Variabel acak dan Distribusi Probabilitas 1. Variab iabel Aca Acak k Variabel random/acak adalah sebuah fungsi yang mengaitkan sebuah bilangan real dengan setiap elemen di ruang sampel. Notasi X: variabel variabel randomny randomnya, a, x: salah satu nilai X yang mungkin
Contoh: Dalam pemeriksaan lampu, ada dua kejadian yg mungkin: Baik (B) dan Mati (M). Pemeriksaan dilakukan dengan mengambil secara acak 3 buah lampu hasil produksi. Maka ruang sampelnya adalah: S = {BBB, BBM, BMB, BMM, MBB, MBM, MMB, MMM} Definisikan Definisikan X adalah banyaknya banyaknya lampu yg rusak dalam pengambilan pengambilan tersebut, maka X bisa mengamb mengambil il nilai : 0,1,2,3. 0,1,2,3. X adalah contoh Variabel random. S = {BBB,BBM, BMB,BMM, MBB,MBM, MMB,MMM} X = {0
,1
, 1
,2
,1
,2
,2
,3}
Terlihat X = 2 untuk kejadian E= {MMB,MBM,BMM}. Tadi tiap nilai X berkenaan dengan sebuah himpunan bagian dari S.
Contoh: 2 bola diambil diambil berturut-turut berturut-turut tanpa dikembalikan dikembalikan dari kotak yg berisi 4 bola merah (R) dan dan 3 bola bola biru biru (B). (B). Buatl Buatlah ah semu semuaa kemu kemung ngki kina nan n nilai nilai variab variabel el rando random m Y yang yang menggambarkan jumlah bola merah yang terambil. Jawab: Ruang sampel
y
RR
2
RB
1
BR
1
BB
0
•
Ruang Ruang sampel sampel yang yang berisi berisi anggot anggotaa yang yang seperti seperti elemen elemen bilang bilangan an bulat, bulat, maka maka disebut ruang sampel diskrit/variabel acak diskrit.
•
Ruang sampel yang berisi anggota yang seperti titik-titik di segmen bilangan real disebut ruang sampel kontinu/variabel acak kontinu.
2.
Distribusi Probabilitas / Fungsi probabilitas Jika variabel acak X memiliki fungsi probabilitas f(x), maka fungsi distribusi kumulatif dari X, yaitu F(x) dinyatakan sebagai
∑ f ( x ) X ≤ x F ( x ) = P ( X ≤ x ) = X ∫ f ( x ) dt −∞
X diskrit
X kontinyu
Fungsi distribusi kumulatif F(x) dapat dinyatakan pada interval a ≤ X ≤ b yaitu sebagai: P ( a ≤ X ≤ b ) = F ( b ) − F ( a ) . Fungsi kerapatan probabilitas f(x) dapat dinyatakan sebagai hubungan dengan distribusi kumulatif sebagai: f ( x )
=
dF ( x ) dx
Contoh 1 Sebuah pengiriman 8 mikrokomputer yang serupa ke suatu jaringan eceran berisi 3 yang cacat. Bila suatu sekolah melakukan suatu pembelian acak 2 dari komputer ini, carilah sebaran probabilitas untuk jumlah cacat.
Penyelesaian :
Ambil X sebagai peubah acak yang nilai x-nya adalah jumlah komputer cacat yang mungkin dibeli oleh sekolah tersebut. Maka x dapat menjadi salah satu dari bilangan 0,1,2. Sekarang
3 5 0 2 10 = , f ( 0 ) = P ( X = 0 ) = 8 18 2
3 5 1 1 15 = , f ( 1) = P ( X = 1) = 8 18 2
3 5 2 0 3 = f ( 2 ) = P ( X = 0 ) = 8 18 2 sehingga sebaran probabilitas dari X adalah X f(x)
0 10 28
1 15 28
2 3 28
Contoh 2 Pada sebuah eksperimen probabilitas satu kali melempar dua buah dadu secara bersamaan, distribusi probabilitas dari jumlah mata dadu yang muncul ditentukan sebagai berikut: Ruang sampell eksperimen adalah pasangan mata dadu yang mungkin: (1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
(4,6)
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
Jika X adalah varibel acak diskrit yang menyatakan jumlah mata dadu yang mungkin mucul, maka X = {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} Distribusi probabilitas untuk masing-masing nilai variabel X membentuk fungsi probabilitas sebagai berikut: • P ( X=2) = p(2) = 1/36
P ( X=8) = p(8) = 5/36
• P ( X=3) = p(3) = 2/36
P ( X=9) = p(9) = 4/36
• P ( X=4) = p(4) = 3/36
P ( X=10) = p(10) = 3/36
• P ( X=5) = p(5) = 4/36
P ( X=11) = p(11) = 2/36
• P ( X=6) = p(6) = 5/36
P ( X=12) = p(12) = 1/36
• P ( X=7) = p(7) = 6/36
Dari fungsi probabilitas jumlah mata dadu yang muncul pada eksperimen melempar dua mata dadu dalam Contoh 2 dapat dibentuk fungsi distribusi kumulatif (cdf) sebagai berikut:
∑ p( x ) = p(2) = 1/ 36 ≤ F (3) = ∑ p( x ) = p(2) + p(3) = 1/ 36 + 2 / 36 = 3 / 36 ≤ F (4) = ∑ p( x ) = p(2) + p(3) + p(4) = 1/ 36 + 2/ 36 + 3/ 36 = 6 / 36 ≤ F (5) = ∑ p( x ) = p(2) + p(3) + ... + p(5) = 1/ 36 +2 / 36 +... +4 / 36 =10 / 36 ≤ F (6) = ∑ p( x ) = p(2) + p(3) +... + p(6) =1 / 36 + 2 / 36 + ... + 5 / 36 = 15 / 36 ≤ F (7) = ∑ p( x ) = p(2) + p(3) + ... + p(7) = 1/ 36 +2 / 36 +... +6 /36 = 21/ 36 ≤ F (8) = ∑ p( x ) = p(2) + p(3) + ... + p(8) =1/ 36 +2 / 36 +... +5 / 36 = 26 /36 ≤ F (9) = ∑ p( x ) = p(2) + p(3) + ... + p(9) =1/ 36 +2 / 36 +... +4 /36 =30 /36 ≤ F (10) = ∑ p( x ) = p(2) + p(3) + ... + p(10) = 1/ 36 + 2 / 36 +... + 3 / 36 = 33 / 36 ≤ F (11) = ∑ p( x ) = p(2) + p(3) + ... + p(11) = 1/ 36 +2 / 36 +... +2 / 36 =35 / 36 ≤ F (12) = ∑ p( x ) = p(2) + p(3) + ... + p(12) =1/ 36 +2 / 36 +... +1/ 36 =36 / 36 F (2) =
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
x
7
x
8
x
9
x
10
11
x
≤12
x
2.1Distribusi Variabel Acak Diskrit 2.1.1 Distribusi Bernoulli Peristiwa Bernoulli adlaah suatu peristiwa yang mempunyai 2 hasil yaitu sukses dan gagal. Peluang sukses = p, peluang gagal = 1- p = q
Bentuk fungsi peluang Bernoulli : P ( X = x) = p x (1 − p)1− x
x
= 0,1
Dimana : 1 = menyatakan sukses , 0 = menyatakan gagal Contoh soal : Sebuah coin dilempar 1 kali. Berapakah peluang munculnya angka? Jawab : P ( X = 1) = 0,51 (1 − 0,5)1−1 =1
2.1.2 Distribusi Binomial Jika peristiwa Bernoulli dilakukan n kali, maka dikatakan peristiwa binomial.
n x n− x P ( X = x) = p q x Dimana : n = banyak percobaan P = peluang sukses setiap percobaan q = peluang gagal x = banyak sukses, x = 0, 1, 2 , …, n Contoh soal : Probabilitas sebuah komponen mobil tidak rusak ketika dijatuhkan adalah ¾. Berapakah probabilitasnya ada 2 dari 4 komponen yg dijatuhkan akan tidak rusak. Jawab : Asumsi : “sukses” = tidak rusak, probabilitas “sukses”, p=3/4. Probabilitas “gagal, q= 1-3/4 = ¼. n=4
x=2
n x n − x 3 b( x = 2; n = 4, p = ) = p q 4 x
4 3 2 1 4−2 4! 9 1 27 = = = ( ) ( ) 2!( 4 − 2)! 16 16 128 2 4 4
2.1.3 Distribusi Poisson Variabel acak x yang mempunyai nilai 0, 1, 2, … dikatakan variabel acak poisson dengan parameter λ jika untuk λ >0 berlaku : P ( X = x) =
e − λ λ x x!
dimana x = 0, 1, 2, …
Dimana : μ = rata – ratakeberhasilan = n . p x = Banyaknya unsur berhasil dalam sampel n = Jumlah / ukuran populasi p = probabilitas kelas sukses Contoh soal : Jika rata – rata kedatangan λ = 72 setiap jam, berapakah peluang dari x =4 kedatangan dan t = 3 menit. Gunakan proses poisson! Jawab :
λ = 72
t = 1 / 20
P ( X = x) = P ( X = 4) =
x=4
e − λ λ x x! e −72.(1 / 20) .(72.1 / 20) 4 4!
= 0.191 atau 19.1 %
Variabel acak poisson dapat digunakan/diaplikasikan antara lain : 1. Sebagai pendekatan variabel acak binomial dengan parameter (n, p)
dimana n = besar dan p = kecil sehingga λ = n. p 2. Distribusi peluang poisson dalam situasi suatu kejadian yang terjadi
berhubungan dengan waktu (terjadi pada waktu tertentu) Kejadian yang terjadi pada sembarang interval dengan panjang (waktu) t adalah variabel acak poisson dengan parameter λ t. P ( N (t )
= k ) =
e −λ t λ t k k !
k = 0, 1, 2, …
Dimana : λ = rata-rata / mean x = peluang produk yang cacat k = banyaknya kejadian t = waktu
2.1.4 Distribusi Geometrik Dalam percobaan yang independen dimana masing-masing mempunyai peluang sukses = p, 0
=n) =(1 − p ) n−1. p
n = 1, 2, …
Catatan : hasil percobaan yang sukses adalah independen. Contoh soal : Suatu kotak berisi 15 bola putih dan 10 bola merah, diambil sebuah bola dari kotak tersebut sampai didapat bola merah. Jika di asumsikan pengambilan dengan pengembalian, berapa peluang mendapat 5 bola merah?
Jawab: n=5 p ( merah )
=
C 110 25 C 1
C
=
2 5 5−1
4
2 2 3 2 162 P ( X =5) =1 − = = 5 5 5 5 15625 2.1.5 Variabel Acak Hypergeometrik Suatu kotak berisi N elemen yang terdiri dari k elemen macam pertama dan (N-k) macam elemen yang kedua (yang lain). Apabila diambil n elemen secara serentak, maka peluang mendapat x macam pertama dari n elemen yang terambil adalah :
k N −k x n − x P ( X = x ) = N n Contoh soal : Sekelompok orang terdiri dari 50 orang dan 3 diantara lahir pada tanggal 1 Januari. Secara acak diambil 5 orang. Berapa peluang tidak ada yang lahir pada tanggal 1 Januari. Jawab : X = banyak orang yang lahir tanggal 1 Januari, N=50, n=5
3 47 1 4 = 0,253 P (1) = 50 5 Peluangnya adalah 0,724 bahwa ke lima orang itu tidak lahir pada tanggal 1 Januari.
2.2Distribusi Variabel Acak Kontinu
Variabel acak X disebut kontinu jika terdapat suatu fungsi f yang non negative dengan sifat untuk setiap himpunan bilangan riil B berlaku : P ( X ∈n)
= ∫ f ( x )dx
…………………(1) dimana X∈ (- ∞,
∞)
B
Fungsi f disebut probability density function (PDF) dari variabel acak x. X harus diasumsikan satu harga, maka f harus memenuhi : ∞
∫ f ( X )dx = F { X e[- ∞, ∞]} =1
−∞
Andaikan B=[a,b] maka persamaan (1) dapat dinyatakan sebagai : b
P ( a
≤ x ≤b) = ∫ f ( X ) dx
…………….(2)
a
a
Jika a=b (2) menjadi P [ x
=a ] = ∫ F ( x)dx =0 a
a
Jika P ( x
2.2.1
Distribusi Uniform Suatu variabel acak disebut berdistribusi uniform pada int ( 0,1 ) jika PDF adalah :
=1 f ( x ) = 0
0
secara umum : x yang lain
X berdistribusi uniform pada int (α,β) 1 = β − α f ( x ) =0
adalah α < x < β………………………..(I) yang lain
Hubungan antara CDF dam PDF dinyatakan dengan
jika PDFnya
a
F ( X )
= P ( X ∈(− ∞ , a )) = ∫ f ( x )dx −∞
Maka dari (I) fungsi distribusi dari variabel acak uniform pada int(α,β) dinyatakan :
f ( x ) =
=0 a − α β − α =1
a ≤ α
α < a < β a ≥ β
Contoh soal : Jika x berdistribusi uniform pada (0, 10) carilah peluang 3 < x < 8 Jawab : f ( x ) 8
=
1
10
1
−0
=
8
10
3
∫ 10 dx =10 −10 2
2.2.2
1
=
5
10
Distribusi Normal Distrìbusi normal sering disebut juga dengan distribusi Gauss, inilah distribusi peluang kontinu yang terpenting dan paling banyak digunakan.
dimana:
µ
= rata-rata (mean)
σ
= simpangan baku ( standard deviation)
π
= 3.14159
e = 2.71828
Apabila µ = 0, σ2 = 1 maka :
f ( x )
=
1 2
e
x 2
−
2
disebut fungsi densitas (kepadatan)
π
normal baku (Normal Standard). Setiap variabel acak yang berdistribusi normal dengan nilai mean dan varian sembarang dapat di transformasi menjadi variabel acak yang berdistribusi normal baku dengan transformasi : z =
x − µ
σ
Sifat-sifat distribusi normal :
Bentuk kurva normal seperti bel dan simetris.
Parameter σ, menunjukkan lebar dari kurva normal (semakin
besar nilainya, semakin lebar).
Titik tertinggi dari kurva nomal terletak pada nilai rata-
rata=median=modus.
Luas total area di bawah kurva normal adalah 1. (luas bagian di
sebelah kiri µ = sebelah kanan µ).
Probabilitas suatu random variabel normal sama dengan luas di
bawah kurva normal.
Catatan : P ( a
≤ x ≤b) = P (a < x
Persentase nilai pada interval yang sering digunakan :
•
68,26% nilai dari suatu variabel acak normal berada pada interval
µ±s
•
95,44% nilai dari suatu variabel acak normal berada pada interval
µ±2s
•
99,72% nilai dari suatu variabel acak normal berada pada interval
µ±3s
Contoh soal : Berat bayi yang baru lahir ratarata 3750 gram dengan simpangan baku 325 gram. Jika berat bayi berdistribusi normal, maka tentukan : a. Berapa % bayi yang beratnya lebih dari 4500 gram. b. Berapa banyak bayi yang beratnya antara 3500 gram sampai 4500 gram, jika semua ada 10000 bayi. c. Berapa bayi yang beratnya lebih kecil atau sarna dengan 4.000 gram jika semuanya ada 10.000 bayi? d. Berapa bayi yang beratnya 4.250 gram jika semuanya ada 5.000 bayi? Jawab : a. z =
x − µ
σ
Berat yang lebih dari 4500 gram, pada grafiknya ada di sebelah kanan z = 2,31 Luas daerah ini = 0,5 - 0,4896 = 0,0104 Jadi ada 1,04 % dari bayi yang lahir beratnya lebih dari 4500 gram
b. Dengan x1 = 3500 dan x 2 = 4500 didapat zl -0,77 dan z2 = 2,31 luas daerah yang diarsir L(z l) = 0,2794 dan L(z 2) = 0,4896 Jadi, luas daerah keseluruhan adalah L(z l) + L(z2) = 0,7690 Jadi banyaknya bayi yang beratnya antara 3500 gram dan 4500 gram diperkirakan ada 0,7690 . (10000) = 7690 c. Beratnya lebih kecil atau sama dengan 4.000 gram, setelah penyesuaian maka beratnya harus lebih kecil dari 4.000,5 gram.
Peluang berat bayi lebih kecil atau sama dengan 4.000 gram adalah 0,5 + 0,2794 = 0,7794 Banyaknya bayi = (07794).(10000) = 7794. d. Berat 4250 gr, setelah penyesuaian berarti antara 4.249,5 gram dan 4250,5 gram. Jadì untuk X 4,249,5 dan X = 4.250,5 didapat :
Peluang adalah 0,4382 - 0,4370 = 0,0012 Banyaknya bayi = (0,00l2) (5.000) = 6.
2.2.3 Pendekatan Normal untuk Distribusi Binomial
Apabila x berdistribusi binomial dengan n cukup besar dan p sangat kecil maka dapat didekati dengan distribusi normal : z =
x − µ x − n. p
σ
=
n. p.q
Variabel acak distribusi binomial adalah variabel acak diskrit. Sedang variabel acak distribusi normal adalah variabel acak kontinu. Maka perlu faktor koreksi ±0,5 untuk variabel acak x sehingga pendekatan distribusi normal itu menjadi : z =
x + 0,5 − n. p n. p.q
atau z =
x − 0,5 − n. p n. p.q
Contoh soal : Suatu pabrik/ perusahaan pembuat CD menghasilkan 10% CD yang cacat/ rusak. Jika 100 CD dipilih secara random, berapa probabilitas terdapat : a) 8 CD yang rusak b) Paling sedikit 12 CD yang rusak c) Paling banyak 5 CD yang rusak Jawab : x = banyak CD yang rusak x ∼ Bin(100; 0,1)
n = 100,
p = 0,1
µ = n.p = 100.(0,1) = 10 σ 2 = n.p.(1-p) = 100.(0,1).(0,9) = 9 σ = 9 = 3
2.2.4
Distribusi Eksponensial − λ . x Fungsi densitas : f ( x ) = λ .e
f ( x) = 0
x ≥ 0 yang lain
Dimana λ = parameter, riil dan konstan
Distribusi Eksponensial ini sangat dekat dengan Distribusi Poisson. Distribusi
Eksponensial
diperoleh
dari
Poisson
process
dengan
memperhatikan interval waktu kejadian daripada jumlah/banyak kejadian.
Banyak kejadian yang terjadi dalam interval [0,t] dinyatakan dengan X dan mempunyai distribusi : P ( X ) =
e − λ . x (λ t ) x x!
; x = 0,1,2 ……. (1)
=0
yang lain
P(0) = probabilitas tidak ada kejadian dalam interval [0,t] P(0) =
e − λ . x ini dapat diartikan bahwa peluang waktu kejadian pertama
terjadi lebih besar daripada t. Bila kita pandang waktu sebagai variabel acak T, maka : P (0) = P (T > t ) = e − λ . x
t ≥ 0
P (t ) = P (T > t ) = 1 − e − λ . x
t ≥ 0
f (t ) = F ' (t ) = λ .e − λ . x
t ≥ 0 …………….. …..(2)
=0 Hubungan antara distribusi eksponensial dan distribusi poisson adalah jika banyaknya kejadian mempunyai distribusi poisson (persamaan 1) maka waktu antar kejadian berdistribusi eksponensial (persamaan 2). Distribusi x eksponensial mempunyai rata-rata µ
=
1
λ
, dimana λ =usia pakai
Contoh soal : Suatu komponen didalam computer berdistribusi eksponensial dengan waktu pakai 10000 jam. Berapa persentase komponen tersebut akan rusak sebelum mencapai waktu 7000 jam? Jawab:
µ = 10000
t = 7000
λ =
1 10000
P (7000) = 1 - e − λ . x 7
= 1 - e −10 = 1 – 0,496 = 0,504
2.2.5
50,4%
Distribusi Gamma Dapat digunakan sebagai distribusi interval waktu antar kejadian, distribusi waktu pelayanan, distribusi usia pakai.
Fungsi Gamma : ∞
∫
τ (n) = x n −1e − x dx
n>0
0
τ (n) = (n − 1)!
1 ; τ ( ) = π 2
τ (n) = (n − 1)τ (n − 1)
τ (1) = 1
Fungsi densitas Gamma : f ( x ) =
λ (λ x) r −1 .e −λ . x e( r )
x > 0
f ( x ) = 0
yang lain
Dimana : r = parameter bentuk r > 0 λ = parameter skala Distribusi gamma mempunyai rata-rata =
r
λ
Bila r = 1 fungsi densitas gamma = distribusi eksponensial
Jika r suatu integer maka distribusi gamma merupakan jumlah r distribusi eksponensial yang independen dan identik yang masing-masing mempunyai parameter λ. Jika x1, x2, …, xr adalah saling independen dan berasal dari distribusi eksponensial dengan parameter λ maka : Y =
n
∑ xi ~ Gamma (r, λ) yang disebut distribusi Erlang (λ) i =1
Jika x1, x2, …, xk adalah saling independen dan xi Gamma (r i, λ) maka : Y =
k
∑ xi ~ Gamma (Σr , λ) i
i =1
Fungsi distribusi komulatif gamma : ∞
F ( x )
=1 − ∫ x
λ
τ ( r )
(λ t ) r −1 e −λ t dt r −1
Jika r adalah integer maka
F ( x )
e
=1 − ∑ k =0
−λ x
(λ x ) k k !
Yang merupakan jumlah r poisson dengan parameter λ x. Contoh soal :
Suatu Sistem standar redundant dengan 2 komponen yaitu komponen 1 berfungsi (ON), komponen 2 tidak berfungsi (OFF) atau sebagai cadangan kalau komponen 1 gagal. Secara otomatis komponen 2 akan berfungsi. Komponen 1
Switch
Komponen 2
Jika tiap komponen punya usia pakai sesuai dengan distribusi eksponential dengan λ = 10 −5 jam maka usia pakai sistem tersebut berdistribusi Gamma dengan parameter r = 5. Carilah rata-rata waktu yang diperlukan sistem menjadi rusak atau tidak berfungsi. Jawab : Rata-rata =
2.2.6
r
λ
=
5 10
−5
5
= 5.10 jam
Distribusi Weibull Fungsi densitas : β −1
f ( x ) =
β x − χ δ δ
x − χ β exp − δ
f ( x ) = 0
− ∞ < χ < ∞
x ≥ χ yang lain
merupakan parameter lokasi
δ > 0 = skala parameter ; β = parameter bentuk Distribusi Weibull dapat ditulis : x ~ Weibull (β, γ, δ)
x − χ β Fungsi distribusi kumulatif : F ( x) = 1 − exp − δ
x ≥ χ
Dalam distribusi Weibull, jika γ = 0, β = 1 distribusi Weibull menjadi distribusi eksponensial. Pemakaian distribusi Weibull = dalam reliability engineering sebagai model jangka waktu kegagalan dalam komponen elektrik dan sistem. Misal : dalam peralatan elektrik seperti elemen-elemen memori, dalam pesawat terbang, seperti elemen-elemen struktur tersebut.
Rata-rata distribusi Weibull : µ α
1 = χ + δτ 1 + β
Contoh soal : Jangka waktu kerusakan suatu komponen elektronik adalah distribusi weibull dengan β=1/2, γ=0, δ=1000 jam. (a) carilah rata-rata waktu yang diperlukan komponen menjadi rusak! (b) berapa peluang komponen yang diharapkan berfungsi baik sampai 5000 jam? Jawab :
a. µ = χ + δτ 1 +
β 1
µ = 0 + 1000τ (1 + 2) µ = 1000τ ( 3) µ = 1000( 3 − 1)! µ = 1000( 2)! µ = 2000 b.
x − γ β 1 − F ( x) = exp − δ
5000 − 0 1 / 2 1 − F (5000 ) = exp − 1000 =0,107
