Aplicación de la Derivada en la Ingenieria Prácticamente todas las ingenierías presentan aplicaciones de la derivada como por ejemplo el análisis de las señales tiene una amplitud y frecuencia se aplican funciones de senos y cosenos por lo tanto aplicamos derivada. Además ya que la ingeniería se dedica a analizar las cuestiones técnicas de cada rama en la que se especializa como en ingeniería civil se aplica las derivadas para relacionar las ecuaciones de cargas estáticas. En física la derivada se puede aplicar para resolver datos y calcular inercias, velocidad, aceleraciones y por lo tanto fuerzas internas y externas que actúan en un mecanismo, sin embargo esto solo abarca una pequeña área de las ingenierías ya que con la aplicación de la derivada podemos calcular numerosos casos en distintas áreas de la ingeniería. En ingeniería para calcular otro ejemplo: Como varia la temperatura en un tubo cuando aumenta la presión (refrigeradores) Cuanta fuerza necesitas para resolver una mezcla o velocidad constante en función de cómo varia su densidad al aumentar los ingredientes (una fábrica de mantequilla de maní) Cuanto tiempo le durara la batería a tu celular en función del cambio de consumo de corriente durante una llamada, usándolo para escuchar música, escribiendo mensajes, jugando y otras funciones más que nos da nuestro celular. Podemos agregar que la física sería un buen ejemplo ya que es muy similar a la ingeniería podría decirse que ingeniería es una física aplicada claro siempre a un nivel más teórico como en el siguiente caso La variación de la aceleración en función a la pérdida de masa y el empuje en el despegue de un cohete. Los corrimientos en frecuencia de la Luz que llega de las estrellas en función de lo largo que se encuentran (distancia) para ayudar a conocer su edad o esta misma su distancia.
Las derivadas tienen una aplicación muy práctica para la empresa. Es fundamental para el cálculo de máximos y mínimos de funciones. De esta forma si establecemos que los gastos de una empresa tienen forma de una función f, querremos saber cuál es el mínimo para poder evitar las máximas pérdidas. Igualmente, si el precio en el mercado de un producto, atendiendo a la ley de oferta y demanda, es más barato cuanto más haya tendremos que calcular como sacar máximos beneficios. Esta es una, tal vez la más utilizada, de las aplicaciones de las derivadas a la empresa. La administración se basa a veces en la estadística o en los datos contables para dirigir el curso de las acciones empresariales en base a los datos del pasado; por ejemplo. En función a la demanda de los años anteriores de un juguete y del crecimiento poblacional y varianza del poder adquisitivo en el año, determinar la producción de cada juguete. En función a la cantidad de personal existente, rendimientos e ingresos, determinar la cantidad de posible personal a contratar, para que éste sea sustentable El cálculo diferencial en las industrias alimentarias se aplica sobre todo en las operaciones de transferencia de cantidad de movimiento de calor y de masa. Regular y propiamente el cálculo se aplica para el desarrollo de los modelos matemáticos que representan estos fenómenos de transferencia (movimiento, calor y masa). Una vez definidos los modelos que se concretan en ecuaciones o fórmulas, solamente aplicas estas ecuaciones. La salida o resultados de esto es el dimensionamiento (por ejemplo potencias, velocidades, áreas y longitudes) en el diseño de los equipos o en el control de los procesos. Sin embargo la aplicación más en corto y común del cálculo diferencial se tiene en balance de materia, balance de energía y termodinámica.
Los balances, sobre todo el de materia, es lo que más se aplica en la industria de alimentos, para el cálculo de rendimientos y evaluación de la eficiencia de los procesos. Esto es especialmente en procesos no estacionarios y con recirculación, por ejemplo la impregnación de solutos (sales o azúcares) en tanques con bombeo para recirculación de las salmueras o jarabes, para poder calcular la alimentación con nuevas soluciones de las sales o los azúcares. Si sabemos por ejemplo que los campeones de 100 metros lisos corren esa distancia en unos 10 segundos, al calcular la velocidad promedio de 10 metros por segundo (36 km por hora) estamos haciendo una derivada, bajo el supuesto de que la velocidad fuera constante (velocidad promedio). Un ejemplo: quieres comprar un auto y solamente te dan como dato que acelera durante el arranque a 3 metros por segundo cada segundo. Pero te interesa conocer el espacio que necesitas recorrer para pasar a 120 km/h, y el tiempo que necesitas para ello: Entonces planteas a = 3 = d^2x /dt^2, lo que significa que dx /dt = 3 t (la operación es la inversa de la derivada, pero el concepto es el mismo). Será pues 120 km/h = 120* 1000/3600 = 3* t ---> t = 400/36 = 11,11 segundos, y el espacio que hace falta recorrer será x = 3/2 t^2 = (3/2) 11,11^2 = 185 metros. Las derivadas se utilizan para optimizar sistemas que se expresan mediante funciones más o menos complejas. Otra de sus aplicaciones es hallar los valores máximos o mínimos de ciertas expresiones (por ejemplo una inversión compleja en economía financiera). Otra es hallar los intervalos de crecimiento o decrecimiento de valores de interés, siempre que se puedan representar mediante funciones, naturalmente. EJERCICIOS EJEMPLOS Ejercicio 1
La cotización de las sesiones de una determinada sociedad, suponiendo que la Bolsa funciona todos los días de un mes de 30 días, responde a la siguiente ley:
C = 0.01x3 − 0.45x2 + 2.43x + 300
Determinar las cotizaciones máximas y mínima, así como los días en que ocurrieron, en días distintos del primero y del último.
Determinar los períodos de tiempo en el que las acciones subieron o bajaron.
Ejercicio 2 Supongamos que el rendimiento r en % de un alumno en un examen de una hora viene dado por:
r = 300t (1−t).
Donde 0 < t < 1 es el tiempo en horas. Se pide:
1 ¿En qué momentos aumenta o disminuye el rendimiento?
2 ¿En qué momentos el rendimiento es nulo?
3 ¿Cuándo se obtiene el mayor rendimiento y cuál es?
Ejercicio 3 La cantidad (y) expresa el dinero acumulado en una máquina tragamonedas durante un día y sigue una ley del tipo:
y = 1/3x3 — 19x2 + 352x + 100
Donde la variable x representa el tiempo en horas (de 0 a 24). Responde a las siguientes preguntas: 1 ¿Se queda alguna vez vacía de dinero la máquina? 2 Si se realiza la "caja" a las 24 horas. ¿Arroja ganancias para los dueños de la máquina?
3 ¿A qué hora la recaudación es máxima y a qué hora es mínima? 4 ¿Cuándo entrega el mayor premio? La cantidad (y) expresa el dinero acumulado en una máquina tragamonedas durante un día y sigue una ley del tipo:
y = 1/3 x3 — 19 x2 + 352x + 100
Donde la variable x representa el tiempo en horas (de 0 a 24). Responde a las siguientes preguntas: 1 ¿Se queda alguna vez vacía de dinero la máquina? Entre 0 y 24 la función es distinta de cero, por lo cual la máquina siempre tiene monedas. Hay un mínimo absoluto en (0, 100). 2 Si se realiza la "caja" a las 24 horas. ¿Arroja ganancias para los dueños de la máquina? Ganancia: f(24) − f(0)= 2212 − 100 = 2112 3 ¿A qué hora la recaudación es máxima y a qué hora es mínima? f′(x)= x² − 38x + 352 x² − 38x + 352 = 0 x = 16 x = 22 f′′(x)= 2x − 38 f′′(16) = 32 − 38 < 0Máximo (16, 6700/3) f′′(22) = 44 − 38 > 0Mínimo (22, 6592/3)
4 ¿Cuándo entrega el mayor premio? El mayor premio será igual al punto de inflexión. f′′′(x) = 2
2x − 38 = 0x = 19
Ejercicio 4 La cantidad de agua recogida en 2002 (en millones de litros), en cierto pantano, como función del instante de tiempo t (en meses), viene dada a través de la expresión
Se pide: a) En que periodo de tiempo aumento la cantidad de agua recogida? b) En que instante se obtuvo la cantidad máxima de agua? c) Cual fue esa cantidad máxima? Solución Teniendo en cuenta la regla de derivación de un cociente: Si
, su derivada es
f’(t)=
Y si queremos que sea cero, tiene que ser cero el numerador, de donde t =6 Señalamos el punto 6 en la recta y estudiamos el crecimiento de la función, f, entre 0 y 12 (viendo el signo del numerador solo, pues el denominador siempre es positivo) Crece hasta el 6 y decrece desde el 6 Por lo tanto en 6 tiene un máximo relativo, que en este caso es absoluto (pues en el infinito da 0) y se tiene: a) la cantidad aumenta en el periodo de 0 a 6 b) en t =6 c) f(6)=10/1=10 Ejercicio 5 Un coche de competición se desplaza a una velocidad que, entre las 0 y 2 horas, viene dada por la expresión v(x)= (2-x).e x, donde x es el tiempo en horas y v(x) es a velocidad en cientos de kilómetros. Hallar en que momento del intervalo circula a la velocidad máxima y calcular dicha velocidad. ¿En que periodos gano velocidad y en cuales redujo? ¿Se detuvo alguna vez? SOLUCIÓN
Nos piden que estudiemos el crecimiento y decrecimiento y el máximo de la función velocidad v. Por eso utilizamos la derivada, ya que sabemos (por teoría) que si la derivada da positiva la función crece y si da negativa decrece. También sabemos que, la función tiene un máximo relativo en un punto, si la derivada, en ese punto, es 0 (condición necesaria) y además cambia el crecimiento (es decir pasa de crecer a decrecer) La derivada es: v’(x)=-1.ex + ex.(2-x)= -ex + 2 ex- x .ex = ex- x. ex, sacando factor común ex se llega a: v’(x)=((1-x)ex Igualando a 0 nos da (1-x).ex =0, de donde 1-x =0 y por tanto x =1, (ya q ex nunca puede ser cero) Estudiamos v en los alrededores de 1 v‘ y
+ 1 crece
2 decrece
Por lo tanto en x=1 hay máximo y la función crece de 0 a 1 (gana velocidad) y decrece de 1 a 2 (reduce velocidad), veamos los valores en ese punto y en el extremo: v(x)= (2-x)ex v(1)=(2-1).e = e (aquí el máximo como justificamos antes) v(0)=(2-0).1=2 v(2)=(2-2).1=0 como da la velocidad 0 aquí se detuvo.
