Distribusi Variabel Acak Diskrit

E-book Statistika Gratis...

STATSDATA STATSDA TA Statistical Data Analyst

Distribusi Variabel Acak Diskrit

Pada penulisan Kelima tentang Statistika Elementer ini, penulis akan memberikan bahasan mengenai Distribusi Variabel Acak Diskrit kepada para pembaca untuk pemahaman dan contoh soal mengenai Variabel Acak Diskrit dan fungsi distribusinya. Pada penulisan ini, Distribusi Variabel Acak Diskrit yang diberikan adalah Distribusi Binomial, Multinomial, Hipergeometrik, dan Poisson.

Variabel Acak Diskrit. Variabel Acak adalah suatu fungsi yang memetakan setiap anggota Ruang ampel  ke !"#

bilangan Real . Dalam statistika, $ariabel acak disimbolkan dengan huruf%huruf kapital misalkan &, ', (, dll. Variabel acak yang mampu men)alani bilangan bulat adalah Variabel Acak Diskrit, sedangkan $ariabel acak yang mampu men)alani bilangan real adalah Variabel Acak Kontinu . Misalkan & adalah $ariabel acak diskrit maka fungsi kepadatan probabilitas probability density function function, PDF+ dapat didefinisikan sebagai * probability

p X ( x) = P( X

=

x)

x + adalah fungsi distribusi probabilitas dari & untuk $ariabel acak Dengan kata lain, fungsi p&* x

diskrit. PD dari $ariabel acak diskrit & harus memenuhi sifat-sifat berikut. 0 ≤ p X ( x ) ≤ 1 , PD bernilai nol sampai satu. /.

∑ p

X ( x ) = 1 ,

)umlahan dari semua PD dari $ariabel acak diskrit & pada ruang sampel

x

adalah satu. Misalkan & merupakan $ariabel acak diskrit maka fungsi kepadatan kumulatif * cumulative density function , CDF+ dapat didefinisikan sebagai. x

F X ( x) = P ( X ≤ x) =

∑ p

X ( k )

k =0

x + adalah fungsi distribusi dari & untuk $ariabel acak diskrit. 0D Dengan kata lain, fungsi F &* x

dari $ariabel acak diskrit & dapat diilustrasikan sebagai berikut.

www.statsdata.my.id

Page 1


STATSDATA Statistical Data Analyst

1ika p&* x + merupakan PD dari $ariabel acak diskrit &, maka terdapat relasi antara PD dan 0D, yaitu p X ( x )

P (X

=

F X ( x ) − F X ( x − 1)

= x ) =

P ( X ≤ x ) − P ( X ≤ x − 1) .

Sebagai tambahan, mean dan $arian dari $ariabel acak diskrit masing%masing adalah

!#

µ = ∑ x. p X ( x) x

dan

σ 2

=

∑ ( x − µ )

2

. p X ( x ) .

x

Contohnya, dalam suatu keluarga yang memiliki dua anak, distribusi probabilitas dari

banyaknya anak yang terlahir perempuan akan mengikuti ketentuan ini anyaknya Anak Perempuan ! Probabilitas p!" x #

2  / 34 3/ 34

5ilai mean dan $arian dari banyaknya anak yang terlahir perempuan akan dihitung sebagai berikutMisalkan & adalah banyaknya anak yang sukses terlahir perempuan, maka 2

µ = ∑ x. p X ( x ) = (0). p X (0) + (1). p X (1) + ( 2). p X ( 2) x =0

µ = (0).(1 / 4) + (1).(1 / 2) + ( 2).(1 / 4) = 1 dan

σ 2

2

=

∑ ( x − µ )

2

. p X ( x ) = (0 − 1) 2 . p X (0) + (1 − 1) 2 . p X (1) + ( 2 − 1) 2 . p X ( 2)

x = 0

σ 2

=

(1).(1 / 4) + (0).(1 / 2) + (1).(1 / 4) = 0,5 .

1adi, diperoleh mean dan $arian dari banyaknya anak yang terlahir perempuan pada suatu keluarga yangmemiliki dua anak masing%masing adalah  dan 2,6 .

www.statsdata.my.id

Page 2



Distribusi Variabel Acak Diskrit. Pada penulisan ini, diberikan 4 macam distribusi $ariabel acak diskrit pilihan yang biasa digunakan, yaitu. Distribusi Binomial /. Distribusi Multinomial ". Distribusi Hipergeometrik 4. Distribusi Poisson

Distribusi Binomial. ebelum membahas tentang distribusi Binomial, penulis akan men)abarkan re$ie7 mengenai Distribusi Bernoulli. Distribusi ernoulli adalah distribusi probabilitas yang dihasilkan dari / outcome3ke)adian dalam suatu percobaan, yaitu- sukses * x 8 + dan gagal * x 8 2+ dengan probabilitas sukses p dan probabilitas gagal q 8  9 p. ungsi kepadatan probabilitas *PDF+ dari $ariabel acak & Bernoulli adalah

X ~ B(1, p) p X ( x) = P( X

= x ) =

p x q1− x ; x

=

0,1 ; dengan q

= 1−

p.

Pada percobaan ernoulli, dilakukan perulangan percobaan acak : sebanyak r kali, yaitu : , !"#

:/, ..., :r yang mana merupakan suatu urutan dari percobaan Bernoulli )ika . perulangan bersifat independen. /. probabilitas sukses bernilai sama untuk setiap perulangan. Distribusi inomial merupakan distribusi probabilitas dari banyaknya outcome3ke)adian !"# sukses pada n percobaan Bernoulli . ungsi kepadatan probabilitas * PDF+ dari $ariabel acak

& Binomial dirumuskan sebagai

X ~ B( n, p ) p X ( x) = P(X = x) = C xn p x q n x = 0,1,2,..., n ;

q

= 1 − p

− x

=

n!

( n − x)! x!

p x q n

− x

.

ebagai contoh, PD dari $ariabel acak binomial dengan n 8 4 dan p 8 2,6 dapat diilustrasikan sebagai berikut.

www.statsdata.my.id

Page 3



edangkan, fungsi kepadatan kumulatif * CDF+ dari $ariabel acak & Binomial adalah x

F X ( x) = P( X ≤ x) =

∑ p

x

X ( k ) =

k =0

n!

∑ (n − k )! k ! p

k

q

n − k

q = 1 − p .

;

k = 0

Sebagai Contoh, seorang peneliti ingin meneliti obat A untuk penyakit asma. Berdasarkan

sur$ey ditemukan lima puluh dari seratus orang yang sembuh dari penyakit asma setelah meminum obat ini. 1ika /2 orang penderita asma diambil secara acak dan diberi minum obat A, maka tentukan probabilitas bah7aa. tepat 2 orang yang sembuh. b. maksimal / orang yang sembuh. Misalkan & adalah banyak orang yang sembuh penyakit Asma setelah meminum obat A; maka p 8 62322 8 2,62 , q 8  9 p 8  9 2,62 8 2,62 dan n 8 /2 , sehinggaa. probabilitas tepat 2 orang yang sembuh adalah P( X

= x ) =

p X ( x ) =

P( X

= 10) =

n!

( n − x)! x!

p X (10) =

p x q n − x

20 ! ( 20 − 10)! 10!

(0,5)10 (0,5) 20−10

=

0,1762 .

b. probabilitas maksimal / orang yang sembuh adalah x

P ( X ≤ x ) = F X ( x) = P ( X ≤ 2) = F X ( 2) =

∑ p

x

X ( k ) =

k =0

k =0

2

2

∑ p

X ( k ) =

k =0

P ( X ≤ 2) = (1)(1)(0,5) 20

∑C

n k n − k k p q

20 k

(0,5) k (0,5) 20−k

k =0

P ( X ≤ 2) = C 020 (0,5) 0 (0,5) 20−0

www.statsdata.my.id

∑C

+

20

+ C 1

(0,5)1 (0,5) 20−1 + C 220 (0,5) 2 (0,5) 20− 2

( 20)(0,5)(0,5)19

+

(190)(0,5) 2 (0,5)18

=

0,0002 .

Page 4



Contoh soal ini )uga dapat diselesaikan dengan bantuan $abel inomial, sehingga-

a. probabilitas tepat 2 orang yang sembuh diperoleh

P (X

= x) =

P( X ≤ x) − P( X ≤ x − 1)

p X ( x) = F X ( x) − F X ( x − 1) ; x = 10 , n = 20 , p

P (X

= 10) =

=

0,5

P( X ≤ 10) − P(X ≤ 9) = ... ? n

p

% &&

'&('

&&

*'

'

+

*'

,



*'

.

/

'&0)).

*'

)'

/

'&(11)

*'

-

*'

*'

)&''

P( X = 10) = P( X ≤ 10) − P( X ≤ 9) = 0,5881 − 0,4119 = 0,1762 . b. probabilitas maksimal / orang yang sembuh diperoleh

P( X ≤ x) = F X ( x) ; x = 2 , n = 20 , p = 0,5 P( X ≤ 2) = ... ? n

p

% &&

'&('

*'

'

+

*'

,



*'

*

*'

-

*'

*'

/

&&

)&''

'&'''*

P( X ≤ 2) = 0,0002 . Sebagai tambahan, nilai mean dan $arian dari $ariabel acak diskrit & berdistribusi Binomial !/# / masing%masing adalah μ 8 np dan σ 8 npq.

Distribusi Multinomial. Distribusi 2ultinomial merupakan distribusi probabilitas dari banyaknya outcome3ke)adian

sukses pada $ariabel acak diskrit & 8 <& , & /, =, & k> yang berisi ke)adian : , : /, =, :k dengan probabilitas sukses p, p/, …, pk. ungsi kepadatan probabilitas * PDF+ dari $ariabel acak & Multinomial adalah

www.statsdata.my.id

Page 5



X ~ Mult(n, p1 , p 2 ,..., p k ) ; x = { x1 , x 2 ,..., xk } p X ( x) = P( X x1

= x) =

+ x 2 + ... + x k =

n! x1!. x 2 !... x k !

n ; p1

x

x

x

p1 1 . p 2 2 ... p k k

+ p 2 + ... + p k = 1

Sebagai Contoh, seorang manager kedai kopi menemukan bah7a probabilitas pengu)ung

membeli 2, , /, atau " cangkir kopi masing%masing adalah 2," , 2,6 , 2,6 , dan 2,26 . 1ika ada ? pengu)ung yang masuk kedai, maka tentukan probabilitas bah7a / pengu)ung akan memesan minuman lain, 4 pengu)ung akan memesan  cangkir kopi,  pengu)ung akan memesan / cangkir, dan  pengu)ung akan memesan " cangkir kopi. Misalkan & adalah banyaknya pengu)ung yang memesan cangkir kopi dengan x  8 /, x / 8 4, x " 8 , dan x 4 8 ; dengan p 8 2," , p/ 8 2,6 , p" 8 2,6 , p4 8 2,26 , dan n 8 ? , maka

probabilitas bah7a / pengu)ung akan memesan minuman lain, 4 pengu)ung akan memesan  cangkir kopi,  pengu)ung akan memesan / cangkir, dan  pengu)ung akan memesan " cangkir kopi adalah p X ( x) = P( X x

= x ) =

n!

x

x1!. x2 !... xk !

x

x

p1 1 . p 2 2 ... p k k

= { x1 , x 2 , x3 , x 4 } = {2,4,1,1}

p X ( x) = P( X

= x ) =

8! 2!.4!.1!.1!

(0,3) 2 .(0,5) 4 .(0,15)1 .(0,05)1

=

0,0354 .

Sebagai tambahan, distribusi Multinomial sama dengan distribusi Binomial, tetapi distribusi

Multinomial memiliki keuntungan lebih untuk menghitung probabilitas ketika ada lebih dari dua outcome3ke)adian untuk setiap percobaan didalam eksperimen. Distribusi Multinomial merupakan suatu distribusi umum, sedangkan distribusi Binomial adalah suatu kasus khusus !#

dari distribusi Multinomial .

Distribusi 3ipergeometrik& Distribusi

3ipergeometrik

merupakan

distribusi

probabilitas

dari

banyaknya

outcome3ke)adian sukses pada populasi sebesar N yang memiliki m elemen dengan ke)adian

sukses dan N 9 m elemen lainnya dengan ke)adian gagal yang mana percobaan ini dilakukan pada n sampel. ungsi kepadatan probabilitas * PDF+ dari $ariabel acak & Hipergeometrik dirumuskan

www.statsdata.my.id

Page 6



X ~ Hyp( N , n, m) m C xm .C N n − x −

p X ( x) = P( X

= x) =

C N n

; x = 0,..., min{n, m} .

edangkan, fungsi kepadatan kumulatif * CDF+ diskrit dari $ariabel acak & Hipergeometrik adalah x

F X ( x) = P( X ≤ x) =

∑ p

x

X ( k ) =

k =0

∑

−m C k m .C N n− k

k =0

C N n

.

Sebagai contoh, suatu panitia pemilihan dibentuk berdasarkan @ orang yang diambil secara

acak dari 6 orang yang mendaftar. :nam puluh persen diantaranya adalah 7anita. 1ika & $ariabel acak yang menyatakan banyaknya 7anita yang terpilih, maka dihitung probabilitas tepat / 7anita dalam panitia tersebut. Misalkan & adalah banyaknya 7anita yang terpilih dalam kepanitiaan, maka x 8 /, n 8 @ , N 8 6, dan m 8 @2 dari N 8 *2,@2+*6+ 8  , sehingga probabilitas tepat / 7anita dalam

panitia tersebut adalah P( X

P( X

= x ) =

=

p X ( x ) =

2) = p X ( 2)

=

−m C xm .C N n − x

C N n C 29 .C 615−−29 C 615

=

C 29 .C 46 C 615

=

(36).(15) 5005

=

0,1079 .

Sebagai tambahan, nilai mean dan $arian dari $ariabel acak diskrit & berdistribusi

Hipergeometrik masing%masing adalah

!/#

µ = n

m N

dan

σ 2

=

m  m  1 −  . N − 1 N  N 

N − n

n

Cetika n3N  2,26 distribusi Hipergeometrik dapat didekati dengan distribusi Binomial dengan parameter n dan p 8 m3N. elan)utnya, nilai mean dan $arian dari $ariabel acak /

diskrit & berdistribusi Hipergeometrik masing%masing adalah μ 8 np dan σ 8 npq .

www.statsdata.my.id

Page 7



Distribusi Poisson. Distribusi Poisson merupakan distribusi probabilitas dari banyaknya outcome3ke)adian !/#

sukses & yang ter)adi selama inter$al 7aktu atau area tertentu . Enter$al pengamatan ini dapat berupa 7aktu atau ruang /D3"D, contohnya•

7aktu *berapa banyak pelanggan mengun)ungi kantor pos dalam  hari+,

•

ruang /D *menghitung banyaknya cacat pada cat mobil A+,

•

ruang "D *menghitung banyaknya ikan di satu kilometer kubik laut+, dll. !/#

Karakteristik percobaan Poisson diberikan sebagai berikut -

. Banyaknya outcome3ke)adian ter)adi dalam inter$al 7aktu atau area tertentu yang independen. /. Probabilitas bah7a suatu outcome3ke)adian tunggal akan ter)adi selama inter$al 7aktu yang pendek atau area yang kecil secara proporsional dan tidak tergantung pada banyaknya outcome3ke)adian pada inter$al 7aktu atau area yang lain. ". Probabilitas bah7a lebih dari satu outcome3ke)adian akan ter)adi pada inter$al 7aktu yang pendek atau area yang kecil dapat diabaikan. 5ilai mean banyaknya outcome3ke)adian dihitung dari μ 8 λ t dengan λ adalah dera)at ter)adinya outcome3ke)adian dan t adalah ketentuan 7aktu, )arak, area, atau $olume yang men)adi perhatian. ungsi kepadatan probabilitas * PDF+ dari $ariabel acak & Poisson dirumuskan

X ~ Poi( µ ) ; µ = λ t p X ( x) = P( X

= x) =

e − µ µ x x!

; x = 0,1,2,...

edangkan, fungsi kepadatan kumulatif * CDF+ dari $ariabel acak & Poisson adalah x

F X ( x) = P( X ≤ x) =

∑ p k =0

x

F X ( x) =

∑

− µ

k

e µ

k = 0

X (k )

.

k !

Sebagai contoh , mean banyaknya panggilan ke call center dalam dua hari adalah @

panggilan. Dihitung probabilitas bah7aa. Minimal ada dua panggilan dalam dua hari. b. Ada tu)uh panggilan dalam empat hari. c. Maksimum ada satu panggilan dalam satu hari.

www.statsdata.my.id

Page 8



Misalkan & adalah banyaknya panggilan ke call center dan μ adalah mean banyaknya panggilan ke call center dalam dua hari * t 8 /+, maka μ sama dengan @, sehinggaa. 1ika mean banyaknya panggilan ke call center diberikan dalam dua hari, maka Probabilitas minimal ada dua panggilan dalam dua hari akan bernilai

Diketahui mean banyaknya panggilan ke call center dalam dua hari

µ = λ t = 6 , sehingga P(X ≥ x) = 1 − P(X < x) = 1 − P(X ≤ x − 1) x −1

P(X ≥ x) = 1 − F X ( x − 1) = 1 −

∑

e − µ µ k

k =0

k !

P(X ≥ 2) = 1 − P(X < 2) = 1 − P(X ≤ 1) P(X ≥ 2) = 1 − F X (1) 1

P(X ≥ 2) = 1 −

∑

e −6 6 k

k =0

k !

 e −6 6 0 = 1−   0! 

+

e −6 61 

 = 1 − 0,0174 = 0,9826 . 1! 

b. 1ika mean banyaknya panggilan ke call center diberikan dalam dua hari, maka Probabilitas ada tu)uh panggilan dalam empat hari akan bernilai


µ = λ t , maka λ = µ / t = 6 / 2 = 3 Mean banyaknya panggilan ke call center dalam empat hari

µ = λ t = (3)(4) = 12 , sehingga P(X = x) = f ( x) = P(X = 7) =

e −12127

7!

e − µ µ x x! =

0,0437 .

c. 1ika mean banyaknya panggilan ke call center diberikan dalam dua hari, maka Probilitas maksimum ada satu panggilan dalam satu hari akan bernilai

www.statsdata.my.id

Page 9




µ = λ t , maka λ = µ / t = 6 / 2 = 3 Mean banyaknya panggilan ke call center dalam satu hari

µ = λ t = (3)(1) = 3 , sehingga x

∑

P(X ≤ x) = f ( x) =

e − µ µ k k !

k −=0

1

P(X ≤ 1) =

∑

e 3 3k −

k −=0

P(X ≤ 1) =

e −3 30

0!

k ! +

e −3 31

1!

=

0,1991 .

Contoh soal ini )uga dapat diselesaikan dengan bantuan $abel Poisson, sehingga-

a. Probabilitas minimal ada dua panggilan dalam dua hari.


µ = λ t = 6 , sehingga P(X ≥ x) = 1 − P(X < x) = 1 − P(X ≤ x − 1) P(X ≥ 2) = 1 − P(X < 2) = 1 − P(X ≤ 1) P(X ≥ 2) = 1 − P(X ≤ 1) = ... ? 4 %

5

6&''

' )

5

 /

'&')70

,

P( X ≥ 2) = 1 − P( X ≤ 1) = 1 − 0,0174 = 0,9826 . b. Probabilitas ada tu)uh panggilan dalam empat hari .


µ = λ t , maka λ = µ / t = 6 / 2 = 3 Mean banyaknya panggilan ke call center dalam empat hari

µ = λ t = (3)(4) = 12 , sehingga P(X = x) = P(X ≤ x) − P(X ≤ x − 1) P(X = 7) = P(X ≤ 7) − P(X ≤ 6) = ... ? 4 %

5

,

)*&''

5



6

/

'&'0(1

7

/

'&'1.(

,

www.statsdata.my.id

Page 10



P (X

=

7 ) = P( X ≤ 7 ) − P ( X

≤

6) = 0,0895 − 0,0458 = 0,0437 .

c. Probilitas maksimum ada satu panggilan dalam satu hari.


µ = λ t , maka λ = µ / t = 6 / 2 = 3 Mean banyaknya panggilan ke call center dalam satu hari

µ = λ t = (3)(1) = 3 , sehingga P(X ≤ x) = f ( x) P(X ≤ 1) = ... ? 4 %

5

8&''

' )

5

 /

'&)..)

,

P( X ≤ 1) = 0,1991 . Sebagai tambahan, distribusi Poisson dapat diterapkan pada distribusi Binomial ketika nilai !/#

n sangat besar * n mendekati infinity + dan p sangat kecil * p mendekati 2+ , dimana

parameter

μ 8 np. elan)utnya, nilai mean dan $arian dari $ariabel acak diskrit & /

berdistribusi Poisson adalah sama, yaitu μ 8 σ 8 λ t .

9EFE9E:S;

!# Bluman, A.F., */2/+, Elementary Statistics: A Step y Step Approac!" Ei#!t! Edition , 5e7 'ork- McFra7%Hill. !/# Galpole, R.:., Myers, R.H., Myers, .., and 'e, C., */2/+, $robability and Statistics for En#ineers and Scientists, Nint! Edition, Boston- Pearson :ducation.

!"# efeb$re, M., */22@+, Applied $robability and Statistics, 5e7 'ork- pringer.

www.statsdata.my.id

Page 11

Distribusi Variabel Acak Diskrit

Recommend Documents