DISTRIBUSI VARIABEL ACAK
Pengertian variabel acak Fungsi kepadatan peluang Fungsi distribusi Variabel acak dalam 2 dimensi atau lebih Fungsi kepadatan peluang bersama Distribusi Marginal Kebebasan Stokastik Fungsi distribusi 2 variabel acak
Pengertian Variabel Acak •
Pengertian dalam statistika elementer : Variabel acak adalah nilai yang berubah-ubah dan masing-masing mempunyai peluang sehingga dapat dinyatakan dalam suatu distribusi peluang.
Definisi:
Variabel acak adalah suatu fungsi dari ruang sampel ( S ) ke dalam himpunan bilangan nyata real ( R )
Contoh: Pada tindakan pelemparan mata uang sebanyak 3x,maka ruang sampelnya adalah: S =
{MMM, MMB, MBM, MBB, BMM, BMB,
BBM, BBB} Jika X adalah banyaknya sisi M yang muncul dari 3x lemparan, maka fungsi dari S ke R adalah:
MMM MMB MBM BMM MBB BMB BBM BBB
P(X) X
Variabel acak digunakan untuk mendefinisikan anggota ruang sampel sebagai bilangan. Dengan demikian nilai-nilai suatu variabel acak dapat mencerminkan kejadian tertentu dengan peluang tertentu. Variabel acak dapat dinyatakan sebagai suatu distribusi peluang sebagai berikut : X
P(X=x)
0 1 2 3
1/8 3/8 3/8 1/8
∑
1
Peluang untuk variabel acak dinyatakan dengan: P( X x ) nilai
variabel
Contoh: 1. Berapa peluang munculnya muka paling sedikit 2 pada pelemparan mata uang 3x? Jawab: P( X 2) P( X 2) P( X 3)
3 1
8 8
4 8
2. Berapa peluang munculnya muka paling banyak 3 pada pelemparan mata uang 3x? Jawab: P( X 3) P( X 0) P( X 1) P( X 2) P( X 3) 1
3. Jika Y=hasil kali dari munculnya muka dan belakang, dengan M=1 dan B=0 dari tindakan pelemparan mata uang 3x, buatlah fungsi dari ruang sampel S ke bilangan real-nya. 4. Misalkan satu set katu bridge digunakan untuk menentukan distribusi peluang, dimana: X=4, jika kartu as yang muncul X=3, jika kartu king yang muncul X=2, jika kartu queen yang muncul X=1, jika kartu jack yang muncul X=0, jika kartu lain yang muncul Tentukan distribusi peluangnya.
Fungsi kepadatan peluang (fkp) Distribusi peluang suatu variabel acak dapat dinyatakan dengan bentuk lain yaitu dengan fungsi kepadatan peluang.
Fungsi kepadatan peluang terdiri atas 2 jenis yang dibedakan oleh jenis variabel yang dilibatkan, apakah variabel diskrit atau variabel kontinu. (jelaskan pengertian dari kedua variabel tersebut)
•
FKP variabel acak diskrit (fungsi peluang):
Syarat: 1. P( X 2.
x) 0 p( x) 0 p ( x ) 1
xS
3. Jika A S
P ( A) P ( X A)
p ( A) A
•
FKP variabel acak kontinu (fungsi densitas) Syarat:
1. P( X 2.
x) 0 f ( x) 0
f ( x)dx 1
3. Jika A S dimana A { x; a x b} b
P( A) P( X A)
f ( x)dx a
Contoh 1. Misalkan X adalah variabel acak diskrit dari ruang sampel S {x; x 0,1, 2,3, 4} dengan fungsi peluang sbb:
4!
p( x)
1
( ) , x S x !(4 x)! 2 Jika A { x; x 0,1} maka
P ( X A) P( A)
4
p(x) A
P( A)
4
1
4
1
5
( ) ( ) 0!4! 2 1!3! 2 16 4
4
2. Misalkan X adalah variabel acak diskrit dengan ruang sampel S {x; x 0,1, 2,3,...} dengan fungsi peluang :
1
p( x) ( ) , x S 2 jika A { x; x 1,3,5, 7,...} x
P ( X A) P( A)
p(x) A
P( A)
1 2
1
1
( ) ( ) ... 2
3
3
5
2 3
3. Misalkan X adalah variabel acak kontinu dengan ruang sampel S {x;0 x 1} dan fungsi densitas : 2 f ( x) cx , x S
P( X A) P( A)
A { x;
f ( x)dx A
1
c
cx dx x | 2
3
0.5
3 1 0.5
c
1
7c
3
8
24
(1 )
1 2
1} xjika
•
Berapakah c agar f ( x) merupakan suatu fungsi kepadatang peluang? (Ingat syarat fkp kontinu)
P( S )
f ( x)dx 1 S 1
cx dx 1 c 3 2
0
Distribusi peluang→fkp Distibusi peluang juga bisa dinyatakan dalam fkp
Contoh : 1. Pada pelemparan mata uang setimbang 3x, maka :
•
•
•
Untuk kasus Y adalah hasil kali pada 3x lemparan, maka
Tentukan fkp untuk no 4 (pengambilan kartu bridge). Jika mata uang yang dilempar tidak 2 setimbang, misalkan P ( M ) dan P( B) 1 3 3 tentukan fungsi peluangnya
Latihan 1. Tentukan bilangan konstanta c sehingga fungsi di bawah ini memenuhi suatu fkp dari variabel acak X . 2 x c , x 1, 2, 3 a. f( x) 3 0, x lainnya x
cxe , 0 x b. f( x) 0, x lainnya
2. Jika
x , x 1, 2, 3, 4, 5 f( x) 15 0, x lainnya adalah fungsi peluang dari variabel acak X , tentukan: a. P( X 1 atau2) b. P(
1 2
X
5 2
c. P(1 X 2)
)
