CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIOS PREUNIVERSITARIOS CICLO ADMISION 2013-II UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
CEPRE-UNI Inecuaciones de grado superior Sea P(x) un polinomio de grado n con coeficientes reales, si n , las inecuaciones P(x) , P(x) , P(x) y P(x) , se denominan de grado superior. Caso 1: P(x) 1: P(x) de grado n con n raíces reales diferentes. Sea P( x ) ax
n1
n
a1x ... an1x an, a 0 y x1 x2 ... xn1 xn sus raíces.
Gráfico de raíces raíces
+
x2 .... ...... .... .. xn1
x1
+
-
+
-
a) Si a) Si P(x) , la solución son los intervalos marcados con “+”.
b) Si b) Si P(x) , la solución son los intervalos marcados con “ -”. Ejemplos: 1) Resolver Resolver p ara x: x( x 3)( x 2)(2x 1) 0 Solución: Raíces: 0 , 3 ,-2 , ½ 0
-2
+
-
+
-
3
1 2
La solución son los intervalos marcados con 1 “ – “, x 2 ; 0 ; 3 2 2) Resolver Resolver p ara x: 2x 1 0 , si a b ( x 2)( x 3) Solución: Los denominadores no pueden ser cero 1 Raíces: , 2 , 3 2 -
3
+
CEPRE-UNI
1 2
-
2
+
Solución: ax 1 x a 1 1 bx 1 x b ax bx a b bx 1 xb x(a b)
xn
Como a 0 , los intervalos se marcan alternadamente +, -, empezando por la derecha con +
+
La solución son los intervalos marcados con 1 “ + “, x 3 ; ] ; 2 3) Resolver Resolver para x: ax 1 x a , si a b bx 1 x b
bx 1 x bx 1
a b x b 1
x b
0, a bab 0
0
x2 1 (bx 1)(x b)
0 , las raíces en orden
1 ;1 , entonces creciente son: ; 1; b ;1 b
+
-
x
1 b
1
+
-
+
b
1
1
; 1] b ; 1] b 4) Resolver Resolver para x: x a b 1 a , si b a b x a a Solución: Agrupando convenientemente convenientemente 1 b x a a) 0 ( )( a x a b
x a ab ab a( x a)
x a ab ab b
0
1 1 0 , efectuando a( x a) b
( x a ab )
ax a2 b ( x a ab) 0 , ab es negativo a b (x a ) ÁLGEBRA
-1-
CICLO ADMISION 2013-II
( x a ab)(ax a 2 b) ( x a)
0 , las raíces en
orden creciente son a ab , a
b a
, a
Ejemplo: 1) Resolver Resolver para x: ( x 2 7)3 ( x 2 4)5( x 1) 4( x 3) 7
,entonces
-
(2x
+
a ab a
b
-
a
a
Nota: En las inecuaciones fraccionarias o , los denominadores no pueden ser cero, las raíces del numerador deben estar siempre en la solución final a menos que anulen al denominador Caso 2: P(x) 2: P(x) con raíces reales repetidas
3
13
x 3) 3) ( x 8 )
0
S1
a) La a) La solución de: ( x2 7)3 ( x 2 4)5( x 1) 4( x 3) 7
( x 2) , ( x 1) , ( x 5) son solo positivas.
( x 2)6 ( x 1)8 ( x 5)8 (x ( x 2)( x 5) 0
2
11 3
13
3 ) ( x 8) x 3) S1 2 ; 1 ; 3 (2x
0 , es:
b) Resolvemos: b) Resolvemos: ( x 2 7)3 ( x 2 4)5( x 1) 4( x 3) 7 (2x
9
( x 2) ( x 1) ( x 5) 0 Solución: x 2 ;1 ; 5 , la inecuación no puede ser cero, entonces las potencias pares de
S2
La solución es S S1 S2
Resolver 8
11
Solución Sabemos que f ( x) 0 f ( x ) 0 o f ( x ) 0
+
b La solución es x a ab ; a a ; a
7
2
2
11
3
13
x 3) 3) ( x 8 )
0
( x2 7)3 ( x 2)5 (x 2)5( x 1) 4( x 3) 7 ( 2x
2
11
13
2
x 3) (x ( x 2) (x 2x 4)
( x 2 7)( x 2)(x 2) 2)( x 3) (2x
2
13
2
x 3)( x 2)(x 2x 4)
0
0 ; x 1
son positivas
( x 2)( x 5) 0 , x
+
( x2 7) ( x 2)( x 3)
0
+
-
2
1
(2x
5
2
2
x 3) 3) ( x 2x 4) 4)
0
. x 2 ; 5 1 Nota: Podemos deducir que para las inecuaciones P( x ) 0 y P( x ) 0 , los exponentes impares se pueden eliminar, las potencias pares se pueden eliminar, pero se restringe su base (base 0).
0 ;x ; x 1 ; 2
0
Los polinomios de segundo grado son positivos, entonces: ( x 2)( x 3 0 ; x 1 ; 2 +
2 S2
+
3
2 ; 3 1 ; 2 2 ; 3 2
Caso 3: P(x) 3: P(x) con raíces reales complejas Las raíces complejas se presentan por pares conjugados, que forman trinomios de segundo grado, debe recordarse que:
La solución es S S1 S2
1) ax 2 bx c es positivo si a 0 y
S [ 2 ; 3] 2
2
2) ax bx c es negativo si a 0 y
CEPRE-UNI
0 0
S
2 ; 3 2 2 ; 1 ; 3 1
S [2 ; 2 2 ; 3]
ÁLGEBRA
1
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CICLO ADMISION 2013-II
Ecuaciones irracionales Casos básicos
4) Resolver: x x 1 x 2 2 Solución: x 0 x 0 x 0 x 1 1 x 1 x 0 x 2 x 2 2 , entonces: x x 1 x 2 2.4142... , es decir
1) 2n f ( x) 0 o 2n1 f ( x) 0 ; n Equivale a resolver f ( x ) 0 2) 2n f (x (x) g( x) , n Equivale a resolver
x x 1 x 2 2 C.S. Ecuaciones reducibles a cuadráticas Son aquellas ecuaciones que mediante artificios de cálculo se reducen a una ecuación cuadrática.
g( x) 0 f ( x) (g(x))2 3) 2n f ( x) 2n g( x) , n f ( x) 0
Equivale a resolver f ( x ) 0 g( x ) 0 f ( x ) g( x ) 4) 2n f ( x) 2n g( x) 0, n Equivale a resolver f ( x ) 0 g( x ) 0 Ejemplos 1) Resolver Resolver p ara x: Solución:
12
1) Resolver: 3x 2 4x 3x 2 4x 6 8 Solución: hacemos un cambio de variable
a 3x2 4x 6 ; a 0 3x2 4x a2 6
2x2 5x 3
a2 6 a 8 (a 2) 2)(a 1) 0 , solo a 1
0
3x2 4x 1 6 (3x 7)( x 1) 1) 0 , 7 C.S. 1 ; 3
2x2 5x 3 0 (2x 1) 1)( x 3) 0 1 C.S.= ; 3 2 2) Dada la ecuación x 1 2x 0 , contestar V o F I) I) Si la ecuación tiene solución, esta debe estar en el intervalo [ 1;0] II) La II) La ecuación tiene dos raíces reales II) La II) La ecuación tiene una sola raíz Solución x 1 2x Restricciones a) x 1 0 x 1 b) 2x 0 x 0 Intersectando las restricciones x [1 ; 0] , I es V, elevamos al cuadrado x 1 4x 2
solo x
4x 2 x 1 0 x
1 17 8
1 17
,
x 1 3 2x 22 22 2 2) Resolver: Solución: hacemos 2 cambios de variable
a x 1 ; a 0 x a2 1 .......( ) b
3 2x
22 ; b 0 x 2
() () a
1
b3 22
b3 22 2
2
......( )
, entonces:
2 3 a b 2 2(b 2) b 24 2 3 2a b 24 (b 2) 2)(b2 8) 0 b 2 x 15 15 b 2 2 x 8 2 11 11 b 2 2 x 8 2 11
3) Resolver
, II es F y III es V 8 3) Resolver para x
x 2 2x 5 x 2 3 2x 5 7 2 Solución: hacemos un cambio de variable
6
Sea a 2x 5 ; a 0
2
6 2
3x 17x 10 x Solución:
25 0
a) 3x2 17x 10 10 0 (3x 2)( x 5) 0
2 C.S.= ; 5 3
a2 5
CEPRE-UNI
2
a2 5
2a 2 3a 7 2 2 2 a 1 a 3 14 ; a 0 2a 4 14 a 5
2 b) x 25 0 C. S . 5
Intersectando: C.S. = 5
x
a2 5
x
52 5 2
15 ÁLGEBRA
-3-
CICLO ADMISION 2013-II
Inecuaciones irracionales Casos básicos ( x ) g( x) x) 1) Inecuación irracional f (x Procedimiento Procedimiento de resolución Hay dos posibilidades. g( x ) 0 o g( x) x) 0 1) si 1) si g( x ) 0 , la condición de existencia es f ( x ) 0 g( x ) 0 ... ( ) Como g( x) x) 0 , elevamos al cuadrado
12 f ( x )
0
f ( x) g( x)] y g( g( x) 0 2) si g( x ) 0 , la condición de existencia es f ( x ) 0 g( x ) 0 No podemos elevar al cuadrado , entonces: f ( x ) 0 g( x ) 0 Finalmente tenemos:
[ g( g( x ) 0 ] [ f( f ( x ) g( x ))2 ] f ( x) g( x ) o [ g g(( x) 0 ] [f ( x) 0 ] Ejemplo: Resolver Solución
x2 4 x
5x 1 1
a) a) a.1: g( x ) 0 5x 1 0 x [ ; 5 a.2: f ( x) g2 ( x) x2 4x (5x 1) 1)2 1 1 1 1 x [ : , intersectando x [ : 12 2 5 2 1 b) b) b.1: g( x ) 0 5 x 1 0 x [ ; 5 2
b.2: f ( x) 0 x 4x 0 x [; 4] [0; , intersectando 1 x ; 4] [0; , la solución final es 5 1 a b S ; 4] [0; 2 Nota: Si x f ( x ) : g( x ) 0 , entonces la solución de 2n f(x) f(x) g(x) (x) es la solución de f ( x ) 0 Ejemplo: Resolver 12 Solución:
1 2x
1 2x x 1
0 x 1 ;
x 1 1 Como 1 x 13 6 2
CEPRE-UNI
13 4x 2
13 4x
1 2
]
2 o
2
]
f (x ( x ) g( x) x)
Procedimiento Procedimiento de resolució n 1) La 1) La condición de existencia es f ( x ) 0 g( x ) 0 ... ( ) 2) elevamos al cuadrado (
2
0
1
2) Inecuación ir racional
2
f(x) f(x) (g(x) (x)) ... () ( ) y ( ) se pueden escribir como
g( 1 ; g( x ) x
f(x f(x) g(x) (x)]2 ... () ) y ( ) se intersectan, entonces:
f ( x ) g( x ) f ( x ) 0 g( x ) 0 f ( x ) g( x))2
Ejemplo: Resolver Solución a) f( x ) 0
x2 5x 4 7 x
f( x) 0 x2 5x 4 0 x ;1] [4 [4; x) 0 b) g( x) g( x ) 0 7 x 0 x ; 7 c) f (x (x) g2 ((x x) f ( x ) g2 ( x) x2 5x 4 (7 (7 x)2 x ,5
La solución final es a b c S ;1] [ 4; 5 f (x)
3) Inecuación ir racional
g( x )
Procedimiento Procedimiento de resolució n 1) condición de existencia de la inecuación f ( x ) 0 g( x ) 0 ... ( ) 2) elevamos al cuadrado f(x) f(x) g(x) (x) ... () De ( ) y ( ) : f ( x ) g( x ) 0 Entonces:
f(x)
g( x ) f ( x ) g( x ) 0
Ejemplo: Resolver:
2x2 x 1
x2 4x 3
Solución: 2x 2 x 1 x 2 4 x 3 0
2x2 x 1 x2 4x 3 x2 4x 3 0 x2 3x 4 0 x 4 o x 1 2 x 4x 3 0 x 1 o x 3
,
intersectando x , 4 [3 ,
ÁLGEBRA
-4-
