La inecuación cuadrática o de segundo grado :
x 2 − 6x + 8 > 0
La resolveremos aplicando los siguientes pasos:
1º Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuacin de segundo grado!
x 2 − 6x + 8 " 0
2º #epresentamos estos valores en la recta real! $omamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:
%&0' " 0 2 − 6 ( 0 + 8 > 0
%&)' " ) 2 − 6 ( ) + 8 " * − *8 , 0
%&-' " - 2 − 6 ( - + 8 " )) − )0 > 0
3º La solucin est. compuesta por los intervalos &o el intervalo' /ue tengan el mismo signo /ue el polinomio!
S = (-∞, 2)
(4, ∞)
x 2 + 2x +* 0
x 2 + 2x +* " 0
&x + *' 2 0
1omo un nmero elevado al cuadrado es siempre positivo la solucin es
Solución x 2 + 2x +1 ≥
(x + 1) 2 ≥
x 2 + 2x +1 !
(x + 1) 2 !
x 2 + 2x +1 "
(x + 1) 2 "
x 2 + 2x +1 $
(x + 1) 2 $
x = # 1
x 2 + x +* > 0
x 2 + x +* " 0
1uando no tiene raíces reales3 le damos al polinomio cual/uier valor si:
4l signo obtenido coincide con el de la desigualdad3 la solucin es
!
4 l s ig no o bt en i do n o c oi nc id e c on e l d e l a d es i gu al da d3 n o t ie ne solucin!
Solución
x 2 + x +1 ≥ x 2 + x +1 ! x 2 + x +1 " x 2 + x +1 $
%&ercicios de inecuaciones cuadraticas 1 x 2 + 2*x − 28 , 0
x 2 +)x − 5 , 0
x 2 +)x − 5 " 0
%&−6' " &−6' 2 +) ( &−6'− 5 > 0
%&0' " 0 2 +) ( 0 − 5 , 0
%&)' " ) 2 +) ( ) − 5 > 0
(#4, 1)
2 − x 2 + 5x − , 0
x 2 − 5x + " 0
%&0' " −0 2 + 5 (0 − , 0
"
3
%&−)' " 5 ( &−)' 2 − *6 > 0
%&0' " 5 ( 0 2 − *6 , 0
%&)' " 5 ( ) 2 − *6 > 0
(-∞ , #2 '
2, +∞)
4 5x 2 − 5x + * 7 0
5x 2 − 5x + * " 0
1omo el primer actor es siempre positivo3 slo tendremos /ue estudiar el signo del 29 act or!
%&−*' " &−*' 2 + *2 ( * − 65 > 0
%&0' " 0 2 + *2 ( 0 − 65 , 0
%&-' " - 2 + *2 ( - − 65 > 0
(-∞, #1*'
4, ∞)
* x 5 − 2-x 2 + *55 , 0
x 5 − 2-x 2 + *55 " 0
(#4, #3)
(#3, 3 )
(3, 4) !
x 5 − *6x 2 − 22- 0
x 5 − *6x 2 − 22- " 0
&x 2 2-' ( &x 2 + ;' 0
4l segundo actor siempre es positivo y distinto de cero3 slo tenemos /ue estudiar el signo del * er actor!
&x 2 − 2-' 0
(-∞, #'
, +∞)
5 Inecuaciones y sistemas Inecuaciones de primer grado, de segundo grado, de tercer grado, sistemas inecuaciones.
Notación de las inecuaciones Para resolver las desigualdades es importante conocer lo que significa que algo es < menor que y > mayor que en estos casos el valor a estudiar no está incluido. ≤ menor o igual que y ≥ mayor o igual que en estos casos el valor a estudiar está incluido.
.
Inecuaciones de primer grado Las desigualdades de primer grado se resuelven igual que las ecuaciones de primer grado, la solución va a cambiar dependiendo de la notación que tenga la desigualdad.
Sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita Cuando tenemos un sistema de desigualdades resolvemos cada una de ellas por separado, la solución va a ser la común a las desigualdades.
Inecuaciones de segundo grado Para resolver desigualdades de segundo grado o de grado superior es necesario descomponer en factores. Recuerda que para hacer la descomposición factorial dependiendo de la ecuación podemos sacar factor común, resolver la ecuación de segundo grado o aplicar la regla de Ruffini.
Inecuaciones con denominadores
Inecuaciones de grado superior a dos
Ejercicios de inecuaciones
