EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Y SUS APLICACIONES El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominado análisis matemático o cálculo. Una consecuencia directa de este teorema es la regla de Barrow, denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, y que permite calcular la integral de una función utilizando la integral indefinida de la función al ser integrada. Aunque los antiguos matemáticos griegos como Arquímedes ya contaban con métodos aproximados para el cálculo de volúmenes, áreas y longitudes curvas, fue gracias a una idea originalmente desarrollada por el matemático inglés Isaac Barrow y los aportes de Isaac Newton y Gottfried Leibniz que este teorema pudo ser enunciado y demostrado.
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Sea f una funcion continuia en un intervalo cerrado (a,b) y sea la fincion F cefinida por
Segundo teorema fundamental del cálculo:
Segundo teorema fundamental del cálculo:
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 14, evalúe la integral definida. En los ejercicios 15 a 21, calcule la derivada. Nota: para resolver los ejercicios es necesario conocer algunas técnicas de integración, por el momento sólo es indispensable aprender la integración directa y la integración por sustitución.
*INTEGRACIÓN APROXIMADA: REGLA TRAPEZOIDAL Y REGLA DE SIMPSON REGLA SIMPSON:
La función f(x) (azul) es aproximada por una función cuadrática P(x) (rojo). En análisis numérico, la regla o método de Simpson (nombrada así en honor de Thomas Simpson) es un método de integración numérica que se utiliza para obtener la aproximación de la integral:
. Derivación de la regla de Simpson Consideramos el polinomio interpolante de orden dos P2(x), que aproxima a la función integrando f(x) entre los nodos x0 = a, x1 = b y m = (a+b)/2. La expresión de ese polinomio interpolante, expresado a través de la Interpolación polinómica de Lagrange es:
Así, la integral buscada se puede aproximar como:
Error El error al aproximar la integral mediante la Regla de Simpson es
donde h = (b − a) / 2 y
.
REGLA TRAPEZOIDAL: La regla del trapecio o regla trapezoidal es una de las fórmulas cerradas de Newton-Cotes. Considérese la función f(X), cuya gráfica entre los extremos X = a y X = b se muestra en la fig. 1. Una aproximación suficiente al área bajo la curva se obtiene dividiéndola en n fajas de ancho y aproximando el área de cada faja mediante un trapecio, como se indica en la figura.
Llamando a las ordenadas Y i (i = 1, 2, 3, ...., n+1), las áreas de los trapecios son:
(1)
El área total comprendida entre X = a y X = b está dada por:
(2)
Sustituyendo las ecs. (1) en esta expresión se obtiene:
(3 )
La cual recibe el nombre de Fórmula Trapezoidal, y se puede expresar como:
(4)
En esencia, la técnica consiste en dividir el intervalo total en intervalos pequeños y aproximar la curva Y = f(X) en los diversos intervalos pequeños mediante alguna curva más simple cuya integral puede calcularse utilizando solamente las ordenadas de los puntos extremos de los intervalos. Si la función f(X) se puede expresar como una función matemática continua que tiene derivadas continuas f'(X) y f''(X), el error que resulta de aproximar el área verdadera en una faja bajo la curva f(X) comprendida entre Xi y Xi+1 mediante el área de un trapecio, se demuestra que es igual a:
(5)
Este error es la cantidad que se debe agregar al área del trapecio para obtener el área real. Se llama Error por Truncamiento, ya que es el error que resulta de utilizar una serie de Taylor truncada, en vez de una serie de Taylor completa, para representar en forma de serie el área de una faja. Generalmente no se puede valuar directamente el término mostrado como error por truncamiento. Sin embargo, se puede obtener una buena aproximación de su valor para cada faja suponiendo que f '' es suficientemente constante en el intervalo de la faja (se supone que las derivadas de orden superior son despreciables) y evaluando f '' para . La estimación del error por truncamiento para la integración total se obtiene sumando las estimaciones para cada faja. Si la estimación obtenida para el error total por truncamiento es mayor de lo que se puede tolerar, se debe utilizar una faja más angosta o un método más preciso. Otro error que se introduce al obtener el área aproximada de cada faja es el Error por Redondeo. Este se produce cuando las operaciones aritméticas
requeridas se efectúan con valores numéricos que tienen un número limitado de dígitos significativos. Se puede demostrar que una aproximación al límite del error por redondeo es:
(6)
Tenemos
entonces
proporcionalmente
que a
el
límite ,
lo
truncamiento que es proporcional a
en
el
cual
error pronto
por
redondeo
domina
al
aumenta
error
por
. En realidad, el error por redondeo
en sí no crece proporcionalmente con
sino con
1, pero sin embargo aún supera al error por truncamiento si suficiente.
en que 0 < p < decrece lo
El error por redondeo se puede minimizar utilizando aritmética de doble precisión o mediante compiladores que pueden manejar un gran número de dígitos significativos. De la información anterior se puede ver que el error total en el intervalo de integración deseado, es la suma de los errores de truncamiento y redondeo. Si el error total se debiera únicamente al error por truncamiento, se podría hacer tan pequeño como se deseara reduciendo suficientemente el ancho de la faja. Por ejemplo, bisectando el ancho de la faja se duplicaría el número de errores por truncamiento que hay que sumar, pero la expresión para el error en cada faja indica que cada uno sería aproximadamente un octavo de su valor previo. Sin embargo, disminuyendo el ancho de la faja se afectaría también el error total al aumentar el error por redondeo, debido al mayor número de operaciones que hay que efectuar al valuar la ec. (3). Entonces, cuando se disminuye el ancho de la faja para disminuir el error total, existe un punto óptimo en el cual disminuciones adicionales del ancho de la faja harían que el error aumentara en lugar de disminuir, porque el error por redondeo se volvería dominante. El ancho óptimo de la faja para una función especial se puede determinar fácilmente en forma experimental en la computadora (suponiendo que el área real bajo la gráfica de la función se puede valuar) pero es difícil definirlo analíticamente.
*AREA Y AREAS ENTRE 2 GRAFICAS Las funciones son estas
y=1-x^2 y=x-1
y=1-x^2 y=x-1 Primero hallar los extremos del intervalo (es decir, dónde se igualan los valores de ambas funciones: queda el área encerrada entre ambas curvas): Igualo: 1-x^2 = x-1
0=x^2+x-2; resuelvo los extremos por Baskara:[-1+-√(1+8)] / 2 -2 y 1 Debo hallar el área entre ambas curvas, en el intervalo (-2; 1) ∫(1x^2)*dx - ∫(1-x)dx Calculos las indefinidas: ∫(1-x^2)*dx; ∫(1-x)*(1+x)*dx; integro por partes: u=1+x; du=dx v=(1/2)*(1-x)^2 ; dv=(1-x)*dx -(1/2)*(1-x)^2*(1+x) + (1/2)*∫(1-x)^2*dx -(1/2)*(1-x)^2*(1+x) (1/6)*(1-x)^3 + C Segunda integral: ∫(1-x)dx (-1/2)*(1-x)^2 + C Resto: -(1/2)*(1-x)^2*(1+x) - (1/6)*(1-x)^3 - (-1/2)*(1-x)^2 -(1/2)*(1-x)^2*(1+x) - (1/6)*(1-x)^3 + (1/2)*(1-x)^2 (1/2)*(1-x)^2 *[1-(1+x)] - (1/6)*(1-x)^3 (1/2)*(1-x)^2 * (-x) - (1/6)*(1-x)^3 (1-x)^2 * [(-x/2) - (1-x)/6] Para x=-2: 9* [1- (1/2)]=9/2 Para x=1: 0 Resultado final: (9/2) - 0 = 9/2 Observa que 27/6, simplificado por 3 es 9/2
El área comprendida entre dos curvas, f y g, es igual al área comprendida entre la función diferencia, f −g , y el eje OX. Ejercicios resueltos 1.- Hallar el área comprendida entre la curva y=x3−x , el eje X y las rectas x=0 y x=2 . Como ya sabemos, probablemente la integral ∫0 2 x3−x dx no nos dará la solución correcta. Debemos proceder así: I. Hallamos las soluciones de la ecuación x3−x=0 . Son –1, 0, 1. II. Ordenamos los extremos del intervalo y las raíces que haya entre ellos: 0, 1, 2. III. Calculamos una aproximación al valor de las integrales con nuestra hoja de cálculo: ∫0 1 x3−x=−0.25 y ∫1 2 x3−x=2.25 aproximadamente IV. Una aproximación al área buscada es la suma de los valores absolutos de estas aproximaciones Área aproximada= 0.25+2.25= 2.50 unidades cuadradas
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños. Dada una función f(x) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta real, la integral
es igual al área de la región del plano xy limitada entre la gráfica de f, el eje x, y las líneas verticales x = a y x = b, donde son negativas las áreas por debajo del eje x. La palabra "integral" también puede hacer referencia a la noción de primitiva: una función F, cuya derivada es la función dada f. En este caso se denomina integral indefinida, mientras que las integrales tratadas en este artículo son las integrales definidas. Algunos autores mantienen una distinción entre integrales primitivas e indefinidas. Newton y Leibniz a finales del siglo XVII. A través del teorema fundamental del cálculo, que desarrollaron los dos de forma independiente, la integración se conecta con la derivación, y la integral definida de una función se puede calcular fácilmente una vez se conoce una antiderivada. Las integrales y las derivadas pasaron a ser herramientas básicas del cálculo, con numerosas aplicaciones en ciencia e ingeniería. Bernhard Riemann dio una definición rigurosa de la integral. Se basa en un límite que aproxima el área de una región curvilínea a base de partirla en pequeños trozos verticales. A comienzos del siglo XIX, empezaron a aparecer nociones más sofisticadas de la integral, donde se han generalizado los tipos de las funciones y los dominios sobre los cuales se hace la integración. La integral curvilínea se define para funciones de dos o tres variables, y el intervalo de integración [a,b] se sustituye por una cierta curva que conecta dos puntos del plano o del espacio. En una integral de superficie, la curva se sustituye por un trozo de una superficie en el espacio tridimensional. Las integrales de las formas diferenciales desempeñan un papel fundamental en la geometría diferencial moderna. Estas generalizaciones de la integral surgieron primero a partir de las necesidades de la física, y tienen un papel importante en la formulación de muchas leyes físicas cómo, por ejemplo, las del electromagnetismo. Los conceptos modernos de integración se basan en la teoría matemática abstracta conocida como integral de Lebesgue, que fue desarrollada por Henri Lebesgue.
La integral definida de una función representa el área limitada por la gráfica de la función, con signo positivo cuando la función toma valores positivos y negativo cuando toma valores negativos.
*EN SITUACIONES DE LAS CIENCIAS NATURALES Y SOCIALES
Existen muchas situaciones donde la cantidad que queremos calcular puede ser expresada como una integral definida. Típicamente esto puede suceder cuando la cantidad a calcular puede ser aproximada mediante la división de pequeños rectángulos, resolviendo el problema aproximadamente para cada uno de esos rectángulos, y entonces sumar esas aproximaciones. Esto es lo que hemos visto a lo largo del desarrollo de este capítulo. Esta sección tiene como objetivo aplicar la teoría vista en relación a la integral definida en disciplinas como Física, Geometría, Economía, etc.
UN PROBLEMA DE CIENCIAS SOCIALES. La densidad de población de Ringsburg está en función de la distancia del centro de la ciudad: a r millas del centro, la densidad es P = f (r) gentes por milla cuadrada. Ringsburg tiene un radio de 5 millas. Escribe una integral definida que exprese el total de la población de Ringsburg. Solución: Queremos hacer la partición del poblado de Ringsburg y estimar la población en cada pieza resultante de la partición. Si tomamos la partición de la región en línea recta, la densidad de la población podría variar en cada una de las piezas resultantes, ya que ésta depende de la distancia del centro de la ciudad. Queremos que la densidad de la población sea lo más cercanamente constante en cada una de las piezas, tal que sea posible estimar la población multiplicando la densidad y el área juntas. Por lo tanto tomamos piezas que son anillos delgados alrededor del centro, a una distancia constante del mismo (ver Figura 3.7), ya que el anillo es muy delgado, podemos aproximar su área enderezando el anillo como si fuera un rectángulo delgado. (Ver Fig. 3.8) El ancho del rectángulo es Δr millas, y su longitud es aproximadamente igual al anillo de la circunferencia, 2πr millas, entonces su área es aproximadamente 2πrΔr mi2. De esta manera, La densidad de población ≈ Densidad∗ Área. Así Población del anillo ≈ ( f (r) gentes /mi2 )(2πrΔr mi2 ) = f (r) ⋅ 2πrΔr gentes. Sumando sobre todos los anillos, tenemos Población total ≈Σ2πrf (r)Δr gentes. Como la suma se aproxima a la integral, entonces Población total = ∫5 0 2πrf (r)dr gentes.
