INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA ROTACIONAL, GRADIENTE, Y LA DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIAL

CÁLCULO VECTORIAL UNIDAD:

IV ENSAYO:

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA ROTACIONAL, ROTACIONAL, GRADIENTE G RADIENTE Y LA DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIAL Y SUS APLICACIONES EN LA INGENIERÍA

ALUMNO:

LUIS ALBERTO SALINAS DIEGO PROFESOR:

 JOSÉ ALBERTO ALBERTO ROQUE PACHECO PACHECO CARRERA Y GRADO:

INGENIERÍA MECATRÓNICA, MECATRÓNICA, 3ER SEMESTRE

INTRODUCCIÓN: LUIS ALBERTO SALINAS DIEGO | ITESHU | ING. MECATRÓNICA |CALCULO VECTORIAL

DESARROLLO: ROTACIONAL En el cálculo vector!l" el rot!con!l o rotor e# un o$er!%or vector!l  #o&re c!'$o# vector!le# %e(n%o# en un !&erto %e R) *ue 'ue#tr! l! ten%enc! %e un c!'$o vector!l ! n%ucr rot!c+n !lre%e%or %e un $unto. M!te'átc!'ente" e#t! %e! #e e,$re#! co'o el l-'te %e l! crcul!c+n %el c!'$o vector!l" cu!n%o l! curv! #o&re l! *ue #e nter! #e re%uce ! un $unto/

A*u-" ΔS e# el áre! %e l! #u$er(ce !$o0!%! en l! curv! C, *ue #e re%uce ! un $unto. El re#ult!%o %e e#te l-'te no e# el rot!con!l co'$leto 1*ue e# un vector2" #no #olo #u co'$onente #e3n l! %recc+n nor'!l ! ΔS 0 orent!%! #e3n l! rel! %e l! '!no %erec4!. 5!r! o&tener el rot!con!l co'$leto %e&erán c!lcul!r#e tre# l-'te#" con#%er!n%o tre# curv!# #tu!%!# en $l!no# $er$en%cul!re#. Aun*ue el *ue el rot!con!l %e un c!'$o !lre%e%or %e un $unto #e! %#tnto %e cero no '$lc! *ue l!# l-ne!# %e c!'$o ren !lre%e%or %e e#e $unto 0 lo encerren. 5or e6e'$lo" el c!'$o %e veloc%!%e# %e un 7u%o *ue crcul! $or un! tu&er-! 1conoc%o co'o $er(l %e 5o#eulle2 $o#ee un rot!con!l no nulo en to%!# $!rte#" #!lvo en el e6e centr!l" $e#e ! *ue l! corrente 7u0e en l-ne! rect!/

INTERPRETACIÓN DE LA ROTACIONAL: 5!rten%o %e l! %e(nc+n 'e%!nte un l-'te" $ue%e %e'o#tr!r#e *ue l! e,$re#+n" en coor%en!%!# c!rte#!n!#" %el rot!con!l e#

*ue #e $ue%e e,$re#!r %e 8or'! 'á# conc#! con !0u%! %el o$er!%or n!&l! co'o un $ro%ucto vector!l" c!lcul!&le 'e%!nte un %eter'n!nte/

GRADIENTE:

LUIS ALBERTO SALINAS DIEGO | ITESHU | ING. MECATRÓNICA |CALCULO VECTORIAL

En e#t! '!en" el c!'$o e#c!l!r #e !$rec! en &l!nco 0 nero" re$re#ent!n%o v!lore# &!6o# o !lto# re#$ectv!'ente" 0 el r!%ente corre#$on%ente #e !$rec! $or 7ec4!# !9ule#. El r!%ente nor'!l'ente %enot! un! %recc+n en el e#$!co #e3n l! cu!l #e !$rec! un! v!r!c+n %e un! %eter'n!%! $ro$e%!% o '!ntu% 8-#c!. En otro# conte,to# #e u#! n8or'!l'ente r!%ente" $!r! n%c!r l! e,#tenc! %e r!%u!l%!% o v!r!c+n r!%u!l en %eter'n!%o !#$ecto" no nece#!r!'ente rel!con!%o con l! %#tr&uc+n 8-#c! %e un! %eter'n!%! '!ntu% o $ro$e%!%. INTERPRETACIÓN DEL GRADIENTE: El r!%ente %e un c!'$o e#c!l!r" *ue #e! %8erenc!&le en el entorno %e un $unto" e# un vector %e(n%o co'o el 3nco *ue $er'te 4!ll!r l! %erv!%! %reccon!l en cu!l*uer %recc+n co'o/

#en%o un vector unt!ro 0 l! %erv!%! %reccon!l %e en l! %recc+n %e " *ue n8or'! %e l! t!#! %e v!r!c+n %el c!'$o e#c!l!r !l %e#$l!9!rno# #e3n e#t! %recc+n/

Un! 8or'! e*uv!lente %e %e(nr el r!%ente e# co'o el 3nco vector *ue" 'ult$lc!%o $or cu!l*uer %e#$l!9!'ento n(nte#'!l" %! el %8erenc!l %el c!'$o e#c!l!r/ Con l! %e(nc+n !nteror" el r!%ente e#tá c!r!cter9!%o %e 8or'! un-voc!. El r!%ente #e e,$re#! !ltern!tv!'ente 'e%!nte el u#o %el o$er!%or n!&l!/

GRADIENTE DE UN CAMPO VECTORIAL En un e#$!co eucl-%eo" el conce$to %e r!%ente t!'&:n $ue%e e,ten%er#e !l

c!#o %e un c!'$o vector!l" #en%o el r!%ente %e %8erenc!l %el c!'$o !l re!l9!r un %e#$l!9!'ento

un ten#or *ue %! el

LUIS ALBERTO SALINAS DIEGO | ITESHU | ING. MECATRÓNICA |CALCULO VECTORIAL

E#te ten#or $o%rá re$re#ent!r#e $or un! '!tr9 " *ue en coor%en!%!# c!rte#!n!# e#tá 8or'!%! $or l!# tre# %erv!%!# $!rc!le# %e l!# tre# co'$onente# %el c!'$o vector!l. DIVERGENCIA L! %verenc! %e un c!'$o vector!l '%e l! %8erenc! entre el 7u6o entr!nte 0 el 7u6o #!lente %e un c!'$o vector!l #o&re l! #u$er(ce *ue ro%e! ! un volu'en %e control" $or t!nto" # el c!'$o tene ;8uente#; o ;#u'%ero#; l! %verenc! %e %c4o c!'$o #erá %8erente %e cero. DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIAL L! %verenc! %e un c!'$o vector!l e# un c!'$o e#c!l!r" 0 #e %e(ne co'o el 7u6o %el c!'$o vector!l $or un%!% %e volu'en/

Don%e S e# un! #u$er(ce cerr!%! *ue #e re%uce ! un $unto en el l-'te. El #-'&olo re$re#ent! el o$er!%or n!&l!. E#t! %e(nc+n e#tá %rect!'ente rel!con!%! con el conce$to %e 7u6o %el c!'$o. Co'o en el c!#o %el 7u6o" # l! %verenc! en un $unto e# $o#tv!" #e %ce *ue el c!'$o $o#ee '!n!nt!le#. S l! %verenc! e# ne!tv!" #e %ce *ue tene #u'%ero#. COORDENADAS CARTESIANAS: Cu!n%o l! %e(nc+n %e %verenc! #e !$lc! !l c!#o %e un c!'$o e,$re#!%o en coor%en!%!# c!rte#!n!#"

el re#ult!%o e# #encllo/

COORDENADAS ORTOGONALES: Sn e'&!ro" $!r! un c!#o 'á# ener!l %e coor%en!%!# ortoon!le# curvl-ne!#" co'o l!# cl-n%rc!# o l!# e#8:rc!#" l! e,$re#+n #e co'$lc! %e&%o ! l! %e$en%enc! %e lo# vectore# %e l! &!#e con l! $o#c+n. L! e,$re#+n $!r! un ##te'! %e coor%en!%!# ortoon!le# e#/

Don%e lo# #on lo# 8!ctore# %e e#c!l! %el ##te'! %e coor%en!%!#" rel!con!%o# con l! 8or'! %el ten#or ':trco en %c4o ##te'! %e coor%en!%!#. LUIS ALBERTO SALINAS DIEGO | ITESHU | ING. MECATRÓNICA |CALCULO VECTORIAL

E#t! 8+r'ul! ener!l" $!r! el c!#o %e coor%en!%!# c!rte#!n!# 1 h x  < h y  < h z  < =2 #e re%uce ! l! e,$re#+n !nteror. 5!r! coor%en!%!# cl-n%rc!# 1 2 re#ult!/

5!r! coor%en!%!# e#8:rc!# 1

2 re#ult!

COORDENADAS GENERALES: En ##te'!# %e coor%en!%!# ener!le#" no nece#!r!'ente ortoon!le#" l! %verenc! %e un vector $ue%e e,$re#!r#e en t:r'no# %e l!# %erv!%!# $!rc!le# re#$ecto ! l!# coor%en!%!# 0 el %eter'n!nte %el ten#or ':trco/

APLICACIONES: EJEMPLOS

En un torn!%o lo# vento# e#tán rot!n%o #o&re el o6o" 0 un c!'$o vector!l *ue 'ue#tr! l!# veloc%!%e# %el vento ten%r-! un rot!con!l %8erente %e cero en el o6o" 0 $o#&le'ente en otr!# $!rte#. •

•

En un c!%! ten%rá

c!'$o vector!l *ue %e#cr&! l!# veloc%!%e# lne!le# %e $!rte n%v%u!l %e un %#co *ue rot!" el rot!con!l un v!lor con#t!nte en to%!# l!# $!rte# %el %#co. S un! !uto$#t! 8uer! %e#crt! con un c!'$o vector!l" 0 lo# c!rrle# tuver!n %ver#o# l-'te# %e veloc%!%" el rot!con!l en l!# 8ronter!# entre lo# c!rrle# #er-! %8erente %e cero. •

L! le0 %e >!r!%!0 %e l! n%ucc+n 0 l! le0 %e A'$?re@ M!,ell" %o# %e l!# ecu!cone# %e M!,ell" #e $ue%en e,$re#!r 'u0 #'$le'ente u#!n%o el rot!con!l. L! $r'er! n%c! *ue el rot!con!l %e un c!'$o el:ctrco e# u!l ! l! t!#! %e v!r!c+n %e l! %en#%!% %el 7u6o '!n:tco" con #no o$ue#to %e&%o ! l! Le0 %e Len9 l! #eun%! n%c! *ue el rot!con!l %e un c!'$o '!n:tco e# u!l ! l! #u'! %e l! %en#%!% %e corrente# 0 l! %erv!%! te'$or!l %e l! %en#%!% %e 7u6o el:ctrco. •

•

El Gr!%ente $o#ee nnu'er!&le# !$lc!cone# en 8-#c!" e#$ec!l'ente en electro'!net#'o 0 'ecánc! %e 7u%o#. En $!rtcul!r" e,#ten 'uc4o# LUIS ALBERTO SALINAS DIEGO | ITESHU | ING. MECATRÓNICA |CALCULO VECTORIAL

c!'$o# vector!le# *ue $ue%e e#cr&r#e co'o el r!%ente %e un $otenc!l e#c!l!r.

CONCLUSIÓN:

LUIS ALBERTO SALINAS DIEGO | ITESHU | ING. MECATRÓNICA |CALCULO VECTORIAL