O Teorema eorema Fund undame amental ntal do C´ alcul alculo o e Aplica¸c˜ coes o ˜es O c´alculo alculo diferencial ´e integral s˜ ao a o hoje, para matem´ atica a tica e para muitas areas a´reas do conhecimento humano, indispens´ aveis para o tratamento de muitas situa¸c˜ aveis coes o˜es e fenˆ omenos omenos existentes. Enquanto Enqua nto o conceito conce ito de d e derivada de rivada surge su rge em torno t orno do s´eculo eculo XVII, o de integral integra l ´e muito mais antigo. Na antiguidade, a id´eia eia de integral estava estava ligada a tratamentos geom´etricos, etricos, como o c´ alculo alculo de ´areas areas e volumes. Arquimedes (285 - 212 a. C.) j´ a trabalhava com esses conceitos, sem ter claro a no¸c˜ cao a˜o e defini¸c˜ c˜ao ao de integral integral de hoje, em sua ´epoca. epoca. Foi s´ o no s´eculo eculo XIX, com a necessidade ne cessidade de rigor na fundamenta¸ c˜ cao a˜o da matem´ atica, atica, que o conceito de integral acabou ac abou sendo definida em termos num´ ericos. ericos.
Sabemos que as somas de Riemman Riemman nos permite p ermite estabelecer, estabelecer, para uma fun¸ c˜ao ao cont´ on t´ınua ınua b n f : [a, b] → R, o seguinte limite: a f (x)dx = lim f (ci )∆xi , que denominamos de i=1 ||P ||→0
integral definida de f no intervalo [a, b].
Recordemos que P ´e uma parti¸c˜ c˜ ao de [a, b] definida por P : a = x0 < x1 < · · · < xn = b, que ∆xi = xi − xi−1 , para i = 1, 2, . . . , n, ´e a amplitude de cada subintervalo ´ do retˆ angulo formado por cada um dos subintervalos para [xi−1 , xi ] e que f (ci )∆xi ´e a area os n´ umeros umeros ci ∈ [xi−1 , xi ], n˜ao ao necessariament necessariamentee iguais. iguais.
1
Pois bem, calcular o limite lim
||P ||→0
n i=1
f (ci )∆xi ´e um processo extremamente traba-
lhoso (muitas vezes imposs´ıvel) e nada pr´ atico. No entanto, existe um resultado genial que simplifica o c´alculo integral, no sentido de substituir o c´alculo do limite por simplesmente encontrar a primitiva de uma fun¸ca˜o. O resultado mencionado chama-se Teorema Fundamental do C´ alculo e vamos conhecˆ e-lo agora. Primeiramente vamos relembrar que, se f : I ⊂ R → R ´e uma fun¸ca˜o definida sobre um intervalo aberto I , dizemos que F : I ⊂ R → R ´e uma primitiva de f quando, para todo x ∈ I , F (x) = f (x). ao Teorema 0.1 (Teorema Fundamental do C´ alculo). Seja f : I → R uma fun¸c˜ cont´ınua, definida sobre o intervalo aberto I ⊂ R e seja F : I → R uma primitiva de f . Ent˜ ao, se [a, b] ⊂ I ,
b
f (x)dx = F (b) − F (a)
a
alculo do limite Demonstra¸ c˜ ao. Sabemos que o c´
f (x)dx = b
a
lim
||P ||→0
n i=1
f (ci )∆xi independe
da escolha dos ci ∈ [xi−1 , xi ]. Assim, seja P uma parti¸c˜ ao a = x0 < x1 < · · · < xn = b. A fun¸c˜ ao F ´ e diferenci´ avel e, portanto, cont´ınua. Logo podemos aplicar o Teorema do Valor M´edio para F , restrita a cada subintervalo [xi−1 , xi ] e escolher ci tal que
F (ci ) =
F (xi ) − F (xi−1 F (xi ) − F (xi−1 ) = ∆xi xi − xi−1
ou seja, F (xi ) − F (xi−1 = F (ci ) · ∆xi . Se F (x) ´ e tal que F (x) = f (x), ent˜ ao devemos b provar que a f (x)dx = F (b) − F (a). De fato, para a escolha que fizemos dos ci s temos que n n n f (ci ) · ∆xi = i=1 F (ci ) · ∆xi = i=1[F (xi ) − F (xi−1 ] = F (b) − F (a), assim, para cada i=1 b n parti¸c˜ ao P temos a f (x)dx = lim f (ci )∆xi = lim [F (b) − F (a)] = F (b) − F (a). i=1
||P ||→0
E isto completa a prova.
||P ||→0
Vejamos algumas das aplica¸c˜oes do teorema.
C´ alculo de ´ area entre duas curvas: Suponhamos que temos duas curvas y = f (x) e y = g (x), com pontos de interse¸c˜ao x = a e x = b e a primeira em cima da segunda sobre [a, b]. Utilizando faixas verticais de altura f (x) − g (x) e base dx, o elemento de a´rea ´e dado por dA = [f (x) − g(x)] · dx e, a ´area total ´e dada por
b
A=
a
dA =
b
[f (x) − g (x)] · dx
a
Os pontos a e b s˜ao valores de x tais que f e g s˜ao iguais, isto ´e, f (x) = g (x).
UEPA
2
Prof. Osmar Borges
Volume de um s´ olido de revolu¸ c˜ ao em torno do eixo x: Seja f uma fun¸ca˜o cont´ınua no intervalo [a, b]. O volume de um s´ olido gerado pela rota¸ca˜o em torno do eixo x, da regi˜ao limitada pelo gr´ afico de f , eixo x e retas x = a e n 2 x = b, ´e definido por V = lim πf (ci )∆xi , onde ci ∈ [xi−1 , xi ]. Assim temos que, i=1 ||P ||→∞
dada uma fun¸c˜ao f , o volume ´e dado pelo integral V =
b 2
πf (x)dx =
a
b
A(x)dx
a
Trabalho Na F´ısica, definimos for¸ca F em um objeto, pela Segunda Lei de Newton do Mo-
d2 s ao, isto ´ vimento, como o produto da massa do objeto pela acelera¸c˜ e F = m · 2 . S e a dt UEPA
3
Prof. Osmar Borges
acelera¸ca˜o for constante, a for¸ca tamb´em ser´ a e, ent˜ ao o trabalho ´e definido pelo produto da for¸ca pela distˆ ancia d que o objeto se move : W = F · d. Mas o que acontece se a for¸ca n˜ao for uma constante, ou seja, se ela varia? Suponhamos que um objeto se mova sobre o eixo x ≥ 0, de a para b e que, a for¸ca F atua em cada ponto de uma fun¸ c˜ao f cont´ınua. Dividimos o intervalo [a, b] em n subintervalos [xi−1 , xi ], de amplitude ∆xi = xi − xi−1 , para i = 1, 2, . . . , n. Escolhendo-se um ponto xi , convenientemente, no i−´esimo subintervalo. Tem-se ent˜ a o que a for¸ca neste ponto ´e f (xi ). Assim, o trabalho W i realizado em cada subintervalo ´e dado por, aproximadamente n W i ≈ f (xi )∆xi . O trabalho total ´e dado por W i=1 f (xi )∆xi .
Quanto maior o n´ umero n de subintervalos a aproxima¸ca˜o W ´e melhor. Logo o trabalho realizado no movimento de um objeto no intervalo [a, b], quando n → ∞, ´e dado por
W = lim f (x )∆x = f (x)dx n
b
n→∞
i
i
a
i=1
Existem milhares e milhares de aplica¸co˜es do c´ alculo e s˜ao incont´ aveis as contribui¸c˜oes o que torna o seu estudo mais do que necess´ario para o ser humano.
UEPA
4
Prof. Osmar Borges
