i
LAPORAN ANALISA NUMERIK DAN PEMROGRAMAN DINAMIK PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR
Disusun Oleh :
Nama
: Radimas Putra M. D. L
NRP
: 2216204202
PROGRAM PASCASARJANA DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNOLOGI ELEKTRO INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA 2017 i
ii
KATA PENGANTAR
Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas segala rahmatNya sehingga laporan ini dapat terselesaikan. Tidak lupa kami juga mengucapkan banyak terimakasih atas bantuan dari pihak yang telah berkontribusi dalam proses penyusunan laporan ini. Harapan kami semoga laporan ini dapat menambah pengetahuan dan pengalaman bagi para pembaca, untuk ke depannya dapat memperbaiki atau menyempurnakan laporan ini sehingga menjadi lebih baik. Karena keterbatasan pengetahuan maupun pengalaman, kami yakin masih banyak kekurangan dalam laporan ini, oleh ole h karena itu it u kami sangat mengharapkan kritik dan saran yang membangun dari pembaca demi kesempurnaan laporan ini.
Surabaya, Mei 2017
Penyusun
ii
ii
KATA PENGANTAR
Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas segala rahmatNya sehingga laporan ini dapat terselesaikan. Tidak lupa kami juga mengucapkan banyak terimakasih atas bantuan dari pihak yang telah berkontribusi dalam proses penyusunan laporan ini. Harapan kami semoga laporan ini dapat menambah pengetahuan dan pengalaman bagi para pembaca, untuk ke depannya dapat memperbaiki atau menyempurnakan laporan ini sehingga menjadi lebih baik. Karena keterbatasan pengetahuan maupun pengalaman, kami yakin masih banyak kekurangan dalam laporan ini, oleh ole h karena itu it u kami sangat mengharapkan kritik dan saran yang membangun dari pembaca demi kesempurnaan laporan ini.
Surabaya, Mei 2017
Penyusun
ii
iii
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ............................................ ................................................................... ............................................. ......................... ... ii DAFTAR ISI ........................................................ .............................................................................. ............................................. ............................ ..... iii BAB I PENDAHULUAN ........................................... ................................................................. ............................................ ...................... 1 1.1.
Latar belakang ......................................................... ............................................................................... ................................. ........... 1
1.2.
Rumusan masalah ...................................... ............................................................ ............................................ ......................... ... 1
1.3.
Tujuan............................................................... ..................................................................................... ........................................ .................. 2
BAB II LANDASAN TEORI ................................................ ...................................................................... ................................. ........... 3 2.1.
Sistem Persamaan Pers amaan Linear dan Augmented Matrix ................................... ................................... 3
2.2.
Metode Eliminasi Gauss .......................................... ................................................................. ................................. .......... 3
2.2.1.
Eliminasi Maju .......................................... ................................................................ ........................................ .................. 4
2.2.2.
Substitusi Mundur ..................................... ........................................................... ........................................ .................. 4
2.3.
Metode Eliminasi Gauss-Jordan ......................................... ............................................................... ...................... 5
2.4.
Metode Iterasi Gauss-Seidel ............................................ ................................................................... ......................... .. 5
2.5.
Metode Iterasi Jacobi ............................................ ................................................................... .................................... ............. 6
2.6.
Metode Penyelesaian Menggunakan Invers Matrix ................................. ................................. 7
2.6.1.
Pencarian Invers dengan Determinan dan Adjoin Matrix ................. 8
2.6.2.
Pencarian Invers dengan Eliminasi Gauss-Jordan .......................... .......................... 11
BAB III PEMROGRAMAN DINAMIK .................................................. .............................................................. ............ 13 3.1.
Metode Eliminasi Gauss .......................................... ................................................................. ............................... ........ 13
3.2.
Metode Eliminasi Gauss-Jordan ......................................... ............................................................. .................... 17
3.3.
Metode Iterasi Gauss-Seidel ............................................ ................................................................... ....................... 23
3.4.
Metode Iterasi Jacobi ............................................ ................................................................... .................................. ........... 26
3.5.
Metode Penyelesaian Menggunakan Invers (Determinan (Dete rminan dan Adjoin) .. 29
3.6.
Metode Penyelesaian Menggunakan Invers (Eliminasi Gauss Jordan) .. 36
BAB IV KESIMPULAN ............................................................... ..................................................................................... ........................ 40 DAFTAR PUSTAKA .......................................... ................................................................ ............................................ ........................... ..... 41
iii
1
BAB I PENDAHULUAN
1.1. Latar belakang
Persamaan linear merupakan sebuah persamaan aljabar dengan variabel tunggal yang memiliki nilai pangkat tertinggi adalah 1, berikut adalah bentuk dari persamaan linear:
Dimana merupakan konstanta koefisien, merupakan variabel tunggal, dan
merupakan konstanta solusinya. Sedangkan, sistem persamaan linear
merupakan susunan persamaan linear sebanyak n persamaan yang masingmasing persamaannya memiliki n buah variabel tunggal. Susunan persamaan linear tersebut memiliki solusi simultan yang menggambarkan karakteristik linear dari sebuah sistem nyata yang dimodelkan menjadi sistem persamaan tersebut. Berikut merupakan bentuk dari persamaan linear:
Nilai variabel tunggal pada sistem persamaan linear dapat diketahui dengan menggunakan berbagai metode antara lain metode eliminasi Gauss, metode eliminasi Gauss-Jordan, metode iterasi Gauss-Seidel, metode iterasi Jacobi, dan metode penyelesaian dengan menggunakan invers matrix.
1.2. Rumusan masalah
Berdasarkan latar belakang yang telah dipaparkan, maka dapat dirumuskan permasalahan sebagai berikut : 1. Bagaimana cara mengetahui nilai dari variabel tunggal pada sistem persamaan linear berukuran
1
menggunakan metode eliminasi
2
Gauss, metode eliminasi Gauss-Jordan, metode iterasi Gauss-Seidel, metode iterasi Jacobi, dan metode penyelesaian dengan menggunakan invers matrix? 2. Bagaimana
membuat
suatu
program
komputer
yang
berisikan
perhitungan dari metode eliminasi Gauss, metode eliminasi GaussJordan, metode iterasi Gauss-Seidel, metode iterasi Jacobi, dan metode penyelesaian dengan menggunakan invers matrix?
1.3. Tujuan
Penyusunan dari laporan metode eliminasi gauss memiliki tujuan sebagai berikut : 1. Mengetahui teori dari metode eliminasi Gauss, metode eliminasi GaussJordan, metode iterasi Gauss-Seidel, metode iterasi Jacobi, dan metode penyelesaian dengan menggunakan invers matrix. 2. Mengetahui algoritma dari metode eliminasi Gauss, metode eliminasi Gauss-Jordan, metode iterasi Gauss-Seidel, metode iterasi Jacobi, dan metode penyelesaian dengan menggunakan invers matrix. 3. Mampu membuat program komputer berisikan perhitungan dari metode eliminasi Gauss, metode eliminasi Gauss-Jordan, metode iterasi GaussSeidel, metode iterasi Jacobi, dan metode penyelesaian dengan menggunakan invers matrix.
2
3
BAB II LANDASAN TEORI
2.1. Sistem Persamaan Linear dan Augmented Matrix
Suatu sistem persamaan linear dapat dimodelkan sebagai perkalian antara
[
]
suatu matrix dengan sebuah vector, sehingga menghasilkan suatu vector.
Matrix tersebut dapat disebut sebagai matrix vector
, sehingga menghasilkan vector
dirumuskan sebagai berikut :
{}
yang dikalikan dengan
. Secara aljabar dapat
Rumus aljabar tersebut dapat dimodelkan sebagai suatu matrix berukuran
yang elemen-elemennya terdiri dari elemen matrix
elemen vector
:
[
dan
]
Matrix di atas disebut sebagai augmented matrix. Matrix tersebut berfungsi untuk memudahkan proses pencarian nilai variabel tunggal pada suatu sistem persamaan linear.
2.2. Metode Eliminasi Gauss
Seorang matematikawan bernama Carl Friedich Gauss (1777-1855) menemukan suatu metode numerik yang dapat digunakan untuk menentukan nilai dari setiap variabel tunggal pada sistem persamaan linear. Metode
3
4
tersebut diberi nama metode eliminasi Gauss untuk menghormati Carl Friedich Gauss. Metode eliminasi Gauss menerapkan dua proses perhitungan yaitu eliminasi maju dan substitusi mundur. Sebelum menerapkan dua metode perhitungan tersebut, terlebih dahulu sistem persamaan linear diubah menjadi sebuah augmented matrix, sehingga dapat mempermudah proses perhitungan.
2.2.1. Eliminasi Maju
Proses perhitungan yang pertama dalam metode eliminasi Gauss adalah eliminasi maju. Proses ini bertujuan untuk mengurangi variabel pada augmented matrix, sehingga membentuk sebuah matrix segitiga. Perhitungan pada eliminasi maju menggunakan metode operasi baris elementer. Operasi baris elementer merupakan suatu operasi yang digunakan untuk memanipulasi elemen-elemen dari suatu sistem persamaan
linear
sesuai
dengan
keinginan,
tanpa
mengubah
karakteristik linear dari sistem persamaan tersebut.
2.2.2. Substitusi Mundur
Setelah terbentuknya matrix segitiga, maka akan dilanjutkan dengan proses perhitungan yang kedua yaitu substitusi mundur. Proses ini bertujuan untuk mendapatkan nilai dari setiap variabel tunggal. Berikut adalah rumus dari substitusi mundur :
4
5
2.3. Metode Eliminasi Gauss-Jordan
Seorang insinyur asal Jerman bernama Wilhelm Jordan (1842-1899) memodifikasi
metode
eliminasi
Gauss
untuk
mempermudah
proses
perhitungannya. Hasil modifikasi ini diberi nama metode eliminasi GaussJordan. Metode ini hanya memiliki satu proses perhitungan yaitu proses eliminasi variabel menggunakan operasi bilangan elementer. Proses eliminasi variabel bertujuan untuk mengurangi variabel pada augmented matrix, sehingga membentuk sebuah matrix yang variabel diagonalnya bernilai 1 dan variabel yang lain (selain pada kolom n+1) bernilai 0. Matrix ini disebut matrix identitas.
Setelah terbentuknya sebuah matrix identitas, hasil pada kolom n+1 merupakan nilai dari variabel tunggal. Sehingga:
2.4. Metode Iterasi Gauss-Seidel
Metode iterasi Gauss-Seidel adalah metode yang menggunakan proses perhitungan iteratif hingga diperoleh nilai – nilai yang hampir sama antara iterasi paling akhir dengan iterasi sebelumnya. Semakin banyak iterasi yang digunakan maka semakin baik kepresisian yang didapat. Bila diketahui persamaan linear simultan:
5
6
Maka diberikan nilai awal dari setiap xi (i = 1 sampai n) kemudian
persamaan linear simultan di atas dituliskan menjadi :
Dengan menghitung nilai-nilai xi (i = 1 sampai n) menggunakan persamaan-persamaan di atas secara terus-menerus. Proses iterasi dihentikan bila selisih nilai xi (i = 1 sampai n) dengan nilai xi pada iterasi sebelumnya kurang dari nilai toleransi error yang ditentukan. Nilai xi (i = 1 sampai n) pada iterasi terakhir merupakan nilai dari variabel tunggal dari sistem persamaan linear. Pada metode iterasi Gauss-Seidel setelah nilai xi (i = 1 sampai n) dihitung maka langsung dimasukkan pada perhitungan selanjutnya meskipun dalam iterasi yang sama.
2.5. Metode Iterasi Jacobi
Metode iterasi Jacobi merupakan metode yang menggunakan proses perhitungan iteratif. Proses perhitungan dari metode iterasi Jacobi hampir sama dengan metode iterasi Gauss-Seidel. Bila diketahui persamaan linear simultan:
6
7
Maka diberikan nilai awal dari setiap xi (i = 1 sampai n) kemudian
persamaan linear simultan di atas dituliskan menjadi :
Nilai dari xi (i = 1 sampai n) akan dihitung secara terus-menerus hingga diperoleh nilai xi yang hampir sama antara iterasi terakhir dan iterasi sebelumnya. Pada metode iterasi Jacobi hasil perhitungan xi (i = 1 sampai n) tidak langsung dimasukkan pada perhitungan selanjutnya dalam iterasi yang sama, melainkan dimasukkan pada perhitungan iterasi berikutnya.
2.6. Metode Penyelesaian Menggunakan Invers Matrix
Selain menggunakan metode eliminasi dan metode iterasi, sistem persamaan persamaan
linear
dapat
diselesaikan
menggunakan
dengan invers dari matrix
perkalian
antara
. Rumus tersebut dapat
diturunkan sebagai berikut:
Ketika
sebuah
matrix
dikalikan
dengan
menghasilkan sebuah matrix identitas
inversnya
vector
akan
, sehingga:
Maka dari itu dapat diketahui bahwa nilai dari vector perkalian antara
maka
dengan matrix
adalah
. Proses pencarian suatu
invers dari sebuah matrix dapat dilakukan dengan menggunakan dua cara yaitu :
7
8
1. Determinan dan Adjoin Matrix 2. Sistem Operasi Baris Elementer pada eliminasi Gauss-Jordan
2.6.1. Pencarian Invers dengan Determinan dan Adjoin Matrix
Determinan merupakan sebuah single value yang dihasilkan penjumlahan dari perkalian antara elemen salah satu baris matrix dengan cofactor-cofactornya atau perkalian antara elemen salah satu kolom matrix dengan cofactornya. Untuk jumlah
, maka determinannya :
Untuk jumlah
, maka determinannya : di mana j = 1, 2, ..., atau n
atau
di mana k = 1, 2, ..., atau n
Jika diketahui suatu matrix segitiga berukuran
sebagai
berikut :
Maka dapat diberlakukan pencarian dengan menggunakan aturan Cramer :
( )( )
Sehingga dapat disimpulkan bahwa, determinan dari matrix segitiga adalah perkalian dari elemen-elemen diagonalnya.
Untuk menyederhanakan proses pencarian determinan pada matrix berukuran
, maka pertama kali yang dilakukan adalah
8
9
mengeliminasi variabel matrix tersebut hingga menjadi matrix segitiga.
Setelah terbentuknya matrix segitiga, maka dapat diketahui determinan dari matrix adalah sebagai berikut :
Jika dilakukan proses omitting baris dan kolom yang di-entry pada elemen
dari matrix
membentuk sebuah submatrix berukuran
yang berukuran
maka akan .
Determinan dari submatrix tersebut merupakan minor dari elemen atau disimbolkan dengan
. Minor dari elemen-elemen matrix
yang lain dapat diketahui dengan melakukan proses yang sama. Setelah semua minor diketahui maka akan terbentuk sebuah matrix
yang elemen-elemennya merupakan nilai dari minor yang telah
diketahui.
[
9
]
10
Jika masing-masing elemen pada matrix
dikalikan dengan
yang dipangkatkan dengan penjumlahan antara baris dan kolom
(milik elemen matrix
) maka akan menghasilkan suatu nilai yang
disebut cofactor. Sehingga dapat diketahui bahwa rumus dari cofactor adalah:
j
dan k bernilai 1 sampai dengan n
Cofactor pada masing-masing elemen disusun sesuai dengan baris
[
]
dan kolomnya sehingga membentuk suatu matrix
Jika dilakukan proses transpose matrix
dengan cara mengubah
urutan elemen-elemennya (baris menjadi kolom dan kolom menjadi
[
baris.
]
Maka hasil dari proses transpose tersebut merupakan adjoin dari matrix
.
[
]
Setelah determinan dan adjoin matrix sudah diketahui, maka
invers matrix dapat dihitung menggunakan rumus:
Dimana,
: Matriks
yang akan dicari inversnya 10
11
: Merupakan nilai determinan dari Matriks : Merupakan nilai adjoint dari Matriks
2.6.2. Pencarian Invers dengan Eliminasi Gauss-Jordan
Persamaan aljabar
dapat dimodelkan sebagai
sebuah matrix perluasan yang disebut augmented matrix.
Pada metode eliminasi Gauss-Jordan, augmented matrix tersebut akan dieliminasi variabelnya menggunakan operasi baris elementer hingga membentuk sebuah matrix identitas yang diperluas dengan suatu vektor.
Proses
perhitungan
eliminasi
Gauss-Jordan
dimodelkan dalam persamaan aljabar.
di mana
merupakan
tersebut
dapat
Jika dilakukan proses eliminasi Gauss-Jordan pada sebuah augmented matrix yang isinya merupakan perluasan dari matrix berukuran
dengan suatu matrix identitas berukuran
. Maka
akan menghasilkan suatu matrix perluasan yang isinya merupakan perluasan dari suatu matrix identitas berukuran matrix berukuran
.
11
dengan suatu
12
Operasi
Baris Elementer
Proses tersebut dapat dimodelkan menjadi persamaan aljabar berikut :
Perlu diingat bahwa :
Sehingga
dapat
merupakan matrix
disimpulkan
bahwa
matrix
tersebut
. Maka dari itu, proses eliminasi pada metode
eliminasi Gauss-Jordan dapat digunakan untuk mencari invers dari seuatu matrix.
12
13
BAB III PEMROGRAMAN DINAMIK
3.1. Metode Eliminasi Gauss
Berikut adalah langkah-langkah atau algoritma untuk melakukan proses perhitungan menggunakan metode eliminasi Gauss : 1. Tentukan sistem persamaan linear.
2. Ekspresikan sistem persamaan linear tersebut menjadi sebuah augmented
[
matrix.
]
3. Lakukan eliminasi maju pada augmented matrix dengan menggunakan operasi baris elementer, lakukan langkah-langkah sebagai berikut: a. Elemen pada baris kedua (
,
, ...,
,
) masing-masing
dikurangkan dengan hasil perkalian antara baris pertama ( ...,
,
) dengan
⁄
b. Elemen pada baris ketiga (
,
) dengan
⁄
,
,
.
,
, ...,
,
) masing-masing
dikurangkan dengan hasil perkalian antara baris pertama ( ...,
.
13
,
,
14
c. Ulangi operasi tersebut hingga baris ke n.
d. Elemen pada baris ketiga, masing-masing dikurangkan dengan hasil perkalian antara baris kedua dengan
⁄
.
e. Ulangi operasi tersebut hingga baris ke n.
f.
Lakukan operasi baris selanjutnya. Sehingga membentuk matrix segitiga.
14
15
4. Setelah matrix segitiga terbentuk, lakukan substitusi mundur pada matrix tersebut dengan menggunakan rumus sebagai berikut:
Berikut adalah pseudocode dari proses perhitungan dengan menggunakan metode eliminasi Gauss : Do for i=1 to n-1 Do for j=i+1 to n Do for k=1 to n+1 a[j][k] = a[j][k] – a[j][i] /a[i][i] * a[i][k] End for k End for j End for i x[n] = a[n][n+1]/a[n][n] Do for i=n-1 to 1 sum = 0 Do for j=i+1 to n sum = sum + a[i][j] * x[j] End for j x[i] = 1/a[i][i] * (a[i][n+1] – sum) End for i
Berikut
adalah
tampilan
awal
dari
menggunakan pemrograman visual berbasis C#.
15
program
eliminasi
Gauss
16
Gambar 1. Program eliminasi Gauss
Berikut adalah tampilan dari program eliminasi Gauss setelah melakukan proses perhitungan pada sistem persamaan linear 3 variabel.
Gambar 2. Perhitungan program eliminasi Gauss pada SPL 3 variabel
Berikut adalah tampilan dari program eliminasi Gauss setelah melakukan proses perhitungan pada sistem persamaan linear 10 variabel.
16
17
Gambar 3. Perhitungan program eliminasi Gauss pada SPL 10 variabel
3.2.Metode Eliminasi Gauss-Jordan
Berikut adalah langkah-langkah atau algoritma untuk melakukan proses perhitungan menggunakan metode eliminasi Gauss-Jordan : 1. Tentukan sistem persamaan linear.
2. Ekspresikan sistem persamaan linear tersebut menjadi sebuah augmented matrix.
[
]
3. Lakukan eliminasi variabel pada augmented matrix dengan menggunakan operasi baris elementer, lakukan langkah-langkah sebagai berikut: a. Elemen pada baris pertama masing-masing dibagi dengan
17
.
18
b. Elemen pada baris kedua masing-masing dikurangkan dengan hasil perkalian antara baris pertama dengan
.
c. Elemen pada baris ketiga masing-masing dikurangkan dengan hasil perkalian antara baris pertama dengan
.
d. Lakukan operasi yang serupa pada baris selanjutnya dan lakukan hingga baris ke n.
e. Elemen pada baris kedua masing-masing dibagi dengan
.
f. Elemen pada baris pertama masing-masing dikurangkan dengan hasil perkalian antara baris kedua dengan
18
.
19
g. Elemen pada baris ketiga masing-masing dikurangkan dengan hasil perkalian antara baris kedua dengan
.
h. Lakukan operasi yang serupa pada baris selanjutnya dan lakukan hingga baris ke n.
i.
Elemen pada baris ketiga masing-masing dibagi dengan
j.
Elemen pada baris pertama masing-masing dikurangkan dengan hasil perkalian antara baris ketiga dengan
.
.
k. Elemen pada baris kedua masing-masing dikurangkan dengan hasil perkalian antara baris ketiga dengan
19
.
20
l.
Lakukan operasi yang serupa pada baris selanjutnya dan lakukan hingga baris ke n.
m. Lakukan operasi bilangan elementer selanjutnya hingga membentuk sebuah matrix identitas.
4. Hasil pada kolom ke n+1 merupakan nilai dari variabel tunggal, atau dapat dirumuskan :
Berikut adalah pseudocode dari proses perhitungan dengan menggunakan metode eliminasi Gauss-Jordan :
20
21
Do for i=1 to n-1 Do for l = n to 1 a[i][l] = a[i][l] / a[i][i] end for l Do for j=1 to n if (i not equal to j) then, dummy = a[j][i] Do for k=1 to n+1 a[j][k] = a[j][k] – (dummy * a[i][k]) End for k End for j End for i Do for i=0 to n x[i] = a[i][n+1] End for i
Berikut adalah tampilan awal dari program eliminasi Gauss-Jordan menggunakan pemrograman visual berbasis C#.
Gambar 4. Program eliminasi Gauss-Jordan
Berikut adalah tampilan dari program eliminasi Gauss-Jordan setelah melakukan proses perhitungan pada sistem persamaan linear 3 variabel.
21
22
Gambar 5. Perhitungan program eliminasi Gauss-Jordan pada SPL 3 variabel
Berikut adalah tampilan dari program eliminasi Gauss-Jordan setelah melakukan proses perhitungan pada sistem persamaan linear 10 variabel.
Gambar 6. Perhitungan program eliminasi Gauss-Jordan pada SPL 10 Variabel
22
23
3.3. Metode Iterasi Gauss-Seidel
Berikut adalah langkah-langkah atau algoritma untuk melakukan proses perhitungan menggunakan metode iterasi Gauss-Seidel : 1. Tentukan sistem persamaan linear.
2. Tentukan nilai awal dari masing-masing variabel tunggal. 3. Lakukan proses perhitungan pada iterasi pertama dengan menggunakan rumus :
Perlu diingat bahwa hasil perhitungan langsung dimasukkan pada perhitungan berikutnya. 4. Lakukan proses perhitungan pada iterasi kedua dengan menggunakan rumus dan cara yang sama. 5. Setelah mendapatkan hasil pada iterasi kedua, bandingkan hasil tersebut dengan hasil pada iterasi sebelumnya. Jika selisihnya kurang dari
maka proses perhitungan dihentikan. Jika tidak, lakukan perhitungan pada iterasi selanjutnya. Lakukan proses yang sama hingga selisih dari hasil pada iterasi terakhir dan hasil pada iterasi sebelumnya kurang dari
23
.
24
Berikut adalah pseudocode dari proses perhitungan dengan menggunakan metode iterasi Gauss-Seidel : counter = 0 do for i=1 to n x_sebelum[i] = 0 end for i iterasi = 1 do loop do for i = 1 to n sum = 0 do for j = 1 to n if (j not equal to i) then, sum = sum + a[i][j] * x_sebelum[j] end if x_sekarang = (a[i][n+1] - sum) / a[i][i] error[i] = abs(x_sekarang - x_sebelum) x_sebelum = x_sekarang end for j end for i do for i = 1 to n error[i] = error[i] if (error[i] < 0.00000001) then, counter = counter + 1 end if end for i counter = counter/line if (counter equal to 1) then, break loop end if iterasi = iterasi + 1 loop
Berikut adalah tampilan awal dari program iterasi Gauss-Seidel menggunakan pemrograman visual berbasis C#.
24
25
Gambar 7. Program iterasi Gauss-Seidel
Berikut adalah tampilan dari program iterasi Gauss-Seidel setelah melakukan proses perhitungan pada sistem persamaan linear 3 variabel.
Gambar 8. Perhitungan program iterasi Gauss-Seidel pada SPL 3 variabel
Berikut adalah tampilan dari program iterasi Gauss-Seidel setelah melakukan proses perhitungan pada sistem persamaan linear 10 variabel.
25
26
Gambar 9. Perhitungan program iterasi Gauss-Seidel pada SPL 10 Variabel
3.4. Metode Iterasi Jacobi
Berikut adalah langkah-langkah atau algoritma untuk melakukan proses perhitungan menggunakan metode iterasi Jacobi : 1. Tentukan sistem persamaan linear.
2. Tentukan nilai awal dari masing-masing variabel tunggal. 3. Lakukan proses perhitungan pada iterasi pertama dengan menggunakan rumus :
26
27
Perlu diingat bahwa hasil perhitungan tidak langsung dimasukkan pada perhitungan berikutnya, melainkan dimasukkan pada iterasi berikutnya. 4. Lakukan proses perhitungan pada iterasi kedua dengan menggunakan rumus dan cara yang sama. 5. Setelah mendapatkan hasil pada iterasi kedua, bandingkan hasil tersebut dengan hasil pada iterasi sebelumnya. Jika selisihnya kurang dari
maka proses perhitungan dihentikan. Jika tidak, lakukan perhitungan pada iterasi selanjutnya. Lakukan proses yang sama hingga selisih dari hasil pada iterasi terakhir dan hasil pada iterasi sebelumnya kurang dari
.
Berikut adalah pseudocode dari proses perhitungan dengan menggunakan metode eliminasi Jacobi : counter = 0 do for i=1 to n x_sebelum[i] = 0 end for i iterasi = 1 do loop do for i = 1 to n sum = 0 do for j = 1 to n if (j not equal to i) then, sum = sum + a[i][j] * x_sebelum[j] end if x_sekarang = (a[i][n+1] - sum) / a[i][i] error[i] = abs(x_sekarang - x_sebelum) end for j end for i do for i = 1 to n x_sebelum[i] = x_sekarang[i] end for i
27
28
do for i = 1 to n error[i] = error[i] if (error[i] < 0.00000001) then, counter = counter + 1 end if end for i counter = counter/line if (counter equal to 1) then, break loop end if iterasi = iterasi + 1 loop
Berikut adalah tampilan awal dari program iterasi Jacobi menggunakan pemrograman visual berbasis C#.
Gambar 10. Program iterasi Jacobi
Berikut adalah tampilan dari program iterasi Jacobi setelah melakukan proses perhitungan pada sistem persamaan linear 3 variabel.
28
29
Gambar 11. Perhitungan program iterasi Jacobi pada SPL 3 variabel
Berikut adalah tampilan dari program iterasi Jacobi setelah melakukan proses perhitungan pada sistem persamaan linear 10 variabel.
Gambar 12. Perhitungan program iterasi Jacobi pada SPL 10 Variabel
3.5. Metode Penyelesaian Menggunakan Invers (Determinan dan Adjoin)
Berikut adalah langkah-langkah atau algoritma untuk melakukan proses perhitungan menggunakan metode penyelsaian invers (determinan dan adjoin) : 1. Tentukan sistem persamaan linear.
29
30
2. Ekspresikan sistem persamaan linear tersebut ke dalam bentuk matrix
[
sehingga menghasilkan matrix
] {} {} , vektor
, dan vektor
,
:
,
3. Lakukan omitting pada kolom dan baris yang dientry pada elemen sehingga membentuk sebuah sub matrix berukuran
.
4. Lakukan eliminasi maju pada sub matrix hinga membentuk sebuah matrix segitiga. 5. Lakukan perkalian pada elemen-elemen diagonalnya dan masukkan
[
hasilnya ke dalam minor
.
]
6. Carilah minor lainnya hingga membentuk sebuah matrix
.
7. Hitunglah nilai cofactor dengan cara melakukan mengalikan elemen minor dengan -1 yang dipangkatkan dengan penjumlahan baris dan kolom
[
elemen, dan simpanlah pada matrix
.
]
8. Carilah ajoin matrix dengan cara mentranspose matrix menjadi : 30
, sehingga
31
[ 9. Sederhanakan matrix
]
dengan menggunakan operasi baris elementer
sehingga menjadi suatu matrix segitiga.
10. Hitunglah determinan dari matrix
menggunakan rumus sebagai
berikut :
di mana j = 1, 2, ..., atau n
atau
di mana k = 1, 2, ..., atau n
11. Hitunglah invers matrix dengan rumus sebagai berikut :
⁄ [
j
dan k bernilai 1 sampai dengan n
Sehingga membentuk sebuah matrix
.
]
12. Hitunglah nilai variabel tunggal dengan menggunakan rumus berikut :
Berikut adalah pseudocode dari proses perhitungan dengan menggunakan metode penyelesaian menggunakan invers matrix (determinan dan adjoin) :
31
32
do for i=1 to n Do for j=1 to n a[i][j]= aug[i][j] End for j end for i do for i=1 to n b[i] = aug[i][n+1] end for i do for m=1 to n do for o=1 to n do for k=1 to n-1 do for l=1 to n-1 if(m<=k and n<=l) then, sub_a[k][l] = a[k+1][l+1] end if if(m<=k and n>l) then, sub_a[k][l] = a[k+1][l] end if if(m>k and n<=l) then, sub_a[k][l] = a[k][l+1] end if if(m>k and n>l) then, sub_a[k][l] = a[k][l] end if end for l end for k for i=1 to n-1 for j=i+1 to n-1 dummy = sub_a[j][i]/sub_a[i][i] for k=1 to n-1 sub_a[j][k]=sub_a[j][k]-(dummy*sub_a[i][k]) end for k end for j end for i
32
33
det = 1 for i=1 to n-1 for j=1 to n-1 if(i equal to j) then, det = det*sub_a[i][j] end if end for j end for i minor[m][o] = det end for o end for m for i=1 to n for j=1 to n cofactor[i][j] = pow(-1,i+j)*minor[i][j] end for j end for i for i=1 to n for j=1 to n adjoin[i][j] = cofactor[j][i] end for j end for i for i=1 to n for j=1 to n dummy = a[j][i]/a[i][i] do for k=1 to n a[j][k] = a[j][k]-(dummy*a[i][k]) end for k end for j end for i det = 0 for i=1 to n det = det + (a[1][i] * cofactor[1][i]) end for i for i=1 to n-1 for j=1 to n-1 invers[i][j] = adjoin[i][j]/det end for j end for i
33
34
for i=1 to n-1 sum=0 for j=1 to n-1 sum = sum+invers[i][j]*b[j] end for j x[i] = sum end for i
Berikut adalah tampilan awal dari program metode invers (determinan dan adjoin) menggunakan pemrograman visual berbasis C#.
Gambar 13. Program metode invers (determinan dan adjoin)
Berikut adalah tampilan dari program metode invers (determinan dan adjoin) setelah melakukan proses perhitungan pada sistem persamaan linear 3 variabel.
34
35
Gambar 14. Perhitungan program metode invers (determinan dan adjoin) pada SPL 3 variabel
Berikut adalah tampilan dari program metode invers (determinan dan adjoin) setelah melakukan proses perhitungan pada sistem persamaan linear 10 variabel.
Gambar 15. Perhitungan program metode invers (determinan dan adjoin) pada SPL 10 Variabel
35
36
3.6. Metode Penyelesaian Menggunakan Invers (Eliminasi Gauss Jordan)
Berikut adalah langkah-langkah atau algoritma untuk melakukan proses perhitungan menggunakan metode penyelsaian invers (Eliminasi GaussJordan) : 1. Tentukan sistem persamaan linear.
2. Ekspresikan sistem persamaan linear tersebut ke dalam bentuk matrix
[ ] {} {} [ ] sehingga menghasilkan matrix
, vektor
, dan vektor
,
:
,
3. Buatlah matrix perluasan dengan ukuran
yang berisikan matrix
dan matrix identitas.
4. Lakukan operasi baris elementer yang sama persis dengan metode eliminasi Gauss-Jordan terhadap matrix perluasan tersebut hingga matrix
menjadi matrix identitas.
5. Matrix
merupakan invers dari matrix
36
.
37
[
]
6. Hitunglah nilai variabel tunggal dengan menggunakan rumus berikut :
Berikut adalah pseudocode dari proses perhitungan dengan menggunakan metode penyelesaian menggunakan invers matrix (eliminasi Gauss-Jordan) : do for i=1 to n Do for j=1 to n a[i][j]= aug[i][j] End for j end for i do for i=1 to n b[i] = aug[i][n+1] end for i do for i = 1 to n do for k = n+1 to 2*n if((float)k/(n+i) == 1) then a[i][k] = 1 else a[i][k] = 0 end for k end for i
37
38
do for i=1 to n-1 do for l = 2*n to 1 a[i][l] = a[i][l] / a[i][i] end for l do for j=1 to n if (i not equal to j) then, dummy = a[j][i] do for k=1 to 2*n a[j][k] = a[j][k] – (dummy * a[i][k]) end for k end for j end for i do for i = 1 to n do for k = 1 to n invers[i][k] = a[i][n+k] end for k end for i do for i = 1 to n sum = 0 do for k = 1 to n sum = sum + invers[i][k] * a[k] end for k x[i] = sum end for i
Berikut adalah tampilan awal dari program metode invers (eliminasi Gauss-Jordan) menggunakan pemrograman visual berbasis C#.
Gambar 16. Program metode invers (eliminasi Gauss-Jordan)
38
39
Berikut adalah tampilan dari program metode invers (eliminasi GaussJordan) setelah melakukan proses perhitungan pada sistem persamaan linear 3 variabel.
Gambar 17. Perhitungan program metode invers (eliminasi Gauss-Jordan) pada SPL 3 variabel
Berikut adalah tampilan dari program metode invers (eliminasi GaussJordan) setelah melakukan proses perhitungan pada sistem persamaan linear 10 variabel.
Gambar 18. Perhitungan program metode invers (eliminasi Gauss-Jordan) pada SPL 10 Variabel
39
40
BAB IV KESIMPULAN
Dari laporan yang telah dibuat oleh penulis, maka penulis dapat menyimpulkan sebagai berikut : 1. Proses
penyelesaian
sistem
persamaan
linear
dapat
dilakukan
menggunakan metode eliminasi Gauss, metode eliminasi Gauss-Jordan, metode iterasi Gauss-Sidel, metode iterasi Jacobi, metode penyelesaian menggunakan invers (determinan dan adjoin), dan metode penyelesaian menggunakan invers (eliminasi Gauss-Jordan). 2. jumlah persamaan yang dapat diselesaikan menggunakan metode-metode tersebut adalah sebanyak
persamaan dengan jumlah variabel bebas
sebanyak variabel. 3. Metode eliminasi Gauss menggunakan dua proses perhitungan yaitu proses perhitungan eliminasi maju dengan operasi baris elementer dan proses perhitungan substitusi mundur. 4. Metode eliminasi Gauss-Jordan menggunakan satu proses perhitungan yaitu eliminasi variabel menggunakan operasi baris elementer hingga membentuk matrix identitas yang diperluas dengan suatu vektor. 5. Metode iterasi Gauss-Seidel dan metode iterasi Jacobi menerapkan perhitungan iteratif hingga nilai variabel pada iterasi terakhir memiliki selisih yang mendekati nol terhadap nilai variabel pada iterasi sebelumnya. 6. Pada metode iterasi Gauss-Seidel setelah nilai xi (i = 1 sampai n) dihitung maka langsung dimasukkan pada perhitungan selanjutnya meskipun dalam iterasi yang sama. 7. Pada metode iterasi Jacobi hasil perhitungan xi (i = 1 sampai n) tidak langsung dimasukkan pada perhitungan selanjutnya dalam iterasi yang sama, melainkan dimasukkan pada perhitungan iterasi berikutnya. 8. Proses perhitungan pada semua metode yang telah dibahas dapat diaplikasikan menjadi sebuah program komputer dengan menerapkan algoritma yang telah dipaparkan oleh penulis pada laporan ini.
40
