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ARITMÉTICA
Teorema Fundamental de la Aritmética
=∙ 3412 24 12=4×3 34=2×17 43 2 43≠2× = ú 1 211 ú 2 1 ú 11 Definición (Divisibilidad) Decimos que un número entero es tal que
entre un número entero si existe exi ste un número entero
Ejemplo:
es entre ya que es entre ya que no es divisible entre ya que para todo número entero se tiene que
En otras palabras,
es divisible entre un número entero si el cociente es un número entero,
Al número entero le llamaremos
Al número entero le llamaremos
de
de
Definición (Número primo) Un número primo es un número natural mayo que tal que es divisible únicamente entre él mismo y entre 1 Ejemplo:
es es
ya que es divisible únicamente entre y . ya que es divisible únicamente entre y 1.
Ejercicios
Escriba los primeros seis múltiplos de los siguientes números a) b) c) d) e)
2 5 7 9 12
________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________
Escriba todos los divisores de los siguientes números a) b) c) d)
14 28 23 48
________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________
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50 30 ú 50 . − 100, 150,200,250, 300,350,400, 450,500,550, 600,650,… ú 30. − 60, 90, 120, 150,180,210,240,270, 300,330,390,420, 450, … , 600, … í ú ú í ú ú ( ) , = 50 30 150, 3 00, 4 50, 6 00, … 300, 4 50, 6 00, … 150 (50,30) =150 50 30 50 .− 1, 2, 5, 10,25,50 30.− 1, 2, 3, 5, 10,15,30 á ú á ú (, ) = 50 30 1, 2 , 5 , 1 0 1,2,5 (50,30) =10 (105,70) = (105,70) = Tomemos dos números enteros diferentes por ejemplo y . Ambos números tienen una infinidad de múltiplos, así mismo hay una infinidad de múltiplos que tienen en común.
Pero lo interesante es hallar el mínimo de todos ellos, a este número en especial lo llamaremos . Daremos una definición un poco más formal acerca de este número.
Definición (Mínimo común múltiplo) Dados dos números enteros positivos , se define el de y como el número entero positivo tal que es múltiplo de y de , si existe un entero positivo que es múltiplo de y de entonces es múltiplo de . A este número lo denotaremos de la siguiente manera
En el ejemplo anterior vimos que y tienen como múltiplos comunes a sin embargo resultan ser múltiplos de , entonces por la definición anterior, se tiene que De igual forma y divisor en común.
tiene una cantidad finita de divisores, así mismo tendrán por lo menos un
En especial nos interesa el máximo de todos ellos, a este número en especial lo llamaremos . Daremos una definición un poco más formal acerca de este número.
Definición (máximo común divisor) Dados dos números enteros , se define el de y como el número entero positivo talque es divisor de y de , si existe un entero positivo que es divisor de y de entonces es divisor de . A este número lo denotaremos de la siguiente manera
En el ejemplo anterior vimos que y tienen como divisores comunes a resultan ser divisores de 10, entonces por la definición anterior se tiene que
Halle el
y
sin embargo
de 105 y 70
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La Criba de Eratóstenes
1 11 21 31 41 51 61 71 81 91
2 12 22 32 42 52 62 72 82 92
3 13 23 33 43 53 63 73 83 93
4 14 24 34 44 54 64 74 84 94
5 15 25 35 45 55 65 75 85 95
6 16 26 36 46 56 66 76 86 96
7 17 27 37 47 57 67 77 87 97
8 18 28 38 48 58 68 78 88 98
9 19 29 39 49 59 69 79 89 99
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Escriba de menor a mayor los números primos que halló en la criba de Eratóstenes
__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ ¿Son los anteriores números los únicos números primos que existen?
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Teorema Fundamental de la Aritmética
Todo número entero mayor que 1 es o un número primo o el producto de números primos.
35=7×5 45=3×3×5
Ejemplo.
Vamos a desarrollar un método para que dado un número natural arbitrario no primo podamos hallar los números primos cuyo producto forman a . A estos números los llamaremos factores de . Demos un número natural cualquiera no primo, por ejemplo 140, entonces iremos dividiendo de menor a mayor por todos los números primos entre los que es divisible
Entonces Ejercicios
140=2×2×5×7
14070 | 22 357 57
Descomponga los siguientes números naturales como producto de números primos
a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l)
125= 34= 22= 48= 39= 48= 56= 136= 539= 936= 3430= 368=
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é 30 50 é 50=2×5 30=2×3×5 2, 5 3 (50,30) =2×3×5 =150
Aplicaciones
Ahora que hemos estudiado el métodos para hallar el y de dos números enteros positivos.
nos es posible crear
Mínimo común múltiplo
Tomemos de nuevo los números y , por el tenemos que y , entonces el mínimo común múltiplo es el resultado de multiplicar los factores comunes a la mayor potencia (en este caso ) y los factores no comunes (en este caso ), entonces el Otro método seria colocar ambos números en una tabla y dividirlos entre todos los factores posibles
50,25, 1530 | 32}(50,30)=2×3×5 =150 25,5, 15 55
((1205,2,3730) )== ( ) 7 0, 9 0 = ( ) 2 5, 5 0 = ( ) 8 4, 2 10 = ( ) 7 , 5 = ( ) 6 93, 1 155 = ( ) 4 , 8 = ,(175,50 ) = ,
Ejercicios a) b) c) d) e) f) g) h) i)
j) Sean
enteros positivos, supongamos que
mcm(a,b)=a ?
k) Sea un entero positivo, calcule l) Sean
> , ¿si
(,) (, ) =∙
es múltiplo de
entonces
enteros positivos tales que al descomponerlos en producto de números primos
no tienen factores en común entonces
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. Explique por qué pasa esto.
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Máximo común divisor
50=2×5
50 30 é 30=2×3×5 2, 5
De nuevo tomaremos los números y . Por el tenemos que y , entonces en máximo común múltiplo es el resultado de multiplicar los factores comunes a la menor potencia (en este caso ), entonces el
(50,30) =2×5=10
Otro método seria colocar ambos números en una tabla y dividir solo entre los factores que tienen en común
50,25 1530 | 52(50,30)=2×5=10 53
Decimos que dos enteros positivos
c) d) e) f) g) h) i)
son
si
((235,0,1250)) == ((45,5,7)3=5) = ((83,3,1627) )== ((2610,0,436230) )== (1,15, 69) = > (,) , ( ) , =1 (, ) = (∙,)
Ejercicios a) b)
, (, ) =1
j) Sean
enteros positivos, supongamos que
, ¿si
mcd(a,b)=b ?
es múltiplo de
entonces
k) Sea un entero positivo, calcule l) Sean
enteros positivos tales que al descomponerlos en producto de números primos
no tienen factores en común entonces m) ¿Es verdad que
Teorema Fundamental de la Aritmética
. Explique por qué pasa esto.
? Explique por qué.
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í ú ú , =(, ) , =∙ =∙ Con el uso de el racionales mas general.
podremos dar una definición de suma entre números
Suma y resta de números racionales
Sean enteros positivos diferentes de cero y sea , entonces existen enteros positivos tales que
Ejemplo
( 3 0, 1 2)= 210 60=30×2 60=12×5 (×)+(×) +
Tenemos que
=
= = = − = − = = − = = − = = − = = = =
Ejercicios
a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n)
= ∙∙ (,)
y
entonces es múltiplo de y de , entonces
, entonces
y
= =
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o) p) q)
− = =
Definimos
=
14 3 =4 13 = 1213 = 133 3 = 7 = 5 = 9 = 2 =
Ejemplo
r) s) t) u) v)
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Simplificar o reducir números racionales
El objetivo es reducir una expresión fraccionaria a una más pequeña donde numerador y denominador no tengan divisores en común. Por ejemplo:
250150 250 150 250=2×5×5×5 150=2×3×5×5 250150 = 2×5×5×5 2×5×5×5 2×5×5 5 5 5 = = × =1× = 2×3×5×5 2×5×5×3 2×5×5 3 3 3 250150 = 53
Aplicando el Teorema fundamental de la aritmética podemos expresar a de números primos,
Entonces
Entonces
y a
como producto
Simplifique las siguientes expresiones fraccionarias
a) b) c) d) e) f) g) h) i)
= = = = = = = = =
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