TEOREMA DEL TRANSPORTE DE REYNOLDS
El teorema del transporte de Reynolds es una expresión matemática muy útil que relaciona integrales y derivadas y tiene grandes usos en la mecánica de medios continuos. En su aplicación a este campo, relaciona cómo varían las propiedades de una masa de control con cómo varían las propiedades de un volumen de control. ¡Un momento! ¿Qué es una masa de control y qué es un volumen de control? Masa de control Es una cierta cantidad de material a la que hacemos un seguimiento. Por lo tanto, una masa de control es un objeto físico igual que lo es una pelota, pero puede ser difícil distinguir una masa de control de su vecina (por ejemplo, es difícil distinguir una masa de agua de otra en medio del océano). Volumen de control Es un volumen al que hacemos un seguimiento. Las masas de control pueden atravesar un volumen de control. Los volúmenes de control son entidades geométricas que definimos aparte de los objetos físicos: por ejemplo, el interior de una caja es un volumen de control cuyo contenido, las masas de control que tiene dentro, puede variar con el tiempo.
Masa de control. Es un volumen de material en movimiento.
Volumen de control. Es virtual y el material lo atraviesa.
En general, el teorema del transporte de Reynolds relaciona el ritmo de variación en un dominio móvil (el de la masa de control) y un dominio fijo (el del volumen de control) o incluso entre varios volúmenes móviles. Es una generalización a dimensiones múltiples de la regla de Leibniz. En lo que sigue, usaremos volúmenes y superficies, pero en realidad el teorema es válido para dimensiones superiores e inferiores. La exposición estará centrada, sobre todo, todo, en el concepto de la masa de control por su cómoda interpretación física. Por qué usamos masas de control y volúmenes de control
A menudo, conocemos conocemos las leyes físicas que afectan a los objetos como las masas de control, pero poner en práctica este conocimiento conocimiento puede ser muy ser muy engorroso. Por ejemplo, las ecuaciones del movimiento de una una masa de control de aire (las leyes de Newton y de conservación de la energía), aunque son conceptualmente muy sencillas, se vuelven muy difíciles de integrar porque la masa de control puede desplazarse mucho y acabar en cualquier parte. Como las ecuaciones del movimiento dependen de las masas de aire del entorno (lo hacen a través de la presión y los esfuerzos viscosos, por ejemplo) y estas masas de aire pueden cambiar mucho a cada momento, no es de extrañar que la tarea de calcular el comportamiento del aire (o el medio que sea) pueda volverse algo formidable con esta formulación.
Las partículas vecinas de una masa de control pueden venir de cualquier lugar y son muy difíciles de seguir. Ahora imaginemos imaginemos un volumen volumen cualquiera, cualquiera, fijo o con un movimiento movimiento cómodo cómodo de manejar. Este volumen es un volumen de control y las masas de control pueden, en general, atravesarlo. Si pudiéramos referir las ecuaciones ecuaciones del movimiento no a las masas de control, sino al volumen de control, nuestros problemas quizá se volverían más fáciles de tratar. El teorema del transporte de Reynolds hace esto. Propiedades extensivas y propiedades intensivas
Cojamos una masa de control cualquiera. En un instante de tiempo t , la masa de control tiene unas propiedades (cantidad de movimiento, masa, energía interna…). Diremos que estas propiedades propiedades son C m(t ). ). Ahora bien, la masa de control ocupa un cierto volumen V m(t ). ). Podemos suponer que la propiedad C (t ), ), que llamaremos llamaremos extensiva, es la suma de una propiedad intensiva c (t ,x ) distribuida por los puntos x del espacio ocupado por la masa de control: C m(t ) = ∫∫∫V m( m(t ) c (t ,x ) dV . En la anterior integral, el símbolo d V indica el elemento diferencial de volumen.
Ritmo de variación de las propiedades de una masa de control
Las masas de control son objetos físicos normales y corrientes como pelotas, bolígrafos y gotas de agua. Sus propiedades C m(t ) tienen un ritmo de variación con el tiempo t que es igual a un término forzante o fuente (la fuerza para la cantidad de movimiento, por ejemplo) F : dC m ⁄ dt = F . Aunque no hemos hemos escrito explícitamente explícitamente las dependencias dependencias funcionales, funcionales, el término término forzante F variará, en general, con el tiempo, la región del espacio ocupada por la masa de control y la distribución de las variables físicas en el espacio y el tiempo. Esta distribución de las variables físicas estará determinada por cómo se hayan movido las masas de control (¡partícula por partícula!), así que el seguimiento se vuelve muy poco práctico. Llega el teorema del transporte de Reynolds
Ahora, supongamos supongamos que tenemos tenemos un volumen de de control fijo V que en el preciso instante t coincide con el volumen V m(t ) ocupado por la masa de control: V = V m(t ). ). La frontera del volumen de control es la superficie S. Podemos integrar las variables intensivas c (t ,x ) en este volumen para obtener las variables extensivas C v(t ) correspondientes: correspondientes: C v(t ) = ∫∫∫V c (t ,x ) dV . Un cortísimo instante más tarde, en el tiempo t +d +dt , los dos volúmenes no tienen por qué coincidir. Por lo tanto, el ritmo de variación de las variables extensivas en el volumen de control no tiene por qué coincidir con el ritmo de variación de las variables extensivas en la masa de control. Ahora bien, podemos relacionarlos. Cada punto x de la frontera de la masa de control se desplaza a una velocidad v (t ,x ). La dirección normal (hacia el exterior) a la frontera del volumen de control es el vector unitario n (x ). Por lo tanto, la velocidad normal normal v n(x ) a la que se separa la frontera de la masa de control de la del volumen de control es v n(t ,x ) = v (t ,x ) n (x ). La frontera de la masa de control entra dentro del volumen de control cuando la anterior expresión es negativa y sale cuando es positiva.
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Velocidad normal a la frontera.
Cierta parte de la masa de control sale del volumen de control, mientras que otra parte entra. Fijémonos en un punto x de la frontera del volumen de control. Definamos un elemento diferencial de superficie de frontera d S alrededor de este punto. Como el incremento de tiempo d t es extremadamente pequeño, podemos despreciar cualquier variación de la velocidad v (t ,x ) a la que se desplaza la frontera de la masa de control entre el instante t y el instante t +dt . En este tiempo, habrá entrado dentro del volumen de control una pequeña cantidad de material de volumen − v n(x ) dt dS. El signo negativo se debe a que, si la velocidad relativa es negativa, el material entra, mientras que, si la velocidad relativa es positiva, el material sale. Esta pequeña cantidad de material que entra o sale lleva consigo cierta cantidad extensiva de propiedades físicas: −v n(x ) dt dS c (t ,x ). La suma (la integral) de esta contribución por toda la superficie de la frontera del volumen de control será igual a la cantidad de las variables extensivas que habrá entrado menos la que habrá entrado en el volumen de control en el intervalo de tiempo entre t y t +dt : −dt ∫∫S c (t ,x ) v n(x ) dS.
Elemento de una masa de control que atraviesa un volumen de control. Equivale a la región barrida por un elemento de área en su desplazamiento normal a la frontera en un corto intervalo de tiempo. Con todo lo que sabemos, ya podemos relacionar el ritmo de variación en la masa de control y el ritmo de variación en el volumen de control. En concreto, el incremento en la variable extensiva C v en el volumen de control C m en la masa de control (que coincide en el espacio con el volumen de control en el instante de interés) más lo que entra y menos lo que sale: dC v(t ) = dC m(t ) − dt ∫∫S c (t ,x ) v n(t ) dS. Por otra parte, el ritmo de variación en el volumen de control ha de ser igual a la suma (la integral) de los ritmos de variación en su interior: dC v(t ) ⁄ dt = ∫∫∫V ∂(c ⁄ ∂t )(t ,x ) dV . Juntémoslo todo y operemos mínimamente para mejorar el aspecto estético del resultado. Nos queda la ecuación del transporte de Reynolds : (d⁄dt ) ∫∫∫V m(t ) c (t ,x ) dV = ∫∫∫V (∂c ⁄∂t )(t ,x ) dV + ∫∫S c (t ,x ) v n(x ) dS. El término de la izquierda de la igualdad es el ritmo de variación d C m ⁄ dt de las propiedades de la masa de control, igual al término forzante F que vimos antes, pero ahora todo es potencialmente más fácil porque usamos variables referidas no a partículas materiales móviles, sino a puntos fijos del espacio. Varios volúmenes móviles
En ninguna parte de las ecuaciones anteriores aparece el requisito de que el volumen móvil sea el ocupado por un objeto material. El volumen móvil puede ser un volumen de control cualquiera. Si aplicamos el teorema del transporte de Reynolds a dos volúmenes de control móviles V 1(t ) y V 2(t ) tales que ambos coinciden en el preciso instante t con el volumen de control fijo V , obtenemos la siguiente relación: (d⁄dt ) ∫∫∫V 1(t ) c (t ,x ) dV = (d⁄dt ) ∫∫∫V 2(t ) c (t ,x ) dV ) + ∫∫S c (t ,x ) [v 1(t ,x ) − v 2(t ,x )] n (x ) dS. Esta expresión es útil, por ejemplo, a la hora de tratar problemas con frontera móvil tales como el comportamiento del fluido en el interior de un motor alternativo.
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1. Análisis de Volumen de Control Tres técnicas de análisis de flujo Análisis integral o de volumen de control Análisis diferencial Análisis experimental o dimensional Sistema cerrado : cantidad de masa de identidad fija Volumen de control: región del espacio específica Mecánica de Fluidos Volumen de Control sistema t+δ t rz v t volumen de y control x Mecánica de Fluidos 1 2. Tipos de Volumen de Control Fijo En movimiento acelerado o no Rígido Deformable Mecánica de Fluidos ¿Qué leyes usamos?Conservación de masa o continuidad dmsist m sist = const =0 dtConservación de momento lineal o rcantidad de movimiento r r r d (mv )sist ∑F = m sobre el sist sist a sist ∑F = sobre el sist dtConservación de momento angular dH sist r r ∑M sobre el sist o = dt H sist = ∑ (r × v )i mi sist Mec ánica de Fluidos 2 3. ¿Qué leyes usamos? Conservación de energía dEsist δQ ingresa al sist − δW entrega el sist = dE sist & Q −W& = entra realiza dt Ecuaciones complementarias: • Ecuación de estado • Condiciones de contorno • Condición inicial (si es no estacionario) 1. Ecuaciones planteadas para un sistema • m r • mv 2. En todos los casos derivamos alguna • H propiedad del sistema: • E Mecánica de Fluidos ¿Cómo relacionamos la derivada temporal de una propiedad, B, del sistema con la derivada temporal de de Transporte de Reynolds Teorema B dentro de un VC? dBsist dBVC dB ? Bsist = ∫ b dm = ∫ ρ b dV y b= dt dt sist Vsist dm sistema IIIt+δt dBsist dBVC & & = + Bout − Bin IIt+δ t dt dt IIt t+ δ t It+δt velocidad de cambio de B del sistema quez t volumen de ocupa el VC en el instante t control: velocidad de acumulación de B en el VC y • Fijo flujo neto que atraviesa la SC • No deformable x Mecánica de Fluid os 3 4. Términos de flujo & d & ¿cuánto vale el diferencial de caudal másico B = ∫= ? m que arrastra la propiedad b? & B b dm Superficie Quieta ¿Superficie en movimiento? ( dm = ρ (v . n )dA & ( B& in/ out = &B / out = in ∫∫bbρρ ((vv . n ) dA AAinooAAout r in out ( • Flujo entrante (vr . n ) < 0 ( • Flujo saliente (vr . n ) > 0 Mecánica de Fluidos Teorema de Reynolds ( ( = = ∫ ρ b dV∫+ ρ (vρ.(v)dA)dA dBdBsist d dBVC sist + b ∫ b r n r .n dt dt dt VCdt SC SC Simplificaciones• VC es fijo vVC = 0 vr = v fluido ∂ ∫ ρ bdV =VC ∂t (ρ b) dV d• VC es rígido dt VC ∫ ∂ ∂ ∫ ∂t (ρ b )dV = ρ VC ∂t (b )dV ∫• Flujo incompresible VC ( ( ∫ ρ b(vr .n ) dA = ρ ∫ b(vr .n ) dA SC SC Mecánica de Fluidos 4 5. Selección del VC Mecánica de Fluidos Conservación de masa dmsist m sist = const =0 dB dt B=m b= =1 dm ( ∫ ρ dV + SC ρ (vr .n )dA = 0 dmsist d dt = dt VC ∫ Simplificaciones ∂ρ (• VC fijo y no deformable ∫ ∂t dV + ∫ ρ (v . n ) dA = 0 VC SC ( ( (• Flujo incompresible ρ ∫ (v . n ) dA = 0 ρ ∫ (v . n ) dA = ρ ∫ (v . n ) dA SC Ain Aout Mecánica de Fluidos 5 6. Conservación de masa ejemplos • VC fijo y no deformable min = mout & & • Flujo incompresible • Velocidad uniforme en las entradas y salidas min = & ∑ρ v
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entradas n − ent Aent = ∑ρv salidas n − sal Asal = mout & Si las velocidades entrantes y salientes son perpendiculares a las áreas min = ∑ ρ vm −ent Aent = ∑ ρ vm − sal Asal = mout & & entradas salidas Si la densidad no cambia Qin = ∑ vm −ent Aent = ∑v m − sal Asal = Qout entradas salidas Mecánica de Fluid os Conservación de cantidad de movimiento d (mv )sist ∑F = m sist a sist ∑F = sobre el sist sobre el sist dt Sistema de referencia inercial dB B = mv b = =v ¿qué velocidad? dm d (mv )sist d ( dt = ∫ (ρ v )dV + SC ρ v (vr .n )dA = sobre VC dt VC ∫ ∑F ∑ F fuerzas sobre el VC material, considerado como cuerpo libresobre VC Mecánica de Fluidos 6 7. Conservación de cantidad de movimiento Tres ecuaciones, una en cada dirección ( i) ( ∫ (ρ u )dV + SC ρ u(vr .n )dA d ∑F sobre VC x = dt VC ∫ ( j) ( ∫ (ρ v )dV + SC ρ v(vr .n )dA d ∑F sobre VC y = dt VC ∫ ( k ) ∑F z = d ∫ dt VC ( (ρ w)dV + ∫ ρ w(vr .n )dA sobre VC SC Mecánica de Fluidos Conservación de cantidad de movimiento Análisis de cada término: flujo estacionario • Acumulación de cantidad de movimiento ∂v ∂ (ρ v ) ρ∫ ∂v =0 ∫ (ρ v )dV = d dt VC ∫ ∂t dV = VC VC ∂t dV ∂t VC rígido flujo incompresible • Flujo de cantidad de movimiento > 0 flujo saliente (vr .n ) ( ∫ ρ v (v .n ) dA&M SC = ( r SC < 0 flujo entrante Si velocidad uniforme en el área & M SC = ∑ (m v ) & salidas salidas − ∑ (m v ) & entradas entradas Mecánica de Fluidos 7 8. Conservación de cantidad de movimiento • Fuerzas sobre el Volumen de Control ∑F = ∑F sobre el VC VOLUMETRICAS + ∑ FSUPERFICIALES + ∑ FINTERFACIALES • Fuerza de gravedad Fg = ∫ ρ g dV VC • Fuerza de presión ( Fp = ∫ ( − p ) n dA SC • Fuerza viscosa (de corte) ∫ (τ . n )dA = ∫ τ ( ejemplos Fv = n dA ij i SC SC Mecánica de Fluidos Volumen de control acelerado Sistema de referencia ¿Cuánto vale no inercial la aceleración absoluta vrel de la partícula? Ω y r a absoluta = a rel + a arr x y z R S part = r + R x dr dR v part = vrel + varr = + + Ω×r Sistema de referencia dt dtz inercial Mecánica de Fluidos 8 9. Volumen de control acelerado dvrel d 2 R d Ω a part = + 2 + × r + 2 Ω × vrel + Ω × (Ω × r ) dt dt444444 24444444 1 dt 4 3 a arr d (mvrel )sist d ( ∑F − ∫ρasobre VC VC arr dV = dt = ∫ (ρ vrel )dV + SC ρ vrel (vr .n )dA dt VC ∫ Mecánica de Fluidos Conservación de energía & & dEsist Q −W = entra realiza dt dB B=E b= = e energía específica dm ( ∫ ρ e dV + SC ρ e(vr . n ) dA dQ dW dEsist d − dt entra dt realiza = dt = dt VC ∫ ¿Qué tipos de energía incluye e? • Cambios de composición química e = einterna + ecinética + epotencial + eotras • Reacciones nucleares • Energía 1 e = u + v2 + g z ˆ 2 (z + ↑) ~0 elestrostática • Energía electromagnética Mecánica de Fluidos 9 10. Conservación de energía: Trabajo & & & & W = Wmotor + Wpresión + Wesf.viscosos & & & & W = Wm + Wp + Wv & Wm : lo vemos con turbomáquinas & W : trabajo de las fuerzas de presión p & Wv : trabajo de deformación debido a las fuerzas viscosas Mecánica de Fluidos Trabajo del presión ( & definición : W = F .v n vr ( Fp = ∫ p (− n ) dA SC vVC & x convención : W p = − Fp .v ( W p = ∫ p (v . n ) dA & trabajo de trabajo SC deformación de flujo ( ( ( &Wp = ∫ p ((v SC VC + vr ). n ) dA = ∫ p (v SC VC . n ) dA + ∫ p (v . n ) dA SC r Mecánica de Fluidos 10 11. Trabajo de fuerzas viscosas & Wv ≈ 0 casi siempre, excepto : Wv = ∫ τ SC . v dA & - en el interior de una onda de choque SC - en una superficie de corriente libre Casos particulares - en una superficie de corriente en el flujo • Superficie sólida, impermeable y quieta & v = 0 Wv = 0 • Superficie sólida, impermeable y móvil & lo incluyo en Wm • Entradas o salid as ( en general elijo nv & Wv ≈ 0 τ ii ≈ 0 Mecánica de Fluidos Conservación de energía ( ∫ ρ edV + SC ρ e(vr . n ) dA dE d & & & & Q − Wm − Wv − W p = = dt dt VC ∫ para VC fijo o moviendose a velocidad constante ( ( ( ∫ p(v . n ) dA − ∫ p(v . n ) dA = dt ∫ ρ edV + ∫ ρ e(v . n ) dA & & & d Q − Wm − Wv − VC r r SC SC VC SC ( p ( ∫ p(v . n ) dA = ∫ ρ edV + SC ρ e + ρ (vr . n ) dA d & & & Q − Wm −
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⎨ ⎩
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⎜ ⎜ ⎟ ⎜
( v2 Wv − SC VC dt VC ∫ ˆ v2 ( p (vVC . n ) dA = ρ u + + gz dV + ∫ ρ h + + gz (vr . n ) dA d& & &Q − Wm − Wv − ∫ SC ∫ 2 SC 2 dt VC ˆ Mecánica de Fluidos 11 12. Conservación de energía Casos particulares • VC rígido y fijo vVC = 0 y vr =v v2 ∂ ρ u + + gz 2 ˆ ˆ v2 ( Q − Wm − Wv = ∫ & & & dV + ∫ ρ h + + gz (v . n ) dA VC ∂t SC 2 • Flujo estacionario v2 SC 2 • Entradas ( & & & Q − Wm − Wv = ∫ ρ h + ˆ + gz (v . n ) dA y salidas uniformes ˆ v2 ˆ v2 & & &Q − Wm − Wv = ∑ msalidas h + + gz & salidas 2 salidas entradas − ∑ mentradas h + + gz & 2 entradas Mecánica de Fluidos Conservación de energía en una línea de corrienteTomo un VC fijo, rígido y coincide con un tubo de corrienteen un flujo estacionario v2 (& & &Q − Wm − Wv = ∫ ρ h + ˆ + gz (v . n ) dA SC 2 v2 v2 & Q dQ& & &Q − Wm − Wv = m2 h + + gz − m1 h + + gz & ˆ & ˆ q= = & m dm 2 2 2 1 W & dWm conservación de masa m1 = m2 = m & & & wm = m = m& dm ˆ v2 ˆ v2 & h + + gz = h + + gz − q + wm + wv W wv = v = dWv 2 1 2 2 & m dm Mecánica de Fluidos 12 13. Línea de nivel energético 1 definición H ≡ h + v 2 + gz : entalpía de remanso 2 q H1 = H 2 − q + wm + wv hq = g p1 u1 v12 ˆ p uˆ v2 w + + + z1 = 2 + 2 + 2 + z 2 − hq + h m + hv hm = m ρ g g 2g ρ g g 2g g w p v2 hv = v definición h0 ≡ + +z: g ρ g 2g Altura total o línea de nivel energético, LNE u 2 − u1 − q ˆ ˆ h01 = h02 + hm + hv + g Mecánica de FluidosEcuación de Bernoullí u 2 − u1 − q ˆ ˆ h01 = h02 + hm + hv + g Por lo ta nto si: flujo estacionario, Incompresible, no hay transferencia de calor, no se entrega, ni extrae trabajo motor, no hay trabajo de fuerzas viscosas. p1 v12 p v2 + + z1 = 2 + 2 + z 2 ρ g 2g ρ g 2g No estacionario 1 2 ∂v 2 ( dp v2 − v12 2 ) + (z 2 − z1 ) = 0 g ∫ 1 ∂t .ds + ∫ 1 ρ g + 2g Mecánica de Fluidos 13 14. Ejemplos Mecánica de FluidosLínea de altura motriz p v2 Línea de Altura Motriz (LAM) : z + = LNE − ρ g 2g LNE p v2 LNE = + +z ρ g 2g LAM Mecánica de Fluidos 14 15. Conservación de momento angular r r H sist = m (r × v ) : masa puntual dH sist r r ∑M sobre el sist o = dt H sist = ∑ mi (r × v )i : sistema de masas puntuales ∫ (r × v ) dm : para un contínuo i H sist = sist Aplicando el Teorema de Reynolds = (r × v ) dB B =H b = dm para un VC acelerado y deformable: ∑ (r × F ) − ∫ ρ (r × a )dV = sobre el sist o arr VC ( ∫ ρ ( r × vrel )dV + SC ρ ( r × vrel )(vr .n )dA d dt VC ∫ Mecánica de Fluidos Conservación de momento angular : simplificaciones • VC fijo y rígido ∂[ρ ( r × v )] ∑ (r × F ) ( = ∫ dV + ∫ ρ ( r × v )(v .n )dA ∂t o sobre el sist VC SC • Entradas y salidas uniformes ∂[ρ ( r × v )] ∑ (r × F )sobre el sist o = ∫ ∂t dV + ∑ msal ( r × v )sal − ∑ ment ( r × v )ent sal & ent & VC • Flujo estacionario ∑ (r × F ) = ∑ m ( r × v ) sobre el sist & o sal sal sal − ∑ ment ( r × v )ent & ent Mecánica de Fluidos 15 16. Turbomáquinas Máquinas hidráulicas rotativas Dispositivos utilizados para entregar o extraer energía del fluido Clasificación: Bombas (entregan energía al fluido) Líquidos → bomba Gases → ventilador, soplante o compresor (psal) Turbinas (extraen energía del fluido) Mecánica de FluidosTurbomáquinas Bombas desplazamiento positivo (cambios de volumen) dinámicas o de intercambio de momento (paletas o álabes móviles) Según el flujo axial radial mixto Mecánica de Fluidos 16 17. Bombas de desplazamiento positivo Mecánica de Fluidos Turbomáquinas típicasNos concentramos en las centrífugas: Mecánica de Fluidos 17 18. Bomba centrífuga Carcasa Rotor Difusor Álabes Mecánica de FluidosConservación de energía Asumiendo: VC fijo y rígido coincidente con el rotor Flujo estacionario Incompresible Entradas y salidas uniformes No hay transferencia de calor No hay trabajo de esfuerzos viscosos p v2 p v2
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⎟ ⎟ ⎜ ⎞ ⎜ ⎠⎝ ⎠
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+ ⎜ ρ g 2g + z⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ρ g 2 g + z ⎟ + hm + h f + ⎟ ⎝ ⎠ ent ⎝ ⎠ sal ⎜Mecánica de Fluidos 18 19. Parámetros básicos Altura de carga de la bomba : H ≡ h0 sal − h0ent = hm − h f ∆p Generalmente v1 ≈ v2 y z1 ≈ z 2 ⇒ H ≈ ρg Potencia útil : Pw = ρ g Q H Potencia entregada al fluido Potencia requerida para mover Potencia al freno : Pf = ωT el rotor Pw ρ g Q H Rendimiento de la bomba : η b = = Pf ωT Pf ωT Eficiencia de la turbina : η t = = Pw ρ g Q H Mecánica de Fluidos Teoría elemental de bombas r u2 = ω r2 v2 v w1 v1 z n2 α2 vt 2 α1 b β1 vn1 vt1 u1 = ω r1w2 r1 β2 velocidad del r2 v =u +w fluido relativa ω al álabe velocidad del fluido velocidad del álabe Mecánica de Fluidos 19 20. Teoría elemental de bombas r 1. b es chico flujo radial VC fijo y rígido z 2. 3. Es flujo periódico b 4. Tomo promedio en el tiempo y considero estacionario 5. Flujo incompresible 6. Velocidad uniforme y perpendicular a la entrada y la salida Mecánica de Fluidos Teoría elemental de bombas Tomo conservación de momento angular: ∑ (r × F ) ( ∫ ρ ( r × v )dV + SC ρ ( r × v )(v .n )dA dsobre la bomba o = dt VC ∫ 0 ¿Qué fuerzas hacen momento? ¿presión? ¿peso? ¿fuerzas viscosas? Torque del motor Mecánica de Fluidos 20 21. Teoría elemental de bombasConservación de momento angular: To = ( r2 × v2 ) m2 − ( r1 × v1 ) m1 & &Conservación de masa: Q1 = vn1 A1 m2 = m1 = m = ρ Q & & & Q2 = vn2 A2Reemplazando To = ρ Q(r2 vt 2 − r1vt1 ) Mecánica de FluidosEcuaciones de Euler paraturbomáquinas ω To = ρ Q(ω r2 vt 2 − ω r1vt1 ) Pw = ρ Q(u 2 vt 2 − u1vt1 ) Pw H= Pw = η Pf ρ gQ ¿cómo es H vs Q? Mecánica de Fluidos 21 22. Curva de la bomba H Q Mecánica de Fluidos 22
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