Ecuaciones Algebra Superior Unidad III RosaDePena

Ecuaciones UNIDAD 3 Prof. Rosa De Peña

Algebra Superior Ecuaciones

Rosa De Peña Unidad - 3

Índice 3.1 Expresión General de una ecuación……………………………………………..2 3.2 Raíces o ceros de una ecuación algebraica…………………………………….2 3.3 Solución grafica de una ecuación……………………………………………......3 3.4 Teorema fundamental del algebra………………………………………………..3 3.5 Teorema de la descomposición factorial………………………………………..3 3.6 Multiplicidad de una raíz. Teorema. Raíces simples y múltiples………………6 3.7 Teorema de las raíces múltiples………………………………………………….6 3.8 Interpretación grafica de las raíces múltiples…………………………………....9 3.9 Teorema de las raíces complejas……………………………………………….11 3.10 Binomio irracional cuadrático……………………………………………………12 3.11 Teorema de las raíces irracionales cuadráticas……………………………...12 3.12 Productos de binomios con un termino común………………………………..13 3.13 Relación entre coeficientes y raíces de una ecuación algebraica…….......14 3.14 Transformar una ecuación conocida, respecto de otra a determinar que presente: ……………………………………………………………………………......16 3.14.1 Aumento de las raíces en una cantidad determinada “a” 3.14.2 Disminución de las raíces en una cantidad determinada “a” 3.14.3 Múltiplos de las raíces de la ecuación dada. 3.14.4 Submúltiplos de las raíces de la ecuación dada. 3.14.5 Raíces opuestas respecto a la conocida. 3.14.6 Raíces reciprocas respecto a la conocida. 3.14.7 Reducción de las raíces múltiples a otra con las mismas raíces pero todas simples. 3.15 Naturaleza de las raíces. Regla de los signos de Descartes………………....29 3.16 Acotación de raíces reales. Regla de Laguerre………………………………...31 3.17 Teorema de las raíces racionales de una ecuación……………………..……...34 3.18 Teorema de Bolzano. Corolario…………………………………………….……..38 3.19 Separación de raíces reales en una ecuación…………………………………..38 3.20 Aproximación de raíces irracionales por Ruffini-Horner………………….......39 BIBLIOGRAFIA CONSULTADA………………………………………………….…....46

1



ECUACIONES 3.1 Expresión General de una Ecuación Si un polinomio algebraico de grado “n” en “X” se iguala a cero, se obtiene una ecuación de grado “n”:

f x   An x n  An1 x n1  An2  x n2   ...  A1 x  A0  0

(1)

La expresión (1) es la forma general de una ecuación de grado “n” con una incógnita X.

Supondremos que:

a) A0, A1,…, An son números reales. b) An≠ 0 y positivo c) “n” es entero positivo

O sea, que nos referimos a ecuaciones algebraicas racionales enteras de coeficientes reales. La igualdad a cero en (1) no significa que cualquier valor de X satisface esa igualdad, pues entonces no se trataría de una ecuación, sino de una identidad. De todos los valores reales o complejos que pueda tomar X, sólo algunos satisfacen la igualdad a cero. A esos valores se les llama raíces de la ecuación. 3.2 Una raíz de una ecuación es, entonces, todo valor real o imaginario (o complejo), que al reemplazarlo por “X” en el polinomio, hace que éste tome un valor cero. Es decir, si “ r ” es una raíz del polinomio f(x) es porque: f(r) = 0 , o lo que es lo mismo, que f(x) es divisible por (x-r) . Ejemplos Si: 1) f(x) = x2 + 2x-15 = 0; como f(3) = 0



f(x) es divisible por (x-3)

El proceso para determinar las raíces de una ecuación, se llama “Resolución de una Ecuación”. De donde, “resolver una ecuación es determinar todas sus raíces”. 2) f(x) = x2 + 11x+28 = (x+7)(x+4) Como f(-7) = 0 f(-4) = 0

entonces f(x) es divisible por (x+7) f(x) es divisible por (x-4)

2



3.3 Solución Gráfica de una Ecuación Si se representa gráficamente la función polinomial, su gráfica es una curva continua para todos los valores de X comprendidos en el intervalo ( - , +  ).

Los puntos R0, R1, R2, R3, etc., donde la curva corta el eje X corresponden a abscisas cuyos valores son raíces reales de la ecuación deducida del polinomio. Luego, una manera de determinar las raíces reales de una ecuación es mediante su representación gráfica.

3.4 Teorema Fundamental del Algebra “Toda ecuación racional entera con una incógnita tiene por lo menos una raíz real o imaginaria”. Nota: Este teorema fue demostrado por primera vez por el llamado “príncipe de las matemáticas” Federico Gauss en 1799.

3.5 Teorema de la Descomposición Factorial “Toda ecuación de grado “n” tiene “n” y no más de “n” raíces reales o imaginarias (o complejas)” . De acuerdo con el teorema fundamental si f(x) = 0 es una ecuación de grado ”n”, tendrá por lo menos una raíz real o imaginaria (o compleja). Supongamos esta raíz R1 , luego: f(x) = (x-R1) Q1(x)

(1)

Q1(x) Es un polinomio entero en X de grado (n – 1), luego Q1(x) = 0 tendrá por lo menos una raíz. Supongamos que ésta sea R2, luego:

3


Q1(x) = (x-R2) Q2(x)


(2)

De igual manera: Q2(x) = (x-R3) Q3(x) : . Y así sucesivamente:

(3)

Q (n-1)(x) = (x-Rn) Qn(x)

(4)

[En (4) Qn es de grado cero] Entonces reemplazando sucesivamente, tenemos: f(x) = (x-R1) (x-R2) (x-R3)… (x-Rn)

(5)

donde R1, R2, ... , Rn, son las “n” raíces de la ecuación y no hay más de “n” pues sólo reemplazando en (5) a X por cualquiera de esas R1, R2, R3, etc. se obtiene f(x) = 0. Nota: El teorema anterior establece también como conclusión evidente, que toda ecuación de grado “n” se puede descomponer en “n” factores binómicos de la forma (x-Ri) , donde Ri ( i = 1, 2, 3, ... , n ) son las “n” raíces reales e imaginarias (o complejas) de dicha ecuación. Debemos destacar que en la descomposición hemos considerado A0 = 1. Ejemplo Resolver: 1) x3-2x2-x+2 = 0,

sabiendo que x = 1

es una raíz.

Esto significa que la ecuación es divisible por (x-1) o sea que: x3-2x2-x+2 = (x-1) Q(x) Q(x) se puede obtener por Ruffini

1

1 -2 1 1 -1

-1 2 - 1 -2 -2 0

Así: Q(x) = x2- x -2

4


A partir de Q(x) = 0 , obtenemos dos raíces, R = -1 , R = 2 , ecuación dada son: R1= 1 R2= -1 R3= 2


luego las 3 raíces de la

Una vez determinadas las raíces la ecuación podemos escribirla utilizando factores de primer grado o factores lineales: x3-2x2-x+2 = (x-R1)(x-R2)(x-R3) = 0 (x-1)(x-(-1))(x-2) = 0 (x-1)(x+1)(x-2) = 0 2) f(x) = x3-3x2+4x -12 = 0, 1 -3

4

- 12

3

0

12

0

4

0

3 1

conociendo que x= 3 es una raíz.

x2+4 = 0 x2 = - 4 x = √(-4) = ± 2i x3-3x2+4x -12 = (x-3) (x2+4) = (x-3)(x+2i)(x-2i)

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3.6 Multiplicidad de una Raíz Raíces Simples y Múltiples Puede suceder que una o varias de las “n” raíces de una ecuación f(x) = 0 aparezca más de una vez en la descomposición factorial; a esa clase de raíz se le llama Raíz Múltiple; a las que no se repiten se les designa como Simples. A las veces que una raíz múltiple se repite se le llama grado de multiplicidad. Una ecuación f(x) = 0 de grado “n” puede tener todas sus raíces múltiples. Sólo debe satisfacer la condición de que la suma de los grados de multiplicidad de sus raíces sea igual a “n”. Naturalmente, si algunas de las raíces de una ecuación son múltiples, el número de raíces distintas que tendrá será menor que “n”, puesto que las que se repiten se cuentan como raíces tantas veces como se repitan. Supongamos que de una ecuación f(x) = 0 todas sus raíces sean múltiples, es decir: R1 sea de multiplicidad r R2 de multiplicidad s R3 de multiplicidad t, etc. Luego: de donde

f x   x  R1  x  R2  x  R3  ... r

s

t

r + s + t +… = n

Veamos ahora como podemos determinar la multiplicidad de una raíz R1 de una ecuación y además cuál es su grado de multiplicidad.

3.7 Teorema de las Raíces Múltiples Un número es raíz múltiple de una ecuación si anula la ecuación y sus sucesivas derivadas hasta un cierto número de éllas. Si el número de derivadas sucesivas que anula es ( h – 1), entonces será “h” el grado de multiplicidad. Si las anula todas; entonces su multiplicidad será “n” y la ecuación resulta del desarrollo de la potencia “n” de un binomio de la forma (x-a) n. Supongamos , para simplificar, que la ecuación f(x) = 0 sólo tiene una raíz múltiple de un grado de multiplicidad igual a “h”.

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f(x) = 0 = (x-R1)h (x-R2) (x-R3)… (1) Donde “h” veces R1, R2, R3, R4 ,... son las “n” raíces de la ecuación. Desarrollemos la función f(x) en términos de las potencias de (x – R1) : h 1 f ' R1  x  R1   f ' ' R1  x  R1 2  f ' ' ' R1  x  R1 3  ...  f R1  x  R1 h1  h  1! 1! 2! 3! h n f R1  x  R1 h  ...  f R1  x  R1 n 2  h! n!

f x   f R1  

Si R1 es de multiplicidad “h” , según (1) , entonces f(x)

es divisible por (x – R1)h

En (2) vemos que sólo es posible esto, si en el miembro de la derecha desaparecen los términos que no son divisibles por , o sea los términos:

Y de la única manera que estos términos desaparecen, es si son nulos los valores que toma la función y las primeras derivadas para , es decir si:

Esto nos permite establecer, que un número que sea raíz múltiple de una ecuación, anula la ecuación y sus derivadas hasta un cierto número de ellas. Si el numero de derivadas sucesivas que anula es “h” , entonces será “h+1” el grado de multiplicidad. Si las anula todas; entonces su multiplicidad será “h” y la ecuación resulta del desarrollo de la potencia “n” de un binomio. Así: Es una ecuación con una raíz “a” múltiple, cuyo grado de Multiplicidad es “n”. Ejemplo: La ecuación tiene una raíz múltiple R = 1. Complete su resolución y estudie la multiplicidad de sus raíces. Las derivadas sucesivas son :

7



Por división sintética: 1 1 1 1 1

1 -5 -1 8 1 2 -3 - 4 2 –3 - 4 4 1 3 0 -4 3 0 -4 0 1 4 4 4 4 0

-4 4 0

Como :

Para

Cuando x=1 anula la función y sus dos primeras derivadas, luego la raíz R=1 es múltiple y su grado de multiplicidad es 3.

8



Para

Cuando anula la función y su primera derivada, luego , la raíz R = - 2 es múltiple y su grado de multiplicidad es 2.

3.8 Interpretación Gráfica de las Raíces Múltiples a) Si una ecuación tiene una raíz real simple “R1”; la curva correspondiente corta el eje de las “x” en el punto de abscisa cuyo valor sea igual al de la raíz.

R1 = Raíz Simple b) Si una ecuación tiene una raíz real “R2” de multiplicidad par, la curva correspondiente es tangente al eje de las “x” en el punto de abscisa cuyo valor sea igual al de la raíz.

R2 = Raíz Múltiple de multiplicidad par

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c) Si la raíz “R3” es real de multiplicidad impar (lógicamente > 1), la curva presenta un punto de inflexión sobre el eje de las “x”.

R3= Raíz Múltiple de multiplicidad impar Nota: Las raíces complejas de una ecuación pueden ser múltiples también, sólo hay que tener presente el hecho de que por lo general, ellas se presentan en parejas conjugadas; o sea que si decimos, por ejemplo, que una ecuación tiene una raíz compleja de multiplicidad 2 es admitir que hay 4 raíces complejas en esa ecuación.

Construcción de la Gráfica de un Polinomio y Localización de sus Raíces Reales a) Construir la gráfica del polinomio y localizar las raíces reales de la ecuación X F(x)

-4 -18

-3.5 -3 -6.875 0

-2.5 3.375

-2 4

-1.5 2.625

-1 0

Las raíces simples son: x1  3 , x2  1 ,

-0.5 0 -3.125 -6

0.5 1 -7.875 -8

1.5 2 -5.625 0

2.5 9.625

x3  2

10

3 24



b) Construir la gráfica del polinomio Y analizar las raíces de x f(x)

-2 -192

La ecuación

-1.5 -18.8

1 0

-0.5 -2.93

0 -8

0.5 -13.3

1 -12

1.5 -3.7

,

2 0

2.5 14.9

3 208

tiene como raíces:

x1  x2  1 Raíz doble, x3  x4  x5  2 Raíz triple y las raíces complejas conjugadas

x6 

1 i 3 2

x7 

1 i 3 2

3.9 Teorema de las Raíces Complejas Si una cantidad compleja es raíz de una ecuación entera de coeficientes reales, entonces su conjugado es también raíz de la ecuación. Esto es, las raíces complejas aparecen siempre en pares conjugados en ecuaciones con coeficientes reales. Supongamos la ecuación y , la raíz compleja. Si reemplazamos a x por en el polinomio, tendremos después de operar, una serie de valores reales y otra de valores imaginarios. Supongamos sumados todos los reales y todos los imaginarios y llamémosle P y Q, respectivamente, luego:

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O sea que Si ponemos

Pero como Entonces

y en vez de


(condición de nulidad de un número complejo) , tenemos:

y y

Como consecuencia de este teorema, podemos afirmar que una ecuación entera con coeficientes reales y de grado impar debe tener por lo menos una raíz real.

3.10 Binomio Irracional Cuadrático Sean

“a”

y “b” dos números racionales y sea un número irracional. Entonces se llama binomio irracional cuadrático y se llama binomio irracional cuadrático conjugado. Por un método análogo al empleado en la demostración del teorema anterior, puede establecerse el siguiente teorema.

3.11 Teorema de las Raices Irracionales Cuadráticas Si un binomio irracional cuadrático es raíz de la ecuación coeficientes racionales, entonces el binomio irracional cuadrático de la ecuación.

con también es raíz

En base a los dos teoremas anteriores, podemos afirmar que: Todo polinomio de una sola variable “x” y con coeficientes reales puede expresarse como el producto de factores lineales y cuadráticos con coeficientes reales, correspondiendo cada factor lineal a un cero real y cada factor cuadrático a un par de ceros o complejos conjugados o irracionales cuadráticos conjugados.

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3.12 Productos de Binomios con un Término Común Consideremos el producto de varios binomios de la forma Por ejemplo

Nos interesa establecer una ley general a la que obedezca el producto de 2, 3, ... , n binomios. Para ello vamos formando tales productos:

de tales

x  ax  bx  cx  d   x 4  a  b  c  d x 3  ab  ac  ad  bc  bd  cd x 2  abc  abd  acd  bcd x  abcd Ya en estos desarrollos se observa la ley general que buscábamos y que fácilmente podemos generalizar diciendo: El producto x  a x  bx  c ...x  l  de “n” binomios con el primer término “x” común, es un polinomio de grado “n” respecto a “x”. Ordenado en forma decreciente respecto de esa letra, el primer término es la potencia de “x” de grado “n” que tiene de coeficiente la unidad ; el segundo término tiene como coeficiente la suma de los términos a,b,c,... , l y la variable “x” tiene de exponente (n-1) ; el tercer término tiene como coeficiente la suma de todos los productos binarios de a, b, c, ..., l y la variable “x” tiene de exponente (n-2), el cuarto término tiene como coeficiente la suma de todos los productos terciarios y la variable tiene como exponente (n-3), ... , y así sucesivamente hasta el último término , que es el producto de a,b, c, ... , l. El resultado de dicho producto en el caso que los “n” binomios sean diferencias:

x  ax  bx  c...x  l 

Se obtiene de los binomios anteriores cambiando los signos de a,b,c,...,l y con ello cambia el signo de los productos que tengan un número impar de letras, pero no cuando el número de factores sea par.

x  ax  bx  c...x  l   n x n  a  b  c  d  ...  l x n1  ab  ac  ...  al  bc  ...x n2   ...   1 abc...l  El factor “n” es impar.

(1)

indica los signos alternados, pues vale uno (1) si “n” es par y menos uno ( -1) si

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Los coeficientes de las sucesivas potencias de x (sin tener en cuenta el signo) Funciones Simétricas Elementales de a, b, c, ... , h, k, l. Abreviando tenemos:  1  a  b  c  ...  k  l  2  ab  ac  ...  kl .  3  abc  abd  ...  hkl . .  n  abc...hkl

se llaman

Usando estas abreviaturas tenemos las dos fórmulas para los productos de “n” binomios, sean suma o diferencia: a) x  a x  bx  c ...x  l   x n   1 x n1   2 x n2   ...   n1 x   n b) x  a x  bx  c ...x  l   x n   1 x n1   2 x n2   ...   1

n1

 n1 x   1n  n

3.13 Relaciones entre Coeficientes y Raíces de una Ecuación Algebraica Sea f x   An x n  An1 x n1  An2  x n2   ...  A1 x  A0  0 (1) una ecuación algebraica mónica , cuyos coeficientes pueden ser indistintamente reales o complejos. Sean además a,b, c, ... , l sus raíces reales o complejas, donde, no obstante la notación, algunas pueden ser múltiples. Entonces podemos expresar a f(x) mediante la descomposición factorial siguiente:

f x   x  a x  bx  c ...x  l 

(2)

Dado que ya vimos anteriormente que

x  ax  bx  c...x  l   x n   1 x n1   2 x n2  ...   1n1 n1 x   1n  n

(3)

Entonces igualando (1) y (3), obtenemos que: ...

De esta manera la ecuación (1) podemos expresarla: (4) Es así como concluimos que dadas las raíces de un polinomio, éste queda definido por la expresión (4) , en donde los valores de 1, 2,... ,  n corresponden a las Funciones Simétricas Elementales de las raíces “a” , “b” , “c” , ... , “l ” del polinomio f(x).

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Ejemplos Hallar la ecuación algebraica que tenga por raíces los valores indicados en cada caso. Use para la formación de la ecuación las relaciones entre raíces y coeficientes. a) La ecuación genérica es: por considerar una ecuación mónica.  1

pues  1  1(a  b  c)

2 Debido a que ,  2  ab  ac  bd

3

Además,  3   1 abc 3

Así tenemos:

b) La ecuación genėrica es:

por ser la ecuación mónica





A2   x1  x2  x3  2  1  2i   1  2i   4

 1  1(a  b  c)









A1  x1 x2  x1 x3  x2 x3  21  2i   21  2i   1  2i 1  2i   4  1  2i   4  1  4i 2  9  2  ab  ac  bd



2



A0   1 x1 x2 x3   1 21  2i 1  2i   2 1  4i 2  10 3

3

 3   13 abc

La ecuación pedida es :

15



c) La ecuación genérica es: =  1  1(a  b  c  ...  k  l )

 2  ab  ac  ...  kl

 3  abc  abd  .acd  bcd La ecuación es :

3.14 Transformaciones de Ecuaciones Transformar una ecuación es obtener otra cuyas raíces satisfagan relaciones pre-establecidas respecto a las raíces de la ecuación original. Analizaremos diferentes tipos de transformaciones: 3.14.1 Transformación de una Ecuación que posea raíces múltiples en otra cuyas raíces sean las mismas de la ecuación original, pero todas raíces simples. 3.14. 2 Transformación Mediante Operaciones Elementales. 3.14.2.1 Conocida una ecuación, transformarla en otra cuyas raíces sean múltiplos o submúltiplos de las raíces de la ecuación dada. 3.14.2.2 Opuestas respecto a la ecuación conocida.

3.14.2.3 Conocida una ecuación, transformarla en otra cuyas raíces estén aumentadas o disminuidas en una cantidad “k”, respecto a las raíces de la ecuación dada. 3.14.2.4 Conocida una ecuación, transformarla en otra cuyas raíces sean las recíprocas de las raíces de la ecuación dada. Veamos las transformaciones en detalle: 16



3.14.1 Transformación de una Ecuación que posea raíces múltiples en otra cuyas

raíces sean las mismas de la ecuación original, pero todas raíces simples Sea nuevamente

f x   An x n  An1 x n1  An2  x n2   ...  A1 x  A0  0 una ecuación algebraica donde el polinomio f(x) se supone mónico y cuyos coeficientes pueden ser indistintamente reales o complejos. Sabemos que esta ecuación tiene “n” raíces, cada una con su multiplicidad correspondiente. Generalmente las raíces no se conocen y es muy difícil conocerlas. Tienen, pues, interés, todos los procedimientos que sirvan para simplificar una ecuación; por ejemplo, el que ahora veremos para reducir una ecuación cualquiera a otra equivalente que tenga las mismas raíces de la ecuación original, pero todas simples. Inicialmente recordaremos que si

a b

es una fracción compuesta y “d” es el máximo común

a b divisor (MCD) entre “a” y “b” , entonces      es una fracción irreductible. O sea que, b d  para hacer que una fracción sea irreductible basta con dividir sus dos miembros (numerador y denominador) por el MCD de ambos.

Por ejemplo: Los números 42 y 18 tienen como MCD el 6, luego la fracción en una fracción irreductible si dividimos ambos números por su MCD. 

la transformamos

Es una fracción irreductible

Supongamos, para simplificar, una ecuación de 5to. grado y que sólo tiene una raíz múltiple, cuyo grado de multiplicidad es 3:

Donde “a” , “b” , “c” son las únicas raíces distintas que tiene la ecuación, siendo “a” múltiple y “b” , “c” simples. Es decir que si Entonces

(1) (2)

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Donde es un polinomio general de segundo grado no divisible por ( ni , pues si lo fuera, “b” y “c” serían raíces múltiples y ello estaría en contradicción con la hipótesis inicial. De esto se deduce que el grado de multiplicidad de una raíz disminuye en una unidad en cada una de las derivadas sucesivas de la ecuación. Siendo el MCD entre entre este MCD , se obtiene:

y

, y formando el cociente de

0 es una ecuación con las mismas raíces de la ecuación original, pero todas simples. De lo anterior se desprende la regla siguiente: Para reducir una ecuación a otra que sólo tenga raíces simples, basta con dividir la ecuación entre el MCD correspondiente a ella y a su primera derivada. Ejemplo:

Reducir la siguiente ecuación a otra cuyas raíces sean simples:

1)

f ' x   x3  2x 2  x  2 12

Aplicando el proceso de divisiones sucesivas se llega a:

Es otra ecuación con las mismas raíces de Las raíces de

, pero en este caso todas son simples.

son :

de multiplicidad Las raíces de

son raíces simples:

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3.14.2 Transformación Mediante Operaciones Elementales 3.14.2.1 Conocida una ecuación, transformarla en otra cuyas raíces sean múltiplos o submúltiplos de las raíces de la ecuación dada. La idea es que partiendo de la ecuación , cuyas raíces son ecuación (donde es un real) cuyas raíces serían esta transformación se dice que las raíces están multiplicadas por el valor Veamos: Dada la ecuación


obtener otra . En

1

Obtener otra ecuación tal que sus raíces sean las de (1) multiplicadas por un número real k  0 . y 3 Si esa ecuación es: f  y   0 , entonces y  kx 2  ; de donde x  k Reemplazando en se tiene: n

n 1

n 2 

 y  y  y  y An    An 1    An2     ...  A1    A0  0 k k k k Multiplicando toda la ecuación por :

An y n  An1 kyn1  An2  k 2 y n2   An3 k 3 y n3  ...  A1k n1 y  A0 k n  0 Enero del 2011

Si cambiamos por se tiene: n n 1 2 n2  An x  An1 kx  An2  k x  An3 k 3 x n3  ...  A1k n1 x  A0 k n  0 Es decir que para obtener de una ecuación, otra con sus raíces multiplicadas por un número “se multiplica cada término de la ecuación dada por elevado a un exponente igual a la diferencia entre el grado de la ecuación dada y el exponente del término”. Para obtener una ecuación transformada cuyas raíces sean las de multiplicadas por un valor k, y que a la vez sea una ecuación mónica, puede considerarse con lo cual la ecuación transformada pasa a ser: 2 n 2  n 1 x n  An1 x n1  An2  An x n2   An3  An  x n3  ...  A1  An  x  A0  An  0

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Ejemplos 1) Dada la ecuación raíces sean las de f(x) multiplicadas por

, transformarla en otra cuyas .

La ecuación pedida es: Las raíces de la ecuación dada son

Las raíces de la ecuación transformada son

Es importante señalar que la ecuación transformada mantiene el grado de la ecuación conocida.

2) Dada la ecuación transformarla en otras cuyas raíces sean el triple de las raíces de la ecuación dada. Aplicando la regla: 0 1 2 3 4 f 3  13 x 4  43 x 3  103 x 2  283 x  153  0 f 3  13 x 4  43 x 3  103 x 2  283 x  153  0 0

1

2

3

4

Siendo la ecuación pedida: x 4  12 x 3  90 x 2  756 x  1215  0 Las raíces de la ecuación dada son

Las raíces de la ecuación transformada son: x1  x2  9 x3  3 x4  15

20


3) Transformar la ecuación f x   3x 4 


1 3 5 x  x2  x 1  0 2 2

en otra ecuación mónica de

coeficientes enteros. Multiplicando tenemos:

por

el

MCM

de

los

denominadores,

La ecuación Mónica de coeficientes enteros que resulta será la ecuación transformada cuyas raíces serán las de f(x) multiplicadas por 6. 2 3 La ecuación pedida es: x 4  x 3  26x 2  56 x  26  0 Este caso de transformación de ecuaciones también se utiliza cuando a partir de una ecuación conocida, se desea obtener otra ecuación cuyas raíces sean las opuestas de las raíces de la ecuación dada. 3.14.2.2 Ecuación de raíces opuestas respecto a la ecuación conocida.

La idea es a partir de la ecuación , cuyas raíces son R1 , R2 ,..., Rn obtener otra ecuación , cuyas raíces sean  R1 , R2 ,..., Rn . En esta transformación se dice que las raíces están cambiadas de signo respecto a las raíces de la ecuación dada. Para efectuar la transformación se procede de la misma manera que explicamos más arriba, haciendo 

Se pueden deducir fácilmente estas dos reglas para obtener la transformada cualquier :

de

a) Si el grado de la ecuación dada es par, se les cambian los signos a los términos de grado impar. b) Si el grado de la ecuación dada es impar se les cambian los signos a los términos de grado par (recuerde que el término independiente es de grado par).

Ejemplos Dada la ecuación, obtener otra cuyas raíces sean opuestas respecto a las raíces de la ecuación conocida. a) Cambiando el signo a los términos pares se obtiene la ecuación pedida:

21



b) Cambiando

el

signo

a los términos

Las raíces de

son:

Las raíces de

son: x1  x2  1

impares se obtiene

la ecuación pedida:

x4  3

x3  5

3.14.2.3 Conocida una ecuación, transformarla en otra cuyas raíces estén aumentadas o disminuidas en una cantidad “k”, respecto a las raíces de la ecuación dada La idea es que partiendo de la ecuación , cuyas raíces son R1 , R2 ,..., Rn , obtener otra ecuación (donde es un real) cuyas raíces serían En esta transformación se dice que las raíces están disminuídas si el valor de es positivo y aumentadas si es negativo. Dada la ecuación f x   An x n  An1 x n1  An2  x n2   ...  A1 x  A0  0 Obtener otra cuyas raíces sean las de (1) disminuidas en un número real k  0. Si esa ecuación es , entonces ); de donde Reemplazando en se tiene la ecuación : n n 1 n2  n3 0 An  y  k   An1  y  k   An2   y  k   An3  y  k   ...  A1  y  k   A0  y  k   0 Si en la ecuación anterior desarrollamos todos los binomios semejantes, tendremos una ecuación de la forma:

f x   Bn y n  Bn1 y n1  Bn2  y n2   ...  B1 y  B0  0

y asociamos términos

(5) que es la ecuación buscada.

Para determinar los coeficientes de (5): Bn , Bn1 , Bn2  ,..., B0 basta con observar que puesto que la ecuación (5) se puede obtener de la ecuación desarrollándola en términos de las potencias de . Esto es, si la ecuación la desarrollamos en función de las potencias de usando la Fórmula de Taylor, obtenemos la ecuación (6): n 1 n f ' k  x  k   f ' ' k  x  k 2  ...  f k  x  k n1  f k  x  k n  0 n  1! 1! 2! n! se invierte el orden de los términos y se reemplaza por obtenemos a

f x  k   f k   Si en .

22



Igualando y podemos determinar los coeficientes indeterminados Bn , Bn1 , Bn2  ,..., B0 , por división sintética y de la forma que veremos a continuación. Para mayor claridad supongamos que la ecuación es de cuarto . Luego, al igualar ), tendríamos:

B4 y 4  B3 y 3  B2 y 2  B1 y  B0 

f

IV

k  x  k 4 

4!

' f ' ' ' k  x  k 3  f ' ' k  x  k 2  f k  x  k   f k  3! 2! 1!

Comparando las dos igualdades se puede deducir: a) b) c)

es igual al resto que se obtiene al dividir entre . es el resto que se obtiene al dividir el cociente de la división en entre es el resto que se obtiene al dividir el cociente de la división en por sucesivamente.

. ; y así

Ejemplos 1) Se desea transformar la ecuación raíces sean las de disminuidas en la unidad.

en otra ecuación cuyas

La ecuación buscada será de grado 3 y se puede expresar como:

1 Los valores de B3 , B2 , B1 , B0 se encuentran dividiendo sucesivamente la ecuación dada por la unidad. Así:

La ecuación pedida se obtiene sustituyendo en 1 los B3 , B2 , B1 , B0 es:

23



Las raíces de la ecuación dada son:

Las raíces de la ecuación transformada son: –1=2

2) Sea la ecuación las de ésta disminuidas en

Los valores por

. Se desea transformar en otras cuyas raíces sean La ecuación de grado cinco será de la forma:

, etc. se encuentran dividendo sucesivamente la ecuación dada .

Aplicando Ruffini: 1  00  03  04  00  18  02  04  02  04  08

2

1  02  01  02  04  10  B0  02  08  18  32 1  04  09  16  28  B1  02  12  42 1  06  21  58  B2  02  16

1  08  37  B3  02 1 10  B4

1  B5

Sustituyendo en la ecuación: Luego la ecuación buscada es: 24



Nota: Observemos que disminuir en un valor negativo equivale a aumentar en el mismo valor positivo; esto es, para disminuir se lleva el número con el mismo signo y para aumentar se lleva con signo contrario. Note que de acuerdo con la igualdad de la demostración anterior, mediante ese proceso se puede hacer desaparecer un término cualquiera de una ecuación dada. Basta con que las raíces se disminuyan en un valor que anule la derivada de la función cuyo orden corresponda al exponente del término que se quiere hacer desaparecer. O sea, que si queremos que en una ecuación desaparezca el término en , buscamos la , la resolvemos, y disminuímos las raíces de la ecuación dada en un valor cualquiera de los obtenidos en la solución de esa derivada segunda. Interesa en particular el caso de eliminar el de una ecuación. Como éste es el término en , entonces buscamos la derivada de orden y la resolvemos. Dicha derivada es una función lineal y cualquiera que sea el grado de la ecuación, tendrá la forma:

f n1 x   n! An x  n  1! An1 Igualando a cero se obtiene: x  R  

An 1 nAn

Luego, siempre que las raíces de una ecuación se disminuyan en no tiene término en x n 1 .

 An 1 nAn

la ecuación que resulta

Ejemplo Sea la ecuación

,

se quiere obtener otra que no tenga término en Aquí:

= 1,

= -8,

, luego x  R  

An 1 nAn



  8 2 41

25


B4 x 4  B3 x 3  B2 x 2  B1 x  B 0  0

La ecuación general será : Como B4  1 , B3  0 ,

B2  24 , – 24

La ecuación pedida es:


B1  66

B0  46

– 66x – 46 = 0

Note que aunque desapareció el término en x3 como se quería, volvió a aparecer el término en que no existía en la ecuación dada. Ello indica que no es posible eliminar más de un término al mismo tiempo a menos que el valor con que se disminuyan las raíces de la ecuación, anule a más de una de las derivadas.

3.14.2.4 Conocida una ecuación, transformarla en otra cuyas raíces sean las recíprocas de las raíces de la ecuación dada. Dada la ecuación f x   An x n  An1 x n1  An2  x n2   ...  A1 x  A0  0

(1)

Obtener otra ecuación, tal que sus raíces sean las recíprocas o inversas de las raíces de la ecuación conocida. 1 1 x La ecuación buscada es , entonces y  (2) , (3) y x Reemplazando n

1 1 An    An 1    y  y

 1 An  n y

en  n 1

:

1  An  2     y

n  2 

1  An 3    y

 n 3 

0

1 1  ...  A1    A0    0  y  y

  1   1   1  1   An 1  n 1   An  2   n  2    An 3  n 3   ...  A1    A0  0  y  y  y  y 

26



Multiplicando la ecuación anterior por : 2 3 An  An1 y  An2  y  An3 y  ...  A1 y n1  A0 y n  0 Cambiando y por x: An  An1 x  An2  x 2  An3 x 3  ...  A1 x n1  A0 x n  0 Reordenando:

A0 x n  A1 x n1  A2 x n2   A3 x n3  ...  An1 x  An  0 (4) Es decir que para obtener de una ecuación ), otra cuyas raíces sean las inversas de las raíces de la ecuación dada, sólo tenemos que invertir el orden de colocación de los coeficientes de los términos de la ecuación dada. De este modo, la ecuación se dirá que es recíproca de la ecuación Ejemplos 1) Dada la ecuación Obtener otra cuyas raíces sean las inversas de las raíces de Las raíces de la ecuación dada son: x1  2 , x2  1 , La ecuación dada se puede escribir en forma general: f x   A3 x 3  A2 x 2  A1 x  A0  0

x3  3

Podemos deducir que en la ecuación conocida tenemos que: =1 , =2, = -5 , = -6 A partir de estos valores, podemos hallar los coeficientes de la nueva ecuación: f x   A0 x 3  A1 x 2  A2 x  A3  0

f x   6 x 3  5x 2  2 x  1  0 Ecuación de raíces reciprocas determinada. Cuyos valores son: x1 

1 , 2

x2  1 ,

x3  

1 3

27


2) Dada la ecuación respecto a la ecuación conocida.


; obtener la ecuación de raíces recíprocas

En general Los coeficientes de la ecuación dada son:

=1,

= 0,

La ecuación de raíces reciprocas será: f(x) =

A0  6 ,

A1  7

,

+

= -7, +

= -6

+

=0

= 0, A3  1

La ecuación de raíces reciprocas es: Las raíces de la ecuación

son:

=3,

Las raíces de la ecuación transformada son:

=

= -1,

1 , 3

= -2

= -1 ,

=

1 2

3) Dada la ecuación La ecuación transformada es: Las raíces de la ecuación dada son: x1  1 ,

x2  5 ,

x3  3 ,

Las raíces de la ecuación transformada son: x1  1, x 2 

x4  2

1 1 1 , x3   , x 4   5 3 2

4) Dada la ecuación Las raíces de este caso son:

=7,

= 3,

= -1,

=0

La ecuación transformada es: Las raíces de la ecuación transformada son:

=

1 , 7

=

1 , 3

= -1,

=0

28



3.15 Naturaleza de las Raíces. Regla de los Signos de Descartes Una ecuación entera , grado , tiene raíces, las cuales pueden ser reales o complejas. La Regla de los Signos de Descartes permite determinar el número máximo de raíces positivas y negativas de una ecuación racional entera con coeficientes reales. Sin embargo, antes de estudiar esta regla veremos ciertos conceptos preliminares. Para iniciar debemos considerar la determinación de las posibles raíces nulas de una ecuación entera, ya que tales raíces no son ni positivas ni negativas. Es claro que si una ecuación carece del término independiente, pero no del término de primer grado, entonces posee una sola raíz nula; si carece de los términos independiente y de primer grado, pero no del término de segundo grado, entonces posee dos raíces nulas, y así sucesivamente. O sea que, de aquí en adelante se entenderá que el primer paso en la resolución de una ecuación entera es la separación de las raíces nulas. Ejemplos Identificar en las ecuaciones dadas las raíces nulas. 1) 3x  0

2) 3x 3  5x 2  0  3x  5 x 2  0

3) 2 x 2  4 x  0  x  2 2 x  0

* De las ecuaciones anteriores las que corresponden a : * La ecuación posee dos raíces nulas.

4) x 3  3x 2  2 x  0  x 2  3x  2 x  0

poseen una raíz nula.

En un polinomio f(x) con coeficientes reales y ordenados según las potencias descendentes de se dice que hay una “variación de signo” o simplemente una “variación” si dos términos sucesivos difieren en el signo. Para contar las variaciones no importa que el polinomio sea incompleto. Por ejemplo, el polinomio: de signo entre sus términos. Podemos demostrar que “cuando cualquier polinomio se multiplica por un binomio de la forma , siendo un número real positivo, el polinomio resultante presenta por lo menos una variación más que las que tenía el polinomio original. Supongamos el polinomio términos.

que tiene

El producto tendrá términos. De esos términos el ultimo será: , que es de signo contrario a ; luego en el caso extremo de que los otros términos conservan el mismo signo que los del polinomio , habrá que contar una variación más al pasar al último término ). 29



Ejemplos 1) El polinomio resulta entonces [ entre sus términos. 2) El polinomio resulta entonces variaciones.

tiene

variación. Si se multiplica por , que tiene variaciones de signo

tiene 3 variaciones. Si se multiplica por que tiene

Como consecuencia de lo visto anteriormente se puede demostrar la Regla de los signos de Descartes que dice: Si es una ecuación entera con coeficientes reales y sin raíces nulas, entonces el número de raíces positivas de es igual al número de variaciones de f(x) = 0 ó es menor que este número en un número par. Supongamos que sean descomposición factorial:

las raíces positivas de una ecuación

, luego la

(1) Ya vimos que: tiene por lo menos una variación más que y así sucesivamente. Entonces, el producto de la derecha de tendrá variaciones más que las de ; pero ese producto es igual a , luego si el total de variaciones de es entonces:

* Para determinar el número máximo de raíces reales negativas se aplica la misma regla a la ecuación transformada , pues las raíces positivas de son las negativas de . Ejemplos Por medio de la Regla de los Signos de Descartes, hallar toda la información posible acerca de la naturaleza de las raíces de la ecuación: 1) tiene dos (2) variaciones de signos entre sus términos. Por tanto, hay raíces positivas. La ecuación: tiene solamente una variación de signo entre sus términos. Por tanto, hay exactamente una raíz negativa. 30



Entonces existen dos posibles combinaciones para las raíces de la ecuación. Grado 5 5

Nulas 0 0

+ 2 0

1 1

C 2 4

Importante: Cuando determinemos las raíces de la ecuación conocida, tendremos una de las opciones propuestas mediante la regla de Descartes. 2) posee dos raíces nulas La nueva ecuación a utilizar, después de separar las raíces nulas es g(x): tiene una variación de signo entre sus términos posee dos variaciones de signo entre sus términos. Grado 5 5

Nulas 2 2

+ 1 1

2 0

C 0 4

3.16 Acotación de Raíces Reales. Regla de Laguerre Sea dada una ecuación entera de coeficientes reales

f x   An x n  An1 x n1  An2  x n2   ...  A1 x  A0  0 , cuyo primer coeficiente La idea consiste en encontrar dos números superior y cota inferior, tales que las raíces de .

y

es positivo.

, llamados, respectivamente, cota se encuentren dentro del intervalo

Procederemos a buscar la manera de encontrar la cota superior de las raíces positivas de f(x) = 0, pues la cota inferior de las raíces negativas se obtendrá aplicando la misma metodología a la ecuación transformada ; ya que las raíces positivas de son las negativas de , cambiando finalmente el signo del número encontrado. Si los coeficientes, de son todos positivos, no existen raíces positivas y

31



Existen varios métodos para determinar los límites de las raíces de la ecuación Veremos a continuación el que viene dado por la Regla de Laguerre.

.

Regla de Laguerre Sea un número real positivo. Si al dividir por resultan positivos o ceros todos los coeficientes del cociente y el resto, entonces es una cota superior de las raíces positivas de la ecuación Demostración: La división puede indicarse: (1) donde Supongamos un número

tiene todos sus términos positivos o ceros y y reemplacemos en . Tendremos:

. (2)

En

:

Como

f x   0

es un número cualquiera mayor que , lo anterior indica que entre y la ecuación no toma nunca un valor nulo, o sea que no hay raíces en ese intervalo , luego es una cota superior de las raíces positivas de la ecuación L.Q.Q.D.

Prácticamente se obtiene por el método de la división sintética, probando valores enteros crecientes de hasta que resulten positivos todos los coeficientes del cociente y el resto. Ejemplos: Acotar las raíces reales de las ecuaciones dadas: 1) Determinación de la cota superior de la ecuación dada. Probando

Probando

1  09  02  48 1  10  10 1  10  12  38

1  09  02  48

1

2  22  48

2

1  11  24  00

32



es una cota superior de las raíces de Determinación de la cota inferior. Para encontrar ésta, obtenemos primero la ecuación transformada en . Esta ecuación es :

Li  1,2,3,4,5,6,7,8

no son cotas superiores de esta ecuación. Probemos

es una cota inferior de las raíces de la ecuación Las raíces de

se encuentran en el intervalo:

2) Determinación de la cota superior en la ecuación dada. Probando con Li  1,2,3,4 no son cota superior de

. Probemos con

La cota superior es Para determinar la cota inferior utilizamos la ecuación: Probando con L = 2

La cota inferior es : L'  2 Las raíces de

se encuentran en el intervalo:

.

)

33



Notas:  Si una ecuación tiene todos sus términos positivos no tiene raíces positivas. Por ejemplo: Como esta ecuación tiene todos sus términos positivos, entonces cualquier valor inclusive el cero es límite; esto significa que la ecuación no tiene raíces positivas .

• Si una ecuación tiene positivos los términos de la misma paridad que su grado y negativos los de paridad contraria, no tiene raíces reales negativas Ejemplo: La ecuación

;

no tiene raíces negativas porque

3.17 Raíces Racionales de una Ecuación. Teorema Veamos ahora la determinación de las raíces racionales no nulas de una ecuación entera. Para este propósito tenemos el siguiente teorema: Sea

f x   An x n  An1 x n1  An2  x n2   ...  A1 x  A0  0 (1) una ecuación de grado p , donde “p” y “q”  Z y son primos q es un factor de y es un factor de .

donde todos los coeficientes son enteros. Si la fracción entre si, es una raíz de entonces p Ya que es una raíz de (1), tenemos: q n

 p  p An    An 1   q q

n 1

 p  An 2    q

Multiplicando ambos miembros de (2) por

n 2 

 p  ...  A1    A0  0 q

(2)

, tenemos:

An p n  An1 p n1 q  An2  p n2  q 2  ...  A1 pq n1  A0 q n  0 (3) Transponiendo al segundo miembro de (3) y sacando a miembro, obtenemos: p( An p n1  An1 p n2  q  An2  p n3 q 2  ...  A1q n1 )   A0 q n (4)

como factor del primer

34



Ya que son todos números enteros, se concluye que ambos miembros de representan números enteros. Además, ya que es un factor común del primer miembro, debe ser también factor común del segundo miembro. Ahora bien, debido a que y no tienen factores comunes , resulta que es un factor de . Dada la ecuación , tenemos: n 1 q( An1 p  An2  p n2  q  ...  A1 pq n2   A0 q n1 )   An p n (5) Si aplicamos el razonamiento anterior a la ecuación .

encontramos que

es un factor de

A partir del teorema anterior, llegamos a la conclusión de que: Si en la ecuación entera , cuyos coeficientes son enteros, se verifica que el coeficiente principal = 1 y su término independiente , entonces toda raíz racional de es entera y divide exactamente a . Disponemos, ahora, de los elementos necesarios para encontrar las raíces racionales, si existen, de una ecuación de coeficientes racionales. Prácticamente se procede así: 1) Se transforma la ecuación dada en otra cuyos coeficientes sean enteros y cuyo primer coeficientes sea igual a la unidad. 2) Se acotan las raíces de la ecuación. 3) Se ensayan por la regla de Ruffini , comenzando por , los números enteros divisores de e interiores al intervalo . Aquellos que conducen a división exacta son raíces enteras de la ecuación. Aplicando a esas raíces la transformación se obtienen las raíces racionales de la ecuación original. Ejemplos Encontrar las raíces racionales de la ecuación: a) 1) Obtención de la transformada , poniendo y = 2x

2) Acotación de raíces. Las raíces se encuentran en el intervalo 3) Como las raíces se encuentran en el intervalo probables son:  6,5,4,3,2,1,1,2,3,4,5,6

[Verifíquese] y como

, las raíces

35



Aplicando el proceso de división sintética se encuentra que las raíces de

4) La ecuación original . Así resulta: x1 

son:

tiene todas sus raíces enteras. Las raíces racionales de la ecuación se obtiene aplicando la transformación a las raíces de

2  1, 2

x2 

6  3, 2

x3 

4 5  2 , x 4  2 2

De otro modo, podemos hallar las raíces de

de la siguiente forma:

Tomamos el coeficiente y el coeficiente Determinamos los factores enteros de = 2 que son: Determinamos los factores enteros de = 30 que son: Las posibles raíces racionales son de la forma

p siendo q

un factor entero de

y

un

factor entero de Es decir, las posibles raíces racionales de

son:

1 3 5 15 p : 1, ,2,3, ,5, ,6,10,15, 2 2 2 2 q Al probar con estos valores usando Ruffini en la ecuación f(x) = 0,

tenemos:

36



Por tanto las raíces son: b) La ecuación es mónica y de coeficientes enteros. Realizando la acotación de raíces, probando para

La cota superior de

para determinar la cota superior.

es

Determinación de la cota inferior en: Probamos con

La cota inferior de El intervalo de acotación es: Como

es

Los factores enteros de Los factores enteros de

son: son:

Las posibles raíces racionales son de la forma p/q, de modo que y un factor entero de . Las posibles raíces racionales son:

sera un factor entero de

 1,2,3,4,5,6,12,24

37



Probaremos con los valores que siendo posibles raíces, se encuentran dentro del intervalo de acotación.

Las raíces son:

= 1

=2

=3

= -4

3.18 Teorema de Bolzano Si un polinomio


y valores y tiene por lo menos una raíz en el intervalo

toma para

de signos opuestos, la ecuación

Supongamos . Si dividimos en dos partes iguales y el polinomio se anula en el punto de división el teorema está probado. En caso contrario, existe uno y sólo uno de los intervalos parciales, llamémosle (a1, b1), en el cual cambia de signo; es decir f( ) < 0, f( ) > 0. A partir de este intervalo mitad, repetimos el razonamiento y tendremos subintervalos ( , ), ( , para los cuales Si en alguna de las sucesivas subdivisiones, se llega a un punto en el que f x  se anula, el teorema queda demostrado. 3.19 El teorema de Bolzano permite la separación de las raíces reales de una ecuación algebraica.

Ejemplo Separar las raíces reales de las ecuaciones dadas

aplicando

el

Teorema

de

Bolzano.

En la ecuación dada determinamos el intervalo de acotación, de modo que: Cota superior: L= 5 Cota inferior: L’ = -2, o sea Para

^

ocurre cuando

38



Analizamos distintos valores de x dentro del intervalo de acotación de raíces y encontramos que:  x  2 , f  2  24  0 y cuando x  1 , f  1  15  0 por tanto en el intervalo I1   2,1 Tenemos una raíz x1  x  1 , f 1  15  0 siendo en x3 , f 3  9  0 por tanto en el intervalo I 2  1,3 Tenemos una raíz x 2  x3 , y cuando f 3  9  0 f 5  39  0 por tanto en el x  5, intervalo I 3  3,5 Tenemos una raíz x3 Como la ecuación es de grado tres concluimos que posee tres raíces reales, las cuales se encuentran dentro de los intervalos ya señalados. Podemos darnos cuenta que los intervalos I1 , I 2 , I 3 pertenecen al intervalo de acotación

x2 x1

x3 Eje Real

2 X F(X)

1

0

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-24

15

24

15

0

-9

0

39

1

3

2

5

4

Es decir, los intervalos que contienen cada uno una raíz son: x1   2,1 , x 2  1,3 , x 3  3,5 Hemos separado las raíces de la ecuación dada en I.

3.20 Raíces Irracionales de una Ecuación. Método de Ruffini-Horner Dada una ecuación entera con coeficientes racionales, primeramente se aplica el procedimiento ya estudiado para obtener las raíces racionales. Es decir, separaremos todas las raíces nulas y/o racionales, y cualquier raíz irracional existente la obtendremos de la ecuación reducida. Si la ecuación reducida es cuadrática las raíces se obtienen fácilmente por medio de la fórmula correspondiente (solución ecuación de 2do. grado). Por tanto, en el siguiente análisis supondremos que el grado de la ecuación reducida es igual o mayor que 3. En este caso las raíces irracionales vendrán dadas en forma decimal, y su grado de precisión, dependerá esencialmente del grado de aproximación que se desee obtener atendiendo al mayor ahorro posible de operaciones. 39



Método de Ruffini – Horner Este método que sólo es aplicable a ecuaciones algebraicas, permite calcular las raíces irracionales de una ecuación mediante un procedimiento de cálculo sencillo. La facilidad de cálculo es debida a que cada cifra de la raíz se determina individualmente. Veamos el razonamiento fundamental del método. Supongamos que tiene una raíz irracional que con tres cifras decimales es Para determinar esta raíz primeramente veremos que la ecuación dada tiene una raíz entre 3 y 4. Después disminuiremos las raíces de en tres (3) unidades, obteniendo la nueva ecuación f1(x1)=0 que tiene la raíz Entonces hacemos ver que tiene una raíz entre y y disminuimos sus raíces en , obteniéndose una nueva ecuación que tiene la raíz . Repitiendo el paso anterior, vemos que tiene una raíz entre y y disminuímos sus raíces en obteniéndose una nueva ecuación que tiene la raíz . continuando este proceso, es posible obtener la raíz con el número de cifras decimales correctas que se desee. Consideremos la ecuación de coeficientes reales:

f x   An x n  An1 x n1  An2  x n2   ...  A1 x  A0  0 Que tiene una sola raíz simple real,

en el intervalo

Por simplicidad, supondremos que tendremos que la parte entera de es

r   donde

y 10

es decir, r   

y 10

(1)

son dos números enteros sucesivos; así y podemos escribir:

2

es un número comprendido entre

Desarrollando (1) por la Fórmula de Taylor, según potencias de r -  , se obtiene n n1 n2  f x   An r     An1 r     An2  r     ...  A1 r     A0  0 y teniendo en cuenta (2) resulta: f y 

n 1 An y n An1 y A1 y   A0  0 n n 1  ...  10 10 10

40



Multiplicando la expresión anterior por n 1 n f  y   An y n  10 An1 y n1  (10) 2 An2  y n2   ...  10 A1 y  10 A0  0 Ecuación cuyas raíces están disminuidas en el valor

(3)

.

Ensayando en esta ecuación valores enteros de de 0 a , habrán dos valores sucesivos, digamos , para los que cambia de signo, y la parte entera de es . Poniendo y  1

z ó 10

también y   1 

z (4) 10

, desarrollamos (3) por la Fórmula de Taylor según potencias de y - 1 ,

donde teniendo en cuenta

g z   Bn z n  10Bn1 z n1  (10) 2 Bn2  z n2   ...  10

n1

B1 z  10 B0  0 (5) n

Existen dos enteros sucesivos: 2, 2, comprendidos entre 0 y 10, para los que el polinomio g(z) cambia de signo, y la parte entera de z es 2. Nuevamente, haciendo t t ; es decir, z  2 z 2  0  t  10 , 10 10

se puede obtener la parte entera de

aplicando el proceso descrito.

A esta altura del procedimiento es fácil ver que hemos calculado tres cifras de la raíz

r  

1

10



2

10

2



3

103

 ...

Si se desea mayor precisión, se debe repetir el proceso las veces necesarias. Para calcular los coeficientes de los desarrollos , se aplica el Esquema de Horner ya visto.

41



Ejemplo Dada la ecuación raíz simple que se encuentra en el intervalo

. Calcular con tres cifras decimales la

Como en la ecuación dada tenemos que Luego, como hay un cambio de signo, entonces confirmamos que la existencia de una raíz en el intervalo , luego r  1 

1er Paso: La parte entera de la raíz es

y 10

r 1 

y 10

Desarrollemos la ecuación según potencias de r-1, aplicando el Esquema de Horner: 5

1

2

1 4

1 1

4

1

3

2

2

1

6

4

 F y

3

5



F ' y 1!

1 1

F ''  y   2!

2



1

F '''  y  3!

Resulta así la ecuación transformada: ó

 y1 3  2 y1 2  5 y1   4  0

como y1 

y entonces reemplazando y1 por su equivalente 10

tenemos;

42

Algebra Superior Ecuaciones 3


2

 y  y  y    2   5   4  0  10   10   10 

Multiplicando por

tenemos:

que cambia de signo en el intervalo

Luego, la parte entera de

z1 

, es decir: y  6 

es

.

z z , y6  , 0  z  10 10 10

z 10

2do. Paso: Apliquemos nuevamente el esquema de Horner a potencias de .

1  20

 500

4000

6

 84

 3504

1  14

 584

6

6

1 8

para desarrollar según

 F y

496

 48

F ' y  1!

 632

6

1

1

2



F ''  y  2! 

F '''  y  3!

43



De ahí se obtiene

z1 3  2z1 2  632z1   496  0

ó por intervalo

tenemos:

sustituyendo z1 

f z   z 3  20 z 2  63200 z  496000  0

z y Multiplicando 10 que cambia de signo en el

luego, hacemos:

z 7

t , 10

1

7

1

1

z7 

t , donde 10

t1 

0  t  10 ,

 20

 63200

496000

7

 91

 443037

 13

 63291

52963

7

 42

6

 63333

t 10

 F t 



F ' t  1!

7

1

1

F '' t   2! 

1

t1 3  t1 2  63333t1   52963  0

como

F ''' t  3!

t1 

t 10

sustituyendo y

44


se obtiene f t   t 3  10t 2  6333300t  52963000  0

Multiplicando por

que cambia de signo en el intervalo,

luego hacemos t  8 


u 10

t 8 

En resumen tenemos: r  1 

;

u donde 0  u  10 10

y , 10

y  6

z , 10

z 7

t 10

,

t 8

u 10

de donde resulta que la raíz buscada es:

r  1

6 7 8 6 7 8   ...  1  0.6  0.07  0.008  ...    ...  1   2 3 10 10 10 100 1000 10

... con tres cifras decimales. En este ejemplo el intervalo de acotación es Tenemos tres raíces irracionales,

45



Bibliografía Consultada Poole, David (2006). Algebra Lineal. Una introducción moderna. (Segunda edicion). Mexico: Thomson Learning Iberoamerica. Grossman, Stanley I. (1996). Algebra Lineal. (Quinta edición). México: MacGraw-Hill Interamericana. Zill, Dennis G.; Dewar, Jacqueline M. (1999). Algebra y Trigonometria. actualizada). Colombia: McGraw-Hill. Interamericana S. A.

( Segunda edición

Féliz Lebreault, Rubén. (2007). Algebra y Análisis Matricial. (Primera edición). República Dominicana: Editora Universitaria UASD. Serie Multitexto. Millar, Charles-Heeren; CERN-Homsby,John. (2006). Matemática. ( Décima edición). México: Pearson. Smith, Stanley A.; Charles, Randall I.; Dossey,John A. ; Keedy, Mervin L.; Bittinger, Marvin L. (1998). Algebra y Trigonometría con Geometría Analítica. (Primera edición). México: Pearson. Zill, Dennis G.; Dewar, Jacqueline M. (2008). Precálculo con avances de Cálculo. (Cuarta edición). México: McGraw-Hill. Interamericana Editores S. A. Báez Veras, José Justo;De Peña Olivares, Rosa Cristina.(2010). Manual de Prácticas. (Décima edición). República Dominicana: Editora Universitaria UASD. Notas de Cátedra de: Mateo, Tulio; De Peña, Rosa. (2007). Curso de Algebra Superior. Navarro Peña, Tomás Darío. (2008).Apuntes de Algebra Superior. Direcciones Electrónicas: http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n http://matematicasies.com/?-Ecuaciones,13http://www.vitutor.com/ecuaciones/2/res.html http://www.vitutor.com/ecuaciones/2/ecu2_Contenidos.html http://www.vitutor.com/ecuaciones/2/ecu5_Contenidos.html http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Ecuaciones_primer_grado_resolucion_problemas/ecuacion3.htm

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Ecuaciones2grado/inicio.htm http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Ecuaciones2grado/eg24.htm http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Teoremas_bolzano_weierstrass/continuas_bolzano2.htm

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Ecuaciones Algebra Superior Unidad III RosaDePena

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