INECUACIONES CUADRÁTICAS O DE SEGUNDO GRADO Es aquella desigualdad que se dan entre dos miembros en la que intervienen números reales y una incógnita cuyo mayor grado es dos Es de la forma: Ax2 + Bx + C > 0;
Ax + Bx + C > 0
Ax2 + Bx + C < 0;
Ax + Bx + C < 0
Donde: A, B, C, son números reales.
RESOLUCIÓN DE INECUACIONES CUADRÁTICAS CON UNA INCOGNITA Para resolver una inecuación cuadrática, se puede utilizar diferentes métodos:
1) Método Método:: Fact Factor oriza izació ción n Ejemplo. Resolver la inecuación: x2 – 5x + 6 < 0 •
•
Factorizando la expresión cuadrática mediante aspa simple, obtenemos (x – 3) (x – 2) < 0 (+)
(-)
(-)
(+)
Se aplica las propiedades de de las l as desigualdades x – 3 > 0 y x – 2 <0
•
o
x–3<0yx–2>0
Resolviendo las inecuaciones tenemos: x>3 y x<2
2
o
3 S1 = 0
x<3 y x>2
2 S2 = ] 2 ; 3 [
S = S1 Π S2 = ] 2 ; 3 [
3
2) Método Método:: Comple Completan tando do cuadrad cuadrados os. Ejemplo. Resolver la inecuación: x2 – 5x + 6 < 0 •
Transportamos el término independiente al segundo miembro x2 – 5x < - 6
•
Se divide el coeficiente de la variable x entre dos y se eleva al cuadrado (5/2)2 = 25/4
•
Sumamos a ambos miembros 25/4 x2 – 5x + 25/4 < - 6 + 25/4
(x – 5/2)2 < 1/4 •
A continuación se aplica el el teorema:
A2 < K Entonces:
-
Por lo tanto para nuestro ejercicio, tenemos: -
< x – 5/2 <
- 1/2 < x – 5/2 < 1/2 •
Sumando a ambos miembros 5/2, tenemos: - 1/2 + 5/2 < x – 5/2 + 5/2 5/2 < 1/2 + 5/2 4/2 < x < 6/2 2
•
< x < 3
Por lo tanto el conjunto solución es:
S=]2;3[
c) Método: Puntos críticos. Ejemplo. Resolver la inecuación: x2 – 5x + 6 < 0
•
Factorizamos: (x – 3) (x – 2) < 0
•
A continuación se encuentran encuentran los valores que anulan anulan los factores (x – 3) (x – 2) Siendo estos valores X=3 y x=2
•
Se construye la recta numérica y se coloca los valores de x
I
II
-∞ •
III
2
3
+∞
A continuación se toma un valor cualquiera de la zona I. por ejemplo – 4 y se reemplaza en los factores: factores: (x – 3) (x – 2), resultando: (-4 – 3) (- 4 – 2) = + 42
Luego toda la zona I es positiva. •
Se toma un valor cualquiera de la zona II. Por ejemplo 5/2 y se reemplaza en los factores: (x – 3) (x –2), resultando: (5/2 – 3) (5/2 – 2) = - 1/4
Luego toda la zona II es negativa . •
Se toma un valor cualquiera de la zona III. Por ejemplo 4 y se reemplaza en los factores: (x – 3) (x – 2), resultando: (4 – 3) (4 – 2) = 2
Luego toda la zona III es positiva .
+
-∞
-
2
+
3
+∞
•
Como la inecuación es: x2 – 5x + 6 < 0, interesa la zona negativa por ser la inecuación menor que cero.
S=]2;3[
