Inecuaciones de Orden Superios y Inecuaciones Racionales Juan Carlos Damián Sandoval Universidad San Martin de Porres
Mayo del 2013
Inecuaciones de Orden Superior Inecuaciones de orden Superior MÉTODO: para resolver las inecuaciones ploninómicas, que son factorizables, se aplica el método de los puntos referenciales. Ejemplo Resolver en R: x (x + 2)2 (2x − − 1)(3 − x ) ≤ 0
Solución. Antes de dibujar los puntos referenciales en la recta real, se recomienda tener cuidado los siguiente: 1. Simplificar los factores positivos, si existieran. En esta inecuación debemos simplificar el factor (x + 2)2 , por ser = −2 positivo para todo x ∈ R con x 2. hacer cambio de signo en los factores lineales, en los cuales el coeficiente de x es NEGATIVO. En esta ecuación hacer cambio de signo en el factor (3 − x ). Esto es: La ecuación x (x + 2)2 (2x − 1)(3 − x ) ≤ 0 se reduce en la siguiente ecuación x (2x − 1)(x − 3) ≥ 0. . . (I)
Solución. 1. Los puntos referenciales son: x = 0, x = 21 ,x = 3 2. Dibujar los puntos referenciales en la recta real. 3. Elegir los intervalos que son solución de la inecuación (I) Se elige los intervalos asignados con el digno positivo por que la inecuacón (I) es mayor que cero.Por que además es igual cero, son soluciones todos los extremos de los intervalos.Además x = −2, también, es solución. por lo tanto el conjunto de conclusión es: c .s = x ∈ [0, 21 ] ∪ [3, +∞[∪{−2}
Ejemplo Resolver en R: (x − 1)3 (x + 2)(3 − 2x )(x − 3)2 > 0 Solución. Haciendo el mismos procedimiento del ejercicio anterior se tiene, el conjunto de solución es:c .s =] − ∞, −2[∪]1, 23 [
Inecuaciones Racionales (fraccionarias) Inecuaciones Racionaes Sea P (x ) y Q (x ) polinomios. son inecuaciones racionales: P (x ) P (x ) P (x ) P (x ) < > 0 , ≤ 0 , 0 y ≥ 0. Q (x ) Q (x ) Q (x ) Q (x ) Resolvemos las inecuaciones racionales por el método de los puntos referenciales. Algunas veces será necesario aplicar la regla de los signos para la división. Ejemplo Resolver en R:
x −2 x +3
< 2
Solución. 1. Primero pasamos a restar el 2 esto es: x x −+32 − 2 < 0, entonces se −8 tiene −x x +3 < 0 > 0. . . (*) 2. Luego multiplicamos por (−1) se tiene x x +8 +3 3. Ahora hallamos los puntos referenciales es decir: x + 8 = 0 ⇒ x = −8 y x + 3 = 0 ⇒ x = −3 y lo ubicamos en la recta real. 4. luego por el método practico obtenemos los intervalos del signo positivo por ser mayor que, la ecuación (*), así se tiene el conjunto de solución: c .s =] − ∞, −8[∪] − 3, +∞[
Ejemplo Resolver en R:
(x −3)(x +2) (x −2)(x +1)
≥ 0
Solución. El procedimiento hecho en clase se obtiene el conjunto de solución: c .s = x ∈] − ∞, −2]∪] − 1, 2[∪[3, +∞[
Ejercicios Ejercicios I.-Resolver en R las siguientes inecuaciones polinómicas: 1. x 3 − x ≥ 0 2. x 3 − x < 0 3. x 3 + 2x 2 − x − 2 < 0 4. 2x 2 + 5x − 3 > 0 5. (x + 3)(x − 5)(2x − 1) ≥ 0 6. (x 2 − 1)(4x − x 3 ) > 0 7. (2x + 1)(x − 2)(3x − 2) > 0 8. x 2 − 2x − 15 < 0 9. 6x 2 − 7x + 2 ≤ 0 10. x 6 + x 5 − 2x 4 > 0
Ejercicios Ejercicios 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
2x −1 x −2 x −2 x −1 2x −3 x +1 2x −1 x +2 2x −3 x −2 4x −1 x +2 2 (x −2)(x −1) (x +2)(x −3) 2 x x −1 x −2 3 2 5 < x x −1 x −1 (x −3)(x +1) (x 2 −4) 2x 2 +3x −2 < x 2 +4x −12
≥ 1 ≤ 2 ≥ 4 ≤ 4 ≥
≥ 0 − ≥ 0 − ≥ 0 0
Valor Absoluto Valor Absoluto El valor absoluto del número real a , denotado por |a |, esta definido por:
a a
|a | = −
si si
a 0 a < 0
≥
Se lee: El valor absoluto del número real a es igual al mismo número a , si a es positivo, o es igual a −a , si a es negativo. Los siguientes ejemplos se van a resolver aplicando la definición.
Ejemplo Ejemplo Resolver en R: |x − 2| − 2x = 4 Solución. Aplicando la definición tenemos: [si x − 2 ≥ 0, entonces(x − 2) − 2x = 4] ∨ [si x − 2 < 0,entonces −(x + 2) − 2x = 4] [x ≥ 2,entonces x = −6] ∨ [x < 2, entonces x = − 23 ] luego x = −6 no es solución ya que no cumple con x ≥ 2 , por tanto c .s =
∅ En cambio x = − c .s = {− } 2 3
2 3
es solución ya que cumple con x < 2, por tanto
así tenemos: c .s = ∅ ∪ {− 23 } = {− 23 }
Ejemplo Resolver en R: 5|x + 1| − 3|x − 1| = 2 Solución. Los pasos se hechos es clase se obtiene el conjunto de solución: c .s = {−5, 0}
Proposiciones Proposiciones 1. Para todo a ∈ R, se cumple: |a | ≥ 0 2. |a | = 0 ⇔ a = 0 3. |a + b | ≤ |a | + |b |. . . (desigualdad triangular) 4. |ab | = |a ||b | 5. | b a | = ||b a|| , si b = 0 6. |a |2 = a 2 7. | − a | = |a | 8. si b ≥ 0 entonces |a | = b ⇔ a = b ∨ a = −b 9. |a | = |b | ⇔ a = b ∨ a = −b 10. Si b ≥ 0 entonces |a | ≤ b ⇔ −b ≤ a ≤ b 11. Para todo b ∈ R:|a | ≥ b ⇔ a ≥ b ∨ a ≤ −b 12. |a | < |b | ⇔ a 2 < b 2
Aplicación Aplicación de Proposiciones Ejemplo Resolver en R: |x − x 2 | = 0 Solución. Aplicaremos la proposición 2 |x − x 2| = 0 ⇔ x − x 2 = 0 ⇔ x (1 − x ) = 0 ⇔ x = 0 ∨ 1 − x = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 1 c .s = {0, 1}
Ejemplo Resolver en R: ||x 2 − 4| − 9| = 0 Solución. Aplicaremos la proposición 2 ||x 2 −2 4| − 9| = 0 ⇔ |x 2 − 4| − 9 = 0 ⇔ |x 2 − 4| = 9 aplicando prop.(8) ⇔ x 2 − 4 = 9 ∨ 2 x 2 − 4 = −9 5 ⇔ x = 13 ∨ x = −√ √ ⇔ [x = 13 ∨ x = √ − 13]√ ∨ x = ∅ Por lo tanto: c .s = { 13, − 13}
Ejemplo Resolver en R: ||x − 1| − |x + 2|| = 0 Solución. Aplicaremos la proposición 2 ||x − 1| − |x + 2|| = 0 ⇔ |x − 1| − |x + 2| = 0 ⇔ |x − 1| = |x + 2|, aplicando prop.(9) ⇔ x − 1 = x + 2 ∨ x − 1 =1 −(x + 2) ⇔ −1 = 2(falso ) ∨ x = − 2 1 2
⇔ ∅ ∨ {− }
Por lo tanto: c .s = ∅ ∪ {− 12 } = {− 12 }
Ejemplo Resolver en R: |2x − 3| = 2 Solución. Aplicaremos la proposición 8 |2x − 3| = 2 ⇔ 2x − 3 = 2 5 2
⇔ x = ∨
Por lo tanto:
x = 21 c .s = 12 , 25
{ }
∨ 2x − 3 = −2
Ejemplo Resolver en R: |x − 1| = |3x − 2| Solución. Aplicaremos la proposición 9 |x − 1| = |3x − 2| ⇔ x − 1 = 3x − 2 1 2
⇔ x = ∨
Por lo tanto:
x = 43 c .s = 34 , 21
{ }
∨ x − 1 = −(3x − 2)
Ejemplo Resolver en R: |x 2 − 4x | = |5 − 4x | Solución. Aplicaremos la proposición 9 |x 2 −2 4x | = |5 −24x | ⇔ x 2 − 4x = 5 − 4x ∨ x 2 − 4x = −(5 − 4x ) ⇔ x = 5√ ∨ x − 8x √ + 5 = 0 √ √ ⇔ [x = 5 ∨ x = −√ 5] √ ∨ [x =√ 4 + 11√ ∨ x = 4 − 11] por lo tanto: c .s = { 5, − 5, 4 + 11, 4 − 11}
Ejemplo Resolver en R: |2 − x | ≤ 3 Solución. Aplicaremos la proposición 10 |2 − x | ≤ 3 ⇔ −3 ≤ 2 − x ≤ 3 ⇔ −3 − 2 ≤ −x ≤ 3 − 2 ⇔ −5 ≤ −x ≤ 1 multiplicamos por (−1) ⇔ 5 ≥ x ≥ −1 c .s = x ∈ [−1, 5]
Ejemplo Resolver en R: |3x − 1| > x + 2 Solución. Aplicaremos la proposición 11 |3x − 1| > x + 2 ⇔ 3x − 1 > x + 2 ⇔ 2x > 3 ∨ 4x < −1 3 2
1 4
⇔ x > ∨ x < − c .s = x ∈] − ∞, − [∪[ 1 4
3 ,+ 2
∞[
∨ 3x − 1 < −(x + 2)
Ejercicios Ejercicios I.-Resolver las siguientes ecuaciones: 1. 2|x − 1| − |x | = 0 2. 3|x + 2| − |x − 1| = 5 3. |2x − 1| = 4 4. |3x + 2| = 2 5. |5x − 1| = 21 6. |3x − 2| = 23 7. |2x − 1| = x − 1 8. |5x + 2| = x 9. |4x − 5| = 2x − 1 10. |5x − 1| = x − 2 11. |x − 2| = |2x − 3| 12. |4x = 5| = |1 − x | 13. | 2| |3 + 5
Ejercicios Ejercicios I.-Resolver las siguientes Inecuaciones: 1. |4x − 1| < 3 2. |5x − 1| ≤ 8 3. | x 2 − 21 | ≤ 21 4. |x 2 − x | < 1 5. | x x −+11 | ≤ 1 6. 2 < |2x − 1| < 3 x 2 −2 7. | 2x 2 −1 | ≤ 1 8. 1 < | x −x 1 | < 3 9. | x x −−12 | < 2 −1 10. | 2x x +2 | < 5 11. |x − 2| > 3 12. |2x + 1| > 1
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Bibliografía "LAZARO CARRION, MOISES; Lógica y teoría de conjuntos. Editorial Moshera Lima 2009 "FIGUEROA ROBERTO, Matemática Básica. Editorial San Marcos. Lima 2004 .ESPINOZA RAMOS,E.(2002). Matemática Básica. Editorial Servicios Gráficos JJ. Perú. "VERA G. CARLOS, Matemática Básica. Editorial Moshera Lima 2009.
