Acerca del origen y evolución del Teorema Fundamental del Cálculo Juan Carlos Ponce Campuzano
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Índice 1. Introducción
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1.1. 1.1. Versi ersión ón prel prelim imiinar nar del del Teore eorema ma Funda undame menntal tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. 1.2. La versi rsión geom eométri trica del TFC TFC de Isa Isaac Barro rrow . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Contribuciones de Leibniz y Newton en el desarrollo del TFC
2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.5.
Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La versión de Leibniz del TFC . . . . . . . . . . . . Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La versión de Newton del TFC . . . . . . . . . . . Dife Difere renc ncia iaci ción ón e inte integr grac ació iónn como como proc proces esos os inv inverso ersoss
4 4 7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Hacia la formalización del Teorema Fundamental
7 7 10 10 14 14
3.1. Demostración Demostración analítica analítica del Teorema Teorema Fundamen Fundamental tal para funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Versión general del Teorema Teorema Fundame Fundamental ntal para funciones funciones Riemann integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16 19
Ap éndice
25
A. Tabla cronológica
25
B. Traducciones al español de las demostraciones del Teorema Fundamental del Cálculo
27
B.1. B.2. B.3. B.4. B.5.
Int Introducción . . . . . . . . Demostración de Barrow . Demostración de Leibniz . Demostración de Newton . Demostración de Cauchy .
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Referencias
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1. Intr Introdu oducc cció ión n El verdadero método para pronosticar el futuro de las matemáticas está basado en el estudio de su historia y de su estado actual. Henri Poincaré
El Cálculo es considerado, junto con la Geometría, una de las creaciones más importantes dentro de las matemáticas. Fue creado, básicamente, para tratar cuatro principales problemas planteados durante los siglos XV al XVII, algunos de los cuales ya habían sido abordados por los griegos en la antigüedad (Kline, 1972, p.342). El primero de estos problemas era, dada la fórmula para la distancia de un cuerpo como función del tiempo, encontrar la velocidad y aceleración instantanea; inversamente, dada la fórmula para la aceleración como una función del tiempo, encontrar la velocidad y la distancia recorrida. En el segundo problema se buscaba la tangente a una curva dada en un punto dado ( problema de las tangentes ) y en el tercero los valores máximos y mínimos de una función. Por último, el cuarto problema era encontrar el área y el volumen acotados por curvas y superficies, respectivamente ( problema de las cuadraturas ). Los problemas antes mencionados fueron abordados, generalmente, como casos aislados por muchos científicos y matemáticos entre los siglos XV y XVII. Todas sus contribuciones fueron la base para el trabajo que posteriormente desarrollarían, de manera independiente, dos grandes personajes: el físico, astrónomo y matemático inglés Sir Isaac Newton (16421727) y el abogado, filósofo y matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Newton y Leibniz abordaron los cuatro principales problemas pero basados en dos conceptos generales (conocidos actualmente como Derivada e Integral ) (Grabiner, 1983, p. 199). Su mayor contribución dentro del Cálculo fue, el hecho de haber reconocido con claridad las relaciones de reciprocidad entre los problemas de cuadraturas y de tangentes . Es por esta razón que, el Teorema Fundamental del Cálculo (TFC), suele atribuirse a estos dos grandes matemáticos. Sin embargo, ellos no fueron los primeros ni los únicos en percatarse de dichas relaciones de reciprocidad, tampoco enunciaron enunciaron ni establecieron este importante teorema tal y como lo conocemos actualmente. En realidad el TFC actual es el producto de una larga evolución de ideas cuyo origen se remonta hacia finales de la edad media. En el presente artículo, hacemos un esbozo de diferentes demostraciones históricas del Teorema Fundamental desde su origen en el siglo XVII, algunas de ellas dentro de un contexto geométrico y dinámico, otras con la formalización del siglo XIX y finalmente su versión analítica tal y como aparece en algunos libros de Cálculo del siglo XX. 3
1.1.
Versión prelim preliminar inar del del Teorem Teorema a Fundam Fundamen ental tal
El Cálculo Diferencial e Integral, en términos generales, es la respuesta a dos problemas clásicos: la determinación de tangentes y el cálculo de las cuadraturas (áreas y volúmenes). A finales de la edad media, en algunas investigaciones sobre el movimiento, se comenzó a observar que ambos problemas estaban relacionados mutuamente entre sí, pues resultaba que: El problema general de cuadraturas se podía reducir al problema de encontrar una línea (curva) con una regla de tangencia, y El problema del trazo de tangentes se podía reducir al problema de cuadraturas. Según C. H. Edwards (1979), las relaciones de reciprocidad entre cuadraturas y tangentes surgieron de manera intuitiva a partir de las investigaciones medievales acerca del movimiento. En esas investigaciones, el movimiento de un punto a lo largo de la línea recta con velocidad variable se representaba por medio de una gráfica de su velocidad contra tiempo. En este contexto: [...] las consideraciones de indivisibles indicaban que la distancia total recorrida por el punto sería igual al área bajo la curva de velocidad-tiempo, porque la distancia recorrida durante un elemento infinitesimal de tiempo sería igual al producto de este elemento de tiempo y la velocidad instantánea instantánea (Edwards, (Edwards, 1979, p.138). Son varios los historiadores del cálculo que coinciden coinciden con C. H. Edwards, Edwards, incluso algunos sugieren que en los trabajos de Nicole Oresme (1323-1382), Galileo Galilei (1564-1642) y Evangelista Torricelli (1608-1647) es posible encontrar evidencia de que las formulaciones de reciprocidad entre cuadraturas y tangentes ya habían sido observadas (ver por ejemplo González, 1992, p. 211 y Collete, 2006a, p. 48). Sin embargo, en esa época, no había sido apreciado su significado ni mucho menos se contaba con la herramienta analítica para potencializar su uso. 1.2. 1.2.
La vers versió ión n geomét geométri rica ca del TFC TFC de Isaac Isaac Barro Barrow
Entre los científicos que abordaron el problema del trazo de tangentes a curvas destaca el matemático inglés Isaac Barrow (1630-1677) quien, en su obra Lectiones Geometricae (Lecciones Geométricas) publicada en 1669, estableció métodos para encontrar tangentes a curvas. En particular, su obra muestra evidencia de que él había reconocido relaciones de reciprocidad entre los problemas de cuadraturas y de tangentes, pero sobre todo, fue uno 4
de los primeros en dar una demostración (geométrica) de tal hecho. A continuación exponemos brevemente las ideas generales de Barrow desde un punto de vista de la matemática moderna1 .
Figura 1: Consideremos los ejes coordenados x, y. Sea f ( f (x) una función creciente y positiva definida en el segmento AB , como se muestra muestra en la Figura 1. Ahora sea A(x) una función que cumple con lo siguiente: siguiente: Si tomamos tomamos D un punto cualquiera sobre A(x) y trazamos la perpendicular que corta al eje x en el punto X 1 = (x1 , 0), entonces el área entre la curva f ( segmento f (x) y el segmento [0, [0, x1 ] es igual al rectángulo determinado por el segmento DX 1 y una magnitud constante R, es decir A(x1) = DX 1 × R.
Por último, sea F X 1 el segmento que cumple con la siguiente relación EX 1 R = DX 1 F X 1
o
DX 1 × R = EX 1 × F X 1 .
1
Los detalles de la demostración original se pueden consultar en Barrow (1735, pp. 167-168) o Child (1916, pp. 116-118).
5
Entonces Barrow demuestra que la recta que pasa por los puntos D y F es tangente a la función área A(x) (ver Figura 2).
Figura 2: De esta manera, Barrow Barrow resuelve el problema de trazar una tangente tangente a una curva curva cuando ésta es la cuadratura de otra curva, relacionando sus cuadraturas. Si lo interpretamos en términos modernos, podemos decir: Dada una función f continua y creciente definida en el intervalo [0, definida como [0, a] y la función área A definida x
A(x) =
con
f ( f (t)dt,
[0, a]. x ∈ [0,
0
Barrow calcula la pendiente de la recta tangente a A para cada x ∈ [0, [0, a], es decir, la derivada de A para cada x ∈ [0, [0, a] y en este caso obtiene
A (x) = f ( f (x).
El resultado de Barrow es notable debido a la relación que establece entre la cuadratura de una curva dada y la tangente a la curva que representa la cuadratura. Ciertamente, él 6
fue uno de los primeros que empieza a descubrir y demostrar la naturaleza inversa entre los problemas de cuadraturas y tangentes, aunque de una forma estrictamente geométrica. Sin embargo, debido a que no desarrolló completamente las herramientas analíticas, fue incapaz de hacer un uso eficaz de la relación. Es aquí donde los trabajos Newton y Leibniz cobran mayor relevancia debido a que habían desarrollado las herramientas analíticas para reconverti reconvertirr y robustecer robustecer las ideas geométricas geométricas de Barrow, las cuales condujeron condujeron al desarrollo desarrollo de algoritmos para la resolución de los problemas de tangentes y cuadraturas.
2. Con Contrib tribuc ucio ione ness de Leib Leibni nizz y Ne Newt wton on en el desarro desarroll llo o del TFC Newton y Leibniz advirtieron el inmenso alcance de la relación inversa entre problemas de cuadraturas cuadraturas y tangentes. tangentes. Cada quien independientemen independientemente te de manera independiente, independiente, dio argumentos para demostrar dicha relación basados en dos conceptos generales conocidos actualmente como Derivada e Integral , por lo cual se considera que tuvieron un claro reconocimiento de estas dos relaciones de reciprocidad. 2.1. 2.1.
Leib Leibn niz
El trabajo de Leibniz se conoce principalmente por los numerosos artículos que publicó en Acta Eruditorum 2 y por sus cartas personales y manuscritos que se conservan en Hannover. Entre estos documentos están los manuscritos fechados el 25, 26 y 29 de Octubre y el 1 y 11 de Noviembre de 1675 donde Leibniz estudia la cuadratura de curvas y desarrolla su cálculo diferencial diferencial e integral integral (Child, 1920). Una de las aportaciones que Leibniz realizó al Cálculo fueron los símbolos “ ” y “ d”, referidos a las sumas y diferencias , respectivamente. Otras dos ideas fundamentales del cálculo de Leibniz son la relación entre la sumas de sucesiones y las diferencias de sus términos términos consecutivos consecutivos y el llamado llamado triángulo triángulo característico característico3 (Baron, 1969; Boyer, 1949).
2.2. 2.2.
La ver versi sión ón de de Leib Leibni niz z del del TFC TFC
En su artículo publicado en 1693 en Acta Eruditorum , Leibniz aborda el problema de cuadraturas reduciéndolo al de encontrar una curva con una “regla de tangencia”. En sus propias palabras: “Demostraré “Demostraré ahora que el problema general de cuadraturas cuadraturas puede ser reducido reducido 2
Revista científica mensual alemana publicada entre 1682 y 1782, fundada en Leipzig por Otto Mencke por iniciativa de Leibniz. 3 El triángulo característico característico (triangulum characteristicum ) es el triángulo con lados infinitesimales dx, dy y ds. Fue utilizado en el siglo XVII por diversos matemáticos tales como Pascal, Snellius y Leibniz.
7
al de encontrar una línea que tiene una ley de tangencia dada” 4 .
Figura 3: A continuación continuación exponemos brevemente, brevemente, las ideas generales de Leibniz desde un punto de vista de la matemática moderna5. Consideremos los ejes coordenados x, y. Sea f ( f (x) una función continua, creciente y positiva, definida en el segmento AB y F un punto cualquiera que se mueve sobre f ( f (x) (ver Figura 3). La recta que pasa por los puntos F y D es perpendicular al eje x. Si F ( F (x) es una función tal que la pendiente de la recta tangente a F ( F (x) en G (intersección de la prolongación de la recta F D y F ( F (x)) cumple la siguiente relación dy DF = , dx R
donde dy y dx son los lados del triángulo característico y R es una magnitud constante (Figura 3), entonces el área AF D (Figura 4) es igual a DG − AK , esto es Área(AF D) = DG − AK. 4
Leibniz (1971, pp. 294) y Struik (1969, pp. 282) Los detalles de la demostración original se pueden consultar en Leibniz (1971, pp. 294-301) y Struik (1969, pp. 282-284) 5
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Figura 4:
En términos modernos, Leibniz demostró lo siguiente: siguiente: Si f continua, creciente y positiva, definida en el intervalo [0, [0, a] tal que f (0) f (0) = 0 y F es una función que cumple con la propiedad de que la pendiente de la recta tangente en cada punto x ∈ [0, [0, a] es igual a f ( f (x), es decir, la derivada F (x) es igual a f ( [0, a], entonces el área bajo la función f f (x) para cada x ∈ [0, en el intervalo [0, [0, a] está dada por la diferencia F ( F (a) − F (0) F (0). Por otra parte, Leibniz no sólo dio un argumento geométrico sino que también abordó de forma analítica, utilizando el cálculo que él mismo había inventado, lo cual fue una diferencia importante entre su demostración y la de Barrow. Veamos un ejemplo particular para mostrar cómo se puede utilizar el resultado de Leibniz. Supongamos que deseamos encontrar la cuadratura de la curva y = x2 (cuadratura de la parábola). De acuerdo con su teorema, debemos encontrar una curva cuya ley de tangencia es x2 . Esto esencialmente involucra conjeturar una respuesta basada en la experiencia en derivación, que en este caso será x3 /3. Finalmente debemos verificar verificar que funciona. funciona. La ley de tangencia para x3 /3 la obtiene Leibniz a partir de su triángulo característico infinitesimal como la razón de los respectivos incrementos en y y x, es decir, dy : dx. Dado que dx es el incremento (diferencia) entre los valores sucesivos (de las sumas) x y x + dx, con los correspondientes valores
y = x3 /3
y
y + dy = (x + dx) dx)3 /3
9
y realizando algunos cálculos, obtenemos (y + dy) (x + dx) dy dy) − y dx)3 − x3 = = dy : dx = 3 · dx dx dx 3 2 2 3x · dx + 3x 3x · (dx) (dx))3 − x3 x + 3x dx) + (dx = 3 · dx (dx) dx)2 2 = x + x · dx + = x2 . 3
Leibniz afirmaba que la identidad final se obtiene quitando los términos infinitesimales. De esta manera, de acuerdo con él, el área comprendida entre la parábola y el eje x, desde el origen a un valor específico x para la ordenada, está dada por x3 /3 (Laubenbacher & Pengelly, 1999, p. 153). 2.3. 2.3.
Newto ewton n
Entre los trabajos matemáticos de Newton podemos distinguir algunos temas centrales, por ejemplo el desarrollo binomial, desarrollos en series de potencias, algoritmos para hallar raíces de ecuaciones y de inversión de series, los conceptos de fluentes y fluxiones conocidos hoy día como funciones del tiempo y sus derivadas, respectivamente. Newton estuvo muy interesado también en óptica, dinámica, alquimia, y en la interpretación de las sagradas escrituras. En contraste con Leibniz, debido a su naturaleza tímida, Newton era reacio a publicar sus resultados, para así evitar las posibles críticas y controversias de sus contemporáneos. En Octubre de 1666 escribió un tratado sobre fluxiones y en 1669 De analysi , un tratado sobre series infinitas que circuló en forma de manuscrito entre los miembros de la Royal Society of London 6. Hay otro tratado sobre fluxiones fluxiones y series infinitas infinitas de 1671 y otro sobre la cuadratura de curvas de 1693. Sin embargo, estos fueron publicados mucho tiempo después, algunos incluso después de su muerte. De analysi fue publicado en 1711 y de 1693 sobre cuadratura de curvas, De Quadratura Curvarum apareció como un apéndice de su Opticks en 1704. Su obra más famosa titulada Philosophiae Naturalis Principia Mathematica , donde expone su teoría de la gravitación universal, fue publicada en 1687. 2.4. 2.4.
La ver versi sión ón de de Newt Newton on del del TF TFC
Veamos ahora cómo Newton abordó el problema de cuadraturas. En su trabajo titulado De analysi per aequationes numero terminorum infinitas 7 , estableció un método para 6
La Royal Society of London for Improving Natural Knowledge es la más antigua sociedad científica del Reino Unido y una de las más antiguas de Europa. 7 En The Mathematical Papers of Isaac Newton, Vol. II, pp. 206-247, editado por D. T. Whiteside.
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calcular el área bajo la curva m
y = ax . n
Esto lo expresó de la siguiente manera: Sea la ordenada BD perpendicular a la base AB de alguna curva AD y sean AB igual a x y BD igual a y. Sean a , b , c , . . . cantidades dadas y m, n enteros. Entonces Regla 1. Si y = axm/n , entonces el área de la región ABD es man x(m+n)/n . +n (Whiteside, 1968, p. 207)
Figura 5: En términos de la matemática moderna, al punto A lo podemos establecer como el origen, es decir, A = (0, punto B lo consideramos como el punto (x, 0) y la curva (0, 0), mientras que al punto AD como y = axm/n . Entonces el enunciado de Newton establece que x
0
m/n
at
m/n)+1 ax(m/n)+1 an (m+n)/n = dt = x . (m/n) m/n) + 1 m+n
Sólo hasta el final de su escrito, Newton da una demostración de la Regla 1. A continuación presentamos presentamos de forma general sus argumentos. argumentos. Sea AD la curva con AB = x, como se muestran en la Figura 6. Newton asumió que el área ABD bajo la curva estaba dada por la expresión x
z (x) =
y(t)dt.
0
A partir de esta última expresión, procedió a encontrar la fórmula y = axm/n . Para ilustrar el argumento de Newton es suficiente usar el caso particular z = x3, como sugiere Grabiner (1983, p. 199). Si observamos la Figura 7, la línea auxiliar bd es tal que incremento. Bb = o es un incremento. 11
Figura 6:
En sus argumentos, Newton especificó que BK = v se debe elegir de tal forma que el área BbHK sea igual al área BbdD. De esta manera ov es igual al área BbdD. Ahora, cuando x tiene un incremento x + o, el cambio del área z está dado por 3x2 o + 3xo 3xo2 + o3 − x3 = 3x2 o + 3xo 3xo2 + o3 z (x + o) − z (x) = x3 + 3x
la cual, por definición de v, es igual a ov, es decir 3x2 o + 3xo 3xo2 + o3 = ov.
Dividiendo Dividiendo por p or o obtenemos 3x2 + 3xo 3xo + o2 = v.
(1)
En este punto, Newton menciona “si suponemos que Bb disminuye infinitamente hasta desaparecer, esto es que o sea nula, v y y en este caso serán iguales y los términos que se multiplican por o desaparecerán” (Whiteside, 1968, pp. 243-245). Por lo que obtenemos y = 3x2 .
Efectivamente, Newton acertó en el hecho de que, como o “se hace cero” (hoy diríamos: tiende a cero), los términos que tienen a o en la expresión (1) también “se hacen cero”. Al mismo tiempo, v se hace igual a y, lo cual equivale a decir que la altura BK del rectángulo rectángulo de la Figura 7 será igual a la ordenada BD de la curva original.
12
Figura 7: A partir de la suposición de que el área ABD está dada por z (x) =
an (m+n)/n x , m+n
Newton había deducido que la curva AD debe satisfacer la ecuación y = axm/n . En esencia, él había derivado la función área (integral indefinida). Posteriormente, sin mayores justificaciones, Newton estableció de manera inversa que: q ue: Si y = axm/n , entonces entonces z =
n (m+n)/n . m+n ax
De esta manera, Newton introdujo otra técnica para resolver problemas de cuadraturas. A partir de casos particulares dedujo que la cuadratura de un fluente (una curva expresada analíticamente), se podía calcular encontrando una fórmula cuya fluxión correspondía a ese fluente. En términos modernos, podemos decir que Newton calculó el área de una función continua f en el intervalo [a, b], encontrando primero una primitiva de f , es decir, una F tal que F (x) = f ( f (x) para todo x ∈ [a, b] para después establecer que el área es igual a
F ( F (b) − F ( F (a).
Newton fue capaz de desarrollar esta técnica debido a que se había percatado de las interrelaciones terrelaciones de los conceptos de fluentes fluentes y fluxiones. fluxiones. Sin embargo, embargo, no dio una demostración demostración rigurosa de tal hecho. (Edwards, 1979, p. 196). 13
2.5.
Difere Diferenci nciaci ación ón e integra integració ción n como procesos procesos inv inversos ersos
La formulación de métodos y algoritmos generales que podían servir para unificar el tratamiento de diferentes problemas del Cálculo se debe a Newton y Leibniz. Una diferencia notable entre sus contribuciones es que Leibniz se concentró en técnicas generales que podían ser aplicadas a problemas específicos, mientras que Newton se concentró en resultados concretos que podían ser generalizados. En la aproximación de Leibniz las diferencias discretas de infinitesimal infinitesimales es de variables variables geométricas geométricas jugaban un papel central; mientras que la fluxión (o razón de cambio) fue el concepto fundamental de Newton, el cual estaba basado en las ideas intuitivas del movimiento continuo (Edwards, 1979, p. 266). La contribución vital que Newton y Leibniz comparten es el hecho de haber reconocido la importancia de las relaciones de reciprocidad entre los problemas de cuadraturas y de tangentes, las cuales poco tiempo después se traducirían como relaciones de reciprocidad entre los procesos de integración y de diferenciación (Laubenbacher y Pengelly, 1999, p. 103). Fue así como comenzaron a tomar forma el Cálculo Diferencial definido como el proceso para determinar la razón entre diferencias infinitesimales y el Cáculo Integral definido como el proceso inverso inverso del cálculo diferencial. diferencial. Sin embargo, la última palabra no la tuvieron ellos, ya que sus ideas fueron precisadas y fundamentadas hasta inicios del siglo XIX, cuando se introdujo la noción de límite, la cual permitiría definir ambos procesos de manera independiente pero que aún se mantendrían relacionados a través del TFC. Por último, último, a pesar de que las contribuciones contribuciones de Newton y Leibniz fueron atacadas por el 8 uso de los infinitesimales infinitesimales , se admitía el hecho de que sus descubrimientos y procedimientos conducían a resultados correctos. Los infinitesimales fueron una herramienta útil y exitosa, así que las cuestiones acerca de su validez fue subsanadas debido a su eficacia.
3. Hacia Hacia la formal formaliza izació ción n del Teor Teorema ema Fund Fundame amenta ntall Prácticament Prácticamente, e, Leibniz había considerado considerado la “integral” “integral” como una suma infinita de infiniinfinitesimales. tesimales. Newton, en contraste, contraste, consideraba consideraba la “integral” “integral” como un fluente que tenía que ser determinado a partir de su fluxión . Fue así como Newton abordó los problemas de áreas y volúmenes volúmenes interpretándolo interpretándoloss como problemas inversos inversos de razón de cambio, cambio, lo cual es, básicabásicamente, el proceso inverso de diferenciación (antidiferenciación) (Edwards, 1979, p. 266). Es posible que, por esto último, durante el siglo XVIII el proceso de integración se consideraba principalmente como el proceso de antidiferenciación. Leonhard Euler (1707-1783), por ejemplo, comienza su tratado acerca del Cálculo integral con la siguiente definición: 8
Uno de los principales críticos de los trabajos de Newton y Leibniz fue George Berkeley (1685-1753) quien publicó en 1734 The Analyst , obra en la cual realizó una crítica a los fundamentos y principios del calculo infinitesimal poniendo en duda la validez del uso de los infinitesimales.
14
Definición: El cálculo integral integral es el método de encontrar, a partir de un dife-
rencial dado, la cantidad misma; y la operación que produce esto, es generalmente llamado integración (Euler, Opera Omnia , Serie I, Vol. 11, p. 5). Más evidencia de que la integración estaba supeditada a la derivación, pues se concebía como un proceso de antiderivación, la podemos encontrar en algunos de los primeros libros de Cálculo del siglo XVIII y XIX. A continua continuación ción mostramos mostramos un par de casos donde se puede apreciar la influencia de Newton y Leibniz: Un primer ejemplo es el libro Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana , escrito por la matemática italiana Maria Gaetana Agnesi (1718-1799) y publicado en 1748. Este tratado es considerado como uno de los primeros libros de texto de Cálculo (Truesdell, 1989). Agnesi trató conjuntamente el cálculo diferencial y el cálculo integral enfatizando su naturaleza como problemas inversos. En el Libro tercero (Tomo II), acerca del cálculo integral integral menciona menciona lo siguiente: siguiente: El Cálculo Integral , que suele llamarse todavía Cálculo Sumatorio, es un método para reducir una cantidad diferencial a aquella cantidad, de la cual es la diferencia, así que las operaciones del Cálculo Integral son opuestas a aquellas aquellas del Cálculo Cálculo Diferencial; y por p or tanto es llamado llamado el método inverso de las fluxiones o de las Diferencias . De esta manera, por ejemplo, el diferencial de x es dx y consecuentemente x es la integral de dx (Agnesi, 1748, Tomo II, p. 613; Agnesi, 1801, Book III, p. 109). Un segundo ejemplo es el libro Traité élémentaire de Calcul Différential et de Calcul Intégral . Escrito por el matemático francés Sylvestre François Lacroix (1765-1843) y publicado en 1802. Esta obra tuvo gran influencia como libro de texto de Cálculo durante la primera mitad del siglo XIX, incluso fue re-editado hacia finales 1881. En la segunda parte de su libro, acerca del cálculo integral, inicia con lo siguiente: El Cálculo Integral es lo inverso del Cálculo Diferencial; su objetivo es obtener, a partir de los coeficientes diferenciables 9 , las funciones de las cuales han sido derivados tales coeficientes. [...] Cuando el coeficiente diferencial de primer orden de una función de x está dy dado en términos de x, tenemos dx = X , or dy = X dx; la función que se busca es consecuentemente aquella cuyo diferencial es X dx y esto lo representamos como: y = X dx (Lacroix, 1802, p. 187; Lacroix, 1816, p. 179) .
Fue hasta la segunda década del siglo XIX, con la introducción del concepto de límite, que el Cálculo Cálculo integral comenzó considerarse considerarse de otra forma. El matemático matemático francés Augustin 9
El coeficiente diferencial se refiere a la expresión
dy . dx
15
Louis Cauchy (1789-1857) dio un nuevo punto de vista que permitiría ver a la integración y la diferenciación desde un punto de vista analítico, ya que él consideraba que la integral y la derivada deberían de existir y definirse de manera independiente. De forma breve, Cauchy definió la derivada derivada10 de f ( f (x) como el límite, cuando este existe, del cociente de diferencias f ( f (x + h) − f ( f (x) , h
cuando h tiende a cero. Por otra parte, introdujo la definición de integral definida, enfatizando que era necesario establecer su existencia independientemente de la antidiferenciación. Supongamos que f ( f (x) es una función continua definida en un intervalo [x0 , X ]. Consideremos la partición de este intervalo x0 , x1 , x2 , . . . , xn 1 , xn = X −
y la suma (llamada también “suma de Cauchy”) n
S = f ( f (x
)(xi i−1 )(x
n
− xi 1 ). −
i=1
Si los valores absolutos de las diferencias xi+1 − xi disminuyen indefinidamente, el valor de S n tiende a un cierto límite S . A este límite Cauchy lo llamó integral definida y lo denotó por X
f ( f (x)dx11 .
x0
A pesar de que la definición de integral dada por Cauchy no es general, debido a que la aplica sólo a funciones continuas, podemos decir que fue un desarrollo significativo por dos aspectos importantes: importantes: (1) la integral integral se define como un límite y (2) su existencia (o más bien su definición) no tenía nada que ver con la antidiferenciación (Dunham, 2005, p. 87). Una vez establecidos, de manera independiente, los conceptos de integral y derivada, Cauchy prosiguió a vinculando ambos conceptos por medio de una serie de resultados que eventualmente conducirían a la versión actual del TFC para funciones continuas. 3.1.
Demostració Demostración n analítica analítica del del Teorem Teorema a Fundam Fundamen ental tal para funciones continuas
Cauchy fue pionero en el análisis matemático, contribuyendo de manera medular a su desarrollo. Con base en su definición de integral como límite de sumas demostró resultados 10
El nombre «derivada» y la notación « f (x)» fueron introducidos por Lagrange (Grabiner, 1983, p. 204). 11 Notación propuesta por Fourier (Kline, 1972, p.957).
16
básicos o reglas generales. Por ejemplo, estableció que, para f continua, existe un valor θ entre 0 y 1 para el cual X
(2)
f ( f (x)dx = (X − x0 )f [ f [x0 + θ(X − x0 )] .
x0
La formulación anterior la podemos reconocer como el actual teorema del valor medio para integrales. Por otra parte, Cauchy fue capaz de unificar las ideas de diferenciación e integración de manera analítica con base en su definición de integral como límite de sumas. En la vigésima sexta lección de su Résumé des leçons données à l’École royale polytechnique sur le calcul infinitésimal de 1823, Cauchy presentó lo que es considerada como la primera demostración analítica del Teorema Fundamental del Cálculo 12 . Cauchy Cauchy comenzó con la hipótesis de que f es una función continua y consideró la integral haciendo variar el límite superior de integración, es decir, define la función x
F (x) =
f ( f (t)dt
x0
Cauchy Cauchy demostró entonces entonces que x+α
F (x + α) − F (x) =
x
f ( f (t)dt −
x0 x+α
=
f ( f (t)dt
x0
f ( f (t)dt
x
Usando la ecuación (2) (Teorema (Teorema del valor medio), dedujo la existencia existencia θ entre 0 y 1 para el cual x+α
f ( f (t)dt = (x + α − x)f [ f [x + θ(x + α − x)] = αf ( αf (x + θα) θα).
x
En suma, F (x + α) − F (x) = αf ( αf (x + θα) θα) para algún valor de θ. Para Cauchy, esta última ecuación muestraba que F era continua debido a que un incremento infinitesimal en x producía un incremento incremento infinitesimal infinitesimal en F . En otros términos l´ım [F (x + α) − F (x)] = l´ım αf ( αf (x + θα) θα) = l´ım α · l´ım f ( f (x + θα) θα)
α→0
α→0
α→0
α→0
= 0 · f ( f (x) = 0
donde la continuidad de f en x implica que l´ımα 0 f ( f (x + θα) θα) = f ( f (x). Consecuentemente, l´ımα 0 F (x + α) = F (x) y por tanto F es continua en x. →
→
12
Cauchy Oeuvres , Serie II, Tomo IV, pp. 151-156; Cauchy (1994, pp. 311-317).
17
Por otra parte, Cauchy se percató de que
F (x) = l´ım
F (x + α) − F (x)
α = l´ım f ( f (x + θα) θα) = f ( f (x) α→0
αf ( αf (x + θα) θα) 0 α
= l´ım α→
α→0
lo cual reescribe como
d dx
x
f ( f (x)dx = f ( f (x).
x0
Después de haber diferenciado la integral, Cauchy mostró en seguida cómo integrar la derivada. Esto lo expresó con la fórmula X
f ( f (x)dx = F ( F (X ) − F ( F (x0 ).
x0
donde f es una función continua y F es una función tal que F (x) = f ( f (x) para todo x. Lo anterior es básicamente la parte de evaluación del TFC (Parte 2). Ambos resultados de Cauchy se pueden resumir en los siguientes teoremas:
3.1 (Cauchy). Teorema f ( f (t) x ∈ [a, b] x a
con
Sea f continua en el intervalo [a, b]. Si F está definida como F ( F (x) = , entonces tenemos
d dx
x
f ( f (t)dt = f ( f (x).
a
Teorema 3.2 (Cauchy). Si f es continua en [a, b] y es la derivada de F en cada punto de [a, b], entonces b
f ( f (t)dt = F ( F (b) − F ( F (a).
a
La demostración de Cauchy es considerada como la primera demostración analítica basada en su definición de integral como un límite de sumas (Kline 1972, p. 958). La demostración de Cauchy Cauchy es (y sigue siendo actualmente) actualmente) válida válida para funciones funciones continuas continuas y versiones versiones similares se pueden encontrar en libros actuales de Cálculo. Cabe hacer la observación de que Cauchy no utilizó el adjetivo «Fundamental» en ninguno de sus enunciados, ni siquiera los identifica como «Teoremas» o «Proposiciones». Simplemente son resultados que le permiten p ermiten definir definir la integral integral indefinida como la clase de funciones que tienen a f como su derivada. Bressoud (2008, p. 11) opina que el adjetivo «Fundamental» comenzó a usarse en ciertos libros de Cálculo escritos durante el siglo XIX, pero que no se referían solamente solamente a ambas partes del actual TFC sino también también a una serie de teoremas con13 siderados en esa época también como fundamentales del Cálculo Infinitesimal. Ejemplos donde se consideraban estos resultados como fundamentales son los libros: 13
Cabe hacer la observación de que la palabra «fundamental», en este caso, se entiende como el principio y cimiento en que estriba y sobre el que se apoya o basa algo.
18
An Elementary Treatise on the Differential and Integral Calculus 14 , publicado en 1825, escrito por Dionysius Dionysius Lardner (1793-1859). De L’Analyse Infinitésimal: Étude sur la Métaphysique du haut Calcul 15 , publicado en 1860, escrito por Charles De Freycinet (1828-1923). 3.2.
Versión general general del del Teorem Teorema a Fundam Fundament ental al para funcione funcioness Riemann integrables
La definición de integral como un límite de sumas permitió considerar a la integración como un proceso independiente del proceso de antidiferenciación. La definición de Cauchy de integral definida se aplica para cualquier función continua, incluso para funciones que tienen discontinuidades aisladas. Si, por ejemplo, la función f ( f (x) definida en [a, b] es discontinua en el punto x0 ∈ [a, b], la integral definida b
f ( f (x)dx
a
se define como el límite, si este existe, de la suma x0 −
b
f ( f (x)dx +
a
f ( f (x)dx
x0 +
cuando tiende a cero. Sin embargo, con el desarrollo del Análisis, surgió la necesidad de considerar integrales de funciones cuyo comportamiento era más irregular. El tema de la integrabilidad para funciones más generales fue abordado por el matemático alemán Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866), en su trabajo: Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe 16 de 1854. Riemann estableció estableció una generalización generalización del concepto de integral integral dado por Cauchy Cauchy, el cual estaba motivado por la aceptación de un concepto más general de función como cualquier regla de asignación x − f (x) entre números reales. En términos generales, Riemann en → f ( lugar de considerar el punto xi 1 (para tomar el valor f ( f (xi 1 )) en el i-ésimo subintervalo [xi 1 , xi ] de una partición a = x0 , x1 , x2 , . . . , xn 1 , xn = b del intervalo [a, b], eligió un punto arbitrario xi = xi 1 + i δ i , para cada i = 1, . . . , n. De esta manera, la integral definida para una función acotada f la estableció como −
−
−
−
−
b
a
n
f (f (x )(x )(x − x f ( f (x)dx = l´ım δ →0
i
i
i−1 )
i=0
14
Consultar Lardner (1825, pp. 174-179). Consultar De Freycinet (1860, pp. 106-109). 16 Publicado en Gesammelte Mathematische Werke , (Riemann, (Riemann, 1990) 15
19
donde δ denota el máximo de las longitudes δ i de los subintervalos [xi 1 , xi ] de la partición de [a, b] (Hawkins, 1970). Esta definición establecida en términos de sumatorias más generales, llamadas ahora sumas de Riemann, se propone aplicarse a funciones acotadas no necesariamente continuas en un intervalo o continuas con discontinuidades aisladas, lo cual hace la diferencia respecto a la definición dada por Cauchy. Aunque muchos matemáticos reconocieron la utilidad de definir la integral como un límite de sumas, la adopción de esta idea fue lenta y tardó en aparecer de manera generalizada en los libros de Cálculo. Cálculo. Básicamente, Básicamente, con la introducción del concepto de integral integral (como límite de sumas), los matemáticos reconocían dos aproximaciones para el Cálculo Integral. Por una parte, como un proceso de sumas pero también como el proceso inverso de la diferenciación. Por ejemplo, el matemático canadiense Daniel Alexander Murray (1862-1934) en su libro A first Course in Infinitesimal Calculus (1903), en el capítulo al respecto del Cálculo Integral, menciona lo siguiente: −
En este capítulo se discutirán dos procesos fundamentales del cálculo, cada uno llamado integración . El proceso de diferenciación se usa para encontrar derivadas y diferenciales de funciones; esto es, para obtener de una función, digamos F ( F (x), su derivada F (x) y su diferencial F (x)dx. Por otra parte el proceso de integración integración se usa: (a) Para encontrar el límite de la suma de un infinito número de infinitesimales los cuales están en la forma diferencial f ( f (x)dx; (b) Para encontrar funciones cuyas derivadas o diferenciales están dados; esto es, para encontrar anti-derivadas y anti-diferenciales. Brevemente, la integración podría ser (a) un proceso sumatorio o (b) un proceso inverso a la diferenciación , el cual, de acuerdo con esta idea, se podría llamar anti-diferenciación (Murray, 1903, p. 148).
Por otra parte, a principios del siglo XX, también se comenzaron a publicar libros de Cálculo Integral en los cuales se seguían considerando ambas aproximaciones. Es decir, libros que consideraban la integración como el proceso inverso de la diferenciación y como límites de sumas. Por ejemplo, algunos libros publicados a inicios del siglo XX, donde todavía se consideraba la integración como un proceso de antidiferenciación, son: Elements of the Differential and Integral Calculus , escrito por el matemático estadounidense nidense William William Anthony Anthony Granville Granville (1864-1943) y publicada publicada en 1904. Obra re-editada re-editada en inglés hasta 1957. En español se pueden encontrar re-ediciones hasta 2009 con el título: Cálculo Diferencial e Integral . Esta obra ha tenido gran influencia como libro de texto en los cursos básicos de Cálculo. A Course of Pure Mathematics , escrito por el matemático inglés Godfrey Harold Hardy (1877-1947) y publicada en 1908.
20
Integral Integral Calculus (1917), escrito por el matemático estadounidense estadounidense Henry Bayard Bayard Phillips (1881-19??), del cual existen versiones en español re-impresas hasta 1978 bajo el título: Elementos del Cálculo Infinitesimal . Elementary textbook on the Calculus (1912), escrito por los matemáticos estadounidenses Virgil Snyder Snyder (1869-1950) (1869-1950) y John Irwin Hutchinson Hutchinson (1867-1935). (1867-1935).
Algunos de los primeros libros del siglo XX, en donde se comenzó a adoptar solamente la definición de integral como límite de sumas (en particular sumas de Riemann), son: The Theory of Functions of a Real Variable and the Theory of Fourier’s Series , del matemático inglés Ernest William Hobson (1856-1933) y publicado en 1907. Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung escrito por el matemático de origen aleman Richard Courant (1888-1972) y publicado en 1924. Posteriormente esta obra fue traducida al inglés por E. J. McShane bajo el título Differential and Integral Calculus , publicado en 1934 en los Estados Unidos.
Bressoud (2008, p. 11) sugiere que la versión moderna del Teorema Fundamental compuesta en dos partes, considerando la integral como límite de sumas de Riemann, se debe al matemático matemático alemán Paul du Bois-Reymond Bois-Reymond (1831-1889), (1831-1889), quien en 1880 publicó en la revista Mathematische Annalen una discusión extensa y dio una demostración de ambas partes 17 . Esta versión fue adoptada por algunos matemáticos y fue apareciendo paulatinamente en los libros de Cálculo. Asimismo, Bressoud (2008, p. 12) menciona que los libros de Courant y Hobson antes mencionados, fueron de los primeros en presentar de esta manera el Teorema Fundamental del Cálculo. Esta versión posteriormente se popularizó debido a que se consideraba al Teorema Fundamental como un gran progreso de la matemática moderna del siglo XX. Es así como ha llegado hasta nuestros días la versión actual del Teorema Fundamental del Cálculo, la cual es la más conocida y extendida dentro de la comunidad matemática. A continua continuación ción enunciamos enunciamos y probamos probamos la versión versión moderna. Teorema 3.3. Sea f : [a, b] → R una función Riemann integrable. 1.
Sea c en [a, b] y F : [a, b] → R definida como x
F ( F (x) =
f ( f (t)dt
c
para cada x ∈ [a, b]. Si f es continua en x0 ∈ [a, b], entonces F es derivable en x0 , en este caso F (x0 ) = f ( f (x0 ). 17
Consultar du Bois-Reymond (1880).
21
2.
Si F : [a, b] → R es una función derivable en [a, b] tal que F (x) = f ( f (x) para toda x ∈ [a, b], entonces b
f ( f (x)dx = F ( F (b) − F ( F (a).
a
Para probar el inciso 1, mostraremos que el cociente F ( F (x + h) − F ( F (x) . h
tiende a f ( f (x) cuando h → 0. Supondremos Supondremos que x0 está en (a, b); el lector podrá realizar realizar modificaciones necesarias necesarias para x0 = a o x0 = b. Supongamos primero que h > 0 tal que x0 está en (a, b). Entonces, por la propiedad propiedad aditiva aditiva de la integral tenemos x0 +h
F ( F (x0 + h) − F ( F (x0 ) =
x0
f −
c
x0
=
f
c x0 +h
f +
c
x0
f −
x0
x0 +h
f =
c
Definamos mh y M h como sigue: mh = inf {f ( f (x) : x0 ≤ x ≤ x0 + h} , M h = sup {f ( f (x) : x0 ≤ x ≤ x0 + h} .
Ahora, tenemos que x0 +h
mh · h ≤
f ≤ M h · h.
x0
Por lo tanto mh ≤
F ( F (x0 + h) − F ( F (x0 ) ≤ M h . h
Si h < 0, cambiamos algunos detalles de la demostración. Sea mh = inf {f ( f (x) : x0 + h ≤ x ≤ x0 } , M h = sup {f ( f (x) : x0 + h ≤ x ≤ x0 } .
Entonces x0
mh · (−h) ≤
f ≤ M h · (−h).
x0 +h
22
x0
f.
Dado que −h > 0, al dividir obtenemos −
mh ≤
x0 x0 +h
f
h
≤ M h .
Ahora, como x0
−
x0 +h
f =
x0 +h
f = F ( F (x0 + h) − F ( F (x0 ),
x0
obtenemos el mismo resultado que antes F ( F (x0 + h) − F ( F (x0 ) ≤ M h . h
mh ≤
Esta igualdad se cumple para cualquier función f integrable, sea o no continua en x0. Finalmente, puesto que f es continua en x0 , l´ım mh = l´ım M h = f ( f (x0 ),
h→0
h→0
lo cual demuestra que F ( F (x0 + h) − F ( F (x0) = f ( f (x0 ). 0 h
F (x0 ) = l´ım h→
Para demostrar el inciso 2, probemos que se cumple b
f ( f (x)dx = F ( F (b) − F ( F (a)
a
para toda to da primitiva primitiva F de la función f . Primero, como sabemos que f es una función Riemann integrable en [a, b], entonces por definición definición para cualquier cualquier sucesión sucesión de particiones particiones P n = xn0 , xn1 , . . . , xkn del intervalo [a, b] y cualquier cualquier selección selección de puntos puntos tni ∈ xni 1 , xni , se tiene
n
f (f (t ) x − x , f (x)dx = l´ım tienda a cero. Consideretal que la sucesión de máximas diferencias δ = m´ax ax x − x b
−
n i
n→∞
a
n i
n i−1
i
n
i
n i
n i−1
mos una tal sucesión de particiones. Ahora, si F es una primitiva de f en [a, b], es decir F (x) = f ( f (x) para toda x ∈ [a, b], n sabemos que, por el teorema del valor medio, existen puntos ti ∈ xni 1, xni tales que
F (xni ) − F xni
n i
n i
n i−1
n i
n i
−
n i−1
= F (t ) x − x = f (f (t ) x − x
1
−
23
.
Por lo tanto tenemos
F ( = f (f (t ) x − x . F (x ) − F x n i
n i−1
n i
i
Pero F ( F (b) − F ( F (a) =
n i
n i−1
i
F (x ) − F x , así que para esta selección de puntos t f (f (t ) x − x = F (F (b) − F (F (a). n i
i
n i−1
n i
n i
n i
tenemos
n i−1
i
Para cada una de las particiones P n = xn0 , xn1 , . . . , xkn , entonces entonces tenemos
b
a
n
= F (F (b) − F (F (a). f ( f (x)dx = l´ım f ( f (t ) x − x n→∞
n i
n i
n i−1
i
Esto prueba el inciso 2 del Teorema 3.3 18 . Existen otras versiones del TFC, que dependen de la definición de integral que se considere, por ejemplo la dada por Lebesgue o por Henstock y Kurswail. Sin embargo, centramos nuestro interés en la versión del TFC para funciones Riemann integrables, porque es la que se estudia generalmente en los cursos básicos de Cálculo. El recorrido histórico que hemos realizado en este artículo muestra un panorama general del origen y evolución del Teorema Fundamental del Cálculo a través de los años. Como hemos observado, observado, su origen se dio en un contexto contexto puramente geométrico geométrico y dinámico dinámico a partir de las investigaciones medievales del movimiento. Se convirtió en una herramienta eficaz para el cálculo de áreas bajo curvas de funciones continuas en los s. XVII y XVIII, pero aun en los s. XVIII y XIX el problema de integración era considerado como un problema de antiderivación, que en términos modernos era el cálculo de funciones primitivas. Fue hasta el s. XIX en que se estableció formalmente con base en la definición de integral definida como límite de sumas y finalmente finalmente se extendió su uso para funciones funciones más generales generales en el siglo XX. Se puede profundizar en este tema, sin embargo, para nuestros objetivos es suficiente la exposición histórica aquí hecha. Más adelante nos referiremos a esta reseña histórica para hacer una propuesta para la enseñanza del Cálculo Diferencial e Integral y del TFC, a nivel medio superior. 18
Versiones ersiones similares similares de este teorema así como sus demostrac demostraciones iones se pueden pueden consultar consultar en Apostol (1998, pp. 247247-251), 251), Bartle (1964, pp. 251251-254), 254), Rudin (1981, (1981, pp. 143-115), Spivak Spivak (1996, (1996, pp. 309309-403). 403).
24
Apéndices A. Tabla abla cron cronol ológ ógic ica a Antecedentes de la relación entre cuadraturas y tangentes: Investigaciones medievales acerca del movimiento
1350 1350 Ores Oresme me:: Tratactus atactus de configura onfigurationib tionibus us qualitatum qualitatum et motuum (Aprox.) 1638 1638 Gali Galile leo: o: Due nove scienze 1644 1644 Torricell orricelli: i: Opera geometrica Versiones preliminares del Teorema Fundamental
1670 1670 Barro Barrow: w: Lectiones geometricae ; demostración demostración geométrigeométrica de la relación entre cuadraturas y tangentes 1693 1693 Leib Leibni niz: z: Supplementum geometriae dimensoriae , publicado en la revista alemana Acta Eruditorium ; a partir de la relación entre sumas de sucesiones y las diferencias de sus términos consecutivos, Leibniz demuestra la relación entre cuadraturas y tangentes 1711 1711 Newt Newton on:: De analysi (obra escrita en 1669); Newton demuestra la relación entre cuadraturas y tangentes con base en los conceptos de fluxión y fluente
25
La integración considerada como proceso inverso de la derivación
1748 1748 Maria Maria Gaetan Gaetanaa Agnesi Agnesi:: Istituzioni analitiche 1768 1768 Eule Euler: r: Institutiones Calculi Integralis 1796 1796 J. A. J. Cousi Cousin: n: Traité de Calcul Différentiel et de Calcul Intégral 1802 1802 S. F. Lacr Lacroix oix:: Traité élémentaire de Calcul Différentiel et de Calcul Intégral Formalización del Teorema Fundamental
1821 1821 Cauc Cauchy: hy: Cours d’analyse ; introducción del concepto de integral definida como un límite de sumas; Cauchy demuestra de forma analítica el Teorema Fundamental del Cálculo (aunque no le llama de esta manera) 1845 1845 Riema Riemann nn:: Ueber die Darstellbarkeit ; extensión del concepto de integral definida para funciones más generales 1880 1880 Paul Paul du BoisBois-Reym Reymon on publica publica el el artículo artículo Der beweis des fundamentalsatzes der integralrechnung: b ( ) = F ( F (b) − F ( F (a), en la revista alemaa F x dx na Mathematische Annalene ; du Bois-Reymon presenta la versión compuesta en dos partes del “Teo“Teorema Fundamental del Cálculo” (con ese nombre).
26
B. Traducc raduccion iones es al españ español ol de las las demost demostrac racion iones es del Teorema Fundamental del Cálculo B.1. B.1.
Intr Introdu oducc cción ión
A diferencia de lo que se suele creer, dominar uno o varios idiomas extranjeros no es condición suficiente para poder traducir a nivel profesional. Los idiomas extranjeros no son sino una más de las herramientas necesarias para poder desempeñarse en traducción. Traducir significa estar en capacidad de comprender el sentido y re-expresarlo en otra lengua de manera efectiva y libre de las ataduras sintácticas de la lengua de origen; está muy lejos de ser una mera sustitución de una palabra por otra. En el presente apéndice, se encuentran las traducciones al español de las demostraciones del Teorema Fundamental realizadas por Barrow, Leibniz y Newton. Dichas traducciones se realizaron a partir de fuentes, en inglés, primarias y secundarias. Espero sean de utilidad para aquellos lectores cuya lengua es el español. Sin embargo, si el lector desea profundizar en el estudio de dichas demostraciones, lo ideal es que consulte las fuentes originales. B.2. B.2.
Demo Demost stra raci ción ón de Barr Barro ow Lecciones Geométricas, Lectura X
11. Sea ZGE (Figura 8) una curva cuyo eje es V D y consideremos las ordenadas ( V Z , P G y DE ) perpendiculares a este eje y continuamente creciendo desde la ordenada inicial V Z ; también sea V I F una curva tal que si una línea recta EDF ED F es trazada perpendicular al eje V D, cortando a las curvas en los puntos E , F y V D en D, el rectángulo determinado por DF y una longitud dada R es igual al espacio V D E Z ; también sea DE : DF = R : DT , y unimos [T y F ] F ]. Entonces T F cortará a la curva V I F . Tomemos un punto I en la curva V I F (primero del lado F hacia V ) y, a través de él, tracemos I G paralelo a V Z y I L paralelo a V D, cortando a las líneas dadas como se muestra en la figura; entonces, LF : LK = DF : DT = DE : R, es decir R × LF = LK × DE . Pero de la naturaleza de las líneas DF y LK se tiene R × LF = área(PDEG) PDEG) por tanto se tiene que LK × DE = área(PDEG) PDEG) < DP × DE , por lo tanto se tiene LK < DK < LI . De forma análoga, si el punto I se toma del otro lado de F , se haría la misma construcción de antes y se puede fácilmente demostrar LK > DP > LI . De donde es completamente claro que toda línea T KF permanece en o debajo de la curva V I F I . Resultados análogos se obtienen si las ordenadas V Z , P G y DE decrecen en forma continua, la misma conclusión se obtiene mediante un argumento similar; sólo una particularidad ocurre, a saber; en este caso, al contrario que en el otro, la curva V I F es cóncava respecto al eje V D. Corolario. Observe que DE × DT = R × DF = área(V D E Z ) . 27
Figura 8: Fuente: Geometrical Lectures , pp. 167-168. Versión en inglés de la obra de Isaac Barrow
publicada en 1735 (ver también Child, 1916, pp. 116-118). B.3. B.3.
Demo Demost stra raci ción ón de Leib Leibni niz z
Suplemento de medición geométrica, o más general, de todas la maneras prácticas para cuadrar una curva a través del movimiento: es decir, varias maneras para construir una curva a partir de una condición basada en su tangencia.
Demostraré ahora que el problema general de cuadraturas puede ser reducido al de encontrar una línea que tiene una ley de tangencia dada ( declivitas ), esto es, para la cual los lados del triángulo característico tienen una relación mutua dada. Entonces mostraré como esta línea se puede describir por un movimiento que yo he inventado. Para este propósito [Figura 9] asumo que para cada curva C (C ) un doble triángulo característico19 , uno, T BC , que es asignable, y otro, GLC , que es inasignable, y estos dos
19
En la figura Leibniz asigna el símbolo (C ) a dos puntos, los cuales nosotros denotamos por (C ) y
28
Figura 9:
triángulos triángulos son similares similares entre sí. El triángulo inasignable inasignable consiste de las partes GL, LC , con los elementos de las coordenadas C F , C B como lados, y GC , el elemento del arco, como la base o hipotenusa. Pero el triángulo asignable T BC consiste de los ejes, la ordenada, y la tangente, y por tanto contiene el ángulo entre la dirección de la curva (o su tangente) y el eje o base, esto es, la inclinación de la curva al punto dado C . Ahora sea F ( F (H ), la región de la cual se quiere encontrar su cuadratura, determinada entre la curva H (H ), las líneas paralelas F H y (F )( F )(H H ), y el eje F ( F (F ) F ); en ese eje sea A un punto fijo, y sea una línea AB , el eje conjugado, dibujado a través de A perpendicular a AF . Asumimos que el punto C está en H F (prolongar si es necesario); esto da una nueva curva C (C ) con la propiedad que, si se trazan las coordenadas coordenadas C B (igual a AF ) y la tangente tangente C T desde el punto C al eje conjugado (prolongado si es necesario), entonces la parte T B del eje entre ellos es a BC como H F AB (prolongado es a un [segmento] constante a, o a por BT es igual al rectángulo AF H (circunscrito en la figura compuesta por tres líneas AFHA). Siendo esto establecido, afirmo que el rectángulo en a y E (C ) (debemos discriminar entre las ordenadas F C y (F )( F )(C C ) de la curva) es igual a la región F ( F (H ). Cuando, por tanto, prolongo la línea H (H ) a A, la figura compuesta por las tres líneas AFHA de la figura de la cual se requiere encontrar su cuadratura es igual al rectángulo con la constante a y la ordenada F C de la curva, de la cual se ha encontrado
(C ). Si, con Leibniz, escribimos CF = x, BC = y , HF = z , entonces E (C ) = dx, CE = F (F ) = dy, y )(F )F = z dy. Primero Leibniz introduce la curva C (C ) con su triángulo característico y luego entonces H (H )( la re-introduce como la curva [ quadratrix ] de la curva AH (H ).
29
su cuadratura, como lados. Esto se sigue inmediatamente de nuestro cálculo. Sea AF = y, F H = z , BT = t, y F C = x; entonces t = z y : a, de acuerdo a nuestra hipótesis; por otra parte, t = y dx : dy debido a la propiedad propiedad de las tangentes tangentes expresada en nuestro nuestro cálculo. Por tanto a dx = z du y de esta manera ax = z dy = AFHA. Por lo tanto la curva C (C ) es la quadratrix con respecto a la curva H (H ), mientras que la ordenada F C de C (C ), multiplicada por la constante a, hace al rectángulo igual al área, o la suma de las ordenadas H (H ) corresponden a las abscisas correspondientes AF . Por tanto, dado que BT : AF = F H : a (por hipótesis), y la relación de este F H a AF (lo cual expresa la naturaleza de la figura a cuadrar) está dada, la relación de BT a F H o a BC , así cómo de BT a T C , será dada, esto es, la relación entre los lados del triángulo T BC . Por lo tanto, todo lo que se necesita para poder obtener cuadraturas cuadraturas y medidas medidas es poder describir la curva curva C (C ) (la cual, como hemos mostrado, es la quadratrix ), ), cuando la relación entre los lados del triángulo característico asignable T BC (esto es, la ley de inclinación de la curva) está dada. Fuente: A source Book in the Mathematics, 1200-1800, pp. 282-284, editado por D. J. Struik.
B.4. B.4.
Demo Demost stra raci ción ón de Newt Newton on
Sea la ordenada BD perpendicular a la base AB de alguna curva AD y sean AB igual a x y BD igual a y. Sean a , b , c , . . . cantidades cantidades dadas y m, n enteros. Entonces m/n Regla 1. Si y = ax , entonces el área de la región ABD es man x(m+n)/n (Whiteside, 1968, +n p. 207).
Figura 10: 1. La cuadratura de curvas simples en la Regla 1. Sea entonces cualquier curva ADδ que tiene a AB = x como base, perpendicular a la ordenada BD = y, y sea ABD = z el área. Ahora, sean Bβ = o, BK = x y consideremos el rectángulo BβHK (ov) ov) igual al rectángulo BβδD. Esto es, por tanto, Aβ = x + o y Aδβ = z + z + ov. Con estas premisas, asumiendo cualquier relación arbitraria entre x y z , buscaré el valor de y de la siguiente manera. Tomemos a 30
3
voluntad 23 x = z o 49 x3 . Entonces, cuando x + o(Aβ ) se sustituye por x y a + ov( ov(Aδβ ) por z , se obtiene (por la naturaleza de la curva) 2
4 3 (x + 3x 3x2 o + 3x 3x2 o2 + o3 ) = z 3 + 2zov 2zov + o2 v2 . 9
Ahora, eliminando las cantidades iguales ( 49 x3 y z 2) y dividiendo el resto por o, nos queda 4 (3x (3 2 + 3xo 3xo + o2 ) = 2zv + ov2 . Si suponemos ahora qe Bβ sea infinitamente pequeño, esto 9 x es, que o sea cero, v y y serán iguales y los términos multiplicados por o desaparecerán y en consecuencia consecuencia quedará 49 × 3x2 = 2zv o 23 x2 (z = y) = 23 x y, es decir, x (= x2 /x ) = y . De manera inversa, por tanto, si x =y , entonces entonces tendremos tendremos 23 x =z . En general si 3
1
3
2
2
2
1
3
2
2
z =
n ax(m+n)/n , m+n
esto es, haciendo un cambio de variable c = na/( na/(m + n) y p = m + n, tenemos que si z = cx p/n o z n = cn x p , entonces cuando x + o se sustituye20 por x y z + z + oy por z obtenemos21 cn (x p + pox p
1
. . .) = z n + noyz n
−
1
−
...,
omitiendo los otros términos, los cuales se desaparecen al final. Ahora, al cancelar los términos iguales cn x p y z n y dividiendo el resto por o queda cn px p
1
−
= nyz n
1
−
= nycn x p /cx p/n .
Ahora, al dividir por cn x p , obtenemos obtenemos px
1
−
= ny/cx p/n
Despejando a y queda y = pcx( p
n)/n
−
.
En otras palabras, al sustituir los valores de c y p se tiene que y = axm/n .
Inversamente, si y = axm/n , entonces entonces z =
n ax(m+n)/n . m+n
Fuente: The Mathematical Papers of Isaac Newton, Vol. II, pp. 206-247, editado por D.
T. Whiteside. Whiteside. 20
Newton pensó en términos de un incremento en el área de z a oy, correspondiente a un incremento de
x a x + o, siendo o un incremento infinitesimal. 21
Aplicando Aplicando el teorema teorema del binomio binomio desarrollad desarrolladoo por Newton. Newton.
31
B.5. B.5.
Demost Demostrac ración ión de Cauch Cauchy y
X Si en la integral definida xX f (x)dx se hace variar uno de los dos límites; por ejemplo la cantidad X , la integral integral variará variará junto con esa cantidad. cantidad. Si se sustituye el límite de la variable variable X por x, se obtendrá como resultado una nueva función de x que será llamada integral tomada a partir del origen x = x0. Sea
0
x
F (x) =
(1)
f ( f (x)dx
x0
esta nueva función. Se obtendrá de la fórmula (19)(lección 22) (2)
)], F ( f [x0 + θ(x − x0 )], F (x0) = 0, F (x) = (x − x0 )f [
donde θ es un número menor que la unidad, y de la fórmula (7) (lección 23) x+α
x
f ( f (x)dx −
x0
x+α
f ( f (x)dx =
x0
f ( f (x)dx = αf ( αf (x + θα) θα)
x
o bien (3)
F (x + α) − F (x) = αf ( αf (x + θα) θα ).
Se sigue de las ecuaciones (2) y (3) que si la función f ( f (x) es finita y continua en la vecindad de un valor particular atribuido a la variable x, la nueva función F (x) será finita y además continua en la vecindad de este valor, ya que a un incremento infinitamente pequeño de x que corresponderá un incremento infinitamente pequeño de F (x). Así, si la función f ( f (x) es finita y continua desde x = x0 hasta x = X , lo mismo será válido para la función F (x). Podemos añadir que si se dividen entre α los dos miembros de la fórmula (3) se concluirá, al pasa al límite,
(4)
f (x). F (x) = f (
Así la integral (1), considerada como función de x, tiene como derivada a la función f ( f (x) que se encuentra bajo el signo . Se probará de igual manera que la integral
X
x
f ( f (x)dx = −
x
f ( f (x)dx
X
considerada como función de x tiene como derivada a −f ( f (x). Se tendrá entonces d dx
x
x0
d f ( f (x)dx = f ( f (x) y dx
X
f ( f (x)dx = −f (x).
x
Problema I. Se busca una función ω (x) cuya derivada ω (x) sea cero. En otras palabras, se
busca la solución de la ecuación (6)
ω (x) = 0
32
[...] Problema II. Encontrar el valor general de y que satisface la ecuación (11)
dy = f ( f (x)dx.
Solución. Si se designa por F ( F (x) a un valor particular de la incógnita y , y por F ( F (x) + ω (x)
su valor general, se obtendrá de la fórmula (11), la cual esos dos valores deberán satisfacer,
F (x) = f ( f (X ),
F (x) + ω (x) = f ( f (x)
y en consecuencia
ω (x) = 0.
Por otro lado, se concluye de la primera de las ecuaciones ecuaciones (5), que la fórmula fórmula (11) se satisface satisface x al tomar y = x f ( f (x)dx. Así, el valor general de y será
0
x
(12)
y=
f ( f (x)dx + ω (x),
x0
en donde ω(x) designa a una función que satisface la ecuación (6). Este valor general de y, que comprende como caso particular a la integral (1) y que conserva la misma forma de la integral, cualquiera que sea el origen x0 de esta integral, se representa en el cálculo por medio de la simple notación notación f ( integral indefinida . Dicho ésto, f (x)dx, y recibe el nombre de integral la fórmula (11) implica siempre a la siguiente
(13)
y=
f ( f (x)dx
y recícrocamente, de modo que se tiene (14)
d
f ( f (x)dx = f ( f (x)dx.
Si la función función F ( integral (1), el valor valor general de y o f ( F (x) difiere de la integral f (x)dx se podrá siempre presentar bajo la forma
(15)
f ( f (x)dx = F ( F (x) + ω (x),
y deberá reducirse a la integral (1) para un valor particular de ω(x) que verifica al mismo tiempo la ecuación (6) y la siguiente: x
(16)
F (x) =
f ( f (x)dx = F ( F (x) + ω(x).
x0
33
Si, además, las funciones f ( f (x) y F ( F (x) son ambas continuas entre los límites x = x0 , x = X , la función F (x) será también continua, y en consecuencia ω(x) = F (x) − F ( F (x) conservará el mismo valor entre esos límites, entre los cuales se tendrá ω (x) = ω (x0 ) F (x) − F ( F (x) = F (x0) − F ( F (x0 ) = −F ( F (x0 ), F (x) − F ( F (x0 ), F (x) = F ( x
(17)
f ( f (x)dx = F ( F (x) − F ( F (x0 ).
x0
En fin, si en la ecuación (17) se toma x = X se encontrará X
(18)
f ( f (x)dx = F ( F (X ) − F ( F (x0 ).
x0
Resulta de las ecuaciones (15), (17), y (18) que dado un valor particular F ( F (x) de y que o verifique la fórmula (11) se pueden deducir: 1 el valor de la integral indefinida f ( f (x)dx, 2o X X los valores de las dos integrales definidas xx f ( f (x)dx = F ( F (x) − F ( F (x0 ), x f ( f (x)dx = F ( F (X ) − permanezcan continua continuass entre los límites F ( F (x0 ) en el caso en el que las funciones f ( f (x), F ( F (x) permanezcan de esas dos integrales. Fuente: Cita textual de la obra Curso de análisis , pp. 311-317. Servicios editoriales de la Facultad de Ciencias, Ciencias, UNAM. México.
0
0
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El genio, recién liberado le dijo al pescador: – Pide tres deseos y te los daré. – Me gustaría - dijo el pescador - que me hicieses lo bastante inteligente como para hacer una elección perfecta de los otros dos deseos. – Hecho - dijo el genio - ¿cuáles son los otros dos? – Gracias. No tengo más deseos
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