden relativas al VC
EJEMPLO VC MÓVIL Un chorro de agua de sección circular a una velocidad Vo incide sobre un alabe que se mueve en el mismo sentido que el chorro con una velocidad constante u, siendo el ángulo de inclinación del alabe. Determinar: . a)Fuerza horizontal F X y vertical F Y que el chorro ejerce sobre el alabe. . b)Velocidad que debe tener el alabe para conseguir una potencia útil máxima. . c)Siendo el diámetro del chorro d = 4 cm, Vo = 6 m/s y u = 2 m/s calcular, Fx, Fy y la potencia para =30°.
a)Fuerza horizontal FX y vertical F Y que el chorro ejerce sobre el alabe.
FX
F = V m V m x
xr
s
xr
F Y
e
F = V m V m y
yr
s
yr
e
F = F V m V m = V m x
x
s
x
2
F = F V m V m = V m sen y
x
2
cos V 1 m1
e
F x = V 2 m2 cos V 1m1 F x = V 1 m1 V 2 m2 cos ; m1 = m2 = m F x = m(V 1 V 2 cos ); V 1 = V 2 = (V 0 U ) F x = A(V 0 U ) 2 (1 cos )
y
y
s
y
2
2
e
F y = V 2 m 2 sen = A(V 0 U ) 2 sen F y = A(V 0 U ) 2 sen
b)Velocidad que debe tener el alabe para conseguir una potencia útil máxima
W = F x * U = A(V 0 U ) 2 (1 cos )U W = A(1 cos )(V 02U 2U 2V 0 U 3 ) dW
A(1 cos )(V 02 4UV 0 3U 2 ) = du
A(1 cos )(V 4UV 0 3U ) = 0 2 0
U = V 0 mínimo U = U =
V 0 3 6 3
máximo = 2m / s
2
c)Siendo el diámetro del chorro d = 4 cm, Vo = 6 m/s y u = 2 m/s calcular, Fx, Fy y la potencia para =30°.
F x = A(V 0 U ) 2 (1 cos ) F x = 1000 0.02 2 (6 2) 2 (1 Cos30) F x = 2.694 N F y = V 2 m2 sen = A(V 0 U ) 2 sen F y = 1000 0.02 2 (6 2) 2 sen30 F y = 10.053 N W = F x * U = 2.694 * 2 = 5.388W
EJEMPLO VC MÓVIL Un chorro horizontal sale de una boquilla de diámetro 1 pulg, con una velocidad de 100 pies/s, dirigiéndose a una paleta donde es desviada simétricamente como se muestra en la fig , determine: a) la componente en la dirección x de la fuerza de sujeción requerida para mantener fija la paleta, b)idem para restringir la velocidad de la paleta a un valor de 8 pies /s a la derecha y c) la potencia transferida a la paleta móvil.
EJEMPLO VC MÓVIL El plato circular que se muestra en la fig. posee un diámetro de 0.20 m. Tal como se muestra un chorro de agua con velocidad de 40 m/s incide concéntricamente sobre el plato, haciendo que este se mueva hacia la izquierda a 10 m/s. El diámetro del chorro es de 20 mm. El plato tiene un agujero en el centro que deja atravesar sin resistencia una parte del chorro que forma otro chorro de 10 mm de diámetro, mientras que el resto del chorro principal es desviada y fluye a lo largo del plato. Determine la fuerza necesaria para mantener el plato en movimiento a la velocidad U=10 m/s.
F = V m V m F = V m V m F = F V m V m = V m cos V m x
xr
xr
s
e
y
yr
s
yr
e
x
xr
s
xr
e
2
2
3
3
cos V 4 m 4 V 1 m1
EJEMPLO VC MÓVIL El álabe que se muestra en la fig. se mueve hacia la derecha a 3 m/s. Suponiendo flujo ideal, que el chorro se divide de tal modo que un tercio se desvía hacia A y el resto hacia B . Conociendo que la velocidad del chorro es 12 m/s, siendo el diámetro del chorro de 15 cm. Determine: a)La fuerza horizontal resultante sobre el alabe; b)La potencia transmitida c)La potencia del chorro y del agua que sale del alabe.
A 60°
B
EJEMPLO VC MÓVIL La paleta sobre ruedas que se muestra en la fig, se mueve a velocidad constante Vo cuando un chorro de agua con velocidad de salida en la boquilla igual a V1 es desviada 45º por la paleta como se indica en la fig. Determine la magnitud y dirección de las componentes de la fuerza F ejercida por la corriente de agua sobre la superficie de la paleta. La velocidad del chorro de agua que sale de la boquilla es de 100 pies/s y la paleta se mueve a la derecha con velocidad constante de 20 pies/s.
EJEMPLO VC MÓVIL El alabe que se muestra en la fig es uno de un conjunto que se mueven a la derecha a velocidad U, este sistema de alabes desvían el chorro de agua tal como se muestra, donde = 60º. Calcule: a) la Fuerza F y caudales Q2 y Q3, si la placa se mueve hacia la derecha a una velocidad U= 20 m/s y b) La velocidad con que debe moverse la placa (en la dirección x) para producir la máxima potencia y el valor de esta potencia en Watts.
EJEMPLO VC MÓVIL El rodete Pelton de la fig, está siendo impulsada a 200 rpm por un chorro de agua a 20ºC con velocidad de 150 pie/s y 2.5 pulg, de diámetro. Suponiendo que no hay perdidas determine: a) la fuerza ejercida por el chorro sobre los alabes b) la potencia en hp transmitida a la turbina y c)La velocidad de rotación rpm a la que se producirá la potencia máxima y el valor de esta en hp. Suponga que hay suficientes paletas en la turbina como para aprovechar todo el chorro de agua que sale por la tobera.
ECUACIÓN DE MOMENTO LÍNEAL VC moviéndose con aceleración rectilínea
ECUACIÓN DE MOMENTO LÍNEAL VC moviéndose con aceleración rectilínea
Ejemplo VC moviéndose con aceleración rectilínea Un pequeño cohete con una masa inicial de 150 kg, es lanzado verticalmente. En la ignición el cohete consume combustible a una razón de 3 kg/s y expulsa gas de escapa a presión atmosférica con una velocidad de 700 m/s relativa al cohete. Determine la aceleración inicial del cohete y su velocidad después de 4 s, si se desprecia la resistencia del aire.
F a m = V m V m y
y
y
s
e
W a y m = V s m ; m
t
dm = m
mo
0
y
W f (t ) y m f (t )
dm dt
m = mo m t ; W = g (mo m t )
= m
W a y m = V s m
g ( mo m t ) a y ( mo m t ) = V s m
( m o m t )( a y g ) = V s m a y =
V s m
g
( m o m t )
700 * 3 m 9.81 = 4.19 2 a y = (150 0) s
a ) a y para t = 0 ;
dV y V s m V s m = = b ) a y = g dV g dt y dt 0 0 ( m m t ) ( m o m t ) o
V
t
t
4 ( m m t ) (150 3t ) = 700 ln V y = V s ln o gt 9.81t mo 150 0 0 V y = 19.127 m / s
Ejemplo VC moviéndose con aceleración rectilínea Suponga que en t= 0, es cuando el bloque se encuentra en x= 0 y se pone en movimiento a una velocidad U 0= 10 m/s hacia la derecha: Calcule el tiempo requerido para reducir la velocidad del bloque a U= 0.5 m/s y también la distancia recorrida. Desprecie los efectos de la fricción. El líquido es agua. V= 20 m/s, d= 2.5 cm y M= 100 kg.
Ejemplo VC moviéndose con aceleración rectilínea Un chorro de agua se usa para impulsar el móvil mostrado en la fig, la resistencia al movimiento está dada por Fr= kU2 donde k= 0.92 N.s2/m2. Determine la aceleración y el tiempo para cuando U= 8 m/s.
EJEMPLOS ECUACIÓN DE MOMENTO ANGULAR
.
M
Ay
= ( rmv) y ( rmv) y s
e
M Ay = 0
M
Az
= ( rmv) z ( rmv) z s
M
Ax
= (rmv) x (rmv) x s
M Ax
l 2 2
e
w2 l 2 w3 = l 2 m2 v 2
M Ax = l 2 (m2 v 2
M Az
w2 2
w3 )
M Az M Az
e
l 1 w1 l 1 ( w 2 w3 ) = l 1 m 2 v 2 2 l 1 = w1 l 1 ( w 2 w3 ) l 1 m 2 v 2 2 w1 = l 1 ( w 2 w3 m 2 v 2 ) 2
w1 = 300 * 3 9810 *
2580 1000
2
* 3 = 975.93 N
w 2 = w1 = 975 .93 N w3 = 300 * 2 9810 *
2580 2
* 2 = 650 .62 N
1000 m 2 = Q = 1000 * 0.01 = 10 kg / s
Q 0.01 v2 = = = 3.876 m / s 6 A 2580 x10 w2 M Ax = l 2 ( m 2 v 2 w3 ) 2 975.93 M Ax = 3(10 * 3.876 650.62 ) 2 M Ax = 3299.475 N .m M Ay = 0
M Az = l 1 ( w2 w3
w1 2
m2 v 2 )
M Az = 3(975.93 650.62
975.93 2
10 * 3.876)
EJEMPLOS ECUACIÓN DE MOMENTO ANGULAR Por el codo de la fig fluye agua que descarga a la atmosfera. Los diámetros respectivos de las secciones 1 y 2 son 10 cm y 3 cm. Cuando el flujo de peso es 150 N/s, la presión en 1 es 233 kPa. calcule el momento sobre la abrazadera en la sección 1.
M
1 z
= (rmv) z (rmv) z s
e
M 1 z = lm 2V 2 cos 40 M 1 z = 0.5 *
150
21.63 cos 40
9.81 M 1 z = 126.96m. N
EJEMPLOS ECUACIÓN DE MOMENTO ANGULAR A través de un tubo con diámetro interno de 6 pulg fluye agua. Encuentre el momento total que el agua, y el peso de la tubería ejercen sobre ésta en la base A. Ésta pesa 10 Ib/pie. La presión manométrica en A es de 10 lb/pulg*. El flujo es estacionario.
EJEMPLOS ECUACIÓN DE MOMENTO ANGULAR El sistema de tuberías vertical que se muestra en la fig, conduce un caudal de agua de 1 m3/s desde un gran embalse. En la T localizada en B, 1/3 m 3/s se dirige a la izquierda y 2/3 m 3/s hacia la derecha. La tubería EB pesa 1 kN/m. La tubería AB pesa 0.6 kN/m y la tubería BC pesa 0.8 kN/m. Determine los momento en el punto E.
EJEMPLOS ECUACIÓN DE MOMENTO ANGULAR Fluye agua por el sistema que se muestra en la figura. El agua se descarga a la atmósfera a una velocidad de 4 m/s a través del tubo de hierro negro (densidad 7874 kg/m3) tiene un diámetro interior de 12cm y un espesor e = 5mm.Para las pérdidas en la conducción considere f= 0.02 y cada codo tiene un coeficiente de pérdida k = 0.6. Determine: a) la fuerza vertical y horizontal sobre el apoyo A, b) El momento respecto al punto A. Considere para ambos literales el peso del tubo y el agua.
ECUACIÓN DE MOMENTO ANGULAR, APLICACIONES APLICACIONES EN DISPOSITIVOS DISPOSI TIVOS GIRATORIOS GIRATORIOS CON VELOCIDAD CONSTANTE CONSTANTE
ECUACIÓN DE MOMENTO ANGULAR, APLICACIONES APLICACIONES EN DISPOSITIVOS DISPOSI TIVOS GIRATORIOS GIRATORIOS CON VELOCIDAD VELOCIDAD CONSTANTE CONSTANTE :EJEMPLOS
..\2012\videos energia\pumps_as_turbine_3d_tour.exe
..\2012\videos energia\3 Virtual TurbinesPelton, Francis and Kaplan.mpg
Ejemplo de rociador El rociador giratorio mostrado en la fig, se alimenta con agua a un caudal constante de 68 L/min, si el ángulo =30 determine determine:: a) El torque necesario para mantener estacionario el rociador, rociador, b)El torque resistente cuando el rociador gira a velocidad constante de 500 rpm y c) La velocidad de rotación del rociador si no existe torque resistente. °
Ejemplo de rociador
C= velocidad absoluta U=velocidad tangencial W=velocidad relativa
Ejemplo de rociador En la fig se muestra un pequeño aspersor por el que entra agua a una presión de 20 kPa con caudal de 7.5 lpm, conociendo que la velocidad de rotación es de 30 rpm y el diámetro de cada chorro es de 4 mm calcule: a) El torque del eje y b) la potencia desarrollada por el aspersor
