Introducción
1.3 Derivada Material
En el caso de la descripción euleriana, el cálculo de las derivadas no es tan inmediato. Efectivamente, a la hora de describir cómo cambia una magnitud del campo fluido, debemos tener en cuenta que posición y tiempo son variables independientes. Si tenemos esto en cuenta, y calculamos la variación temporal de una magnitud asociada a un punto material a medida que dicho punto material se mueve, debemos operar como sigue:
En la expresión anterior se ha tenido en cuenta que
dx/dt es precisamente la
velocidad a la que se mueve la partícula que estamos siguiendo, que no es otra que la velocidad a la que se mueve el fluido. inalmente, para distinguirla de las derivadas convencionales !no parciales"
respecto al tiempo, hacemos el siguiente cambio de notación:
,
para representar nuestra derivada, que a partir de ahora llamaremos derivada siguiendo al punto material o, me#or a$n, derivada sustancial. %ambi&n conocida como derivada material o derivada convectiva.
El operador de la derivada sustancial es, ateni&ndonos al desarrollo anterior, el siguiente:
'a interpretación de la derivada sustancial puede resultar un tanto extra(a, pero rápidamente se aclara si tenemos en cuenta que, para calcularla, y teniendo siempre presente que posición y tiempo son variables independientes, en todo momento hemos seguido a un punto material que se mueve con el fluido) por tanto, las componentes del campo fluido cambiarán no sólo porque el tiempo avance, sino tambi&n porque la posición de la partícula que hemos ido siguiendo ha ido cambiando. *na $ltima puntuali+ación sobre la notación y la interpretación del operador que hemos definido. omo hemos visto, la derivada sustancial tiene dos sumandos. El primero de ellos:
Se denomina aceleración local, y, como es natural, recoge las variaciones en las magnitudes al avan+ar el tiempo.
Este t&rmino tiene la información de las derivadas espaciales y recoge las variaciones en las magnitudes cuando pasamos de un punto a otro del dominio fluido. onviene observar que el t&rmino de la derivada convectiva introduce una no linealidad en las ecuaciones que estamos tratando de plantear. - ese t&rmino se debe, fundamentalmente, la tremenda variedad y comple#idad de los movimientos
de los fluidos, así como las soluciones, a menudo caóticas, de los problemas que se plantean en esta disciplina. 'as leyes fundamentales que gobiernan el comportamiento de un fluido pueden formularse directamente para una partícula o sistema de fluido concreto. -sí por e#emplo la segunda ley de e/ton formulada en un tiempo t para una partícula que está identificada por sus coordenadas lagrangianas R0 y que ocupa una posición x!R0,t " se escribe como:
'a aceleración, a, se define como la rapide+ de variación con el tiempo de la velocidad de la partícula. -l estar descritas las propiedades en forma 'agrangiana esto se expresa como:
1 la ecuación de la ley queda como:
-l ver esto da la sensación que el enfoque 'agrangiano permite formular de forma directa las ecuaciones de las leyes fundamentales. 2lanteando estas ecuaciones para todas las partículas que intervienen en el problema y resolvi&ndolas se obtendría la solución al problema desde el punto de vista 'agrangiano. Si se adopta un enfoque Euleriano del problema y se centra la atención en un punto del espacio locali+ado por sus coordenadas x2, para la partícula, sin
importarnos su identidad, que en el instante t considerado ocupa esta locali+ación
se cumplirá que: a!x2,t " expresa la aceleración de la partícula que en el instante t está ocupando la
posición x2. 'a cuestión es, a la vista de la definición de aceleración, cómo obtener una expresión para la misma. 2ara ello se derivará con respecto del tiempo la velocidad de la partícula en cuestión v!x2,t ", pero teniendo en cuenta que la posición de la partícula x varia con respecto del tiempo, por lo tanto:
Siendo
la velocidad de la partícula v!x2,t".
Esto se cumplirá para cualquier punto del campo de flu#o por lo que se tendrá el campo de aceleraciones que viene dado por:
- este tipo de expresión se le denomina
derivada material o euleriana y
permite a
partir de una propiedad descrita en forma euleriana obtener la rapide+ de cambio con el tiempo de la propiedad para una partícula. oncretamente, si se tiene una propiedad gen&rica b!x,t" su derivada material proporciona:
- la parte
se denomina término local y a
término convectivo.
omo puede, el t&rmino convectivo no es lineal y es el culpable de la dificultad matemática del análisis diferencial de los flu#os. Si se vuelve a escribir la ecuación de la segunda ley de e/ton escribiendo la expresión de la derivada material se obtiene:
Si se observa ahora y faltando por desarrollar el t&rmino de las fuer+as, gracias a la derivada material se ha transformado una ecuación válida para una partícula en una relación entre las variables de flu#o en un punto, por lo tanto, la derivada material es la herramienta matemática que va a permitir formular las leyes fundamentales traba#ando con un enfoque euleriano.
1.5 Teorema del Transporte de Reynolds El teorema del transporte de 3eynolds es el primer paso para poder demostrar todas las ecuaciones básicas de la mecánica de fluidos. Este teorema indica como varía con el tiempo una propiedad cualquiera !4" del fluido dentro de un volumen de control !5" definido. 'a ecuación del teorema de 3eynolds varía ligeramente si el volumen de control es fi#o, móvil o deformable. El volumen de control es la región de inter&s que se desea estudiar, mientras que la superficie de control !S" es el área que envuelve
el volumen de control, es un concepto abstracto y no obstruye de ninguna forma al fluido. onsiderando un volumen de control fi#o atravesado por una configuración de flu#o arbitraria, como se muestra en la figura siguiente, la $nica complicación adicional es que hay +onas de entrada y salida variables a lo largo de la superficie de control.
2ara plantear las ecuaciones generales necesitamos evaluar cómo cambian una serie de magnitudes encerradas en lo que llamaremos un volumen de control, es decir, una región del fluido en la que ponemos nuestra lupa para mirar lo que entra en &l, lo que sale, y lo que cambia en su interior. 3ápidamente nos damos cuenta de que, al contrario de lo que pasa en un sólido, la forma del volumen de control se distorsionará mucho con el tiempo, por lo que necesitamos reali+ar esos balances teniendo a mano una herramienta que nos permita evaluar la evolución de los parámetros de inter&s a medida que el propio volumen de control evoluciona con el tiempo. Eso es precisamente lo que nos permite el teorema del transporte de 3eynolds
.
'lamemos a la región contenida en nuestro volumen de control en un instante
cualquiera
. 'a superficie frontera de nuestro volumen de control en ese
mismo instante, que es cerrada, será cambia con el tiempo una magnitud
. uestro ob#etivo es evaluar cómo en el interior de dicho volumen.
2ara evaluar lo anterior, podemos optar por dos caminos:
2odemos sustituir la derivada como un límite, hacer un par de desarrollos en serie de %aylor truncada en la primera derivada y, finalmente, evaluar el límite de la forma usual. Esta es la forma rigurosa y formal de demostrar el teorema, pero tiene el inconveniente de que, entre tantos pasos intermedios, podemos perder de vista la física de lo que hay detrás.
6 bien, para mantener la física delante de nuestros o#os, podemos proceder utili+ando una 7con#etura ra+onable8 que nos llevará al mismo resultado, que es lo que vamos a hacer.
9. o es difícil darse cuenta de que la derivada de la integral que queremos calcular no es más que un caso general de la derivada sustancial. En efecto, la derivada de la integral es un balance aplicado a un volumen finito. 2or su parte, la derivada sustancial es tambi&n un balance, pero aplicado sobre una partícula material, un punto. En el límite, una partícula material no es más que un volumen infinitamente peque(o. 2or tanto, podemos tratar de reconstruir la integral a partir de la derivada, teniendo en cuenta que la mayor diferencia entre los vol$menes de control es que, mientras que en el punto material el volumen de control y la superficie que lo envuelve colapsan en la misma entidad geom&trica !el propio punto", en el caso de la integral dicho colapso no se produce. 2or tanto:
;onde, en la expresión anterior,
es el elemento diferencial del volumen
sobre el que reali+amos la integral.
<. 'a derivada sustancial tenía un primer t&rmino que era la aceleración local de la magnitud al evolucionar el tiempo. Esto es asimilable en la integral a calcular la variación de la magnitud dentro del volumen de control, independientemente del movimiento del volumen:
=. ;ebemos evaluar ahora la derivada convectiva. Si recordamos el significado de la derivada convectiva, lo que expresaba era el cambio en la propiedad cuando seguíamos a una partícula inmersa en el fluido. -hora, en ve+ de una partícula, lo que tenemos es un volumen finito, por lo que podemos imaginar fácilmente que cuando el volumen de control se mueve en el fluido, el flu#o atravesará su superficie. ;e este modo, cualquier magnitud transportada con el fluido atravesará tambi&n el volumen de control. Este ra+onamiento nos lleva a equiparar la derivada convectiva con una operación que, en el caso de un volumen de control finito, pueda medir cuánto de esa magnitud que nos interesa está entrando y saliendo del mismo. 1 ese, precisamente, es el concepto de flu#o a trav&s de una superficie. En este momento, y para ayudar a la interpretación de este concepto, conviene que mostremos el teorema de la divergencia:
'a divergencia equivale a una fuente o a un sumidero, seg$n sea el signo que tenga, en el interior de un volumen, !miembro i+quierdo de la igualdad", es igual a la cantidad que atraviesa la frontera de dicho volumen !segundo t&rmino". Esto se ve más claro en la imagen siguiente, donde que delimita dicho volumen:
denota el volumen y
la superficie
El segundo t&rmino del teorema de la divergencia define precisamente el flu#o de una magnitud a trav&s de una superficie. - la hora de aplicar el teorema de la divergencia hay que notar que tanto la magnitud que está fluyendo como la superficie tienen carácter vectorial. En el caso de la superficie esto puede resultar chocante, pero para tratar una superficie de forma vectorial no tenemos más que definir un vector que tenga como módulo el valor de la superficie y, como dirección y
sentido,
los
dados
superficie:
por
la
normal
que
apunta
hacia
fuera
de
la
.
*na ve+ hecho este peque(o inciso, para volver al teorema del transporte de 3eynolds nos queda definir la derivada convectiva en un volumen como un flu#o a trav&s de una superficie. 2ara ello, sólo debemos usar que una magnitud transportada en un fluido tiene carácter vectorial si nos damos cuenta de que, al ir inmersa en el fluido, es transportada por el campo de velocidades de este. *sando la notación anterior,
2or tanto, el t&rmino de la derivada convectiva en forma integral nos queda como sigue:
El teorema del transporte de 3eynolds, por tanto, toma la forma:
'a versión del teorema del transporte de 3eynolds, no corresponde al caso más general, sino que sólo podemos aplicarlo cuando la velocidad a la que se mueve el volumen de control coincide con la propia velocidad del fluido. Si existe un movimiento relativo entre volumen de control y fluido !recordemos que el volumen de control se establece de forma arbitraria, por lo que ya puestos tambi&n se le puede dar un movimiento arbitrario, más rápido o más lento que el del fluido", se demuestra que la expresión del teorema debe modificarse de la siguiente forma:
;onde
es la velocidad del fluido y
es la velocidad del volumen de control.
Bibliografa
https://cuentos-cuanticos.com/tag/derivada-convectiva/
