Teorema fundamental del Cálculo 1. Historia El teorema fundamental del cálculo se refiere a la diferenciación e integración, demostrando que estas dos operaciones son esencialmente inversas la una de la otra. Antes del descubrimiento de este teorema, no se reconoció que estas dos operac operacion iones es estab estaban an relaci relaciona onadas das.. Los antigu antiguos os matemá matemátic ticos os griego griegos s sabían cómo calcular el área a través de los infinitesimales, infinitesimales, una operación que ahora llamaríamos integración. Los orígenes de la diferenciación son también anteriores al teorema fundamental del cálculo en cientos de años por e!emplo, en el siglo "#$ las nociones de continuidad de de funciones % de movimiento eran estudi estudiad adas as por los calculadores de &'ford % &'ford % otros estudiosos. La relevancia histórica del teorema fundamental del cálculo no es la capacidad de calcular estas operaciones, sino la constatación de que estas dos operaciones distintas en apariencia (cálculo de áreas geométricas % cálculo de velocidades) estaban finalmente en estrecha relación. La primer primera a decla declarac ración ión public publicada ada % prueba prueba de una versió versión n restri restringi ngida da del del teor teorem ema a fund fundam amen enta tall fue fue hech hecha a por por *ame *ames s +reg +regor or% % (-/0-12). #saac 3arro4 ((-50-11) demostró una versión más generali6a i6ada del teorem teorema, a, mientr mientras as que el estudi estudiant ante e de 3arro4 3arro4 #saac #saac 7e4ton 7e4ton (-890191) (-890191) comp comple letó tó el desarr sarrol ollo lo de la teor teoría ía mate matemá máti tic ca conce oncern rnid ida. a. +ottfried Leibni6 (-8 (-8-0 -01 1-)) sist sistem emat ati6 i6ó ó el cono conoci cimi mien ento to en un cálcu álculo lo de las las cantidades infinitesimales e introdu!o la notación utili6ada en la actualidad.
2. Defin efinic ició ión n
El teor teorem ema a fund fundam amen enta tall del del cálc cálcul ulo o cons consis iste te en la afir afirma maci ción ón de que que la derivación e derivación e integración de integración de una función son función son operaciones inversas. La relación entre estos dos procesos es, de alg:n modo, análoga a la que ha% entre ;elevar al cuadrado; % la ;raí6 cuadrada;.
(') >(') ?una integ integral ral inde indefinida finida@@ es continua. 7os podemos preguntar qué ocurre cuando la función original f es
continua. esulta que > es diferenciable (% que su derivada es especialmente simple). El Beorema >undamental del Cálculo proporciona un método abreviado para calcular integrales definidas, sin necesidad de tener que calcular los límites de las sumas de iemann. Conceptualmente, dicho teorema unifica los estudios de la derivación e integración, mostrando que ambos procesos son mutuamente inversos.
3. Teoremas 3.1 Primer Teorema Fundamental del Cálculo Si f : [ a , b ] → R integrable escontinua en X 0 ∈ [ a ,b ] ,entonces : es derivable en X 0 y G ( X 0 )= f ( X 0 ) '
En notación de Leibnit6 podemos e'presar el resultado de este teorema como que de una manera más clara muestra la relación, entre la =erivada % la #ntegral, como operaciones inversas
d dx
x
∫ f ( t ) dt = f ( x ) a
3.1.1 Demostración a. Primer caso: Sea h >
Ó bien
d dx
∫ f =f
X 0 + h
G ( X 0 + h ) −G ( X 0 ) =
X 0
X 0+ h
∫ f ( t ) dt −∫ f ( t ) dt = ∫ a
a
f ( t ) dt
X o
Dor el teorema del valor medio para integrales en el intervalo ?"5, "5h@, tenemos queF X 0 + h
∫ f ( t ) dt =f ( X ) ∙ h h
X 0
Dara alg:n valor "h entre "5 % "5h % en consecuenciaF
G ( X 0 + h ) −G ( X 0 ) =f ( X h ) ∙ h
Dara calcular la derivada de + en "5, calculamos el siguiente límiteF
'
G ( X 0 )= lim
G ( X 0+ h )−G ( X 0 )
h →0
h
= lim f ( X h )= f ( X ) 0
h →0
Dero cuando h se apro'ima a cero el punto " h se apro'ima a "5 % en consecuencia
G ( X 0 )= f ( X 0) '
=e tal manera %a está demostrado
Se!undo caso: Sea h "
X 0
∫
X 0 + h
G ( X 0 ) −G ( X 0 + h ) = f ( t ) dt −
X 0
∫ f ( t ) dt = ∫
a
a
f ( t ) dt
X o+ h
Dor el teorema del valor medio para integrales en el intervalo ?" 5h, "5@, de longitud (Gh), tenemos queF
X 0
∫ f ( t ) dt =f ( X ) ∙ (−h ) h
X 0 + h
Dara alg:n valor "h entre "5 h % "5 % en consecuencia
G ( X 0 ) −G ( X 0 + h ) =f ( X h ) ∙ (−h )
5, bien multiplicando por G en ambos ladosF
G ( X 0 + h ) −G ( X 0 ) =f ( X h ) ∙ h
H como en el caso anterior para calcular la derivada de + en " 5, calculamos el siguiente límiteF
'
G ( X 0 )= lim
G ( X 0+ h )−G ( X 0 )
h →0
h
= lim f ( X h )= f ( X ) 0
h →0
=e tal manera %a está demostrado
#. Se!undo Teorema Fundamental del Cálculo El segundo teorema fundamental del cálculo integral , es una propiedad de las funciones continuas que permite calcular fácilmente el valor de la integral definida a partir de cualquiera de las primitivas de la función.
∫ f ( t ) dt = P ( b )− P ( a ) a
D$%&ST'(C)&*
∫ f (t ) dt
F ( x )=
a
Entonces, por el Drimer Beorema del CálculoF
F ( x )=f ( x )= P ' ( x ) '
E'iste una constante C tal que
F ( x )= P ( x ) + C
Dodemos calcular C pues
a
∫
F ( a )= f ( t ) dt = 0= P ( a ) + C a
Entonces C es
C =− P ( a )
Dodemos escribir F ( x )= P ( x ) − P ( a )
Esta e'presión es verdadera para 'Ib, % %a hemos obtenido el resultado buscadoF
b
∫
F ( b )= f ( t ) dt = P ( b )− P (a ) a
Este teorema nos dice que podemos calcular el valor de una integral definida simplemente restando, si conocemos una primitiva (antiderivada) >. El problema de calcular una integral se transfiere a otro problema, el de calcular una primitiva > de f. Dodemos leer cada fórmula de derivada al revés % nos dará un e!emplo de primitiva de una función f % esto nos dará una fórmula para integrar esa función.
)*T$+'(,$S )%P'&P)(S
1. Definición Llamaremos integrales impropias a las integrales de funciones sobre intervalos ilimitados, o a las integrales de funciones que no están acotadas en un intervalo.
2. Ti-os de inte!rales im-ro-ias
2.1)nte!rales im-ro-ias de -rimera es-ecie
Las integrales de este tipo son de la forma
+∞
+∞
b
−∞
a
−∞
∫ f , ∫ f , ∫ f
∫ f a
de la función f. Entonces,
+∞
X 1
∫ f = lim+ ∫ f = lim+
1 =
X 1 → ∞ a
a
X 1 → ∞
( F ( X )− F ( a ))❑❑ 1
a. Definición
+∞
.
∫ f a
es coner!ente si, % solo si, f es iemann integrable
para todo intervalo ?a,'@, e'iste el límite X 1
lim
∫ f
X 1 →+ ∞ a
H es un n:mero real En este caso diremos que la función f es iemann integrable en el intervalo ?a, ).
+∞
9.
∫ f a
es dier!ente si, % solo si, f es iemann integrable
para todo intervalo ?a,'@, e'iste el límite
X 1
lim
∫ f
X 1 →+ ∞ a
H no es finito +∞
.
∫ f a
es oscilante en el caso en que f no sea iemann
integrable en un intervalo ?a,'@, o no e'ista el limite X 1
lim
∫ f
X 1 →+ ∞ a
#. &#seración La idea que sub%ace tras las integrales impropias de primera especie es integrar hasta un punto " arbitrario %, después, hacer tender " al infinito.
$/em-lo: =ado a N 5, estudiaremos el carácter de la integral impropia de primera especie
Benemos que, 1
.
1− s
! , # es divergente.
c. &#seración
7ótese que en las condiciones del teorema anterior también se tiene que
.
$/em-lo:
2.2 )nte!rales im-ro-ias de se!unda es-ecie: En este caso, nos encontraremos con funciones definidas en intervalos tales que tienen un comportamiento asintótico en alguno de sus e'tremos. En el caso de que la función presentase un comportamiento similar en otros puntos del dominio (por e!emplo, un intervalo de e'tremos a, b), % estos fuesen ", P P P, "n, aplicando las propiedades de la integral, tenemos que
b
X 1
a
a
X i +1
b
X i
X n
∫ f =∫ f +" + ∫ f +" +∫ f
Con lo que podemos reducir el estudio al caso donde sólo tengamos asíntotas en los e'tremos del intervalo. Es más, podemos pensar que la asíntota sólo está en un e'tremo del intervalo %a que para todo c ∈ (a, b), se tiene que b
c
b
a
a
c
∫ f =∫ f +∫ f
Dara este caso, si e'istiese una primitiva > de f, entonces,
1.
X 1
X 1 →b −¿
∫ f ( x ) dx =
lim
X 1→ b−¿( F ( X 1 )− F ( a))❑
a
❑
f ( x ) dx = lim ¿ ¿
b
∫¿ a
9.
∫ f ( x )dx =
X 1 →a + ¿
lim
X 1 → a+¿( F ( b )− F ( X 1 ) )❑
a
❑
f ( x ) dx = lim ¿ b
¿
∫¿ a
Dor lo tanto, podemos afirmar que la idea básica que inspira el cálculo de las integrales impropias de segunda especie es integrar hasta un punto " arbitrario en el interior de ?a, b) %, después, hacer tender " al e'tremo de integración donde la función sea no acotada.
a. Definición x → b −¿ f ( x )=∞
lim ¿
¿
% que no presenta más
asíntotas verticales en ?a, b). EntoncesF b
1.
∫ f a
es coner!ente0 si f es iemann
integrable en ?a, '@ para todo ' ∈ ?a, b), e'iste el límite X
X 1 →b −¿
∫ f ( x ) dx a
lim ¿
¿
H es un n:mero real. En este caso se dirá que la función f es iemann integrable en ?a, b).
b
∫ f
2.
a
es dier!ente0 , si f es iemann
integrable en ?a, '@ para todo ' ∈ ?a, b), e'iste el límite X
X 1 →b −¿
∫ f ( x ) dx a
¿
lim ¿
H no es finito.
b
.
∫ f
es oscilante en el caso en que f no sea
a
iemann integrable en un intervalo ?a, '@, con ' ∈ ?a, b), o no e'ista el límite X
X 1 →b −¿
∫ f ( x ) dx a
¿
lim ¿
=e la misma forma podríamos definir la integralidad cuando la asíntota está en el e'tremo a del intervalo de definición de la función (en este caso, fF (a, b@ M x → a +¿ f ( x )= ∞
es una función tal que
lim ¿
¿
% no presenta más asíntotas
verticales en (a, b@).
b
1.
∫ f a
es coner!ente0 si f es iemann
integrable en ?',b@ para todo ' ∈ (a, b@, e'iste el límite b
∫ f ( x )dx
X 1 →a +¿
x
lim ¿
¿
H es un n:mero real. En este caso se dirá que la función f es iemann integrable en (a, b@.
b
2.
∫ f a
es dier!ente0 , si f es iemann
integrable en ?',b@ para todo ' ∈ (a, b@, e'iste el límite b
∫ f ( x )dx
X 1 →a +¿
x
lim ¿
¿
H no es finito. b
.
∫ f a
es oscilante en el caso en que f no sea
iemann integrable en un intervalo ?',b@, con ' ∈ (a, b@, o no e'ista el límite
b
∫ f ( x )dx
X 1 →a +¿
x
lim ¿
¿
$/em-lo $eamos un e!emplo en el cual aparecen unas funciones que posteriormente servirán como funciones de referencia para estudiar la convergencia, o no, de numerosas integrales impropias de segunda especie. Estas funciones son de la forma
1. En el caso de no acotación en el e'tremo superior de integración
2.
En el caso de no acotación en el e'tremo inferior de integración
i#lio!rafa $, T$&'$%( F*D(%$*T(, D$, C4,C,& (nálisis %atemático. =isponible en F httpFRRed9.4ebcindario.comRCalculo#ntegralRteoremasSfundamentalesSd elScalculo.htmTprimer teorema
Calculo )nte!ral. =isponible enF httpFRR444.um.esRdocenciaRplucasRmanualesRmatRmat.pdf •
$l teorema Fundamental del Cálculo. =isponible enF
httpFRR444.edu.'unta.esRcentrosRiesasangrinaRaulavirtualRfile.phpR221R#nte gralsSiSteoremaSfonamentalSdelScalcul.pdf
Teorema Fundamental del Cálculo. =isponible enF httpFRR444.dma.fi.upm.esRrecursosRaplicacionesRcalculoSinfinitesimalR4eb Rintegracion9RhtmlRtfundamental.html •
%atemáticas 5isuales 6el teorema fundamental del cálculo 1027. =isponible en F httpFRR444.matematicasvisuales.comRhtmlRanalisisRftcRftc.html
)*T$+'(,$S )%P'&P)(S •
)nte!rales )m-ro-ias. =isponible enF http://www2.uca.es/facultad/innova-empresariales/bego/matonline/intimpropias.html
•
)nte!rales )m-ro-ias. =isponible enF httpFRR444.dma.uvigo.esRUaureaR#mpropias.pdf
•
Ca-tulo 8)) )nte!rales )m-ro-ias .=isponible enFhttpFRR444.famaf.proed.unc.edu.arRpluginfile.phpR2-2RmodSresourc eRcontentR9RE!erciciosSdeSintegralesSimpropias.pdf
