INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DERIVADA DE UNA FUNCION EN UN PUNTO DE ELLA. Profesor: Carlos Mendizábal Jiménez Es previo recordar el cómo se obtiene la pendiente de una línea recta a través de dos puntos de ella:
y 2x 1
En efecto: Sea la recta de ecuación
, cuya pendiente es
m2
En esta figura se muestra la línea recta que representa a la ecuación dada, en la cual se ha indicado dos puntos de ella: A(0.9,2.79) y B(-1.47,-1.94); es decir, A tiene por abscisa:0.9 y ordenada 2.79; B tiene por abscisa -1.47 y ordenada -1.94. Entonces, la pendiente
m2
la obtendremos mediante la relación:
Diferencia Ordenadas m Diferencia Abscisas o sea:
m
2.79 1.94 y A yB m x A xB 0.9 1, 47
m
4.73 2,37
m 1.99578 2.0
Con este recuerdo nos remitimos a las Figuras 1 y 2 que se presentarán más
suur P0 P
adelante, en las cuales la recta secante
P0 x0 , f x0
coordenadas
P x0 h, f x0 h
y
tiene los dos puntos de ;por lo tanto, su pendiente es:
msPuuPur 0
f x0 h f x0 f x0 h f x0 uu r msu P0 P h x0 h x0
(A)
y f ( x) En esta figura se muestra la gráfica de una función
suur T1T2
1) Recta tangente
:
P0 x0 , f ( x0 )
a su gráfica en el punto
, y su
m
suuur T1T2
pendiente
suur P0 P 2)
uu r msu PP 0
recta secante y su pendiente es: a (A)
f x0 h f ( x ) h
PQ f x0 h f ( x0 )
3)
x0 h
x0
x , cambio valores de la función cuando
a
P0Q h 4)
de acuerdo
, produce el cambio en
x0 h
x0
x de
a
.
cambia de
Con esta geometría nos vamos a la figura 2 en la cual se muestra el cómo
y f ( x)
se obtiene la derivada de cambios:
lim h 0
a través del límite de la razón de
f ( x0 h) f ( x0 ) f '( x) h
siempre que este límite exista. En efecto:
h Comienza el proceso cuando indica cuando decimos:
h0
toma valores cada vez menores, lo que se .
h 1) En la posición 1 de la secante se indica el valor de
.
h 2) En la posición 2 de la secante se indica el valor de anterior
menor que en el
h 3) En la posición 3 de la secante se indica el valor de anterior
menor que en el
h 4) En la posición 4 de la secante se indica el valor de anterior
menor que en el
h 5) En la posición 5 de la secante se indica el valor de anterior, y así sucesivamente. Con estos cambios de posición de la secante, a medida que
suur T1T2
a tomar la posición de la tangente
secante
suur msuuur f x0 h f ( x ) P0 P P0 P h :
menor que en el
h0
, ésta tiende
, y consecuentemente la pendiente de la
mTsuTuur 1 2
tiende a la pendiente de la tangente
.
Todo esto en símbolos matemáticos lo estamos diciendo de la siguiente manera:
h 0 msuuur msuuur 1 4 4 4 2 P04P 4 4 T31T2 f x0 h f x0 h0 mTsuuTuur 1 2 1 4 4 4 4 4 44 2h4 4 4 4 4 4 43
suur suur uu r msuuur h 0 P P0 P0 P T1T2 msu PP TT 0
1 2
lim
f x0 h f x0
h0
h
m suuuur T1T2
mTsuTuur 1 2
Hemos concluido que este límite existe, y que su valor es
P0 x0 , f ( x0 )
y f ( x) representa a la derivada de
en el punto
, el cual
.
Esta conclusión es la que se conoce con el nombre de Interpretación Geométrica de la Derivada en un Punto, la cual la enunciamos:
y f ( x) LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
P0 x0 , f ( x0 )
UN PUNTO
EN
ES LA PENDIENTE DE
LA RECTA TANGENTE TRAZADA A GRÁFICA EN DICHO PUNTO; ESDECIR:
SU
f '( x0 ) mTsuTuur 1 2
Observación. Cuando se desea determinar en la gráfica de una función si la derivada en un punto de ella es positiva, negativa o cero, debes tener presente esta interpretación, trazando la recta tangente en el punto dado. La siguiente
y f ( x)
figura nos muestra el alcance de esta observación para una función
a) En el punto de tangencia A, la pendiente de la tangente g es negativa,
f '( A) y por ende
es negativa:
mg 0 f '( A) 0
b) En el punto de tangencia B, la pendiente de la tangente f es cero, y por
f '( B ) ende
es cero:
m f 0 f '( B) 0
Téngase muy presente que cuando la recta tangente es paralela al Eje de las Abscisas, la derivada en el punto de tangencia es CERO. c) En el punto de tangencia C, la pendiente de la tangente h es positiva,
f '(C ) y por ende
es positiva:
mh 0 f '(C ) 0
