09 Variabel Acak - Kontinu

Variabel Acak - Kontinu (Random Variable) Probabilitas dan Statistika 04 Oktober 2011

Variabel Random Kontinu Bagi VRK, fungsi yang menyatakan peranan sama dengan Probability Mass Function disebut pdf (fungsi padat peluang) Definisi  Variabel random ! dikatakan VRK, "ika fungsi distribusinya adala# fungsi kontinu sbb   x

∫  f

 F X ( x) = Dimana $

1.

∞

 f X  (t ) ≥ 0

(t ) dt 

−∞

∫  f

2.

X 

 X 

(t ) dt  = 1

−∞

Fungsi f %( x ) disebut probability density fungsi (pdf) dari VR !& 'ngat teorema dasar kalkulus d dx

F(  x )

=

d 

 x 

∫  f (t) dt = f

d   x  −∞

 X 

(x)  

Probability Density Function ntuk suatu 'nteral (a, b) b

P (a < X

< b) =

∫

a

f X (t)dt −

−∞

∫ −∞

X 

(t)dt  

−∞ −∞

b

=

∫  f

f X (t)dt +

∫

f X (t)dt =

a

b

∫  f

X 

(t)dt  

a

ntuk VR ! maka berlaku #ubungan berikut ini  P (a < X

< b) = P (a < X ≤ b) = P (a ≤ X < b) = P (a ≤ X ≤ b) b

= ∫  f X  (t) dt   a

Probability Density Function *V*+

PR-B.B'/'.0 *V*+

1!2a3

inggi loncatan dari grafik F(%) di % 2 a

1a4!3

5 6 F(a)

1 a ≤ ! 3

5 6 F(a) 7 P1 ! 2 a 3

1 ! ≤ b 3

F(b)

1!4b3

F(b) 8 P1 ! 2 b 3

1 a 4 ! ≤ b 3

F(b) 8 F(a)

1a4!4b3

F(b) 8 F(a) 8 P1 ! 2 b 3

1 a ≤ ! ≤ b 3

F(b) 8 F(a) 7 P1 ! 2 a 3

1 a ≤ ! 4 b 3

F(b) 8 F(a) 7 P1 ! 8 a 3 8 P1 ! 2 b 3

pX(a) = P { X = a } = tinggi loncatan dari F(x) di x = a

Variabel Acak  Diskrit

Kontinu

Probability Mass Function  pmf 

Probability Densitas Function  pdf  b

 p ( x) =  P { X  = x}

 p ( x) ≥ 0

∫ 

 p ( a ≤  X  ≤ b) =  f  ( x)dx a d   f  ( x) =  F ( x) dx Sifat-sifat

 f  ( x ) ≥ 0  p( X  = x) = 0 ∞

∑  p( x) = 1

∫  f  ( x)dx = 1

∀ x

−∞

Cummulati! Distri"ution Function

Cumulative Distribution Function  F ( x ) =  P ( X  ≤ x )  F ( x) =

 x

∑ p(t )

 F ( x) =

t≤x

∫  f (t ) dt 

−∞

Grafiknya : Step Function VR C!"#R$ !%& ' RV

Grafiknya : Fungsi kontinu

Contoh Soal 5& Pada R* menguncalkan pengetossan coin tiga kali, diperole# Ω2 1 , & & & 9993 yang terdiri : sample point yang bersifat *;ually likely& , maka$ dapat dicari  a& P (! 2 ?), b & P (! 4 ?)
Contoh Soal ?& Diberikan fungsi distribusi 

  x < 0 0  1 1  F ( x ) =  x + 2  0 ≤ x < 2 1 1   x ≥ 2  Pertanyaan  a& 0kets grafik F(%), periksa apaka# F(%) memenu#i sifat dari fungsi distribusi b& entukan nilai dari  P ( X ≤ 1 ) P (0 < X ≤ 1 ) P ( X = 0) dan P (0 ≤ X  ≤ 1 ) c& MacamCcorak dari VR A

Contoh Soal 0olusi  a&

F(%) 5 5C?



5C?

5

%

Dari grafik F(%), terli#at ba#@a  ≤ F(%) ≤ 5  F(%) "uga merupakan fungsi yang tidak turun  F (8∞) 2  dan F (∞) 2 5  F(%) kontinu kanan Dengan demikian F(%) memenu#i sifat dari fungsi distribusi

Contoh Soal b&

 P ( X ≤ 1 ) = F ( 1 ) = 1 + 12 =

* 

 P (0 < X ≤ 1 ) = F ( 1 ) − F (0) = * − 12 =

1 

 P ( X = 0) = P ( X ≤ 0) − P ( X  < 0)

=  F (0) − F (0− ) = 12 − 0 =  P (0 ≤ X ≤ 1 ) = F (

=

1 

1 

+

1 2

) − F ( 0 ) + P ( X  = 0) 1 2

c& VR ! adala# VR8 Eampuran

=

* 