UNIDAD III: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 3.1. INTRODUCCION: En los cursos básicos se aprendió que, dada una función y = f (x) f (x) su derivada
es también una función
en x; y que se calcula mediante alguna regla apropiada. El problema que enfrentaremos en esta unidad, no es, dada la función y = f (x) f (x) encontrar su derivada, más bien el problema es, si se da una ecuación como
,
encontrar de alguna manera una función y = f (x) f (x) que satisfaga a la ecuación, en una palabra se desea resolver
ecuaciones diferenciales. Por ejemplo:
NOTA: NOTA: -
Estas ecuaciones tienen de particular que todas tienen “la derivada de y con respecto a x” o también podemos decir que todas tienen las diferenciales
-
y
.
Sus soluciones no son números reales o números complejos, las soluciones serán “familias de curvas”. Es decir serán familias de rectas o familias de curvas.
Por ejemplo: la solución de la primera ecuación diferencial será una familia de rectas paralelas de la forma: Visto en un gráfico es:
La solución de la segunda ecuación diferencial de parábolas de la forma:
es una familia
Visto en un gráfico, tenemos las parábolas:
NOTA: NOTA: para resolver una ecuación diferencial se requieren: -
En primer lugar, saber INTEGRAR. INTEGRAR. Lo cual sugiere conocer “a la perfección”, sin titubeos, todas las fórmulas elementales de integración y los métodos de integración (cálculo integral).
-
En segundo lugar, reconocer los diversos tipos de ecuaciones diferenciales (de variables separables, exactas, homogéneas, lineales, etc.) que se irán estudiando y tratando paulatinamente.
3.2. DEFINICION: Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene derivadas de una función desconocida de una o más variables. Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
Página 1
ESCUELA PROFESIONAL DE CONTABILIDAD
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Ejemplo 2.1. Ecuaciones Diferenciales 1) En la ecuación diferencial 2)
En la ecuación diferencial
, la incógnita es la función
Matemática III
.
, la incógnita es la función
, w representa
en física “el trabajo que debe realizarse para bombear el agua de un tanque cilíndrico vertical de altura H y radio R en la base”. 3)
, en esta ecuación
es la función incógnita, donde “ p” es la utilidad NETA y
“ x ” es el gasto de propaganda.
3.3. CLASIFICACION DE LAS ECAUCIONES DIFERENCIALES : Las ecuaciones diferenciales se clasifican en ecuaciones diferenciales ordinarias y en ecuaciones diferenciales parciales.
a)
Las ecuaciones diferenciales ordinarias son aquellas que contienen como incógnita funciones con una sola
variable independiente. Ejemplos:
b)
Las ecuaciones diferenciales parciales son aquellas que contienen como incógnita una función con dos o más variables independientes. Ejemplos:
3.4. ORDEN Y GRADO DE UNA ECAUCION DIFERENCIAL : Se llama ecuación diferencial de orden “n” a toda ecuación que incluye a la derivada cuyo orden superior es “n”. El grado de una ecuación diferencial es el de la derivada de mayor orden, una vez que dicha ecuación haya sido racionalizada y se hayan quitado denominadores respecto de todas las derivadas.
Ejemplo 4.1. Orden y Grado de una Ecuaciones Diferenciales a)
Esta ecuación diferencial ordinaria es de 2 b)
do
grado y de orden 2.
er
Esta ecuación diferencial ordinaria de orden 2 y 3 grado. c)
er
Es una ecuación diferencial parcial de segundo orden y 1 grado.
3.5. SOLUCION DE UNA ECUACION DIFERENCIAL : Se denomina solución de una ecuación diferencial a toda relación entre las variables que intervienen en dicha ecuación que no contengan ninguna derivada y que satisfaga idénticamente a dicha ecuación. Las soluciones de una ecuación diferencial pueden ser una solución general o una solución particular. La SOLUCION GENERAL de una ecuación diferencial ordinaria de orden “n”, es una solución que contiene constantes de integración.
Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
Página 2
ESCUELA PROFESIONAL DE CONTABILIDAD
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Matemática III
La SOLUCION PARTICULAR de una ecuación diferencial ordinaria de orden “n”, es una so lución que se obtiene de la solución general dándole valores específicos a las constantes. Simbólicamente, decimos:
⏟ ⏟
Ejemplo 5.1. Solución de una Ecuaciones Diferenciales. Verificar que:
Es una solución de:
Solución:
Veamos: NOTACION:
Todo lo que hacemos es derivar dos veces la relación de dos variables:
Reemplazando (2) y (1) en (3):
Y ahora reemplazando (2) y (4) en la ecuación diferencial:
Pero en (2) tenemos
que al reemplazar en (5) obtenemos:
Que es idénticamente igual al segundo miembro
Ejemplo 5.2. Solución de una Ecuaciones Diferenciales. Verificar que:
es una solución de:
Solución: Veamos:
Reemplazando (3) y (1) en el primer miembro de la ecuación diferencial:
Que es idénticamente igual al segundo miembro
Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
Página 3
ESCUELA PROFESIONAL DE CONTABILIDAD
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Matemática III
√ √ √ √ √
Ejemplo 5.3. Solución de una Ecuaciones Diferenciales. Verificar que la relación: es solución de:
Solución: De
Halamos:
Sustituimos (1) y (2) en la ecuación diferencial:
Que es idénticamente igual al segundo miembro
Ejemplo 5.4. Solución de una Ecuaciones Diferenciales. Verificar que la función: Es solución de: Solución: Aquí se tiene
Derivemos la relación
respecto a x :
3.6. FORMACION DE UNA ECUACION DIFERENCIAL A PARTIR DE UNA FAMILIA DE CURVAS Si se tiene la ecuación de una familia de curvas, se puede obtener su ecuación diferencial mediante la eliminación de las constantes (o parámetros) y esto se obtiene aislando la constante en un miembro de la ecuación y derivando. También se puede eliminar la constante derivando la ecuación dada, tantas veces como constantes arbitrarias tenga, y se resuelve el sistema formado con la ecuación original. Ejemplo 6.1. Formación de una ecuación diferencial. A partir de una familia de curvas. Formar la E.D. cuya solución es la familia de curvas Solución:
Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
Página 4
ESCUELA PROFESIONAL DE CONTABILIDAD
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Matemática III
Ejemplo 6.2. Formación de una ecuación diferencial. A partir de una familia de curvas. Formar la E.D. cuya solución es la familia de curvas
Ejemplo 6.3. Formación de una ecuación diferencial. A partir de una familia de curvas. Obtenga la E.D. cuya primitiva es la función:
Ejemplo 6.1. Formación de una ecuación diferencial. A partir de una familia de curvas. Obténgase la E.D. cuya primitiva es la función
Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
Página 5
ESCUELA PROFESIONAL DE CONTABILIDAD
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Matemática III
Ejemplo 6.1. Formación de una ecuación diferencial. A partir de una familia de curvas. Obténgase la E.D. cuya primitiva es la función
EJERCICIOS 06: Propuestos. I. En cada uno se los siguientes ejercicios, establezca si la ecuación diferencial dada es ordinaria o parcial, y, si es ordinaria, diga su orden y su grado. 1) 2) 3) 4) 5)
6) 7) 8) 9) 10)
II. Verificar que: 1) 2) 3) 4)
√
5)
6)
7)
8)
√
III. Obténganse las ecuaciones diferenciales cuyas primitivas sean las siguientes funciones: 1) 2) 3) 4)
5) 6) 7) 8)
Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
Página 6
ESCUELA PROFESIONAL DE CONTABILIDAD
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Matemática III
3.7. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y PRIMER GRADO
⏟
Una ecuación diferencial de primer orden y primer grado es de la forma:
O lo que es equivalente a:
……………… (I)
3.8. CLASIFICACION DE LAS ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y PRIMER GRADO Una ecuación diferencial de primer orden y primer grado se pueden presentar varios métodos de resolución, de los cuáles veremos algunos: VARIABLES SEPARABLES En este caso la ecuación diferencial d ado en (I) se presenta de la f orma.
∫ ∫ ) ( )( )( )( |||| |||| Esto indica que “M” es función sólo de “x” y “ N” es función sólo de “y” Se resuelve, tan solo integrando cada término. Así:
Ejemplo 8.1. Ecuaciones diferenciales con variables separables. Resolver Solución: hacemos la separación de variables:
Integramos:
Esta solución la podemos transformar en:
Ejemplo 8.2. Ecuaciones diferenciales con variables separables. Hallar la solución de Solución: agrupamos los términos en “x” multiplicando a
y agrupar los términos de “y”, multiplicando a
Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
Página 7
ESCUELA PROFESIONAL DE CONTABILIDAD
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Matemática III
Ejemplo 8.3. Ecuaciones diferenciales con variables separables. Resolver Solución:
Ejemplo 8.4. Ecuaciones diferenciales con variables separables. Resolver
Solución:
Ejemplo 8.5. Ecuaciones diferenciales con variables separables. Resolver Solución:
Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
Página 8
ESCUELA PROFESIONAL DE CONTABILIDAD
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Matemática III
Ejemplo 8.6. Ecuaciones diferenciales con variables separables. Resolver Solución:
Ejemplo 8.7. Ecuaciones diferenciales con variables separables. Resolver
Solución:
Ejemplo 8.8. Ecuaciones diferenciales con variables separables. Resolver
Solución:
Ejemplo 8.9. Ecuaciones diferenciales con variables separables. Resolver
Solución:
Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
Página 9
ESCUELA PROFESIONAL DE CONTABILIDAD
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Matemática III
3.9. ECUACIONES HOMOGENEAS DE PRIMER ORDEN Y DE PRIMER GRADO
Se dice que una ecuación diferencial de primer orden y primer grado, tal como homogénea, si M y N son expresiones homogéneas, del mismo grado, en Una ecuación homogénea de la forma
, es
e .
se puede trasformar en otra ecuación en
y ,
de variables separables, mediante la sustitución
Ejemplo 9.1. Ecuaciones diferenciales homogéneas. Resolver
Solución: los coeficientes de la ecuación son homogéneos de grado 2. Sustituyendo en la ecuación dada, tenemos: Después de dividir por
, se obtiene
Es decir
Aquí las variables
Como
y
están separadas, y la solución es:
y
haciendo
, se puede escribir como:
Ejemplo 9.2. Ecuaciones diferenciales homogéneas. Resolver Solución:
Ejemplo 9.2. Ecuaciones diferenciales homogéneas. Resolver Solución:
Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
Página 10
ESCUELA PROFESIONAL DE CONTABILIDAD
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Matemática III
3.10. APLICACIONES Aplicaciones en la economía:
y la cantidad demandada es tal que la disminución en la Ejemplo 10.1. La relación entre el precio demanda, a medida que el precio aumenta, es proporcional a la cantidad demandada e inversamente proporcional a la suma del precio más una constante. Encontrar la función de demanda si , cuando . Solución: : precio por unidad Datos:
: Cantidad de demanda.
: Variación de la cantidad demandada. : Variación del precio.
: tasa de la demanda a medida que el precio varía.
Según el enunciado del problema, tenemos:
Nos queda por resolver la Ecuación Diferencial:
{ Veamos: De
obtenemos:
Integrando ambos miembros:
( ) ()
Imponer la condicional inicial:
Entonces:
Es mejor:
Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
Página 11
ESCUELA PROFESIONAL DE CONTABILIDAD
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Matemática III
Ejemplo 10.2. La tasa de incremento del costo total “y”, a medida que crece el número de unidades fabricadas “x”, es proporcional a la suma de las unidades fabricadas más una constante e inversamente proporcional al costo total. Hallar la función de costo si cuando . Solución:
Ejemplo 10.3. La razón del incremento de las ventas “s”, a medida que crece la gestión de propaganda “x, es igual a una constante menos la venta dividido por una constante más la gestión de propaganda, si cuando . Solución:
Ejemplo 10.4. La tasa de incremento del costo “y”, a medida que crece el número de unidades fabricadas “x”, es igual a la relación del doble del cuadrado del costo menos el cuadrado del número de unidades fabricadas dividido por el producto del costo y el número de unidades. Hallar la relación entre el costo y el número de unidades fabricadas si cuando . Solución:
Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
Página 12
ESCUELA PROFESIONAL DE CONTABILIDAD
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Matemática III
EJERCICIOS 07: Propuestos. I. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales.
1) 2) 3) 4) 5) 6)
7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15)
II. Aplicaciones: 1)
El dinero depositado en cierto banco se incrementa de tal manera que en cualquier instante la razón de cambio del saldo es igual al 7% del saldo en ese instante.
2)
La razón del incremento en el costo fabricadas
a medida que crece el número de unidades
, es igual a la relación del doble del cuadrado del costo menos el cuadrado
del número de unidades fabricadas, dividido por el producto del costo y el número de
unidades fabricadas. Hallar la relación entre el costo y el número de unidades fabricadas si 3)
cuando
.
El arrendamiento de un apartamento (dos alcobas, muebles “estándar”) en un colegio varía con la distancia del apartamento al campus. Supóngase que esta relación está dada por:
en que
es la distancia (en millas),
como una función de
es el arrendamiento mensual (en dólares) y
son constantes, si
.
Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
cuando
Página 13
; hallar
ESCUELA PROFESIONAL DE CONTABILIDAD
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Matemática III
3.9.1. MODELOS ECONOMICOS Hay dos tipos generales de modelos económicos, que se designan por estático o dinámico. Los modelos estáticos se refieren a situaciones de equilibrio, es decir, situaciones que si son alcanzadas se mantendrán. Los modelos dinámicos están relacionados con situaciones que cambian con respecto al tiempo. En los modelos dinámicos interviene el tiempo explícitamente como una variable, o implícitamente en la forma de variable retrasada (o con rezagos). En los modelos económicos hay dos clases generales de variables que se denominan endógenas y exógenas. Las variables endógenas son aquellas cuyos valores o niveles han de ser predichos o explicados; las variables exógenas se suponen determinadas y conocidas de antemano, y pueden considerarse constantes en el modelo. Los calificativos de endógena y exógena provienen de términos griegos y significan, como en otros contextos “generada desde el interior” y “generada desde el exterior”, respectivamente. Las variables endógenas se predicen a partir del modelo, en tanto que las variables exógenas son determinadas por fuera del modelo. De ordinario un modelo se formula primero en términos de ecuaciones estructurales que expresan relaciones entre variables endógenas y exógenas. Este sistema de ecuaciones estructurales se resuelven luego (si es posible) para determinar las que se llaman las ecuaciones de forma reducida, cada una de las cuales expresa una variable endógena como función de variables exógenas y de parámetros. Se resuelve un modelo al obtener una ecuación de forma reducida para cada variable endógena que haya en el mismo. A)
MODELO MACROECONOMICO DE DOMAR: El siguiente modelo macroeconómico simple fue propuesto por E. D. Domar.
En donde
es el ahorro,
una función del tiempo.
es la inversión,
es el ingreso, y cada una de éstas variables endógenas es
La primera ecuación establece que el ahorro es una proporción fija del ingreso; la segunda, que la inversión es proporcional a la tasa de cambio del ingreso con respecto al tiempo; y la tercera, que el ahorro es igual a la inversión; la cuarta expresa la condición inicial. A partir de estas relaciones pueden obtenerse funciones específicas que expresan cambios en las variables con respecto al tiempo. Puesto que
Y la ecuación diferencial
Se obtiene para la solución. Al separar las variables e integrar resulta.
Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
Página 14
ESCUELA PROFESIONAL DE CONTABILIDAD
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Si y = y0 cuando t = 0, entonces
Y la solución particular es
Matemática III
Obsérvese que esta solución da el ingreso y como función del tiempo t, puesto que α > 0, β > 0, la
gráfica de la función tiene pendiente positiva creciente, y la tasa de incremento depende de . Las soluciones para las variables restantes del modelo I y S son las siguientes
B)
MODELO DE DEUDA DE DOMAR
Domar emplea un conjunto de modelos semejantes al modelo macroeconómico anterior para
expresar las relaciones entre el ingreso nacional y la deuda nacional. Consideremos el modelo:
Donde D es la deuda nacional e y es el ingreso nacional (ambas variables son endógenas). En este modelo, el ingreso nacional crece a una tasa constante β a través del tiempo, y la tasa de incremento de la deuda nacional es una proporción fija del ingreso nacional. La tercera y cuarta ecuación establecen las condiciones iniciales. Integrando la segunda ocasión se obtiene:
Puesto que y = y 0 cuando t = 0, se obtiene que C = y 0 y entonces
Sustituyendo en la primera ecuación del modelo.
Como D = D 0 cuando t = 0, entonces C = D 0, y así
Domar tenía interés en el estudio de la razón de la deuda nacional al ingreso nacional:
Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
Página 15
ESCUELA PROFESIONAL DE CONTABILIDAD
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
O sea,
Cuando
,
De modo que cuando
Matemática III
,
y para este modelo, la razón de la deuda nacional al ingreso
nacional crece sin límite a través del tiempo.
C)
MODELO DE AJUSTE DE PRECIOS DE EVANS Este modelo, propuesto por G. C. Evans, corresponde a un mercado particular para un determinado satisfactor en el que las ecuaciones de demanda y de oferta son las mismas que las del modelo lineal ordinario, y pueden resolverse en la forma usual para obtener el precio de equilibrio. Además, hay una ecuación que establece que la tasa de cambio del precio en el tiempo es proporcional al exceso de la demanda (es decir, d – s, donde d = demanda y s = oferta). Este factor de proporcionalidad es positivo, lo cual implica que un exceso de demanda positivo causará una elevación en el precio, y un exceso de demanda negativo ocasionará un descenso del precio.
[ ]
En donde p es el precio. Sustituy endo las primeras dos ecuaciones en la tercera se obtiene
En que
es el precio de equilibrio en el modelo obtenido en la forma usual resolviendo d(t)
= s(t) para determinar p(t), que es el precio de equilibrio. Haciendo
Puesto que p = p 0 cuando t = 0, entonces C = p 0 – pe y
En donde, como se señaló anteriormente,
Y
Como < 0, entonces
, cuando
Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
Página 16
