1 O DIMENZIONALNOJ ANALIZI U FIZICI
Ljubiˇ sa Neˇ si´ c, Odsek za fiziku, PMF, Niˇ s http://www.pmf.ni.ac.yu/people/nesiclj/
Uvod Kao ˇsto je poznato, fiziˇcke veliˇcine mogu da imaju dimenzije ili pak da budu bezdimenzionalne. Veliˇcina ima dimenziju ako njena brojna vrednost zavisi od izbora sistema jedinica. Na primer, interval vremena od izlaska do izlaska Sunca moˇzemo da izrazimo kao 1 dan, 24 h, 1 440 minuta ili 86 400 s. Vidimo da se brojna vrednost menja u zavisnosti od izbora jedinice za vreme iako je stalno reˇc o jednom te istom intervalu vremena. Obzirom na prethodno odredjenje fiziˇcke veliˇcine sa dimenzijom, fiziˇcka veliˇcina je bezdimenzionalna ako joj vrednost ne zavisi od izbora sistema jedinica. Na primer, visina Mont Everesta (h = 8, 848 km) i polupreˇcnik Zemlje (R = 6 370 km) su oˇcigledno veliˇcine sa dimenzijama, ali njihov odnos, h/R = 0, 0014, je bezdimenzionalna veliˇcina, i prema tome, nezavisna od sistema jedinica. Dimenzija fiziˇcke veliˇcine u stvari ukazuje na njenu fiziˇcku prirodu. Naime, nezavisno od toga da li rastojanje koje merimo izraˇzavamo u stopama ili metrima, reˇc je o merenju duˇzine. U tom smislu se kaˇze da je dimenzija (fiziˇcka priroda) rastojanja duˇzina. Simboli koji se obiˇcno koriste da se oznaˇce dimenzije fiziˇckih veliˇcina duˇzina, masa i vreme su L, M i T. Fiziˇcke veliˇcine koje imaju dimenzije, medjusobnim mnoˇzenjem i deljenjem daju nove fiziˇcke veliˇcine.1 Na primer, odnos predjenog rastojanja i intervala vremena daje novu fiziˇcku veliˇcinu (brzinu), ˇcija je dimenzija L/T. Kada ˇzelimo da prikaˇzemo dimenziju neke fiziˇcke veliˇcine koristimo uglaste zagrade [ ]. Na primer, ako nas interesuju dimenzije brzine v, pisa´cemo [v] =L/T. Dimenzija povrˇsine, S, je [S] = L2 , zapremine, V , [V ] = L3 a ubrzanja a je [a] = L/T2 . Fiziˇcki zakon i formula kojom je izraˇzen, ne smeju da zavise od sistema 1
Kada je reˇc o sabiranju i oduzimanju te operacije mogu da se rade samo sa veliˇcinama koje imaju iste dimenzije.
2 jedinica. To je potpuno prirodno jer, zakoni prirode uspostavljaju vezu izmedju veliˇcina koje su postojale do sada a postoja´ce i posle nas, dok je sistem jedinica stvar dogovora ljudi. Odavde sledi veoma vaˇzan zakljuˇcak: obe strane bilo koje jednaˇ cine moraju da imaju iste dimenzije. Iz tog razloga je dobro da uvek kada napiˇsemo neku relaciju, proverimo njenu dimenzionalnu zasnovanost, odnosno jednakost leve i desne strane u pogledu dimenzionalnosti. Ova procedura se naziva dimenzionalnom analizom i uvek moˇze da se primeni.2 U okviru dimenzionalne analize, dimenzije fiziˇckih veliˇcina se tretiraju kao algebarske promenljive. Recimo da nas zanima formula koja povezuje put s koje je preˇsao automobil za vreme t, kre´cu´ci iz stanja mirovanja konstantnim ubrzanjem a. Pretpostavi´cemo da su ove tri veliˇcine povezani relacijom oblika s = Caα tβ , odnosno predjeni put je proporcionalan ubrzanju na α i vremenu kretanja na stepen β (C je bezdimenzionalna konstanta, odnosno neki broj). Ovde su α i β nepoznati koeficijenti koje ´cemo odrediti iz uslova da su dimenzije leve i desne strane jednake. Leva strana jednaˇcine je u pogledu dimenzije duˇzina, tako da i dimenzija desne mora da bude duˇzina, odnosno [aα tβ ] = [a]α [t]β ] = L = L1 , (konstantu C ne piˇsemo jer je bezdimenzionalna). Kako je dimenzija ubrzanja L/T2 a vremena T, dobija se µ
L T2
¶α
Tβ = L1 ,
Lα Tβ−2α = L1 . Da bi obe strane jednaˇcina imale iste dimenzije, eksponenti moraju biti isti. Na desnoj strani se pojavljje samo L a ne i T, ali to u stvari znaˇci da ga moˇzemo dopisati dignuto na nulu, ˇsto znaˇci da su odgovaraju´ce jednaˇcine za eksponenete: β − 2α = 0 i α = 1, odakle se odmah dobija da je β = 2. Time je odredjena funkcionalna zavisnost predjenog puta s, ubrzanja a i vremena t kao x = Cat2 . Taˇcan rezultat za ovaj tip kretanja, je kao ˇsto je 2
Dimenzonalna analiza nam moˇze pomo´ci u najmanju ruku za svodjenje pam´cenja formula na najmanju mogu´cu meru.
3 dobro poznato, s = 12 at2 .3 Po pravilu su bezdimenzionalne konstante koje se √ pojavljuju u fiziˇckim zakonima ( 2, 1/2, π, ...) ni prevelike ni premale tako da dimenzionalna analiza moˇze da posluˇzi i da se oceni i red veliˇcine fiziˇckih veliˇcina. Funkcionalna zavisnost sile otpora sredine pri kretanju tela kroz nju Prilikom primene dimenzionalne analize treba biti veoma oprezan jer u principu mogu da se pojave dva problema. Prvi se tiˇce samog izbora fiziˇckih veliˇcina od kojih moˇze da zavisi fiziˇcka veliˇcina ˇciju vezu sa njima zapravo traˇzimo. Da bi ga reˇsili potrebno je dobro razumevanje fiziˇckih zakona i pojava koje su vaˇzne za razmatranje posmatranog sistema. Drugi problem je postojanje veliˇcina koje mogu da obrazuju bezdimenzionalne faktore u izrazu relacije koju traˇzimo. Pokuˇsajmo da, koriste´ci dimenzionalnu analizu, odredimo silu otpora sredine telu koje se kre´ce kroz nju. Kao ˇsto je ve´c napomenuto, neophodno je odrediti od kojih veliˇcina moˇze da zavisi ova sila. Svakodnevno iskustvo nam kazuje da sa porastom brzine tela v raste i sila otpora sredine, ˇsto znaˇci da sila mora da zavisi od brzine. Osim toga, tela ve´ceg popreˇcnog preseka trpe ve´ci otpor od onih sa manjim (primer za ovo je padobran). Iz tog razloga u izraz za silu mora da udje i povrˇsina popreˇcnog preseka S. I na kraju, sila otpora mora da zavisi i od neke veliˇcine koja predstavlja karakteristiku sredine. Evo problema: koju karakterisitiku sredine izabrati? Izgleda prirodno da treba izabrati gustinu sredine (vazduha, teˇcnosti) ρ, jer, ˇsto je sredina guˇs´ca, to ona viˇse utiˇce na kretanje tela. Prema do sada izreˇcenom, pretpostavi´cemo silu otpora sredine u obliku Fρ =
C α β 2 v S ρ 2
(mnoˇzitelj 2 moˇze da se ukljuˇci u C ali je izdvojen iz istorijskih razloga). Sila ima dimenzije proizvoda mase i ubrzanja, odnosno [F ]=LT−2 M. Iz uslova jednakosti dimenzija leve i desne strane jednaˇcine za silu, dobija se L T−2 M = (LT−1 )α (L2 )β (ML−3 )γ = Lα+2β−3γ T −α M γ , 3
Budu´ci da je taj faktor 1/2 bezdimenzionalan njega nije bilo mogu´ce odrediti na ovaj naˇcin.
4 odakle slede jednaˇcine 1 = α + 2β − 3γ, −2 = −α, 1 = γ. Njihovo reˇsenje je α = 2, β = 1 i γ = 1, pa je traˇzena formula Fρ = CS
ρv 2 . 2
(1)
Koeficijent C zavisi od oblika tela, odnosno od naˇcina kako ´ce ga sredina opticati. Tako za telo oblika diska je C = 1, 1 − 1, 2, dok je za loptu C = 0, 4 − 2 a za telo oblika kapi C ≈ 0, 04, odnosno oko 10 puta manje nego za loptu i oko 30 puta manje nego za disk istog polupreˇcnika.
Slika 1: Sila otpora sredine kod opticanja tela razliˇcitih oblika a jednakih karakteristiˇcnih dimenzija. Izraz za silu otpora (1) je dobijen pod pretpostavkom da je dominantna karakteristika sredine, u pruˇzanju otpora kretanju tela kroz nju, gustina. Ali ˇsta ako umesto gustine, za karakteristiku sredine uzmemo viskoznost η?
5 Dimenzija viskoznosti je4 [η] = ML−1 T−1 ? U tom sluˇcaju, pretpostavi´cemo da izraz za silu glasi Fη = Bv α S β η δ (B je konstanta koja zavisi od oblika tela) ˇcije dimenzije su L T−2 M = (LT−1 )α (L2 )β (ML−1 T−1 )δ = Lα+2β−δ T −α−δ M δ . Iz sistema jednaˇcina 1 = α + 2β − δ, −2 = −α − δ, 1 = δ, se dobija α = 1, β = 1/2 i δ = 1, pa je traˇzena formula √ Fη = Bη Sv. (2) √ Veliˇcina S je srazmerna karakteristiˇ √ cnoj dimenziji tela L (ukoliko je telo oblika lopte polupreˇcnika r onda je S = r dok je C = 6π)tako da gornji izraz postaje Fη = BηLv. (3) Kao ˇsto vidimo formule (1) i (3) se priliˇcno razlikuju: u jednoj od njih je zavisnost od brizne kvadratiˇcna a u drugoj linearna. Koja je taˇcna? Da bi odgovorili na ovo pitanje morali bi da damo sud o tome koja karakteristika sredine (gustina ili viskoznost) dominiraju u konkretnom problemu koji reˇsavamo. Name´ce se zakljuˇcak da, ako je dominantna osobona sredine gustina, vaˇzi izraz (1) koji predstavlja silu otpora koja je nastala usled razlike u pritiscima na prednjoj i zadnjoj strani tela, a kada je sila otpora posledica trenja, odnosno viskoznosti, vaˇzi izraz (3). Ukupna sila koja deluje na telo je u stvari kombinacija jedne i druge sile, a kada su brzine tela veoma male, 4
Ako se posmatra laminarno kretanje fluida preko povrˇsine koja leˇzi u ravni xOy, brzina fluida koji dodiruje ovu povrˇsinu je jednaka nuli, dok u narednim slojevima brzina raste i to tako da viˇsi slojevi imaju ve´cu brzinu od niˇzih, usled ˇcega se izmedju njih javlja trenje, a time i sila koja koˇci one slojeve koji se brˇze kre´cu, odnosno ubrzava one koji se sporije kre´cu. Njutn je ustanovio da sila unutraˇsnjeg trenja (viskozna sila - sila viskoznosti) zavisi od povrˇsine dodirnih slojeva S, od vrste fluida i od promene brzine od sloja do sloja fluida, odnosno od veliˇcine koja se zove gradijent brzine, prema obrascu F = ηS ∆v ∆z . U ovom izrazu je sa η oznaˇcen koeficijent dinamiˇcke viskoznosti date teˇcnosti, a odnos ∆v/∆z predstavlja gradijent brzine.
6 sila trenja proporcionalna prvom stepenu brzine, ´ce biti mnogo ve´ca od sile otpora nastale usled razlike u pritiscima, koja je srazmerna drugom stepenu brzine. Pri velikim brzinama vaˇzi suprotan zakljuˇcak. Naravno, moˇzemo da se zapitamo kolike su te ”velike”, odnosno ”male” brzine, odnosno potrebno je uvesti odredjeni kriterijum za procenu vrednosati brzine. U tom cilju je interesantno na´ci odnos sila Fρ i Fη C ρv 2 S Fρ = Fη 2B ηvL koji, obzirom da je S ∝ L2 , postaje ρvL Fρ ≈ . Fη η Bezdimenzionalan odnos koji je dobijen, naziva se Rejnoldsov broj5 Re =
ρvL η
i igra veoma veliku ulogu u hidro i aero dinamici, jer se na osnovu njega moˇze odrediti veliˇcina otpora kretanju tela kroz fluid. U knjigama iz oblasti dinamike fluida se obiˇcno navodi da je za ”klize´ce” opticanje Re < 1, da moˇze da se zanemari otpor sredine izazvan razlikom u pritiscima na ˇceonoj i zadnjoj strani tela, pa je sila otpora jednaka sili trenja. Suprotno, pri velikim vrednostima Rejnoldsovog broja, treba uzimati u obzir silu koja nastaje usled pritiska a zanemarivati silu trenja. A da li je mogu´ce uz pomo´c dimenzionalne analize objediniti zavisnost sile otpora od gustine i viskoznosti? To bi znaˇcilo da silu treba da traˇzimo u obliku A F = v α S β ργ η δ , 2 (A je konstanta). Na osnovu analize dimenzija leve i desne strane se dobija L T−2 M = (LT−1 )α (L2 )β (L−3 M)γ (L−1 T−1 M)δ = Lα+2β−3γ−δ T −α−δ M γ+δ . odakle se dobijaju jednaˇcine 1 = α + 2β − 3γ − δ, 5
Osborne Reynolds (1842-1912) Irski nauˇcnik, uglavnom se bavio dinamikom fluida.
7 −2 = −α − δ, 1 = γ + δ. Prvo ˇsto upada u oˇci je da je broj jednaˇcina manji od broja nepoznatih (tri jednaˇcine a ˇcetiri parametra), ˇsto znaˇci da jedna od nepoznatih mora da ostane neodredjena. Da vidimo do kakvih to zakljuˇcaka dovodi. Iz dve poslednje jednaˇcine mogu da se izraze parametri α i γ preko δ γ = 1 − δ, α = 2 − δ. Ako ovo zamenimo u prvu jednaˇcinu dobi´cemo 1 = −1 + δ + 2β, odakle se dobija
δ β =1− . 2 Na osnovu ovoga, izraz za silu otpora moˇze da se zapiˇse kao Fρ,η
A 2−δ 1−δ 1−δ δ ρSv 2 = v S ρ η =A 2 2
Ã√
Svρ η
!−δ
.
To ˇsto je δ proizvoljan stepen znaˇci da faktor u zagradi prethodnog izraza nema dimenzije pa moˇze da bude ukljuˇcen u bezdimenzionalnu konstantu A koja u tom sluˇcaju nije konstantna veliˇcina ve´c postaje funkcija navedenog bezdimenzionalnog parametra. Prime´cujemo da je ovaj bezdimenzionalni odnos u stvari Rejnoldsov broj, tako da izraz za silu otpora moˇze da se zapiˇse kao ρv 2 Fρ,η = A(Re)S , (4) 2 u kome se funkcija A(Re) naziva koeficijent otpora. Rejnoldsov broj igra dakle vaˇznu ulogu u odredjivanju karaktera sile otpora. Taˇcna zavisnost koeficijenta otpora sredine od Rejnoldosovog broja ne moˇze da se odredi teorijski ve´c samo eksperimentalno, a za sluˇcaj kretanja tela kroz vazduh prikazana je na slici 2. U oblasti I je Reynoldsov broj veoma mali (Re ≤ 1) i tok je laminaran. U tom sluˇcaju formula za otpor prelazi u Stoksov oblik. Oblast II (1 < Re < 2 · 104 ) je prelazna oblast u kojoj laminarno strujanje postaje nestabilno i razvija se turbulentnost. U oblasti III (2 · 104 < Re < 2 · 105 ) je razvijeno
8
Slika 2: Zavisnost koeficijenta otpora od Reynoldsovog broja. Rimskim brojevima su oznaˇcene oblasti koje odgovaraju razliˇcitim reˇzimima strujanja vazduha. turbulentno kretanje iza tela (kao iza krme broda) dok je ispred tela oblast laminarnog strujanja. U tom sluˇcaju sila otpora sredine nastaje usled razlike u pritiscima ispred i iza tela. U oblasti IV dolazi do turbulencije i prednjeg laminarnog sloja ˇsto dovodi do naglog opadanja sile otpora sredine (Re = (2 − 5) · 105 ).
Literatura 1. Halliday, Resnick, Walker, Fundamentals of Physics 7th Edition, Wiley, 2005 . 2. Paul Peter Urone, College Physics, Brooks/Cole Publishing Company, 1978. 3. S. E. Friˇs, A. V. Timorjeva, Kurs opˇste fizike, I, II i III, Beograd, Zavod za izdavanje udˇzbenika, 1970. 4. Kalasnjikov, Smondirev, Osnovi fiziki I i II, Drofa, Moskva, 2003. 5. B. M. Javorskij, A. A. Pinskij, Osnovi fiziki I i II, Moskva, Fizmatlit, 2003.