36
f (11) =
18
f (2 1) =
⋅ f (1,1) =
36
36 12
⋅
18 36 36
⋅ f (2,1) =
18
18
=
12 18
=
2 3
⋅0 = 0
Sehingga distribusi bersyarat x, bila Y = 1 adalah : x f(x 1)
0
1
2
1/3
2/3
0
Jadi untuk P[X=0 Y=1] = f(01) = 1/3 13.
Dilakukan pengujian karakteristik kuat tahan baterei jenis Lithium dan Nikad yang ada di pasaran. Misalkan bahwa X adalah jenis Lithium dan Y jenis Nikad yang diuji menghasilkan suatu fungsi peluang gabungan peubah acak X dan Y, yaitu :
; y ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ x
8 xy f ( x, y ) = 0
;
untuk x, y lainnya
Hitunglah g(x), h(y), f(y x) dan tentukan peluangnya bahwa kurang dari 1/8 baterei Nikad memenuhi syarat bila diketahui bahwa tepat ½ dari baterei Lithium bisa diterima di pasaran. Jawab :
g ( x ) =
∫
∞
−∞
f ( x, y )dy
= 4 xy
2
y = x y = 0
x
= ∫0 8 xydy
= 4 x 3
dan
h( y ) =
∫
∞
−∞
f ( x, y ) dx =
1
∫ 8 xydx y
x =1
= 4 x y x = y = 4 y ⋅ (1 − y 2 ) 2
P robabilitas & S tatistik
T eknik E lektro
halaman - 15
Maka
f ( y x ) =
f ( x, y )
8 xy
=
g ( x )
4 x
=
2
2 y x
2
dan
P (Y < 18 X = 12 ) = 14.
1/ 8
∫
0
1/ 8
∫
f ( y x) =
0
1
=
8 ydy
16
Diketahui fungsi kerapatan gabungan :
x(1 + 3 y 2 ) f ( x, y ) = 4 0
0 < x < 2
; ;
, 0< y
<1
untuk x, y lainnya
Carilah g(x), h(y), f(yx) dan tentukan P[1/4
g ( x ) =
=
h( y ) =
=
∫
∞
−∞
xy 4
∫
∞
−∞
x
f ( x y ) =
2
8
+
xy 4
y =1
=
∫
+
3 x y
f ( x, y ) h( y )
2
8
=
x (1 + 3 y 2 )
2
4
0
x = 2
=
; 0 < y < 1
2
x(1 + 3 y 2 ) / 4 (1 + 3 y ) / 4 2
1/ 2
1/ 4
dx
1 + 3 y 2
x = 0
∫
dy
; 0 < x < 2
2
f ( x, y ) dx = 2
4
x
y = 0
P ( 14 < X < 12 Y = 13 ) =
P robabilitas & S tatistik
= ∫0
f ( x, y )dy 3
x (1 + 3 y 2 )
1
=
f ( y x) =
T eknik E lektro
x
; 0
2
x
1/ 2
∫
1/ 4
2
dx =
3 64 halaman - 16
BEBAS STATISTIK Bila f(xy) tidak tergantung pada y, maka f(x y) = g(x) dan f(x,y)=g(x).h(y), demikian juga bila f(yx) tidak tergantung pada x, maka f(y x) = h(y) dan f(x,y)=g(x).h(y). DEFINISI : MIsalkan X dan Y dua peubah acak diskrit maupun kontinu, dengan fungsi peluang gabungan f(x,y) dan distribusi pias masing-masing g(x) dan h(y). Peubah Acak X dan Y dikatakan Bebas Statistik jika dan hanya jika : F(x,y) = g(x).h(y) Untuk semua (x,y) dalam daerah definisinya. CONTOH : 15.
Periksalah peubah acak X dan Y pada soal no 8 dan 14 bebas statistik!
P robabilitas & S tatistik
T eknik E lektro
halaman - 17
RERATA PEUBAH ACAK Misalkan dua mata uang dilantunkan, maka ruang sampel yang terjadi : S = {AA, AG, GA, GG} Jika X menyatakan peubah acak untuk mendapatkan gambar, maka : P(X=0) = P(AA) = ¼ P(X=1) = P(AG) + P(GA) = ½ P(X=2) = P(GG) = ¼ Untuk AG menyatakan bahwa lantunan pertama menghasilkan Angka (A) dan lantunan kedua menghasilkan Gambar (G). Peluang ini hanyalah frekuensi nisbi, dalam jangka panjang untuk kejadian ini. Jadi
µ = E(X) =(0).(1/4) + (1).(1/2) + (2).(1/4) = 1 Ini berarti bila seseorang melantunkan dua uang logam berulang-ulang, maka rerata dia mendapatkan satu (1) muka tiap lantunan. DEFINISI : Misalkan X adalah suatu peubah acak dengan distribusi peluang f(x), Nialai Harapan atau Rerata atau Expectation X ialah :
µ = E ( X ) = ∑ xf ( x) x
Bila X diskrit, dan
∞
µ = E ( X ) = ∫−∞ xf ( x)dx CONTOH : 16. Cari nilai harapan banyaknya kimiawan dalam panitia 3 orang yang dipilih secara acak dari 4 kimiawan dan 3 fisikawan.
P robabilitas & S tatistik
T eknik E lektro
halaman - 18
17.
Dalam suatu permainan seseorang mendapatkan Rp. 5000 bila dalam lantunan 3 uang logam muncul semua angka atau gambar, dan akan membayar Rp. 3000 bila muncul gambar satu atau dua. Berapa harapan kemenangannya!
18.
Misalkan X peubah Acak yang menyatakan umur dalam jam jenis lampu. Fungsi kerapatan peluangnya adalah sebagai berikut :
20000 f ( x ) = x 3 0
; ;
x
> 100
untuk x lainnya
Hitung berapa harapan umur jenis bola lampu tersebut !
19.
Carilah rata-rata penggunaan alat elektronik pada soal no 7 dalam satu tahun!
Misalkan ada peubah acak baru g(x) yang bergantung pada X yaitu tiap niali g(x) dapat ditentukan bila diketahui nilai X, maka : DEFINISI : Misalkanlah X suatu peubah acak dengan distribusi peluang f(x), Rerata atau nilai harapan peubah acak g(x) adalah :
µ g ( x ) = E [ g (Y )] = ∑ g ( x). f ( x) Bila X diskrit, dan
P robabilitas & S tatistik
T eknik E lektro
halaman - 19
∞
µ g ( x ) = E [ g ( X )] = ∫−∞ g ( x). f ( x) Bila X kontinu. CONTOH : 20.
Banyaknya mobil X yang masuk ke suatu pencucian mobil setiap hari antara jam 10.00 – 11.00 mempunyai distribusi peluang sebagai berikut : x P(X=x)
4
5
6
7
8
9
1/12
1/12
¼
¼
1/6
1/6
Misalkan g(x) = 2X – 1 menyatakan upah dalam ribuan rupiah para karyawan yang dibayar oleh perusahaan dalam jam tersebut, cari berapa rata-rata pendapatan karyawan pada jam tersebut Jawab :
E [ g ( x)] = E [2 X − 1] =
∑ (2 X − 1). f ( x)
x = 4
= ………………………………… = Rp. 12,67 ribu
21.
Misalkan X suatu peubah acak kontinu dengan fungsi kerapatan peluangnya :
x 2 f ( x ) = 3 0
;
− 1 < x < 2
;
untuk x lainnya
Tentukan nilai harapan g(x) = 4X +3
P robabilitas & S tatistik
T eknik E lektro
halaman - 20
DEFINISI : Bila Xdan Y peubah acak dengan distribusi peluang gabungan f(x,y) maka nilai harapan peubah acak g(x,y) adalah :
µ g ( x , y ) = E [ g ( X , Y )] = ∑∑ g ( x, y ). f ( x, y ) x
y
Bila X diskrit, dan
∞
∞
µ g ( x , y ) = E [ g ( X , Y )] = ∫−∞ ∫−∞ g ( x, y ). f ( x, y )dxdy Bila X kontinu.
P robabilitas & S tatistik
T eknik E lektro
halaman - 21
