Índice Introducción
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Cantidad de movimiento
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Sistemas de partículas
Momento angular de un sistema
Movimiento de rodadura
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.................................... ............................................ ........ 11
Caída de cuerpos rodantes por un plano inclinado
Momento Angular de una Partícula
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Momento Angular de un cuerpo rígido
Momento Angular y Lineal
Conclusión
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Bibliografía
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Introducción
El siguiente trabajo trata sobre la cantidad de movimiento, momento angular y aplicaciones. Este trabajo esta ideados y pensado según todas las prerrogativas pautadas para la asignatura de física II impartida por el docente Sr. Adalberto Castillo Pérez. El contenido del trabajo es una guía excelente para saber acerca de la cantidad de movimiento, momento angular y aplicaciones y sus datos han sido una buena investigación a través de diferentes medios que luego serán dejados en la bibliografía. Esperamos haber cumplido con todo lo requerido y que además sea una guía de ayuda para todo aquel que lo lea gracias.
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Cantidad de movimiento
La cantidad de movimiento del sistema es la suma de la cantidad de movimiento de cada una de las partículas que lo componen:
En función de la velocidad del centro de masas:
Derivando respecto al tiempo (suponiendo M constante en el tiempo): Por lo que finalmente:
4
Por lo que finalmente:
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Sistemas de partículas
La derivada de la cantidad de movimiento es igual a la resultante de las fuerzas externas aplicadas sobre el sistema.
En particular: En ausencia de fuerzas externas, la cantidad de movimiento de un sistema de partículas permanece constante.
La cantidad de movimiento de un sistema se conserva si la fuerza neta sobre él es nula:
Si alguna componente de la fuerza es nula se conserva el momento lineal en esa componente. En términos del centro de masas, la ley de evolución de la cantidad de movimiento se escribe.
Es decir:
El centro de masas de un sistema de partículas se mueve como una sola partícula cuya masa fuera la total del sistema y que se encontrara sometida a la resultante de las fuerzas externas ejercidas sobre el sistema.
En particular, el centro de masas de un sistema de partículas sometidas exclusivamente a fuerzas internas permanece en reposo o en un estado de movimiento uniforme.
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Consideremos el ejemplo siguiente: un proyectil se lanza desde un mortero. El proyectil describe (despreciando la resistencia del aire) una trayectoria parabólica. En cierto punto del vuelo el proyectil explota en multitud de fragmentos. El centro de masas de estos fragmentos continúa el movimiento parabólico inicial.
Este principio imposibilita que, por ejemplo, un grupo de aguerridos astronautas consiga desviar la trayectoria de un cometa simplemente colocando una bomba en él, ya que las fuerzas debidas a la bomba son puramente internas, y el centro de masas continuará su trayectoria inalterada, por mucho que se fragmente el asteroide.
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Momento angular de un sistema
El momento angular del sistema respecto a un punto es la suma de los momentos angulares de cada una de las partículas que lo componen respecto al mismo punto.
Derivando la expresión del momento cinético de un sistema de partículas obtenemos:
Para cada partícula la derivada del momento angular es el momento de las fuerzas aplicadas sobre ella:
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Y para el momento cinético total:
De nuevo, esta expresión requiere conocer las fuerzas internas del sistema, que son usualmente desconocidas. Por ello, descomponemos de nuevo en sumas de fuerzas externas e internas.
Pero, según dijimos al principio del artículo, si las fuerzas internas entre dos partículas no solo cumplen la tercera ley de Newton, sino que además son centrales, esto es, van en la dirección de la recta que une las dos partículas se verifica:
Esta condición se cumple en la mayoría de los casos prácticos (fuerzas eléctricas o gravitatorias). En este caso, los momentos de las fuerzas internas se anulan dos a dos y queda
En palabras: 9
La derivada del momento angular o cinético de un sistema de partículas es igual a la suma de los momentos de las fuerzas externas aplicadas sobre el sistema.
En particular, en un sistema de partículas sometido exclusivamente a fuerzas internas, el momento angular permanece constante.
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Movimiento de rodadura
Consideramos el movimiento de cuerpos que, debido a su geometría, tienen la capacidad de rodar: esfera, aro, disco, superficie esférica, cilindro apoyado sobre su generatriz,.... Estos cuerpos pueden deslizar, rodar o ambas cosas simultáneamente. Cuerpos rodantes.
Consideremos una esfera de radio R que desliza sobre una superficie, por tanto se está trasladando sin dar vueltas, y por tanto todos los puntos de la esfera tienen la misma velocidad v de traslación.
Ahora consideramos que la esfera no está apoyada sobre ninguna superficie, y que gira con velocidad angular ω; los puntos superior e inferior de la superficie se mueven con velocidad v = R ω respecto al centro de la esfera (que se encuentra en reposo). En la figura se muestra una esfera que tiene un movimiento de rotación. El punto más alto de la esfera se mueve hacia la derecha con velocidad v = R ω respecto al centro (que está en reposo) y el punto más bajo se mueve hacia la izquierda con la misma velocidad v = R ω respecto al centro, pero dirigida hacia la izquierda.
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Consideremos que la esfera rueda sobre una superficie. Cuando la esfera ha girado un ángulo ϕ , el punto de contacto (A) entre la bola y el plano se mueve una distancia s = Rϕ
Como el centro de la esfera se encuentra sobre el punto de contacto, el centro de gravedad G también se ha movido la misma distancia s.
La velocidad del centro de gravedad es por tanto
y la aceleración
del centro de gravedad es 12
Estas condiciones “no deslizantes” se denominan condiciones de rodadura. El cuerpo está sobre el plano y rueda con velocidad v = R ω sin deslizamiento, se trata de u movimiento de
rotación en torno a un eje que pasa por el punto de contacto. Ese punto está instantáneamente en reposo.
El punto superior se mueve con velocidad 2v, el centro de gravedad se mueve con velocidad v y el punto en contacto con el suelo está instantáneamente en reposo, como se observa en la figura. El movimiento es equivalente a que la esfera gire con velocidad angular ω en torno a un eje que pase por el centro de gravedad y además se traslade con una velocidad v = R ω . De esta forma, el punto superior se mueve con velocidad de traslación v y velocidad debida a la rotación v = R ω (es decir v+ R ω) y el punto en contacto con la superficie está en reposo porque se mueve con velocidad de traslación v y velocidad de rotación − R ω porque va hacia la izquierda (es decir v − R ω = 0 ). Y el centro de gravedad se mueve con velocidad de traslación v y sin velocidad debida a la rotación. Dado que el movimiento puede considerarse como la combinación de un movimiento de traslación y una rotación en torno a un eje que pasa por el centro de gravedad, podemos hacer una reducción en el punto de contacto de forma que el movimiento de rodadura es equivalente a una rotación pura aplicada en el punto de contacto I. Si se considera como una rotación pura en torno al eje de contacto, se debe cumplir la ecuación fundamental de la dinámica de rotación IZ AZ I α = C Si se considera como una traslación y una rotación se debe cumplir la ecuación de la dinámica de traslación G − f = Ma y de la rotación GZ GZ I α = C Mientras existe rodadura (rueda sin deslizar) el suelo ejerce una fuerza de rozamiento sobre la esfera, es una fuerza de rozamiento estática f ≤ μ N, y no hay disipación de energía mecánica; en este caso se tiene rodamiento con deslizamiento. En el movimiento de rodadura la energía mecánica se conserva.
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Cuando un objeto se desliza mientras rueda, la condición no deslizante deja de cumplirse. Es el caso de una bola que se lanza en una bolera con velocidad inicial v pero sin rotación inicial.
Cuando la bola desliza a lo largo de la pista, el rozamiento cinético hace que se disminuya la velocidad lineal inicial, además da lugar a que la bola comience a rodar. La velocidad lineal decrece y la velocidad angular aumenta hasta que se alcanza la condición de rodadura.
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Caída de cuerpos rodantes por un plano inclinado
Consideremos un conjunto de sólidos que tienen capacidad de rodar, esto es un cilindro, una superficie esférica, esfera, aro y disco Cuando un cuerpo rodante se encuentra sobre un plano inclinado, dependiendo del valor del ángulo de inclinación el cuerpo rueda o desliza; para calcular el valor del ángulo crítico a partir del cual el cuerpo no rueda sino que desliza, consideramos que el plano está inicialmente en posición horizontal y vamos inclinado. Al ir inclinando el plano el cuerpo comienza a rodar sin deslizar pero llegará un momento en el que el cuerpo comienza a deslizar, dejándose de cumplir la condición de rodadura ¿Cuándo se produce? ¿Para qué valor del ángulo ocurre?
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A medida que vamos inclinando el plano aparece una fuerza de rozamiento estático (f), de forma que se conserva la energía mecánica. Se pretende determinar, la fuerza de rozamiento, la aceleración lineal con que se mueve el centro de gravedad y la aceleración angular. Todos ellos dependen del momento de inercia del cuerpo rodante.
El perfil de todos los cuerpos rodantes en un plano inclinado es el mismo; en la figura se muestran las fuerzas que actúan durante el movimiento de rodadura del cuerpo.
Durante el movimiento de rotación se verifica que cumple a = Rϕ'' de donde
de donde
además se (1) la fuerza de rozamiento es
Por otra parte se verifica que Σ F = Ma de donde Mg senϕ − f = Ma (2).
Sustituyendo la fuerza de rozamiento en (2) se tiene de donde la aceleración del centro de gravedad, en función del momento de inercia correspondiente, es de donde la fuerza de rozamiento es 16
Si en lugar de calcular el momento de las fuerzas respecto al eje que pasa por el centro de gravedad, lo calculamos respecto al eje que pasa por el punto de contacto (eje IZ) se tiene C
I
ϕ
'' RMg senϕ (3) y teniendo en cuenta que
= Rϕ '' se tiene
de donde la aceleración es
(4).
De la ecuación Σ F = Ma se tiene Mg senϕ − f = Ma (5), e introduciendo el valor de la aceleración obtenido en la ecuación (4) se deduce que la fuerza de rozamiento es
Por tanto, para las figuras seleccionadas, la aplicación de las expresiones
y
proporciona
los
valores
mostrados en la tabla.
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Momento Angular de una Partícula
El momento angular de una partícula de masa m respecto a un determinado origen se da por L = mvr sen θ
o mas formalmente por el producto vectorial L=rxp La dirección se da por la regla de la mano derecha. En este caso L apuntará hacia afuera del diagrama. El momento angular de una órbita se mantiene conservado, y esto nos conduce a una de las Leyes de Kepler. Para una órbita circular, L viene dado por L = mvr
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Momento Angular de un cuerpo rígido
El momento angular de un sólido rígido, se define como el producto del momento de inercia por la velocidad angular. Es análogo al momento lineal y está sujeto a la restricción del principio fundamental de la angular si no actúan pares externos sobre el objeto. El momento angular es una cantidad vectorial. Se deriva de la expresión del momento angular de una partícula
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Momento Angular y Lineal
El momento angular y el momento lineal, son ejemplos del paralelismo entre los movimientos lineal y rotacional. Tienen la misma forma y están sujetos a las restricciones fundamentales de las leyes de conservación, la conservación del momento lineal y la conservación del momento angular .
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Conclusión
Hemos de concluir así este trabajo la cual fue una gran investigación a través de diferentes medios para cumplir a cabalidad todo lo pautado con relación al trabajo final de Física II.
Hemos vistos los diferentes conceptos de la cantidad de movimiento, momento angular y sus aplicaciones también las imágenes resaltadas y sus formulas todo esto para que sea de fácil entender a todos.
Esperamos como habíamos dicho en la parte inicial que el trabajo sea de gran ayuda para todos aquellos que lo lean.
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Bibliografía
http://ocw.upm.es/ingenieria-agroforestal/fisica/contenido/material-de-clase/Tema6/Teoria-rodadura.pdf.
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/amom.html.
Física Para ciencias e ingenierias : volumen I sexta y cuarta edicion.
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