FUNDACIÓN UNIVERSITA UNIVERSI TARIA RIA AGRARIA DE COLOMBIA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS www.uniagraria.edu.!
En e"#e e"#e in$! in$!r% r%ee &re" &re"en en#a #are re 'a in#er& in#er&re# re#ai ai(n (n gen genera era'' de 'a deri)a deri)ada da &aria &aria'' rea'i*and! di$eren#e" +'u'!" #an#! &ara e' &'an! R, !%! !%! &ara &ara e' e"&a e"&ai i!! R- R- en#r en#ree e''! e''!"" 'a &endien#e de 'a ur)a 'a re#a #angen#e a 'a ur)a Resumen —
Ca'u'ar e' +ngu'! /ue $!r%a una ur)a en e' &'an! !n re"&e#! a' e0e &!"i#i)! 1 C!%&arar e' +ngu'! e1&eri%en#a' !n e' +ngu +ngu'! '! #e(r #e(ri i!! /u /uee $!r% $!r%aa un unaa re# re#aa #angen#e a una ur)a en e' e"&ai!.
ITERPRETACION GEOMETRICA DE LA DERIVADA PARCIAL A PARTIR DE LA ESFERA. L(&e* Pin*(n Pau'a Andrea . a 9ORGE LEON 6 +ngu +ngu'! '! /ue /ue $!r% $!r%aa 'a ur) ur)aa en e' &'an &'an!! !n !n re"&e#! a' e0e 1 &!"i#i)! #eniend! a"2 una %e0!r !%&ren"i( !%&ren"i(nn de 'a in#er&re in#er&re#ai( #ai(nn ge!%3#ria ge!%3#ria a &ar#ir de 'a deri)ada deri)ada &aria'. Deri)ada &aria' e"$era euai(n de 'a ur)a re#a #angen#e.
Palabras
II.
MARCO TEÓRICO
*Superficie esférica: Una "u&er$iie e"$3ria e" 'a "u&er$iie engendrada &!r una irun$erenia /ue gira "!6re "u di+%e#r!.
Clave 4
In #5i" re&!r# re&!r# 5e wi'' &re"en# &re"en# #5e genera' genera' in#er&re in#er&re#a#i #a#i!n !n !$ #5e &ar#ia' &ar#ia' deri)a#i) deri)a#i)ee rea'i*ing di$$eren# a'u'a#i!n" 6e#ween #5e% #5e "'!&e !$ #5e ur)e #5e #angen# "#raig5# 'ine #! #5e ur)e in R, ang'e #5a# $!r%" #5e ur)e in #5e &'ane wi#5 regard #! #5e a1i" 1 &!"i#i)e'7 &!"i#i)e'7 5a)ing 'i8e #5a# a 6e##er !%&re5en"i!n !$ #5e ge!%e#ri in#er&re#a#i!n $r!% #5e &ar#ia' deri)a#i)e. Abstract — Abstract —
*Definición de esfera: Una e"$era e" 'a regi(n de' e"&ai e"&ai!! /ue "e enuen enuen#ra #ra en e' in#eri in#eri!r !r de una "u&er$iie e"$3ria. *Elementos de la esfera:
Keywords 4
Par#ia' deri)a#i)e "&5ere e/ua#i!n !$ #5e ur)e #angen# "#raig5# 'ine I.
OB9ETIVOS
OB9ETIVO GENERAL: In#er&re#ai(n genera' de 'a deri)a deri)ada da &aria &aria'' ge! ge!%3# %3#ri ria%e a%en#e n#e !n una e"$era OB9ETIVOS ESPECIFICOS: Ca'u'ar 'a deri)ada en Ca'u'ar 'a &endien#e de una ur)a en una )aria6'e Ca'u'ar 'a euai(n de 'a re#a #angen#e a una ur)a en R, a 6
E"#udian#e de ingenier2a ingenier2a i)i' . D!en#e de a'u'! )e#!ria' De&ar#a%en#! Cienia" B+"ia".
Fig;.
)i#u#!r=? an(ni%!>)i#u#!r=? •
•
Centro: Pun#! in#eri!r /ue e/uidi"#a de ua' ua'/u /uie ierr &u &un# n#!! de 'a "u&e "u&er$ r$i iie ie de 'a e"$era. Radio: Di"# Di"#aania nia de' de' en#r en#r!! a un &un#! de 'a "u&er$iie de 'a e"$era.
•
•
•
Cuerda: Seg%en#! /ue une d!" &un#!" de 'a "u&er$iie e"$3ria. Diámetro: e' en#r!.
Cuerda /ue
&a"a
&!r
*Ecuación cartesiana de la esfera En un "i"#e%a de !!rdenada" ar#e"iana" en un e"&ai! eu'2de! #ridi%ien"i!na' 'a euai(n de 'a e"$era uni#aria
Polos: S!n '!" &un#!" de' e0e de gir! /ue /uedan "!6re 'a "u&er$iie e"$3ria.
*Como calcular el radio de una esfera: Ca'u'a%!" 'a radi! de 'a e"$era !n!iend! 'a di"#ania de un &'an! /ue !r#a 'a e"$era 7 e' radi! de 'a "ei(n a&'iand! e' #e!re%a de Pi#+g!ra" en e' #ri+ngu'! "!%6read!.
La ecuación se obtiene considerando que en el punto M (x, y, z) de la esfera, el vector normal OM es igual a 1. Generalizando, la esfera de radio r, de centro (a, b, c) tiene como ecuaci ón:
Ω
La ecuación del plano tangente en el punto M (x', y', z') se obtiene mediante el desdoblamiento de las variables: en el caso de la esfera unitaria:
Fig,. )i#u#!r=? y en el segundo ejemplo:
*Área y volumen de la superficie historica Un plano tangente a una esfera es siempre normal al radio de la esfera en el punto de tangencia. [2]
Fig-. <+rea 7 )!'u%en de 'a e"$era= an(ni%!> )i#u#!r=?
A = 4 π r 4
v= π r 3
2
*#nterpretación $eométrica de la derivada ordinaria: A&("#!' en "u 'i6r! a$ir%a /ue e"#e %3#!d! &ara de$inir 'a deri)ada !ndue a 'a idea ge!%3#ria de 'a #angen#e a una ur)a. En 'a $igura ; "e !6"er)a una &ar#e de 'a gr+$ia de una $uni(n $. 'a" !!rdenada" de '!" &un#!" P 7 @ "!n re"&e#i)a%en#e <1 $<1?? 7 <15 $<15??. En e' #ri+ngu'! re#angu'ar /ue "e $!r%a u7a 5i&!#enu"a e" e' "eg%en#! P@ 'a a'#ura e" $<15? $<1? 7 re&re"en#a 'a di$erenia de 'a" !rdenada" de '!" &un#!" P 7 @ en#!ne" e' !ien#e de di$erenia".
3
!"
Re&re"en#a 'a #angen#e #rig!n!%3#ria de' +ngu'! /ue $!r%a P@ !n 'a 5!ri*!n#a'. E' n%er! rea' #angen#e "e den!%ina &endien#e de 'a ur)a
en#re P 7 @ 7 da un %3#!d! &ara )a'!rar 'a in'inai(n de e"#a '2nea.
Fig-. In#er&re#ai(n ge!%3#ria de' !ien#e de di$erenia" !%! #angen#e de un +ngu'! C!uran# R. &+g. ,= Sea $ una $uni(n /ue #iene deri)ada en 1 &!r '! /ue !ien#e de di$erenia" #iende a ier#! '2%i#e $ <1? uand! 5 #iende a er!. En 'a in#er&re#ai(n ge!%3#ria a' #ender 5 a er! e' &un#! P &er%anee $i0! &er! @ "e %ue)e 5aia P a '! 'arg! de 'a ur)a 7 'a re#a P@ "e %ue)e a%6iand! "u direi(n de %anera /ue 'a #angen#e de' +ngu'! a'$a #iende a' '2%i#e $<1?. P!r e"#a ra*(n &aree na#ura' #!%ar !%! &endien#e de una ur)a en e' &un#! P e' nu%er! $<1?.H- La deri)ada de 'a $uni(n $<1? en e' &un#! 1 J a e" e' )a'!r de' '2%i#e "i e1i"#e de un !ien#e inre%en#a' uand! e' inre%en#! de 'a )aria6'e #iende a er!.
Cuand! 5 #iende a e' &un#! @ #iende a !n$undir"e !n e' P. En#!ne" 'a re#a "ean#e #iende a "er 'a re#a #angen#e a 'a $uni(n $<1? en P 7 &!r #an#! e' +ngu'! #iende a "er K.
La &endien#e de 'a #angen#e a 'a ur)a en un &un#! e" igua' a 'a deri)ada de 'a $uni(n en e"e &un#!. %# J $
*#nterpretacion $eométrica de la derivada parcial: %&otacion para las primeras derivadas parciales
III. ASPECTOS EPERIMENTALES
2
A =314,16 cm
INSTRUMENTOS USADOS:
VOLUMEN
B!'a de i!&!r Pa'! de &in5! Ta6'a Pin#ura" Bi"#ur2 Pa'! 6a'"! Te%&era" Marad!re" &a'i''!"
3
3
4
v = π ( 5 cm )
3
3
3
v =523.60 cm
'( P'R' E) P)'& E& R+
PROCEDIMIENTO: &ara 'a e'a6!rai(n de 'a %a/ue#a
>A &ar#ir de 'a euai(n de 'a e"$era de#er%inare%!" e' )a'!r de * #eniend! en uen#a e' radi! rJ% en e' &un#! P<17?J<-,?
;. T!%e 'a e"$era de i!&!r 7 'a di)id2 en !5! &ar#e" igua'e" de 'a" ua'e" !r#e una.
2
2
2
x + y + z =5
,. C!n un!" &a'i''!" 7 &a&e' ar%e una" 6andera" &ara &!der di"#inguir ada un! de '!" e0e" <1 7 *?
2
3
2
+ 22+ z2 =52
9 + 4 + z
-. A &ar#ir de' !#a)! de 'a e"$era "e !%en*( a rea'i*ar 'a &ar#e e1&eri%en#a' de#er%inand! un &un#! P <-,? e' ua' $ue nee"ari! &ara 5aer un !r#e &ara'e'! a' e0e 1 en e' !#an#e de 'a e"$era.
2
=52
2
z =25− 9− 4 z =√ 12 z =3.5 cm
. Trae una '2nea en e' &un#! P a '! 'arg! de' e0e * de#er%inand! un &un#! @ "e 'e &u"! una re#a &endien#e 'a ua' &a"a &!r e"#e &un#! @.
Para e' &'an! *>1 Teniend! en uen#a 'a 'a euai(n de 'a e"$era /ue #en2a%!" an#eri!r%en#e 'a !n)er#ire%!" en 'a euai(n genera' de 'a irun$erenia 2 2 2 x + y =r "iend! e' )a'!r de 7J,
. Med2 e' +ngu'! /ue "e $!r%( en#re 'a re#a #angen#e a 'a ur)a /ue &a"a &!r e' &un#! @ de#er%inand! a'gun!" a"&e#!" e1&eri%en#a'e" '!" ua'e" )eri$iare !%&ara#i)a%en#e !n 'a &ar#e #e(ria.
2
2
2
2
2
2
2
2
x + y + z =5
. P!"#eri!r%en#e "e rea'i*ar!n '!" +'u'!" a ni)e' #e(ri! /ue "e en!n#raran a !n#inuai(n. CARACTERISTICA DIAMETRO RADIO AREA
4
v= π r
x + 2 + z =5 2
2
x + 4 + z =25
MEDIDA ; % % 2 A = 4 π r
2
2
2
2
x + z =25 −4 x + z =21 2
A = 4 π ( 5 cm )
2
2
2
x + z = 4,6
*P'R,E !-Ca'u'ar 'a deri)ada en e' &'an! *>1 ( *P'R,E +-Ca'u'ar 'a &endien#e de una ur)a en una )aria6'e( La &endien#e de una re#a #angen#e a una ur)a e" igua' a ' M T = f ( x =3 =Tanθ )
#!%and! e' )a'!r de M =−0,86 ( pendiente ) ; x =3 z =3,5 ( cordenadas) &ara a'u'ar e' )a'!r de 6 7 de e"#a %anera 'ueg! 5a''are%!" e' )a'!r de 1 e' ua' !r#a 'a &endien#e a' e0e 1. En#!ne" re%&'a*are%!"
z = Mx + b 3,5=(−0,86 )( 3 )+ b
para esto derivaremoscon respecto a x la fun 2
2
2
x + z = 4,6
7 'a e)a'uare%!" !n un )a'!r
dz ⋮ x =3 − z =3,5 dx dz 2 x +2 z =0 dx
3,5=(−2,6 )+ b 3,5 + 2,6 =b 6,1=b
Qa #eniend! e' )a'!r de
dz −2 x = dx 2 z
b =6,1 7 e' )a'!r de
M =−0,86 ( pendiente ) y z =0 ; #!%are%! " nue)a%en#e 'a euai(n de' &un#! &endien#e z = Mx + b 7 ree%&'a*are%!" di5!" )a'!re":
dz − x = dx z
z = Mx + b
dz −3 = dx 3,5
0 =(− 0,86 ) x + 6,1
dz =−0,86 dx
−6,1 x = −0,86
Para e' +ngu'!
θ
−1
θ= tag (−0,86 ) θ= (− 40,70 ° ) + 180 ° θ=139,30 ° Para 5a''ar 'a" !!rdenada" de' &un! @ a &ar#ir de 'a euai(n de 'a &endien#e y = Mx + b
7,09= x
≈ 7,1= x De e"#e %!d! 'a" !!rdenada" de' &un#! @ "!n En R, En R@J<<;?? @J<<;?<,? <?? z =0 z =0 x =7,1 x =7,1
y =2
θ= arcotangente (−0,86 ) −1
θ= tag (−0,86 ) .( P'R' E) ESP'C# R/ A &ar#ir de 'a euai(n de 'a e"$era /ue 2 2 2 2 &'an#ea%!" iniia'%en#e x + y + z =5 !n
θ= (− 40,70 ° ) + 180 ° θ=139,30 °
y =2 deri)are%!" i%&'2i#a%en#e !n re"&e#! a 1 : 2
2
x + 4 + z =5
C( PRUEBA Para !%&r!6ar e' &r!edi%ien#! /ue rea'ie an#eri!r%en#e nee"i#are 5a''ar 'a" !!rdenada" de' )e#!r ! /ue )a de"de e' &un#! P 5a"#a e'
2
En!ne" #ene%!" 'a "iguien#e deri)ada &aria' ∂ z =0 2 x + 0 + 2 z ∂x
&un#! @ en d!nde :
= ( 3,2, ( 3,5 ) ) y " =(( 7,1 ) # 2,0 ) Para de#er%inar 'a" !!rdenada" de
∂z ∂x
!
5are%!" una re"#a de )e#!re" de 'a "iguien#e $!r%a:
! = " =" −
∂ z −2 x = ∂x 2 z
! =( 7,1 −3 ) i # ( 2−2 ) $ # ( 0 −3,5) % ⃗
∂ z − x = ∂ x z
! =( 4,1 ) i # ( 0 ) $ # (−3,5 ) % ⃗
E)a'uare%!" 'a in#egra' &ara e' &un#! ( 3,2, (3,5 ))
Qa #eniend! 'a" !!rdenada" de' )e#!r
!
de#er%inare%!" 'a" euai!ne" "i%3#ria"
∂z ⋮ ( 3,2, ( 3,5 )) ∂x
x = x 0+ at y = y 0 + bt
∂ z −3 = ∂ x 3,5
z = z 0 + ct
∂z =−0,86 ∂x Para e' +ngu'!
θ
Para
x 0=3 a =4,1 y 0=2 b =¿
z 0=3,5 c =¿
>-
En#!ne" ree%&'a*are%!" '!" an#eri!re" )a'!re" en 'a euai!ne" "i%3#ria"
−3,5 x + 10,5 + 14,35
x =3 + 4,1 t
4,1
= z
y =2 + 0 t
−3,5 x + 24,85
z =3,5 +(−3,5 ) t
4,1
De e"#a $!r%a de#er%ina%!" /ue :
−3,5 x
x =3 + 4,1 t
4,1
y =2
+
= z
24,85 4,1
= z
−0,86 x + 6,1 = z
z =3,5− 3,5 t *P'R,E !-Ca'u'ar 'a deri)ada en e' &'an! *>1 ( De"&e0a%!" # de 'a euai(n de 1 7 'a de *
x − 3 4,1
*P'R,E +-Ca'u'ar 'a &endien#e de una ur)a en una )aria6'e(
=t
*P'R,E / -Ca'u'ar 'a euai(n de 'a re#a #angen#e a una ur)a en R, (
y =2
P'R,E 0 -Ca'u'ar e' +ngu'! /ue $!r%a una ur)a en e' &'an! !n re"&e#! a' e0e &!"i#i)! 1 ( *
z − 3,5
−3,5
=t
P'R,E 1 -C!%&arar e' +ngu'! e1&eri%en#a' !n e' +ngu'! #e(ri! /ue $!r%a una re#a #angen#e a una ur)a en e' e"&ai!. ( *
#!%are%!" 1 7 * 'a" igua'are%!" &ara &!der de e"#a %anera 5a''ar 'a euai(n de' &un#! &endien#e de"&e0and! 'a *aria6'e *
IV. •
x − 3 z − 3,5 4,1
=
CONCLUSIONES
−3,5 V. R EFERENCIAS 5##&:www.)i#u#!r.ne#,,--.5#%' H; 5##&:www.)i#u#!r.ne#,,--.5#%' H, www.eur!"5!!'.'ue"%a#5"$i5er!""e1#!&n E"$era.d!H-
( x −3 )∗(−3,5 ) =( z −3,5 )∗( 4,1) −3,5 x −10,5 =4,1 z −14,35
−3,5 x −10,5 + 14,35 =4,1 z
Para 'a e'a6!rai(n de e"#a ar#iu'! "e # u)! en uen#a: ;. ,.
P'an#i''a &ara 'a redai!n de ar#iu'!" ien#i$i!" de"argad! de 5##&:;..-;.;;%!!d'e!ur"e)iew.&5&idJ- N!r%a" IEEE
