Comprobación Comprobación de las Leyes de la Óptica Geométrica Báez Martínez Aeyrotn Oliver, López Paleta Natalia, Tenorio Jiménez Montserrat Benemérita Universidad Universidad Autónoma de Puebla, Puebla, Facultad de Ciencias Físico-Matem Físico-Matemáticas áticas
Resumen sta primera prá!ti!a está "ivi"i"a en tres partes en !a"a una "e las !uales se preten"e "emostrar una "e las "os prin!ipales leyes "e la ópti!a #eométri!a y un !aso parti!ular "e ellas$ n la primera parte se "emostrará la Ley "e la Re%le&ión, en la se#un"a la Ley "e la Re%ra!!ión o Ley "e 'nell y en la ter!era parte una !om(ina!ión "e am(as, el %enómeno !ono!i"o !omo Re%le&ión Total )nterna, !on el *ue se mi"e l in"i!e "e re% ra!!ion "el vi"rio$
Introducción A+n si no tenemos !ono!imiento teóri!o al#uno "e %ísi!a o "e ópti!a po"emos muy (ien "arnos !uenta in!ons!ientemente- "e las propie"a"es "e la luz$ Al vernos en un espe.o o al o(servar !omo un lápiz se /parte0 "entro "el a#ua somos testi#os "e las leyes (ási!as en las *ue se apoya la ópti!a1 es "e!ir la Ley "e Re%le&ión y la Ley "e Re%ra!!ión$ 2 aun*ue no seamo eamoss !ons !ons!i !ien enttes "e ello ello o no ten#a en#am mos la in%orm in%orma!i a!ión ón "el por*ue por*ue su!e" su!e"en en estos estos %enóme %enómenos nos,, ellos son parte "e nuestra vi"a !oti"iana y son tan !omu !omune ness para para noso nosotr troos !omo !omo la #rave rave""a", a", el ele!troma#netismo o la %usión y la evapora!ión "el a#ua 3por men!ionar al#unos3$ Así pues es "e esperar *ue, en un la(oratorio "e ópti!a ti!a,, el prim primer er e&p e&peri eriment mentoo a real realiizar zar sea, sea, pre!isamente, uno rela!iona"o rela!iona"o !on estas Leyes *ue son pilar "e la ópti!a$
primero por )(n 'a4l en el si#lo ;))) y lue#o en el ;8)) %ue enun!ia"a enun!ia"a por
sta ley se re%iere a *ue el rayo "e luz, al in!i"ir !on un án#ulo θ i respe!to a la normal3 en un me"io !on in"i!e in"i!e "e re%ra! re%ra!!ió !iónn n : y pasa pasarr a otro otro me"i me"ioo !on !on in"i!e "e re%ra!!ión n> !am(ia "e "ire!!ión !on un án#ulo θ t 3respe!to a la normal3 *ue o(e"e!en a la si#uiente rela!ión7
Marco Teórico La ley "e Re%le&ión se re%iere la propie"a" *ue tienen !iertos materiales "e re%le.ar la luz$ n ellos la luz, al re%le.arse, /re(ota0 !on un án#ulo i#ual al in!i"ente !on respe!to a la normal "e la super%i!ie re%le.ante$ n otras pala(ras el rayo "e luz, al !4o!ar !ontra la super%i!ie re%le.ante, !am(ia "e "ire!!ión en un an#ulo i#ual, !on respe!to a la normal, *ue !on el *ue in!i"ió$ 5ay *ue a6a"ir *ue el rayo in!i"ente, el rayo re%le.a"o y la normal se en!uentran so(re un mismo plano$ sto *uiere "e!ir *ue7 8er 9i#$ :-
θ i =θ r
La Ley "e Re%ra!!ión, por otro la"o, %ue "es!u(ierta
n : sin ( θ i ) =n sin ( θ t )
8er 9i#$=:?on"e n : y n > son "a"os e&perimentalmente$ A"emás A" emás esta propie propie"a" "a" es simét simétri! ri!a, a, es "e!ir "e!ir *ue impli!a *ue las traye!torias "e los rayos "e luz son reversi(les$ O sea *ue si un rayo in!i"ente so(re la super%i!ie "e separa!ión !on un án#ulo "e in!i"en!ia θ i se re%r re%ra! a!ta ta so(r so(ree el me"i me"ioo !on !on un án#u án#ulo lo "e re%ra!!ión θ t , ento enton! n!es es un rayo rayo in!i in!i"e "ent ntee en la "ire!!ión opuesta "es"e el me"io n > !on un án#ulo "e
in!i"en!ia θ t se re%r re%ra! a!ta ta so(r so(ree el me"i me"ioo n : !on !on un án#ulo θ i $ l %enómeno "e la Re%le&ión Total )nterna no es sino una !onse!uen!ia "e la Lay "e 'nell$ sto su!e"e
!uan"o un 4az "e luz atraviesa un me"io "e in"i!e "e re%ra!!ión n : e in!i"e en la super%i!ie "e un me"io "e in"i!e "e re%ra!!ión menor n > $ @omo sa(emos el 4az !am(ia "e "ire!!ión "e un án#ulo θ i a uno θ t , sin em(ar#o al ir aumentan"o θ i , θ t tam(ién lo 4a!e si#uien"o la rela!ión *ue nos "a la Ley "e re%ra!!ión4asta *ue sea i#ual a = !on la normal, es "e!ir paralelo a la super%i!ie entre am(os me"ios$
!ua"ra"o, sustituimos y lue#o simpli%i!amos7 > > n >− sin θ : =( √ > + sin θ : ) >
?espe.an"o
n
>
>
7 >
n > = sin θ : + ( √ >+ sin θ : )
>
>
ste án#ulo θ i al *ue le !orrespon"e un θ t =A=B se
Arreglo Experimental
le llama án#ulo !ríti!o y, a partir "e él, si θ i !ontin+a aumentan"o, el 4az "e luz no será !apaz "e
ste e&perimento se "ivi"ió en tres partes$
transmitirse al me"io n > y será re%le.a"o en el me"io n: $8er %i#$ =>-
9i#$=>
n esté e&perimento, el prisma *ue utilizamos es uno "e =3CD3CD, "e tal %orma *ue tenemos7
Primera parte$ Ley "e Re%le&ión$ Materiales emplea"os7 Láser spe.o !on (ase rotatoria Pantalla 9le&ómetro 'e alineo el láser para *ue el rayo via.ara paralelo a la super%i!ie "e la mesa$ A la altura "el rayo y a una "istan!ia "e alre"e"or "e :m se !olo!o el espe.o en su (ase rotatoria !on su super%i!ie perpen"i!ular al 4az "e luz "e tal manera *ue el éste #olpeara en el !entro "el espe.o y re#resara a la apertura "el láser$
sta posi!ión se tomo !ómo ini!ial !on θ i == A una "istan!ia !=>G$>Din "el espe.o y paralela al 4az sin ( θ >− CD ) y pasan"o la "el láser se !olo!o una pantalla$ 8er 9i#$ => A4ora e&ten"ien"o 'e %ue #iran"o el espe.o en senti"o !ontrario a las !onstante a la parte "ere!4a nos "a7 mane!illas "el relo. y se re#istro, !a"a > #ra"os, la posi!ión so(re la pantalla en la *ue #olpea(a el 4az$ sin θ : =n sin θ > ! n> sin θ >− n > !os θ >=− √ > ?e esta manera se tomo o(tuvo la "istan!ia " en %un!ión "el án#ulo en el *ue #ira(a el espe.o$8er Eue sustituyen"o la primera en la se#un"a y %i#$=H pasán"olo al miem(ro "ere!4o − n> !os θ >=−√ > − sin θ :
sin θ : =n sin θ > ! n> sin ( θ >− CD ) =−:
Multipli!amos to"o por 3: y lue#o elevamos to"o al !ua"ra"o7 > ( n> !os θ >)>=( √ > +sin θ :) Ftilizamos i"enti"a"es tri#onométri!as en el !oseno al !ua"ra"o y e&ten"emos la e!ua!ión7 >
n > − n > sin θ >=( √ > + sin θ :) >
>
>
A4ora utilizamos "e nuevo la primera e!ua!ión pero al
9i#$=H
'e#un"a Parte$ Ley "e 'nell Materiales emplea"os7 Láser spe.o !on (ase rotatoria Tina transparente "e vi"rio A#ua Papel milimetri!o s!ua"ra 9le&ometro
Ter!era Parte$ Re%le&ión total interna y me"i!ión "el in"i!e "e re%ra!!ión "el vi"rio$ Materiales emplea"os7 Láser Base rotatoria Prisma trian#ular "e vi"rio Pantalla 9le&ómetro s!ua"ra 'e alineo el láser para *ue el rayo via.ara paralelo a la super%i!ie "e la mesa$
'e alineo el láser para *ue el rayo via.ara paralelo a la super%i!ie "e la mesa$ A la altura "el rayo y a una "istan!ia "e alre"e"or "e A una altura =$D!m menor *ue la altura "el rayo y a :m se !olo!o el espe.o !on el poste *ue lo sostiene a la una "istan!ia "e alre"e"or "e :m se !olo!ó la (ase (ase rotatoria paralelo a la super%i!ie "e la mesa, "e tal rotatoria en la *ue iría el prisma y, posteriormente y a manera *ue el 4az "el láser #olpee en el !entro "el una "istan!ia &IHK$C!m, se !olo!ó la pantalla espe.o y sea !apaz "e re%le.arlo a la mesa$ 8er la %i#ura perpen"i!ular a la super%i!ie "e la mesa y al rayo$ 8er =C$ %i#$ =D'e tomó !omo án#ulo ini!ial !uan"o la super%i!ie "el 'e mar!ó el lu#ar "on"e el láser #olpea(a la pantalla espe.o está perpen"i!ular al 4az "el láser, es "e!ir punto !ero- y posteriormente se !olo!ó el prisma !uan"o el 4az re%le.a"o /!4o!ara0 !ontra la a(ertura so(re su (ase rotatoria para *ue una "e las !aras "el láser$ !ua"ra"as pe*ue6as *ue"ara perpen"i!ular al láser y a 'e #iro el espe.o en !ontra "e las mane!illas "el relo. la super%i!ie "e la mesa "e tal manera *ue éste un án#ulo "e CC y se mi"ieron los si#uientes valores7 #olpeara en "i!4a !ara y re#resara a la apertura "el ?istan!ia "e la super%i!ie "e la mesa al !entro "el láser$ espe.o 5:I:>$H!m ?istan!ia so(re la super%i!ie "e la mesa "el !entro "el n este momento el prisma re%le.a(a por !ompleto el espe.o al punto "on"e !4o!a el láser !on la mesa rayo "e luz, posteriormente se #iró po!o a po!o en el 8:I::$GD!m senti"o "e las mane!illas "el relo. 4asta *ue lle#ó a su ste punto se mar!ó en una 4o.a milimétri!a *ue se án#ulo !ríti!o en el *ue el 4az /salía0 paralelo a la %i.ó a la mesa$ Tam(ién se mar!ó el punto .usto "e(a.o 4ipotenusa "el trián#ulo en el prisma y !4o!a(a !on la "el !entro "el espe.o$ pantalla$ n este punto se re#istró un án#ulo θ # = KB *ue 4a(ía #ira"o el prisma y se mar!o el lu#ar "on"e el rayo #olpea(a la pantalla y, por +ltimo, se mi"ió la "istan!ia yIC>$H!m entre éste punto y el punto !ero$
9i#$=C
'o(re la 4o.a se !olo!ó la tina y se le a#re#ó a#ua 4asta una altura 5>I!m 'e mi"ió, apoyán"ose en el papel milimétri!o, la "istan!ia entre el punto antes mar!a"o y en el *ue a4ora !4o!a(a el 4az "el láser y se !al!uló la "istan!ia8>ID!m8er %i#$ =C-
9i#$=D
para o(tener los valores "e la ta(la :$: !on los "atos "e la ta(la :$>$
Resultados Los resulta"os o(teni"os "e la realiza!ión "e los e&perimentos se mostraran a !ontinua!ión en las ta(las y #rá%i!as !orrespon"ientes7 Primera Parte Ley "e re%le&iónTa(la :$: > >= HD$D= >> CC$H >C C$: >K D:$G > DK$> H= K=$>> H> KC$CC HC K$CG HK G>$HH H GK$H= C= =$C C> C$KH CC $KH n un prin!ipio se o(tuvo una ta(la !on las "istan!ias & !on las se #eneraron los "atos para la ta(la :$:$ Ta(la :$> & >= H$G >> >G$C >C >C$HC >K >:$H: > :$: H= :D$DK H> :H$=H HC :=$GD HK $K H K$KC C= C$DG C> >$DD CC $KD Pero %ueron ne!esarios realizar !iertas opera!iones
'i#uien"o la %i#$=K y usan"o 2 :I2y ;:I; a"emás "e
! " y "espe.an"o la %un!ión tri#onométri!a −: nos *ue"a la si#uiente e!ua!ión $= tan ! / " $ tan $=
9i#$=K
?e "on"e o(ten"remos el án#ulo $ !on lo *ue !ompro(aremos la ley "e re%le&ión θi=θr $ Analizan"o la ta(la :$> vemos *ue 4ay un error "e ± =$D "e(i"o a la #ra"ua!ión "e los instrumentos "e me"i!ión utiliza"os$ 'e#un"a parte Ley "e Re%ra!!iónPara esta parte solo %ue ne!esario tomar una sola me"i!ión pero se ne!esitaron realizar más !ál!ulos *ue a !ontinua!ión se muestran$ θ i = ar!tan
9ue
ne!esario
θ t = ar!tan
!al!ular
( ) % : & :
y
( ) % > & >
$ Fna vez o(teni"os los án#ulos +ni!amente era ne!esario o(tener el ín"i!e "e re%ra!!ión "el a#ua en la si#uiente e!ua!ión7 n: sin θ i =n sin θ t
'ien"o n: el ín"i!e "e re%ra!!ión "el aire *ue es toma"o !omo uno$ Tras "espe.ar n> o(tenemos7 n>=
n : sin θ i
sin θ t
'ustituyen"o valores o(tenemos *ue n >I:$H=H$ Parte tres Re%le&ión total interna y me"i!ión "el
n"i!e "e re%ra!!ión "el vi"rio-
Reerencias
Para esta parte, i#ual *ue para la anterior, solo %ue ne!esario tomar +ni!amente un "ato para !ompro(ar el %enómeno "e la re%ra!!ión total interna "e un prisma "e !ristal$ Fsan"o el án#ulo θ= CDB − ' "on"e
:4ttp7QQ$s!$e4u$esQs(e(Q%isi!aSQon"asQre%le&Str ansQprismaQprisma$4tml >5e!4t, u#ene$ PT)@A$ A""isson ===
'= ar!tan
()
! = C$> 8er %i#$ =D " θ= C$>JB
'ustituyen"o éste valor en la si#uiente e!ua!ión > > n =sen θ( ( √ > (senθ ) y "espe.an"o n$
n=) ( sen θ( ( √ > (senθ )> )
o(tenemos el ín"i!e "e re%ra!!ión "el prisma "e vi"rio nI :$D:C$$$ O(tivimos en valor "el án#ulo !ríti!o "e la si#uiente manera7
θ c = CDB − θ #= HAB
@on la *ue tam(ién po"emos o(tener n sustituyen"o
θ c = HAB en la si#uiente rela!ión7
sin θ c =
:
n
?e "on"e, "espe.an"o n, o(tenemos el ín"i!e "e re%ra!!ión nI:$D$$$
Conclusiones Analizan"o los valores o(teni"os en la primera parte !on los *ue se espera(a o(tener 4ay una "i%eren!ia "e ± =$D pues se espera(a > al realizar las opera!iones ne!esarias$ ?e la se#un"a parte se !on!luye y o(serva *ue el valor o(teni"o en el ín"i!e "e re%ra!!ión es "e :$H=H !omparan"o este "ato !on el *ue se presenta en la ta(la se o(serva *ue 4ay una "i%eren!ia "e =$=H$ 2 por +ltimo, en la ter!era parte, en "on"e se tenía *ue en!ontrar el ín"i!e "e re%ra!!ión total "el prisma, 4ay un error "e ± =$K *ue lo atri(uimos al tipo "e !ristal "el !ual está ela(ora"o "el prisma ya *ue en al#unos li(ros n va "e :$D> a :$D-$ A"emás, el 4e!4o "e *ue nuestros valores e&perimentales ten#an estos errores lo po"emos atri(uir a "os %a!tores7 el primero a un error 4umano ya *ue al re"on"ear las me"i"as o(teni"as nos ale.amos "el resulta"o espera"o y otro por la #ra"ua!ión "e los instrumentos utiliza"os para este$ 'in em(ar#o o(servamos *ue !on este arre#lo e&perimental se lo#ra un me"i!ión muy !er!ana a lo espera"o por la teoría$
