APLICACIONES DE LA DERIVADA EN LA ECONOMÍA
En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado. En términos físicos, representa la cuantía del cambio que se produce sobre una magnitud.
Conceptos y aplicaciones El concepto de derivada es uno de los dos conceptos centrales del cálculo infinitesimal. El otro concepto es la «antiderivada» o integral; ambos están relacionados por el teorema fundamental del cálculo. A su vez, los dos conceptos centrales del cálculo están basados en el concepto de límite, el cual separa las matemáticas previas, como el Álgebra, la Trigonometría o la Geometría Analítica, del Cálculo. Quizá la derivada es el concepto más importante del Cálculo Infinitesimal. La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología, o en ciencias sociales como la Economía y la Sociología. Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones dimensiones de , se considera la derivada derivada como como la pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto
. Se puede aproximar la pendiente
de esta tangente como el límite cuando la distancia entre los dos puntos que determinan una recta secante tiende a cero, es decir, se transforma la recta secante en una recta tangente. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales como concavidad o convexidad.
Definiciones de derivada En terminología clásica, la diferenciación manifiesta el coeficiente en que una cantidad cambia a consecuencia de un cambio en otra cantidad
.
En matemáticas, coeficiente es un factor multiplicativo que pertenece a cierto objeto como una variable, un vector unitario, una función base, etc. En física, coeficiente es una expresión numérica que mediante alguna fórmula determina las características o propiedades de un cuerpo. En nuestro caso, observando la gráfica de la derecha, el coeficiente del que hablamos vendría representado en el punto la división representada por la relación
de la función por el resultado de
, que como puede comprobarse en la
gráfica, es un valor que se mantiene constante a lo largo de la línea recta azul que representa la tangente en el punto
de la función. Esto es fácil de
entender puesto que el triángulo rectángulo formado en la gráfica con vértice en el punto
, por mucho que lo dibujemos más grande, al ser una figura
proporcional el resultado de
es siempre el mismo.
Definición como cociente de diferencias
Recta secante entre f ( x ) y f ( x +h). La derivada de una función del gráfico de
en
es la pendiente geométrica de la recta tangente
. Sin el concepto que se va a definir, no es posible
encontrar directamente la pendiente de la línea tangente a una función dada, porque solamente se conoce un punto en la línea tangente:
. La idea
es aproximar la línea tangente con múltiples líneas secantes que tienen distancias progresivamente más pequeñas entre los dos puntos que cruzan. Cuando se toma el límite de las pendientes de las líneas secantes de esta progresión, se consigue la pendiente de la línea tangente. Se define, pues, la derivada tomando el límite de la pendiente de las líneas secantes, al acercarlas a la línea tangente. Para encontrar las pendientes de las líneas secantes próximas, se elige un número
relativamente pequeño.
pequeño en
representa un cambio relativamente
, el cual puede ser positivo o negativo. La pendiente de la línea
que cruza los dos puntos
y
es:
. Esta expresión es el cociente de diferencias de Newton. La derivada de en es el límite del valor del cociente diferencial, conforme las líneas secantes se aproximan a la línea tangente:
. Si la derivada de existe en todos los puntos como la función cuyo valor en cada punto Puesto que sustituir
, se puede definir la derivada de es la derivada de en
.
por 0 produce una división por cero, calcular
directamente la derivada puede no ser intuitivo. Una técnica posible consiste en operar en el numerador, de manera que se pueda cancelar la
del
denominador. Y eso es posible fácilmente en los polinomios. Pero para muchas otras funciones el resultado es incierto. Afortunadamente, hay reglas generales que facilitan diferenciar la mayoría de las funciones simples.
Continuidad y diferenciabilidad Artículo principal: Función continua. Una condición necesaria pero no suficiente para que una función sea derivable en un punto es que esta sea continua. Intuitivamente, una función continua es aquella en la cual pequeños incrementos en los elementos del dominio de la variable dependiente produce pequeños incrementos en el valor de dicha función, de manera que . Haciendo estos incrementos cada vez más pequeños, las variaciones se hacen más pequeñas; cuando estos se aproximan a cero, en el límite,
con lo que se obtiene, f ( x )=y . Para un punto particular a, quiere decir que , y si este último límite existe significa en consecuencia por un teorema de límites (un límite existe si y sólo si los dos límites laterales existen y son iguales) que toda función f ( x ) que cumpla con
es continua en el punto a. Con dic ión no rec ípr oc a
La función valor absoluto no tiene derivada en el punto (0,0). La relación no funciona a la inversa: el que una función sea continua no garantiza su derivabilidad. Es posible que los límites laterales sean equivalentes pero las derivadas laterales no; en este caso la función presenta un punto anguloso en dicho punto. Un ejemplo puede ser la función valor absoluto (también llamada módulo) en el punto
. Dicha función se expresa:
Para valores infinitamente cercanos a 0, por ambas ramas, el resultado tiende a 0. Y el resultado en el punto 0 es también 0, por lo tanto es continua. Sin embargo, las derivadas resultan:
Cuando
vale 0, las derivadas laterales dan resultados diferentes. Por lo tanto,
no existe derivada en el punto, a pesar de que sea continuo. De manera informal, si el gráfico de la función tiene puntas agudas, se interrumpe o tiene saltos, no es derivable.
Derivada de una función Considerando la función f definida en el intervalo abierto I y un punto a fijo en I , se tiene que la derivada de la función f en el punto se define como sigue:
, si este límite existe, de lo contrario,
, la derivada, no está definida. Esta
última expresión coincide con la velocidad instantánea del movimiento continuo uniforme acelerado en cinemática. Aunque podrían calcularse todas las derivadas empleando la definición de derivada como un límite, existen reglas bien establecidas, conocidas como teoremas para el cálculo de derivadas, las cuales permiten calcular la derivada de muchas funciones de acuerdo a su forma sin tener que calcular forzosamente el límite. Tales reglas son consecuencia directa de la definición de derivada y de reglas previas, como puede apreciarse en todo buen texto de cálculo infinitesimal. También puede definirse alternativamente la derivada de una función en cualquier punto de su dominio de la siguiente manera:
,
Ejemplo Sea la función cuadrática f ( x )= x 2 definida para todo x perteneciente a los reales. Se trata de calcular la derivada de esta función para todo punto x ∈ R — puesto que es continua en todos los puntos de su dominio —, mediante el límite de su cociente de diferencias de Newton. Así,
Notación Existen diversas formas para nombrar a la derivada. Siendo f una función, se escribe la derivada de la función respecto al valor
en varios modos.
Notación de Newton Artículo principal: Notación de Newton. La notación de Newton para la diferenciación respecto al tiempo, era poner un punto arriba del nombre de la función:
y así sucesivamente. Se lee «punto
»o«
punto». Actualmente está en desuso en Matemáticas
puras, sin embargo se sigue usando en áreas de la física como la mecánica, donde otras notaciones de la derivada se pueden confundir con la notación de velocidad relativa. Se usa para definir la derivada temporal de una variable. Esta notación de Newton se usa principalmente en mecánica, normalmente para derivadas de tiempo tales comos velocidad y aceleración, y en teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias. Usualmente solo se usa para las primeras y segundas derivadas.
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Introducción
Una de las mayores dificultades que se tiene al comenzar a estudiar la derivada de una función es la comprensión de sus aplicaciones (principalmente su significado geométrico). Mientras que el cálculo de derivadas suele resultar sencillo e incluso atractivo (dada la mecánica del proceso), las aplicaciones de la derivada se convierten en un problema complejo, aunque no lo sea, debido a que en muchos casos no se ha conseguido asimilar y adquirir el concepto con claridad. Los materiales que se muestran en este math-block tiene como objeto el familiarizar al lector con los conceptos de límite y derivada de una función así como mostrar algunas de sus aplicaciones (cálculo de la recta tangenta y normal de una función en un punto, construcción de gráficas, ortimización de funciones, aplicaciones en una situación física particular...) que tanto interés tienen hoy en día sobre un amplio abánico de campos (económico, social, físico, ...).
Objetivos
Mediante este math-block se pretende que el estudiante adquiera las habilidades siguientes:
Consolidar el concepto de derivada de una función.
Profundizar en el cálculo de límites y derivadas.
Conocer las aplicaciones de las derivadas.
Aprender el mecanismo de cálculo de un límite mediante la regla de l´Hôpital.
Conocer y comprender la relación existente entre la representación gráfica de funciones y las derivadas.
Bibliografía
La Matemática como ciencia ha proporcionado al hombre las más poderosas herramientas para enfrentar los más disímiles problemas de la cotidianidad. La mayoría de los campos del saber humano se valen de técnicas matemáticas para indagar en la explicación de relaciones causales de los procesos y fenómenos que ocurren en cada especialidad. Hoy en día resulta frecuente encontrarnos artículos de las ciencias médicas, químico-farmacéuticas, ciencias sociales (o de cualquier área general del saber), en que se haga referencia a algún concepto o ente matemático. Especialmente en las ciencias económicas son utilizados conceptos como la derivada, la integral, las ecuaciones diferenciales, las series temporales, entre otros. Los métodos más modernos de medición de la eficiencia y la optimización económica tienen como sustrato esencial algún modelo matemático. Probablemente uno de los conceptos más útiles y aplicables en la Economía sea la derivada de una función. Cualquier curso de matemática superior contiene, ineludiblemente, un tema dedicado especialmente a las aplicaciones de la derivada. Generalmente se acostumbra presentar el estudio, de acuerdo al área específica del conocimiento desde donde se aborde la temática, en dos partes. De una, la utilización de la derivada en la obtención de soluciones estrictamente matemáticas; a saber: el cálculo de límites indeterminados y el trazado general de curvas. De otra, las aplicaciones específicas en la especialidad de que se trate. El objetivo de este trabajo es ilustrar las aplicaciones generales de la derivada, con la intención de que este escrito sea utilizado por estudiantes de Economía. Se estructura en tres apartados: el primero, dedicado a la resolución de límites indeterminados; el segundo, al trazado de curvas; y por último, la resolución de problemas económicos de optimización.
Conclusión
Uno de los grupos temáticos de la Matemática Superior que más se aplica a la Economía es, sin duda, la derivada. Es utilizada para determinar el producto marginal, elasticidad e importantes funciones económicas, y para desarrollar los procesos de optimización. Tanto el óptimo microeconómico del consumidor como del productor, representan un problema de optimización modelado mediante un proceso en derivadas parciales. Este documento ilustra algunas de las aplicaciones de la derivada de las funciones de una variable independiente, con énfasis en las aplicaciones económicas.
