Guia 2 Integral Definida

UNIVERSIDAD UNIVERSI DAD NACIONAL EXPERIMENTAL EXPERIM ENTAL POLITÉCNICA POLITÉC NICA ANTONIO JOSE DE SUCRE VICERRECTORADO PUERTO ORDAZ DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES SECCION DE MATEMÁTICA ASIGNATURA : MATEMÁTICA II

CAPITULO 2 INTEGRAL DEFINIDA

Lic. ELIZABETH VARGAS

CIUDAD GUAYANA 2007

2007

CAPITULO 2. Integral Definida

Lic. Elizabeth Vargas

2

2.1 PARTICION DE UN INTERVALO CERRADO El objetivo de este capítulo es definir la integral según Riemann, analizar sus propiedades y aplicar el

. Para ello, es

necesario realizar un trabajo previo con el cálculo de áreas de ciertas regiones en el plano, lo cual involucra los conceptos de sumatorias, partición de un intervalo cerrado y limite. En el Apéndice A se da un resumen sobre las sumatorias.

Definición 2.1 Partición de un intervalo intervalo cerrado Sean el intervalo

[a, b] , P

⊆

[a, b]

tal que P = {x 0, x 1, ..., xn-1, x n}.

si se cumple que: a = x0 < x1 < ...< xn-1 < xn = b . A los xi se les llama

.

NOTAS: i) La partición partición P determina n subintervalos subintervalos cerrados de de [a, b] de la forma : [a, x1] , [x1, x2] , ..., [xn-1, b] . La longitud del i-ésimo subintervalo

[x i-1, xi] es

∆xi

= xi – xi-1 , i = 1,2,..., n, además

n

∑= ∆x = b − a .

La mayor de estas longitudes se le llama

i

P y se

i 1

denota por ii)

P :

P

= máx ∆x i : i = 1, 2 ,..., n .

Si la participación participac ión P determina n subintervalos de igual longitud, se dice que del intervalo [a, b] y su norma es h = (b-a)/n. En este caso, los nodos se

hallan así: x0 = a , x1 = a + h , x2 = a + 2h , ... , xi = a + i.h , ... , xn = a + nh = b. En una partición regular los nodos están igualmente espaciados. iii)

Si los elementos elementos de una partición partición de un intervalo cerrado cerrado [a, b] con 0 < a < b , forman

una progresión geométrica de razón r se cumple que: i-1

x0 = a, x1 = ar ,..., x i-1 = ar n

De ar = b se obtiene r = n subintervalo es :

( así se calcula la razón ) y la longitud de cada

∆x i = x i − x i −1 = ar i − ar i −1 = ar i −1(r −1) ,

r − 1  , r 

∆x i = ar i . 

b a

i = 1,2,..., n .

n

, xi = ari ,... , xn = ar = b

de manera que :

Esta partición no es regular y se cumple que :

2007


∆x1<∆x2<...<∆xn ,


∆x n =

por lo que su norma es :

b (r − 1) . r

iv) Si P es cualquier partición del intervalo [a , b] se cumple que : modo que:

si

P

→ 0 entonces

n

3

b − a ≤ n . P

De

→+ ∞ .

(2.1)

El reciproco de la proposición proposición (2.1) es falso: Si

n → +∞ entonces

Veamos un contraejemplo: contraejem plo: intervalo [0,1] ;

el

=

→ 0  

P = 0,

sea

(2.2) 1 2

primer subintervalo subintervalo

subintervalos son de la forma norma de P es P

P

1 2

1 1   2k , 2k −1 

n

1

, 2

es

n −1

,...,

1 1 1  , , , 1 8 4 2 

0, 1   2n   

una

con longitud

con longitud

1 2k

partición

1 2 n

;

del

los demás

, k = n , n-1,..., 2 ,1 . La

, cualquiera que sea n ( la norma no disminuye cuando n aumenta )

Si la partición es regular las afirmaciones (2.1) y (2.2) son equivalentes. equivalentes. inter valo cerrado cerr ado [a, b] tales que Definición 2.2 Si P1 y P2 son dos particiones del intervalo P2

⊂

P1 , entonces se dice que P 1 es más fina que P 2 , o que P1 es un refinamiento de P 2

y además se cumple que P1

≤

P2 .

De la definición anterior se desprende que al pasar de una partición a otra más fina la norma disminuye o permanece igual.

EJERCICIOS RESUELTOS 2.1 1) Sea P

=  , 2 1

1,

5 4

,

9 4

 

 1 , 3 ?  2   1 , 3 ya que P⊂  1 , 3 y  2   2 

, 3 . ¿ Es P una partición del intervalo

Solución: P si es una partición del intervalo

1 2

5

9

4

4

<1< <

< 3.

Los subintervalos determinados por P son: I 1

1 =  , 1 2 

cuya longitud es ∆x1 = 0,5 ,

I 2

5 = 1,   4

y

∆x 2 = 0,25

2007


I 3

Luego P

5 9 =  ,  4 4


∆ x3 = 1 ,

y

= máx { 0,5 ;

I 4

9 =  , 3 4 

4

∆ x4 = 0,75

y

} = 1 ; la partición P no es regular.

0,25 ; 1; 0,75

2) Determine una partición regular del intervalo [1,5] con 9 nodos.

Solución: Como la partición tiene 9 nodos entonces hay 8 subintervalos: n = 8, la norma de la partición es

P

=

5 −1 8

=

1

y los elementos de la partición son:

2

 

3

P = 1,

2

5

, 2,

2

, 3,

7 2

, 4,

9 2

 

, 5

EJERCICIOS PROPUESTOS 2.1 Sea P

= { xi }in=0

una partición del intervalo [a , b]. Decida si las siguientes proposiciones

son verdaderas o falsas. Justifique su respuesta. a)

P

=

b−a n

b−a

b)

n

≤

P

P

≥ ∆ xi ,

∆ xi = xi − xi −1 , entonces

b)

Si

c)

Si P

c)

Si n → +∞ entonces P

para todo

→0

i = 1,2,..., n.

→ 0 entonces el número de subintervalos de la partición tiende a infinito.

2.2 SUMA DE RIEMANN Sean f una función definida en un intervalo cerrado [a,b] y P

= { xi }in= 0

intervalo [a,b] . Se define una

una partición del

f n

P como:

S ( f , P)

= ∑ f (ci ).∆xi

(2.3)

i =1

donde ci

∈[ xi−1, xi ] , ∆ xi = xi − xi−1 ,

i = 1, 2 ...,n .

Observaciones: a) f no necesariamente es continua en el intervalo [a,b]. b) La función f puede tomar valores positivos, negativos o cero en [a, b]. c) ci es cualquier punto en el subintervalo [ xi −1, xi ] , con

i

= 1,2,..., n

d) Geométricamente de S(f, P) se interpreta así:

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5

∆ xi y altura f (c ). i Si f (c )i > 0, el rectángulo queda por encima del eje X y su área es f (c ). )i < 0, el i ∆ xi . Si f (c rectángulo se encuentra por debajo del eje X, entonces f (c ). i ∆ xi <0; luego S(f, P) es la En cada

subintervalo

se construyen

rectángulos de base

suma de las áreas de los rectángulos que se encuentran por encima del eje X menos la suma de las áreas de los rectángulos que se encuentran por debajo del eje X, como se muestra en la siguiente figura:

Y y = f (x)

.

x 2 c3 x 3

c4

x 4 c5

a c1 x 1 c2

c 6 x6

c7

b

X

Figura 2.1 e)

[ ]

Si f es una función continua en a, b

[ ]

tal que f ( x) ≥ 0 para todo x ∈ a, b entonces

la sumatoria de la definición 2.3 representa la suma de las áreas de rectángulos inscritos

( )

si f ci es el valor mínimo de f en cada uno de los subintervalos determinados por la

( )

partición y representa la suma de las áreas de rectángulos circunscritos si f ci es el valor máximo de f en cada uno de los subintervalos determinados por la partición. El lector debe tener cuidado cuando

f ( x ) ≤ 0 , pues las afirmaciones anteriores no son ciertas en

este caso

NOTA:

Si f es continua en cada uno de los subintervalos

Ii, entonces f alcanza

mínimo (mi ) y máximo (Mi ) en cada uno de estos subintervalos, es decir existen c i , di Ii tales que f(c i) = mi

y

f(di) = Mi .

Si elegimos estos c i o los d i , la suma ( 2.3 ) se

transforma en: n

S n

= ∑ f (d i ).∆xi

   

i =1 n

sn

= ∑ f (ci ).∆xi

∈

   

i =1

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6

Las otras sumas generadas con (2.3) se denominaran sumas intermedias de Riemann

Ejemplo 2.2 Sean

1

f ( x ) = 8 −

2

x2 ,

P = { 0; 1,5 ; 2,5 ; 4,5 ; 5 ; 6 } una partición del

intervalo [0,6]. Calcule la suma de Riemann asociada a P usando a c i como el punto medio de cada subintervalo.

Solución En el siguiente cuadro se resumen los cálculos: f(c ) i

∆ xi

f(c ) i . ∆ xi

0,75

7,71875

1,5

11,578125

[ 1.5, 2.5 ]

2

6,00000

1,0

6,00000

[ 2.5, 4.5 ]

3,5

1,8750

2,0

3,7500

[ 4.5, 5 ]

4,75

-3,28125

0,5

-1,640625

[ 5, 6 ]

5,5

-7,12500

1,0

-7,12500

Intervalo

c i

[ 0, 1.5 ]

La gráfica de f se muestra a continuación: Y

4.5 5 0

1.5 2.5

Luego , la suma de Riemann es :

6

X

S ( f , P ) =

5

∑ f (ci ).∆xi = 12,5624875

i =1

Ejemplo 2.3

Sean f(x) = [I x I] +2 , x

∈[-3,

3]

y la partición P = {-3, -1, 0, 2, 3} del

intervalo [-3, 3]. Halle la suma de Riemann asociada a P usando los siguientes valores para Ci : -2,5 ; -0,5 ; 1 ; 2,5 .

Solución: La siguiente figura ilustra la gráfica de f (x) =[I x I] + 2 con los correspondientes rectángulos asociados a la partición P y a los c i :

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7

La suma de Riemann asociada a la partición P usando los puntos dados, es:

4 3 2

S(f, P) = f(-2,5)2+f(-0,5)1+f(1)2+f(2,5)1 = -2 +1 + 6 + 4 =9

Ejemplo 2.3. Sea f definida por f(x) = x2 , con x en el intervalo [0,2] . Usando particiones regulares halle : a) Sumas inferiores

Solución:

∆ x =

2 n

b)

Sumas superior

c) Sumas intermedias.

Se toma una partición regular del intervalo [0,2] con n subintervalos, por lo que

y los elementos de la partición son:

x0

= 0,

x1

=

2 n

, x2

4

=

n

, ..., xi −1

2(i − 1)

=

n

, xi

=

2i

,..., xn

n

=2

Como f es creciente en [0,2] entonces f es creciente en cada uno de los subintervalos

[ xi −1, xi ],

por lo tanto f(xi-1) es el valor mínimo y f(xi) es el valor máximo.

Cálculo de las sumas inferiores:

2 n 2(i − 1)  2 4(i − 1) 2  . = = ∑ f ( xi −1 ).∆ x = ∑ f   . = ∑ 2 n

sn

( ver gráfico (2.2 a) ) :

n

i =1

n

i =1

n

n

n

i =1

8 n

3

n

∑= (i

2

− 2i + 1)

i 1

Aplicando las fórmulas especiales de sumatoria , se obtiene la siguiente expresión para las sumas inferiores :

sn

4

3

1

3

n

n

= 2 − +

2



(2.4)

Cálculo de las sumas superiores: ( ver gráfico (2.2b ) : n

S n

n

2i

2

4i 2 2

n

= ∑ f ( xi ).∆ x = ∑ f   . = ∑ 2 i =1 i =1  n  n i =1 n

Simplificando se obtiene :

S n

.

n

8

4

4

3

n

3n

= + +

=

2

8 n

3

n

∑= i

2

=

i 1

8 n( n + 1)( 2n + 1) n

3

.

6

(2.5)

Tomando las sumas intermedias: en este caso vamos a tomar el punto medio de cada subintervalo: el punto medio de cada subintervalo xi −1

=

2(i − 1) n

y

x i

=

2i n

por lo tanto

ci

=

2i − 1 n

[x i-1, xi] ;

es

ci

=

xi −1

+ xi 2

;

pero

luego :

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S =

n

2i − 1

i =1

n

n

∑ f (ci ).∆ x = ∑ f 

i =1

En particular, por lo tanto


∆x =

si n = 5

2

8

2

 . = − 2  n 3 3n

(2.6)

la partición regular del intervalo [0, 2]

s5 =

x5 = 2 .

66 48 88 , S 5 = , S = 25 25 25

s5 < S < S 5 . A continuación se muestran los gráficos con n=5:

Y

Y

0 2/5 4/5 6/5 8/5

X

2

0

Figura 2.2.a Suma inferior

1)

tiene 5 subintervalos

2/5 , x0= 0, x1= 2/5, x2 = 4/5, x3 = 6/5, x4 = 8/5,

Si en (2.4), (2.5) y ( 2.6) se sustituye n = 5 se obtiene cumpliéndose:

8

X

2/5 4/5 6/5 8/5 2

Figura 2.2.b Suma superior

ALGUNAS PROPIEDADES DE LAS SUMAS SUPERIORES E INFERIORES. Si f es una función continua en [a, b] tal que f(x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b] y P = { xi }in=0

es una partición de [a, b] entonces:

m(b-a)

≤

sp

≤

Sp

≤

M (b-a) , donde, m y M son los

valores mínimo y máximo absolutos de f en [a, b], respectivamente;

s p y Sp representan

respectivamente , la suma inferior y la suma superior de la función f

asociadas a la

partición P. 2) Si P y P* son dos particiones del intervalo [a, b] tal que P * es un refinamiento de P entonces se cumple que: aumentan las sumas inferiores y disminuyen las sumas superiores. Es decir:

2.3

s p

≤

*

s p ;

*

S p

≤ S p

INTEGRAL DEFINIDA

Definición 2.3

Sea f una función definida en un intervalo cerrado [a, b]. La integral

definida de f entre a y b , se denota por b

∫ a

f ( x ).dx

siempre que este límite exista , P

=

= { xi }in=0

b

∫ f ( x).dx, y se define así: a

 n

∑



 lim  f (ci ).∆ xi  P → 0  i =1 

(2.7)

es una partición de [a, b] , c i ∈[xi-1, xi].

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9

NOTAS: 1) Si el límite anterior existe entonces es único y representa el valor de la integral, por lo que se dice que “

[a, b]” o “

” 2) El número a se llama

y el número b

.

3) La definición no exige que f sea continua en [a,b], ni que f(x)≥ 0 para todo x∈[a,b]. 4) La igualdad (2.7 ) significa que: para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que para cualquier partición P de [a, b] para la cual P

< δ y cualquier ci ∈[xi-1, xi], i = 1, 2, ..., n se cumple que:

n

∑ ( f (ci ).∆ xi ) − ∫ ab f ( x)dx < ε

i =1

5)

Si f es integrable en [a, b] entonces el limite de la definición 2.3 no depende de la

elección de los c i . Así, ci se puede elegir de la forma que resulten mas cómodos los cálculos, a modo de sugerencia se dan los siguientes:

6)

En (2.7) ,

[

]

[

]

ci

= x i −1

Extremo izquierdo de x i −1 , x i

ci

= x i

Extremo derecho de x i −1 , x i

ci

=

x i −1 + x i

[

Punto medio de x i −1 , x i

2

]

representa la norma de una partición P de [a, b], la cual puede ser

P

regular o no ; lo importante es que P

→ 0 ya que esto implica que n → ∞ .

7) Si la partición elegida es regular entonces (2.7) se transforma en: b

∫ a

f ( x ).dx

=

 n  f ( ci ).∆ x  ∑  n → ∞ i =1 lim 

donde

∆ x =

b−a n

8) La variable de integración no influye en el valor de la integral, es decir: b

b

b

a

a

a

∫ f ( x) dx = ∫ f (t ).dt = ∫ f (m).dm 9) Para el cálculo de integrales definidas de funciones polinómicas, exponencial, seno, coseno se pueden tomar particiones regulares.

Los pasos a seguir para calcular una integral definida son : i)

Se toma una partición P del intervalo [a, b] con n subintervalos, se determinan los nodos y los ∆ xi .

ii)

Se elige ci ∈[xi-1, xi] , para cada i = 1, 2, 3, ..., n n

iii) Calcular

S n =

∑ f (ci ).∆xi

i =1

iv) Luego :

b

∫ f (x).dx = Lim→ (S a

P

0

n

)

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∫ − ( x − 1). dx 2

Ejemplo 2.4 Usando la definición 2.3 , calcule Solución. Sea

∆ x =

4 n

∫ −2 (x 2

,

3

xi −1

P

=

3

2

{ xi }in = 0 una partición regular de intervalo cerrado [-2, 2], por lo que

= −2 +

− 1). dx

10

4(i − 1)

= −2 +

, xi

n

 n = Lim  ∑ f  − 2 + n→+∞  i = 1 

4i n

, C i

= xi ,

luego:

3  n   4  4i     = Lim  ∑  − 2 +  − 1  n  n n    n   n→+∞  i = 1

4i

4  

Aplicando las propiedades de las sumatorias y las fórmulas especiales de sumatorias se

∫ −2 ( x3 − 1). dx = 2

obtiene:

lim 

n

→∞

32 n

− 4  = − 4

NOTA: a)

Si f es una función continua en [a, b] tal que tal que f(x)

≥ 0

para todo x

∈ [a,

b]

b

∫ f ( x)dx representa el área A de la región limitada por la gráfica de f , el eje X y las rectas x = a y x = b. Esto es: A = ∫ f ( x ).dx entonces

a

b

a

b) Si f es continua en [a, b] tal que f ( x ) ≤ 0 para todo x

∈ [a, b], entonces el área de la

región limitada por la gráfica de f , el eje X y las rectas x = a y x = b viene dada por: A = −

b

∫ f ( x).dx a

Ejemplo 2. 5 Sea la región R acotada por la gráfica de f(x) = x 2, el eje X y las rectas x=0, x=2. Halle el área de la región R.

Solución: Como el área de la región A viene dada por A =

b

∫ f ( x).dx , a

entonces el

proceso para calcular áreas es el mismo que el de calcular integrales definidas. En el ejemplo 2.3 se calcularon las sumas superiores, inferiores e intermedias de f en el intervalo [0,2] , por lo que aprovecharemos esos resultados para calcular el área usando sumas superiores, inferiores e intermedias:

4

3

1

=  2 − + 2  3  n n 

Usando las sumas inferiores:

sn

Luego , el área de la región R es:

 n   8 4 A = Lim  f ( xi −1 ).∆ x  = Lim  −  n →∞ 3 n n → ∞  i =1 

∑

+

 = 8  3n 2  3 4

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Usando las sumas superiores:

S n

8

4

4

3

n

3n

= + +

11

2

 n  8 4 4  8  = Lim  ∆  + +  = ( ). f x x ∑ i     2 n 3 n →∞ i =1 3n  3  n→∞ n n  2i − 1  . 2 = 8 − 2 Tomando las sumas intermedias: S = ∑ f (ci ).∆ x = ∑ f   n  n 3 3n 2 i =1 i =1   n   8 2  8 De allí: el área de la región es A = Lim  ∑ f (ci ).∆ x  = Lim  −  = 3  n→∞ 3 3n2  n →∞   i =1  Luego, el área de la región es:

A = Lim 

En cualquier caso el área de la región es A =

8 3

, esta no depende de la elección de los c i.

Definición 2.4

∫

b

i)

Si a > b entonces

ii)

Si f (a) existe entonces

a

f ( x )dx

a

= − ∫ b f ( x ).dx , siempre que

ambas integrales existan.

a

∫ f ( x)dx = 0 a

Teorema 2.1 Integrabilidad de las funciones continuas Si f es continua en [a, b] entonces f es integrable en [a, b]. El teorema anterior da condiciones suficientes pero no necesarias para que f sea integrable en [a, b]. Es decir, Si f es continua en [a, b], el teorema 2.1 asegura que b

∫ f ( x)dx existe. Es posible que a

f sea discontinua en el intervalo [a, b] pero f sea

integrable en [a, b] .

Ejemplo 2.4

Sea f definida por

 1 , x ≠ 0  2 f ( x ) =  x 1, x = 0 

¿ Es f integrable en [0, 1] ?

Solución: La gráfica de f se muestra a continuación

Observe que f discontinuidad

tiene una infinita en x = 0

y f no es acotada [0, 1].

xi-1 xi

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12

Para verificar si f es o no integrable en [0, 1] se procede así: se toma una partición P del intervalo [0, 1] : x0 1 f ( x)dx = Lim 0 n →∞

∫

= 0 , x1 =

1 n

,..., xi −1

=

i −1 n

, xi

=

i n

,..., xn

= 1 . Luego :

 n n 2 1    1 1     f c x Lim . Lim n + + + ( ). = = 1 ... ∆   = + ∞ . ∑ j j n→∞  ∑ i 2 n  n→∞   4 2   n    j =1  j =1  n

Esto significa que la suma de Riemann se hace arbitrariamente grande; por lo tanto f no es integrable en el intervalo

[0 , 1], ni es integrable en cualquier intervalo cerrado que

contenga al cero. Del ejemplo anterior se deduce que: “Sí f no es acotada en [a , b] entonces f no es integrable en [a, b]”.

Ejemplo 2.5

Sea

 1 , f ( x ) =   0 ,

x ∈ Q x ∈ I

¿ Es f integrable en [0, 1] ?

Solución: La función f es acotada en [0, 1]. Sea P = {x i }n i =1 una partición regular de [0, 1]. Sí ci ∈ Q para i = 1, 2, ..., n, entonces f(c i) = 1, luego:

 n    S ( f , P ) = f ( c i ).∆ x =    i =1 

∑

 n 1   ∑ 1.  = 1  i = 1 n   

Sí ci ∈I para i = 1, 2, ..., n , entonces f(c i ) = 0 y Luego

 n   S ( f , P ) = ∑ f ( ci ).∆x  = 0 i = 1   

Lim S(f , P ) no existe, por lo tanto f no es integrable en [0, 1].

n →+∞

Este ejemplo nos permite concluir que una función acotada en un intervalo [a, b], no necesariamente es integrable

Teorema 2.2 . Si f es integrable en [a, b] entonces f es acotada en [a, b]. Teorema 2.3. Sí f es acotada y continua en un intervalo [a, b] , salvo en un subconjunto numerable de [a, b] , entonces f es integrable en [a, b].

OBSERVACIONES: i) Un conjunto D es numerable si existe un subconjunto M de los Números Naturales y una función biyectiva G :M → D. iii)

El teorema 2.3 nos proporciona un grupo especial de funciones que son integrables en un intervalo cerrado [a, b] , entre estas funciones se encuentran: la función parte entera, la función signo, algunas funciones escalonadas, entre otras.

2007



13

En el siguiente diagrama se establece la relación entre las funciones integrables, las funciones derivables , las funciones continuas y las funciones acotadas. funciones acotadas

Funciones Acotadas funciones integrables

Funciones Integrables funciones continua

Funciones Continuas funciones derivables

Con unto de las funciones definidas en a, b .

Ejemplo 2.6

Demuestre que f(x) = [ x] es integrable en

1 , 3 ,  2 2 

3

∫ f ( x).dx .

y halle

1

2

2

1 3 Solución: f tiene un solo punto de discontinuidad en  ,  , el cual es x=1, f es acotada 2 2

en

1 , 3 .  2 2 

xi

= +

1

2

Se toma una partición regular de

i . Se debe probar que n

1 , 3   2 2 

con n subintervalos :

∆ x =

1 n

,

 n   ∑ f ( ci ).∆ x  existe. Lim   n → +∞ i = 1

CASO 1: n es par : los nodos son x 0 =

1 2

< x1 < .... < x n < x n = 1 < x n 2

−1

2

2

+1

< .... < x n =

3 2

Los ci se elegirán así: Para los ci con i

=

Para los ci con i

=

Luego:

0 , 1 , ...,

n 2

−1

1

n

 

f(c i) = 0.

3

, ..., n , se cumple que ci ∈  1,  por lo tanto f(c i) = 1 2 2



 n n  n   2  f ( c ). 1  = f ( c i  f ( ci ) + i Lim n  Lim   n n →+∞  i =1  n→+∞  i =1 i = +1 2 

∑



se cumple que ci ∈  , 1 por lo que  2 

∑

∑

   1 )    n     

   n   1   n 1   .  = = Lim  0 + 1   = Lim   n 2 n      n→+∞ n n→+∞   i = +1   2   

∑

1 2

2007



CASO 2: n impar : los nodos son x 0 =



1 2

< x1 < .... < x n−1 < x n+1 < x n+3 .... < x n = 2

2

2

14

3 2

donde



1∈ x n−1 ; x n +1  . Luego:



2

2



n −1

n  2   n 1  1 1 1     Lim  ∑ f ( ci ). n  = Lim  ∑ f ( c i ) n + ∑ f ( ci ) n + n f  c n +1   n +3 n → +∞  i = 1 n → +∞   2  i = 1  i = 2   1  1  n+3    = Lim  0 + 1 n − + 1 . +  c n +1 .  2 n  n→ +∞  2  n  

 n − 1  1  = Lim  +  c n+1 . n 2  2  n  n→ +∞ 

Por lo tanto

 n   ∑ f ( ci ). 1  = Lim  n  n→+∞  i = 1 

1 2

 n −1 1  Lim  + 0  =     n→+∞  2n  2  =      n − 1 1  1   Lim  2n + n  = 2  n→+∞

n

integrable en

1 , 3  2 2 

3

y

si

   c n+1  = 0  2     c n+1  = 1  2 

.

1  f ( c ). existe Lim  ∑ i n   n → +∞  i = 1

En cualquier caso el límite

si

y vale

1 2

, por lo tanto f es

1

∫ [x ] dx = 2 1

2

2

EJERCICIOS RESUELTOS 2.3 1) Calcule las siguientes integrales definidas, usando la definición 2.3 a)

1

∫ 0 3 x dx

Solución: Si se trabaja con una partición regular del intervalo [0, 1] se tiene que:

∆x = Luego:

13 x dx 0

∫

1

n

, x0

= 0,

x1

=

1

n

, ..., x i−1

=i

−1 n

, xi

=

i , ..., x n =1 n

n  n i 1  = Lim  ∑ f ( x i ).∆x  = Lim  ∑  3 .    n→∞ =1  n n   n→∞ i=1   i 

Pero no existe una fórmula para calcular la sumatoria anterior .

2007



15

En este caso no conviene trabajar con particiones regulares. Para resolver este problema se toma la partición del intervalo [0 , 1] dada por xi

=

i3 n

3

, i = 0 , 1 ,2, ..., n . Note que

esta partición no es regular, la longitud de cada subintervalo se calcula así :

∆xi = xi − xi −1

i

=

3

n

− 3

(i − 1)3 n

=

3

2 3i

− 3i + 1 n

3

. Para calcular la integral se elegirá c i = xi , por lo

 n  i3  (3i 2 − 3i + 1)   tanto: . = Lim  ∑ f  3  ∫ 3    n →∞ i =1 n   n   1  3  3 1 1  + − 2  = . Este valor representa el Simplificando se obtiene: ∫ 0 3 x dx = nlim →∞ 4 2n 4n   4 área de la región limitada por la curva de f ( x ) = 3 x , el eje X y las rectas X=0 y X=1. 13 x dx 0

Se deja al lector repetir los cálculos usando c i = xi-1 y b)

Calcule

b

∫ a e x dx :

para ello procedemos así:

[a , b]

Sea P una partición regular de xi −1

= a + (i − 1)h ,

ci el punto medio de [x i-1, xi].

= a + ih ,..., x n = b .

x i

: ∆ x

=

b−a n

= h

entonces

x0

=a

,

c i = x i = a + ih , f (c i ) = e a + ih

Elegir

n

Calcular:

Sn =

∑ f (c )∆x : i

i =1

n

Sn =

n

∑ f (c )∆ x = ∑ e i

i =1

Sn =

i =1

a + ih

(b − a ) = (b − a ) e n

n

n

a

∑e

ih

i =1

(b − a ) ea (eh + e2h +  + enh ) = b − a ea eh (1 + eh + e2h +  + e(n −1)h ) n

n

La expresión entre paréntesis es una progresión geométrica de razón e h y su primer S = 1 + eh

término es 1, nos interesa calcular : Multiplicando ambos miembros por e Restando

:

h

e S = e

h

+ e2h +  + enh

h

S - e S y después despejando S se obtiene: S = n

Luego:

h

+  + e(n −1)h

S n

= ∑ f (ci )∆ x = i =1

nh

b − a a h 1− e e e . n 1 − eh

1 − e nh 1 − eh pero h =

b−a n

2007



16

(b−a )     b a − b− a  n .e n  − ( ) b a  (b − a ) e a e n . 1− e a b−a  n  S n = f (ci )∆ x = e 1 e . = ( − )   b −a b−a n     i =1  1 e n   1− e n  −  

∑

b

∫ a e x

Ahora vamos a calcular

b x e a

∫

dx = Lim n→ +∞

dx = Lim S n : n→ +∞

(

e a 1 − e b −a

→ 0,

n

= (e a − e b ) Lim

b −a 1− e n

Para calcular este límite hacer: z z

)b −n a e

b −a

1−

n

,

n

n

n→+∞

b−a

=

(b − a ) e

b− a

por lo tanto cuando n

b −a e n

→ +∞

entonces

luego : b x e a

∫

(

dx = e a

− e b )Lim

ze z

z →0 1 −

e

z

ez

= (e a − e b )Lim

ea

− eb (− 1)

∆ xi = ar i −1(r − 1)

y r = n

z →0

1− e

z

=

z b x e dx a

∫

Así c)

= eb − e a b

∫

Usando la definición calcule

a

x dx

0
Solución: Sea P = { xi }in= 0 una partición del intervalo [a, b] tal que: x0

= a1,

Así:

x1

= ar ,  , xi = ar i ,, xn = ar n = b

∆ xi = xi − xi −1 = ar i − ar i −1

, es decir

Calculo de la sumatoria : para ello elegir c i= xi

( − 1) n ∑ f (ci )∆ xi = ∑ f (ar )ar r = ∑ n

n

i =1

i=0

n

Calculemos: S n

i

i

3i

= ∑ r 2

i r

a

= ar i :

( − 1) = ar ar i

i r

r

3i

r − 1) n 2 ( aa r r

∑ 1

 3  3× 3   3  n×     S n = r 2 + r  2  + r  2  +  + r  2  3

:

b

2×

1

 3  3× 3  4× 3  (n+1)×  3         2  r 2 .S n = r  2  + r  2  + r  2  +  + r 3

2×

2007



17

3

.S n - r 2 .S n

Restando

y luego se despeja

S n

obteniéndose :

 3n    r 2  r 2 − 1   3

(n +1)  3  

=

S n

3

 2 

r

− r 2

3

3

−1

r 2

r 2

n

Luego:

=

∑ f (ci )∆ xi = a

a

−1

 3n   r 2 1 −  3    (r − 1) 2 r

r

i =1

3

r 2

 3n  (r − 1)   a r 2  r 2 − 1 . =a   3 r 2 − 1 1

=a

1

=a

(

)

a r 2 r − 1

−1

 3n   r 2 1  −    3

r 2 1

−1

3n

 b 2n  (r − 1) a .r 2    − 1 .  a  3   r 2 − 1

1

 b a 

b

a a

=

a

 r 2 (r − 1)  3  2 r − 1

− 1 .

1

r 2 (r − 1) x b b a a ( ) . . ( ) ∆ = = − ∑ i 3

n

n

Así

i =1

t =

1 r 2

f c i

r 2 2

así r = t

r = n

, 1

Luego

Lim n→+∞

r 2 (r 3

r2 De allí que d)

− 1)

b

∫ a

−1

b →1 sí n → +∞ y a

= Lim t →1

−1 x dx

=

2 3

(

t t2 t3

Para calcular:

Lim f (c i )∆x i : se hace n→+∞ i=1

∑

t →1 cuando n → +∞

t(t − 1)(t + 1) 2 − 1) Lim = − 1 t →1 (t − 1)(t 2 + t + 1) 3

(b b − a a )

b

∫ sen( x) . dx = cos(a) − cos(b) . a

Solución. Sea P una partición regular de [a, b] , entonces ∆ x = h =

b−a n

, elegir

2007


ci= xi

= a + i.∆x ,

S ( f , p )

=


entonces:

S ( f , p ) =

n

n

n

i =1

i =1

i =1

18

∑ f (ci ) ∆ xi = ∑ f (a + i.h).h = h∑ sen(a + i.h)

[

+ sen( a + nh )]

h . sen( a + h ) + sen( a + 2h ) + .... + sen( a + ( n − 1 )h )

Multiplicando ambos miembros por 2.sen(h2 ) resulta: 2sen

(h2 )S ( f , p ) = h 2sen(h2 )sen(a + h) + ... + 2sen(h2 )sen( a + (n − 1)h) + 2sen(h2 )sen( a + nh)

(2.12)

Aplicando la fórmula : 2.sen(u).sen(v) = cos(u-v) – cos(u+v) en el lado derecho de (2.12) resulta: 2.sen

 (2n − 1)h  − cos a + (2n + 1)h   3h h  S ( f , p ) = h cos a +  − cos a +  + ... + cos a +  2 2 2 2 2   h

La suma que esta entre corchetes es una suma telescópica, por lo que se obtiene:

 (2n + 1)h   h  .S ( f , p ) = h . cos a +  − cos a +  2  2       2 

2.sen

S ( f , p ) =

De donde:

Pero

a+

h

  h   a + (2n + 1) h   a + − cos cos       h   2  2      2.sen   2  h

(2n + 1).h = b + h 2

2

, entonces : S ( f , p ) =

  h   h   cos a +  − cos b +    h  2   2   2.sen   h

2

Tomando límite cuando n demuestra que:

→ +∞

se obtiene: Lim S ( f , p ) = cos(a ) n → +∞

−

cos(b) , con lo que se

b

∫ sen( x) . dx = cos( a) − cos(b) . a

2) Sea la región R limitada por la gráfica de f ( x ) = x − 1 , el eje Y, el eje X y la recta x = 2.

Halle el área de la región usando : a)

Suma inferior

b) Suma superior .

Solución: En la figura 2.3 observe que: i) En el intervalo [0, 1] la región esta limitada por las rectas y = -x + 1,

y = 0, x = 0 y

x = 1, además la función es decreciente. ii) En [1,2], f es creciente y la región esta limitada por x = 1, x = 2, y = x-1, y = 0. Por lo que el intervalo [0,2] se divide en [0,1] y [1,2] y se trabajará, por separado, en cada uno de ellos.

2007



Figura 2.3

19

Nota: La región R que se muestra en la figura 2.3 se subdivide en dos regiones que

Y

son congruentes, por lo que se puede calcular el área de una sola región y después se multiplica por dos, para 1

i)

obtener el área de la región R.

X

2

Cálculo de las sumas superiores e inferiores de f en [0,1]: Sea

∆x =

1

n

, x i−1

=

i −1 , xi n

=

i , por ser f decreciente en [0,1] entonces f(x i-1) es el n

máximo y f(xi) es el mínimo en cada subintervalo [x i-1, xi]. Luego: n

s [0,1]

n

i 1 f   . n n i=1

= ∑ f ( x i ).∆x = ∑ i=1 n

S [0,1]

ii)

n

i=1

n

i −1 1 f  . n   n i=1

= ∑ f ( x i−1 ).∆x = ∑ i=1

i n

1

1

1

n

2

2n

= ∑  − + 1 . = − n

=∑

(− i + 1 + n) = 1 + n2

i=1

2

Suma inferior

1

Suma superior

2n

Calculo de las sumas superiores e inferiores de f en [1,2]: Sean

∆x =

1

n

, x0

= 1,

x1

=1+

1

n

= 1+

, ..., x i−1

i −1 , xi n

= 1+

i , ..., x n n

= 2 ; f ( x i−1 )

y

f (x )i representan , respectivamente , el mínimo y el máximo de f , por lo que: n

n

i −1 1 s [1,2] = f ( x i −1 ).∆x = f 1 +  . n   n i =1 i =1

∑ n

S [1,2]

∑

n

i

1

n

1

1

1

2

2n

= −

1

= ∑ f ( x i ).∆x = ∑ f 1 +  . = + n  n 2 2n i =1 i =1 

s= s [0,1] + s [1,2] = 1 – 1/n ,

Luego , la suma inferior viene dada por superior es:

i −1 1  n  n

= ∑ i =1 

S = S [0,1] + S [1,2] = 1 + 1/n . 1

A = Lim 1 − n→ ∞ n

y la suma

En cualquier caso se cumple que :

 1 +  = nLim →∞ 

1

n

  = 1

2007



20

EJERCICIOS PROPUESTOS 2.2 1)

En cada caso , halle el área de la región indicada usando: i) Sumas inferiores ii) Sumas superiores iii) Sumas intermedias Las regiones son : a) f(x) = 100 – 3x 2 , x = 1, x = 5, y = 0 3 b) f(x) = x + 1, x = 1, x = -1, Eje X c) f(x)= x

2)

−1

,

x= -1, x=1 , y=0

Use la definición de integral definida para demostrar que el área de un triángulo de b.h base b y altura h es . 2 Usando sumas de Riemann calcule el valor de las siguientes integrales 3 b b1 a) ( x 2 + x )dx b ) ( − x 2 + 4 x − 3 )dx c ) dx con 0
3)

∫

4)

2

∫

∫

b

∫ x dx .

Usando la definición 2.3, calcule

a

¿Bajo que condiciones esta integral

representa el área de la región limitada por y = x , x = a , x = b , y = 0 ?. 5) Sea la función f(x) = c para todo x partición de [a, b]. Demuestre que: a)

∈ [a,

b] , c es una constante . Sea P cualquier

Cualquier Suma de Riemann es igual a c (b-a).

b)

b

∫ c.dx = c( b − a ). a

6) Decida si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Justifique .

 π .  4 

a) La función f(x) = sen (2x + 1) + tg (x) es integrable en el intervalo 0 , b) Si f no es continua en [a, b] entonces f no es integrable en [a , b]. c) Si f es acotada en [a, b] entonces f es integrable en [a , b]. d) La función f(x)= tan(x) es integrable en [ 0 , π ]. 7) Usando la definición de la integral definida, demuestre que: 8)

b

∫ cos( x).dx = sen(b) − sen(a) a

Determine si las siguientes funciones son integrables en el dominio indicado. Justifique su respuesta. 1 i ) f ( x ) = x , x∈ 1 ,4 , ii ) f ( x ) = , x∈ 0 ,+∞ x

[]

iii )

h( x ) =

1 x

2

[ ] [

[

]

, x∈ −1 ,1 ,

9) Sea f definida por f ( x ) = 4 − x

iv ) 2

h( x ) =

con x ∈

)

1 , x∈ ,3 2  2  x 1

[− 2 ,3 ]

Usando la definición correspondiente, calcule

3

∫ −

2

f ( x ) . dx

Graficar f ¿ El valor de la integral anterior representa el área de la región limitada por la gráfica de y= f ( x ) y las rectas y =0 , x= -2 y x=3 ? Justifique su respuesta

2007



21

10) Sea f definida por f(x) = x3 – 1 Graficar f Usando la definición de integral definida, calcule el área de la región limitada por la gráfica de la función y las rectas x = -3, x = 1, y = 0 Calcule el valor de

1

∫ −3 f ( x )dx

11) Sea f definida por f ( x ) = x 2 + x

con

x ∈ [ − 1,0 ]

Graficar f 0

∫ −1 f (x ).dx

Usando la definición correspondiente, calcule

Calcule el área de la región limitada por la gráfica de y= f ( x ) y las rectas y =0 , x= -1 y x=0 ?

2.4 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA b

Teorema 2.4 Si k es cualquier constante, entonces

∫ k .dx = k .(b − a)

Demostración. Sean f definida por f(x) = k , para todo x

∈ [a, b]

a

y P una partición de

[a, b], entonces: n

b

n

n

 ∑ f ( ci ).∆ xi  = Lim  ∑ k ∆ xi  = k Lim  ∑ ∆ xi  ∫ a k .dx = Lim    = k ( b − a ) 0 0 P P → → P →0  i =1   i =1   i =1  Luego:

b

∫ k .dx = k (b − a) a

Si k > 0 entonces

b

∫ k .dx representa el área a

del rectángulo acotado por las rectas

y = k, y = 0, x = a , x = b.

Teorema 2.5 Si f es integrable en [a, b] y c es cualquier constante real entonces cf es integrable en [a, b] y se cumple que :

∫

b

a

c f ( x).dx

Demostración. Sea P una partición de [a, b], y n

b

= c ∫ a f ( x).dx wi

∈ [ xi −1, xi ] entonces

n

∑ f ( wi ).∆xi   ∑ (cf ( wi )).∆ xi  = c. Lim ∫ a (c. f ( x )) dx = Lim P →0 P →0 b

 i=1





i =1



Como f es integrable en [ a, b ] entonces el limite en (2.13) existe y vale Por lo tanto

(2.13) b

∫ f ( x) dx . a

∫ (cf ( x)) dx = c.∫ f ( x).dx . b

b

a

a

2007



22

Teorema 2.6 Si f y g son funciones integrables en un intervalo cerrado [a, b] entonces f + g y f – g son integrables en [a, b] y se cumple: i)

∫ ( f ( x) + g ( x)).dx = ∫ f ( x).dx + ∫ g ( x).dx

ii )

∫ ( f ( x) − g ( x)).dx = ∫ f ( x).dx − ∫ g ( x).dx

b

b

b

a

a

a

b

b

b

a

a

a

El teorema anterior se puede extender a una suma de cualquier número finito de funciones. Así: si f 1 , f2 , ..., f n son integrables en [a , b] entonces (f 1 + f2 + ... + f n ) es integrable en [a, b] y se cumple que:

∫ ( f ( x) + ... + f ( x)).dx = ∫ f ( x).dx + ... + ∫ f ( x).dx b

b

1

a

n

a

b

1

a

n

Teorema 2.7 Si f es integrable en [a , b] y c ∈[a , b] entonces

∫

b

a

f ( x).dx

c

b

= ∫a f ( x).dx + ∫ c f ( x).dx

Geométricamente esta igualdad se puede interpretar así: en la siguiente figura se muestra la región R limitada por la gráfica de la función continua y = f(x) , f(x)>0 en [a , b] y las rectas x = a , x = b , y = 0: =f x

La recta x = c divide a la región R en

Y

dos regiones R 1 y R2, por lo tanto el área de la región es :

R2

R1

= A R + AR

A R

1

2

.

Lo cual equivale a: a

c

∫

X

b

b

a

f ( x).dx

c

b

= ∫ a f ( x).dx + ∫ c f ( x).dx

El siguiente teorema es una generalización del teorema anterior.

Teorema 2.8 Si f es integrable en un intervalo cerrado que contiene los números a, b

b, c entonces

∫

a

f ( x ).dx

=

∫

c

a

f ( x ).dx +

b

∫ f( x).dx , c

independientemente del orden

Demostración Si a, b, c son tres números diferentes , se cumple que: (i)

a
(ii) a < c < b

(iii) b < a < c

(iv) b < c < a

(v) c < a < b

(vi) c < b < a

2007



23

La demostración se hará para el caso (i) : sean a < b < c entonces, por el teorema 2.7 se tiene que :

∫ ∫ ∫

c

f ( x).dx f ( x).dx

f ( x).dx

c

f ( x).dx

f ( x).dx

b

c

a

∫ − ∫ + ∫ b

a

b

c

f ( x ).dx +

c

a

Lo cual equivale a

=

a

b

De allí que

∫ =∫ =∫

f ( x ).dx

a

b

b

f ( x ).dx

a

f ( x ).dx

c

Se deja como ejercicio los casos restantes.

Teorema 2.9 Si f es integrable en [a, b] y f (x) ≥ 0 para toda x ∈ [a, b] entonces b

∫ f ( x).dx ≥ 0 . a

Teorema 2.10 Monotonía de la integral definida Si las funciones f y g son integrables en [a, b] tal que f (x) ≤ g(x) para todo x∈[a , b] entonces

b

∫ a

f ( x).dx ≤

b

∫ g ( x).dx

(2.14)

a

Demostración. Como f y g son integrables en [a , b] entonces (g – f) es integrable en [ a , b ]. Por hipótesis se tiene que f (x) ≤ g (x) para todo x f(x) ≥ 0 para todo x

∈ [a, b];

∫ (g ( x) − f ( x)) dx ≥ 0 , b

a

∈ [ a , b]

entonces g (x) –

luego aplicando el teorema 2.9 se tiene que:

de donde

b

∫ a

f ( x).dx ≤

b

∫ g ( x).dx . a

Geométricamente el teorema 2.10 se puede interpretar así: si f y g son funciones continuas en [a, b]

y se cumple que 0 ≤ f (x) ≤ g(x)

para todo x

∈ [a, b] .

El área de la

región bajo la gráfica de f , entre x = a y x = b no supera el área de la región limitada por la gráfica de g, el eje X, sombreada es

x = a , x = b.

( en la figura 2.8 el área de la región

b

∫ a (g(x) − f(x)).dx ). Y

y = g (x)

y = f (x) a

b

X

Figura 2.8

2007



24

Teorema 2.11 Propiedad de acotamiento de la integral definida. Si f es integrable en [a, b] , m y M son respectivamente los valores mínimo y máximo absolutos de f en [a, b], entonces se cumple que:

m(b − a ) ≤

Demostración

b

∫ f ( x).dx ≤ M (b − a)

Como m y M son , respectivamente , los valores mínimo y máximo

absolutos de f en [a, b] se tiene que:

∫

teorema 2.10:

m (b − a ) ≤

(2.15)

a

b

a

m dx ≤

∫

b

a

f ( x).dx ≤

m ≤ f (x) ≤ M , para todo x b

∫ M dx . a

∈ [a,

b]. Aplicando el

Aplicando el teorema 2.4 se obtiene:

b

∫ f ( x).dx ≤ M (b − a) . a

El teorema 2.11 ,

geométricamente se

puede interpretar así: sea f continua en [a, b] tal que f (x) ≥ 0 para todo x

∈ [a, b] ;

Y D

C

M

b

entonces

∫ f ( x).dx representa el área bajo a

m

B

A

la curva y = f(x) entre a y b. Esta área es mayor que el área del rectángulo abBA y

a

b

menor que el área del rectángulo abCD (ver figura 2.9 ).

Figura 2.9

Teorema 2.12

Teorema del valor medio para integrales

Si f es una función continua en el intervalo cerrado [a, b], entonces existe un número c b

∫ f ( x).dx = f (c).(b − a) .

en [a, b] tal que

(2.16)

a

Demostración. i)

Si f es constante en [a , b] entonces f (x) = d , b

∫ d .dx = d (b − a) . a

para todo x∈[a , b]. Luego

En este caso el c que garantiza el teorema 2.12 puede ser cualquier

número en el intervalo [a, b]. ii)

Supongamos que f no es constante en [a, b]: como f es continua en [a, b] entonces f

alcanza su valor máximo absoluto (M) y su valor mínimo absoluto (m) en [a, b]. Luego : para todo x

m ≤ f (x) ≤ M

∈ [a , b] .

Por el teorema 2.11 se concluye que: b

m (b − a ) ≤

b

∫ f ( x).dx ≤ M(b − a) . a

De allí:

f ( x ).dx ∫ a m≤ ≤ M. b−a

2007



25

b

Sean m = f(xm), M = f (xM) , xm , xM ∈ [a, b] ,

∫ f( x).dx , µ= a b−a

entonces f(x m ) ≤µ ≤ f(x M )

y por el teorema del valor intermedio para funciones continuas se concluye que existe un

∈ [a, b]

c comprendido entre xm y xM tal que f(c) = µ . De donde se deduce que existe c b

∫ f (x).dx

f (c) = a

tal que

b−a

.

b

∫ a f(x).dx = f (c).(b − a) .

Luego se concluye que:

OBSERVACIONES: i)

El valor de c referido en el teorema anterior no necesariamente es único.

ii)

El teorema del valor medio para integrales

para el caso en que f es continua y x∈[a, b]

para toda

f (x) ≥ 0

Y

y = f(x)

se puede interpretar

geométricamente así: este teorema garantiza la existencia de al menos un número c ∈ [a, b] tal

f(c)

que el área de la región limitada por y = f(x) , x = a , x = b

e y = 0, es igual al área del

a

rectángulo de base (b - a) y altura f (c).

c

b

X

Figura 2.10

Definición 2.5 Si la función f es integrable en [a, b], el valor promedio o valor medio de f b

∫ a f (x).dx

en [a, b] es:

(2.17)

b−a

Observe que: i)

Si f es continua en el intervalo [a, b] , la expresión (2.17 ) representa el f (c) del

teorema del valor medio para integrales. ii) Sea P es una partición regular del intervalo [a, b] con n subintervalos, y c i ∈[xi-1, xi], i = 1, 2, ..., n . El valor promedio de las f (c ) es: i

1 n

( f (c ) + ... + f (c ) ) , 1

dividiendo por (b – a), y reordenando los términos resulta:

n

multiplicando y

n

(b − a ) f (c i ). ∑ b−a n 1

.

i=!

Pero

b−a n

obtiene :

= ∆x

, luego

1

n

∑ f(c i ).∆x .

.

b − a i=1

 n  . Lim  ∑ f (c i ).∆x  ,  b − a n→+∞ i=1 1

Tomando límite cuando n

lo cual equivale a

1

→ +∞ se b

∫

. f ( x ).dx .

b−a a

2007



26

EJERCICIOS RESUELTOS 2.4 1) Hallar un intervalo cerrado que contenga el valor de la integral definida 0

∫

−4

( x 4

− 8 x 2 + 16)

dx

Solución: Sea f (x) = x 4 – 8x 2 +16 , f '(x) = 4x (x 2 – 4). Así , los números críticos de f en [-4, 0 ] son x = 0, x = -2, luego: f (0) = 16 , f (-4) = 144 , f (-2) = 0. Por lo tanto M = 144 , m = 0. Aplicando el teorema 2.11 resulta:

0 = 0.(0 + 4) ≤ El valor de la integral

0

∫ ( x −4

4

0

∫ ( x −4

4

− 8 x 2 + 16) dx ≤ 144.(0 + 4) = 576

− 8 x 2 + 16) dx esta comprendido entre 0 y

576.

2) a) Halle el valor promedio de la función f (x) = x 3 – 1 en [-2, 2]. b) Halle el valor de c en [-2, 2] en el cual f(x) es igual a su valor promedio.

( x = ∫ − 2

Solución: a) El valor promedio Vp de f en [-2, 2] es igual a : V p Pero b)

− 1) dx . 2 − ( −2) 3

2

−4 1 4 x dx = = −1 . Así, el valor promedio de f en [-2, 2] es –1. − = − ( ) , luego: V p ∫ − 2

3

4

2

Para hallar el valor de c ∈ [-2, 2] para el cual f (c) es igual a su valor promedio , se

resuelve la ecuación f (c) = -1 , esto es c 3 –1 = -1 , de donde c = 0. 3) Sea f una función cuya representación gráfica se muestra a continuación

Y 2

y = f (x)

1 5 -2

1

2

6

8

X

4

-1

a) Halle

8

∫ f ( x) dx . −2

b) Halle el área de la región limitada por la gráfica de f , el eje X y –2≤ x≤ 8. c) ¿Son iguales los resultados obtenidos en (a) y (b)?, ¿Por qué?. d) Halle el valor promedio de f en [-2, 8]. ¿Existe c

∈ [-2, 8] tal que f (c) es igual al valor

promedio de f ?.

Solución: a)

8

∫ −2

f ( x) dx =

0

∫−2

f ( x) dx +

1

∫0

f ( x) dx +

2

∫1

f ( x ) dx +

4

∫2

f ( x) dx +

5

∫4

f ( x) dx +

8

∫ 5 f (x)

dx

2007



27

Del gráfico se tiene que: 0

∫ f ( x) dx = 3 3 ( ) ( ) = = f x dx f x dx ∫ ∫ 2

(área de un trapecio)

−2 1

2

0

(área de un trapecio)

1

4

∫ f ( x) dx = 2

(área de un rectángulo)

2

1

5

∫ f ( x) dx = 2

(área de un triángulo)

4

3

8

∫ f ( x) dx = − 2

(área de un triángulo , cambiada de signo).

5

8

∫ −

Luego: b)

2

f ( x ) dx

3

3

1

3

2

2

2

2

= 3+ + + 2+ − = 7

El área de la región limitada por la gráfica de f y las rectas x = -2 0, x = 8 , y = 0 se

calcula así:

A

5

= ∫− 2 f ( x )

dx −

8

17

5

2

∫ f ( x) dx =

3

−  −  = 10 2

c) Los resultados obtenidos en (a) y (b) son distintos, esto se debe a que la integral definida

8

∫ f ( x) dx no representa el área bajo la curva , pues f(x) toma valores positivos y −2

negativos en el intervalo [-2, 8] . 8

d)

El valor promedio de f en [-2, 8] es igual a :

Sea c ∈ [-2, 8] tal que f (c) =

7 10

, de allí que c

V p

= ∫ − 2

Solución: Sea

h( x ) =

1 x − 1

,

h' ( x ) =

−

8 − ( −2)

∈ (4 , 5)

4) Sin calcular el valor de la integral , demuestre que: 1 3 2 ( x − 1)

f ( x ) dx

=

7 10

.

0≤

9

∫ 5

1 x − 1

dx

≤ 2

(2.18)

. Note que h'(x) < 0 para todo

x∈[5, 9], por lo que h es decreciente en [5, 9]. Luego, h alcanza su valor máximo absoluto 1 en x = 5 y su valor mínimo absoluto en x = 9 ; así: M = h(5) = 0.5 , m = h(9) = . 2 2 Aplicando el teorema 2.11 se obtiene la desigualdad ( 2.18 ): 9 1 0≤ dx ≤ 2 5 x − 1

∫

2007


2.5


28

TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CALCULO INTEGRAL. Hasta los momentos se ha trabajado con integrales definidas cuyos limites superior e

inferior son fijos. En esta sección se considera integrales definidas con uno o ambos limites x

∫

de integración variables. Por ejemplo:

a

f (r ).dr ,

∫

b

x

x

∫

f (r ).dr ,

2

+1

x

f (r ).dr donde a, b

son fijos , x es una variable , f continua . Este tipo de integrales definen funciones reales de variable real. Así: G( x) a

∫

G( a ) =

que

a

f ( r )dr = 0

x

= ∫ a f (r ) y

dr define una función cuyo dominio es [a, b]. Note b

∫ f (r ).dr .

G(b ) =

a

Si f es no negativa y continua en [a, b], el valor G(x) representa la medida del área bajo la curva y = f (r) y las rectas r = a, r = x, r = 0, la cual varia a medida que varia x.

Teorema 2.13 Primer teorema fundamental del cálculo integral. Sean f continua en el intervalo [a, b] , x

G( x ) =

x

∫ a f(r )

∈[a,

b]. Si G es la función definida por:

dr entonces G'(x) = f (x).

Demostración. Se quiere calcular G’(x) : sean x , x + h en [a, b] entonces: G’(x)= Lim h→0 donde G( x ) =

x

∫ a f (r )

dr y G( x + h) =

G( x + h) − G( x ) h x +h

∫ a

x +h

f (r ) dr , por lo que : x +h

x

∫ a f(r).dr = ∫ x f (r ).dr x +h f (r ).dr ∫ x Sustituyendo (2.20) en (2.19) se obtiene : G’(x)= Lim G( x + h) − G( x ) =

∫ a

(2.19)

f (r ) dr −

h→ 0

(2.20)

(2.21)

h

Por el teorema del valor medio para integrales existe un c en el intervalo acotado por x y x+h G ' ( x)

=

entonces

tal que:

x +h

∫ x

f (r ).dr

= f (c ).h ,

esto se sustituye en (2.21) obteniéndose:

lim f (c) = f ( x ) ya que c está entre x y x + h ,

h →0

lim c h→0

= x (por

y

limx h→0

= lim h→0

( x + h)

= x

el teorema del encaje ) ; además f es continua en c entonces

Lim f (c ) = f ( x) . Por lo que G'(x) = f (x) .

h→0

NOTAS: i) El teorema anterior establece que la integral definida superior

x

∫ a f(r )

dr , con el limite

variable, es una primitiva de f .

2007


ii) Si G( x ) =

b

∫ x f (r ).dr (


29

limite inferior variable ) entonces G se puede escribir así:

x

∫ b

G( x) = − f (r ).dr , luego G'(x) = - f (x). h( x )

∫ a

iii) Sea G( x ) =

definida por H( x ) = Derivando

f (r ).dr entonces G'(x) = f (h(x)) h'(x ) . En efecto: sea H la función x

∫ a f (r ).dr ,

h( x )

∫ a

H(h( x )) =

entonces

= G( x)

f (r ).dr

G se tiene : G'(x) = H'(h(x)) h'(x) , como H’(x)=f(x)

entonces

H'(h(x)) = f(h(x)) , luego se tiene que G'(x) = f (h (x)) h'(x) . m( x )

∫ q( x) f (r )

g( x ) =

iv) Sea

descompone así g( x ) =

dr , donde ambos limites de integración son variables: g se

p

∫ q(x ) f (r )

dr +

m( x )

∫ p

f (r ).dr , con p fijo , luego se deriva.

Ejemplo 2.7 Calcule las derivadas de las siguientes funciones: a)

(

− 1).dt

2 x2 a 2t

φ( x ) = ∫

b) N( x ) =

(x

∫ 2

2

+ x)

t2

c ) f ( x) =

e .dt

x

2

t6

∫ x 1 + t 4 3

dt

Solución: En cada caso se aplica el teorema 2.13 a)

φ ' ( x ) = ( 2 x 4 − 1).( x 2 ) ' , es decir

b)

N ' ( x )

= e( x

2

+ x ) 2

= 2 x(2 x 4 − 1)

2 2 .( x 2 + x ), de donde N ' ( x ) = (2 x + 1).e( x + x )

f ( x) =

c) Descomponer f así :

f ' (x) =

'

: φ ( x )

2x13 1+ x

8

−

t6

0

∫x

3

1+ t

4

dt +

x2

∫ 0

t6 1+ t

4

dt ,

derivando se obtiene :

3x 20 1+ x

12

Ejemplo 2.8. Encuentre una función f tal que

x

x

= 1 + ∫ 1

2

1 + ( f (t ))2 .dt .

Solución: Se derivan ambos miembros y se aplica el teorema 2.13 obteniéndose: 2 x

=

1 + ( f ( x ))

2

de donde f ( x ) = 4 x 2

−1

y

f (x) =

−

4x 2

− 1 .

Ejemplo 2.9 . En cada caso calcular f (2) , sabiendo que f es continua y satisface la fórmula dada para todo x > 0. a)

x

∫0 f (t).dt = x

2

(1 + x ),

b)

x2

∫0

f ( t ).dt

=x

2

(1 + x ),

c)

x 2 (1+ x )

∫ 0

f ( t ).dt

=x

2007



30

Solución: En cada caso se aplica el teorema 2.13: Para (a) :

f (x) = 2x + 3x 2

Para (b) :

f (x 2 ).2x = 2x + 3x 2 , con x

Para (c) :

f (x2 + x3) (2x + 3x2) = 1, de donde f ( x 2

se obtiene

f ( 2)

=

1 5

y

f (2) = 16

=

2

se obtiene f ( 2)

+ x3 ) =

= 1+

3 2

1 2 x + 3 x

2

2

.

y con x = 1

. x (1 + sen( t ))

Ejemplo 2.10. Sea f definida por f ( x ) = 3 + ∫ 0

2+t

2

dt . Halle un polinomio cuadrático

tal que p(0) = f (0) , p’(0) = f ’(0) , p’’(0) = f ’’(0).

Solución: Sea p(x) = ax2 + bx + c , a ≠ 0 , p'(x) = 2ax + b , p'' (x) = 2a. '

Aplicando el teorema 2.13 a f resulta: ''

f ( x) =

( 2 + x 2 ) cos( x ) − (1 + sen( x ))2x ( 2 + x 2 )2

f ( x)

=

1 + sen( x ) 2 + x

2

. Luego:

. Evaluando p, p', p'' en x = 0

resulta: p(0) = c ,

p'(0)=b , p''(0) = 2ª . Evaluando f , f ' , f'' en x = 0 se obtiene f (0) = 3 , f '(0) = ½ , f ''(0) = ½ .

De las condiciones del problema se tiene que:

p’’(0) = f ’’(0)

y de allí resulta que

buscado es p ( x)

Teorema 2.14

=

1 4

x

2

+

1 2

c= 3, b=½ y

p(0) = f (0) ,

p’(0) = f ’(0) ,

a = ¼ . Luego, el polinomio

x + 3.

Segundo teorema fundamental del cálculo integral (Fórmula de

Newton – Leibniz , o Regla de Barrow ) Si f es una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y G es una primitiva de f en [a, b], entonces:

b

∫ a f (x).dx = G(b) − G(a)

Demostración. Como G es una primitiva de f en el intervalo cerrado [a, b] y la función h definida por h( x ) =

x

∫ a f (t).dt también es una primitiva de f

en el intervalo cerrado [a, b] , se

tiene que h(x) - G(x) = C con C constante . Luego : x

∫ a f (t).dt = G(x) + C

(2.22)

2007



a

∫ a f (t ).dt = G(a) + c ,

Evaluando (2.22) en x = a se tiene x

∫ f (t ).dt = G( x) − G(a) .

consiguiente

a

31

de donde c = - G(a) . Por

Evaluando en x = b se obtiene :

b

∫ a f(t).dt = G(b) − G(a) . NOTAS: i) El valor G(b) – G(a) no depende de la elección de la primitiva G. b

∫ a f(x).dx , usando el segundo teorema fundamental del cálculo integral, se

ii) Para calcular

busca una primitiva de f: sea G dicha primitiva, entonces: x =b b f ( x ).dx = G( x ) + C = G(b) + C − (G(a) + C) = G(b) − G(a) a x =a

∫

Observe que la constante C desaparece, por lo que no es necesario colocarla.

EJERCICIOS RESUELTOS 2.5 Aplicando la regla de Newton – Leibnitz, evalúe las siguientes integrales:

π

1)

∫

2 0

 

sen( 2x ) dx : sea f (x) = sen(2x) la cual es continua en 0,

=−

es G ( x)

1 2

2 

y una primitiva de f

cos(2 x ) , luego:

π

∫

2 0

2)

π 

sen( 2x ).dx = −

1

∫ 0 (a x .b 2x .e 2x ).dx,

1 2

x=

π

cos( 2x ) x =02

=−

1 2

cos( π) +

1 2

cos( 0) = 1

a , b > 0 , a , b ≠ 1.

Sea h(x) = ax b 2xe2x, la cual se puede expresar así h(x)= (ab 2e2)x , y una primitiva de h es

H( x ) =

1

∫0 (a 3)

3

x

.b

(ab 2 .e 2 ) x Ln(ab 2 .e 2 )

2x

.e

2x

∫ 0 x 2 − 4 x + 3

).dx =

. Luego:

∫ 0 (ab 1

e

x =1

( ab e ) ab 2 e 2 − 1 ) .dx = = Ln(ab 2 e 2 ) Ln (ab 2 e 2 ) x =0 2 2 x

2 2 x

dx : Para evaluar esta integral se debe eliminar el valor absoluto del

integrando, lo cual se hace aplicando la definición de valor absoluto. Así:

 x 2 − 4 x + 3  2 x − 4 x + 3 =  − x 2 + 4 x − 3

(− ∞ , 1]∪ [3 , + ∞ ) si x ∈ [ 1 , 3 ]

si x ∈

2007



32

Luego, la integral dada se puede descomponer en la suma de dos integrales : 3

1

3

∫0 x 2 − 4 x + 3 = ∫0 ( x 2 − 4 x + 3)dx + ∫ 1 (− x2 + 4 x − 3)dx x =1

3  x

 =  − 2 x 2 + 3 x   +  − 3  x = 0  π

∫

4)

−

x3

3

x = 3

+ 2 x 2 − 3 x  

=

x =1

8 3

cos( x ) − sen( x ) dx

π 2

 cos( x ) ≥ sen( x)   cos( x ) ≤ sen( x) 

Recuerde:

cos( x) − sen( x)

Luego:

 π , π   2 4  π  si x ∈  ,π  4  si x ∈ −

 cos( x) − sen( x), = sen( x) − cos( x), 

 π , π   2 4  π  x ∈  ,π  4  x ∈ −

Ahora se integra :

π π π 4 (cos( x ) − sen( x ) )dx + cos( x ) sen ( x ) dx − = π π (sen( x ) − cos( x ))dx π − − 2 4

∫

∫

∫

2

= (sen( x) + cos( x))

x=

π

π ( cos( x ) sen ( x ) ) + − − π π =2 x =− x= 4

2

3

∫ 1

2

0, π  .  2 

[ x ] .dx

2

Recuerde que f(x) = [ x] =

3

∫ 1

2

2

+2

4

Se deja como ejercicio repetir este problema en el intervalo

5) Calcule

2

1

      

0

si

1

si

3

 1 ,1   2   3 x ∈  1,   2 x∈

; luego :

1

[ x ] .dx = ∫ 1 [ x ] .dx + ∫ 1 2 [ x ] .dx = ∫ 1 2

2

0 .dx +

3

∫ 1

2

1.dx =

3 2

−1=

1 2

Esta integral se resolvió en el ejemplo 2.6 usando la definición de integral definida.

2007



33

2.6 CAMBIO DE VARIABLE PARA LA INTEGRAL DEFINIDA Si la función u = g(x) tiene derivada continua en el intervalo cerrado [a, b] y f tiene una primitiva F en el rango de g y du= g ' ( x ) dx , entonces:

∫

b

a

(

)

f g ( x ) g ' ( x )dx

= ∫ g ( a ) f (u ).du = F (g (b) ) − F (g (a) ) g (b )

(2.23)

EJERCICIOS RESUELTOS 2.6 En cada caso, evalúe las integrales dadas: 4

dx

∫ 5 4 x

(1)

Hacer

3

u

x 2

−1

1

= entonces

x=

x

integración, así: para

x

=

5 4

1

u

dx = −

,

du

. Se deben hallar los nuevos límites de

u2

4

=

se tiene que u

5

, y con

x

=

4 3

se obtiene

u

3

= . 4

Sustituyendo en la integral dada resulta:

∫

4

5

3

dx

4

x x2

−1

=

3

∫ 4

− 4

5

1

u

.

du u2 1

u2

=− −1

3

4

du

5

1 − u2

∫ 4

3

4

= −arcsen  + arcsen   4   5 

Otra manera de evaluar esta integral es la siguiente: se resuelve la integral indefinida

∫ x

obteniéndose

x

2)

=

5 4

hasta x

4

∫ 1

4

=

3

dx x

2

−1

= arc sec( x ) ; 4

después se evalúa la primitiva obtenida desde

∫ 5 4 x

obteniéndose:

3

4  5  = arc sec  − arc sec      2 3 4     x − 1 dx

2

x dx

2 + 4x

: Hacer t =

2 + 4 x entonces x

limites superior e inferior son, respectivamente,

x dx

4

∫1 3)

I =

0

∫

−2

2 + 4 x

( x + 3)dx 2

− 2 x − 4 x + 5

= ∫ 618

2

t

−2 4

, dx

=

t dt

2

.

Luego: los

6 . Así:

18 y

(t 2 − 2). t dt 4

=

t

1

= ∫ 618 (t 2 − 2)dt = 8

3 2

2

: completando cuadrados resulta :

2007


I =

Hacer la sustitución u

u

=−

∫

I =

−

u

 

=

−2

=

2 2 7 − u , p

− 2 x − 4 x + 5

=

1 2

2

2

7−u

2

2 −

∫

, dx =

=−

u du

7−u

2

u du

2

−

7−u

2

du

(2.24)

. Además, cuando x = -2,

2

1

2 ∫

.

+

2

∫

2

2

2 −

du

7−u

2

2

(2.25)

se hace el cambio de variable:

2

= −2udu ,

2 pdp

2

∫

1

=

2

u du

2

−2

2 ; esto se sustituye en (2.24) obteniéndose:

2

= 7 − u 2,

2 ∫−

∫

u− 2

=

( x + 3)dx 2 7 − 2( x + 1)

0

34

du

integral :

1

Luego

=

2

2 ( x + 1) , x

7−u

2

Para calcular la

p

∫

+ 2  

2

( x + 3)dx

0

2 , y con x = 0 , u 2


u

5

p dp

5

p

=−

2, p

=

y con

5

u

=

2,

, p

= 0

=

5

(2.26)

Y para la segunda integral se tiene: 2

∫ 2 −

2 2

du

7−u

 arcsen    2 

2

=

2

2 

  − arcsen −  7   

2  

 =   

7

4 2

  

arcsen

2 

 7  

( 2.27)

Sustituyendo (2.26) y (2.27) en (2.25) se obtiene :

( x + 3)dx

0

∫ −

2

=

2

− 2 x − 4 x + 5

4 2

 

2 

arcsen

  7

2.8 INTEGRACION DE FUNCIONES PARES E IMPARES Sea f integrable en [-a, a] : a)

Si f es par entonces

b)

Si f es impar entonces

a

a

∫ ∫ f ( x)dx = 0 −a

f ( x)dx

0

= 2∫0 f ( x)dx = 2∫ − a f ( x)dx

a

−a

Demostración: a) Como f es par entonces f (x) = f (-x) para toda x ∈ [-a, a] : sea u = - x , du = - dx:

∫

0

f ( x)dx

−a

Así:

∫ ∫

0

−a a

−a

=−

∫

0

f ( −u ).du

a

a

=−

∫

0

f (u )du

a

=

a

∫

f (u )du

0

f ( x)dx

= ∫ 0 f ( x).dx .

f ( x)dx

= ∫− a f ( x)dx + ∫0 f ( x)dx = 2∫0 f ( x) dx

0

Luego : a

a

2007



35

b) Como f es impar se tiene f (-x) = -f (x), x ∈[-a, a]. Sea u = -x, du = - dx:

∫

0

−a

f ( x)dx

0

a

0

a

= − ∫a f (−u ).du = ∫a f (u)du = − ∫0 f (u) du , de donde :

∫ f ( x)dx = 0 −a

EJERCICIOS PROPUESTOS 2.4 1) Aplique la propiedad de acotamiento de la integral definida para hallar un intervalo cerrado que contenga el valor de la integral definida dada. 3π 4 a) π senx .dx

∫

2)

Sin evaluar la integral definida,

demuestre que: 1

1 2

∫ ∫ x dx ∫ x dx ≤ ∫ x dx

a)

0

x dx ≥

0

2

b)

2

1

4

2

1

π

b)

∫ (4 cos x − 9 cos x)dx 3

2

−

3) Si f es continua en [a, b], demuestre que

π 2

b

∫

f ( x )dx

π

c)

∫

3 π 3 sen x.dx

2

−

b

∫

≤

f ( x ) .dx

a

a

2

4)

Sea

F

definida

por

F x

3

4

la recta tangente a la curva en x = 2 .

Para

F

definida

x

F x

2

1

de la recta tangente en x = −1 .

6) En cada caso , halle el valor promedio

7)

de la función f en el intervalo dado.

par y no negativa en [-2, 2], y g una

Además,

función continua e impar en [-2, 2].

halle los valores de x en los

cuales f(x) iguala a su promedio. f(x) = x

a)

f(x) =

b) 8)

2

x2 x

+1 2

x∈

Sea f una función continua en [-2, 2],

∫

Si

x ∈ [0,1]

− 2 x + 1,

[12 ,2]

Demuestre que f definida por

10) x

1

∫ f (t).dt = − 2 + x 0

2

+ x.sen( 2x ) +

1 2

cos( 2x) ,

y

0

∫ g ( x)dx = 5 , halle: 2

2

b)

∫ −2 ( f ( x ).g( x ))dx 2

9) Demostrar que para todo x real x

∫ (t + t ) dt =

t

Sea f continua para todo x tal que

=5

f ( x)dx

∫ −2 [ f ( x ) + 3g( x )]dx

a)

5x

2 x

2

0

( ) = ∫ dt es constante en (0, + ∞) .

f x

por

( ) = ∫ − ln (t + 2t + 2) dt , halle la ecuación

2

( ) = ∫ ln (t + 4) dt , halle la ecuación de x

5)

2

0

2 x 3

2

( x + x )

11) Sin calcular el valor de la integral, halle

()

F ′ x : a)

2

+1

( ) = ∫ − (t − 2t + 5) dt

F x

x

2

2

2007


para todo x.

12)


 π  f  

Calcular

 π  f '   .

,

4

4

Cierto día, la temperatura t horas

después de la medianoche era:

c)

( ) = ∫

12

x 3

( ) = ∫

F x

d)

F x

2 1 + s ds

x

sen ( x )

( ) = ∫

()

1 − t 2 sen t dt

2

13)

¿Cuál era la temperatura promedio entre el

t 2 + 2 dt

2 x

b)

( ) = 80 + 10 sen   π (t − 10)  .

T t

5

F x

36

Demuestre

que

f definida

por

( + ∞) .

5x dt

f (x ) =

∫

14) La intensidad de una corriente alterna

15)

Sabiendo que f es impar, g par en

de un circuito eléctrico viene dada por:

[− 1, 1],

mediodía y las 6 de la tarde?

( ) = 2 sen (60π t ) + cos(120π t )

I t

donde I se mide en amperios, t en

2x

1

∫ 0

0 ≤ t ≤ 16)

60

0 ≤ t ≤

0 ≤ t ≤

240

1

0

x

−1

30

17) Calcule las siguientes integrales:



ecuación de la forma:

∫ f (t )dt = ∫ t f (t )dt + 1

2

x

16

8

+

x

18

9

c)

+c

donde c es una constante. Encontrar una fórmula explícita para

()

f x

−1

1

1

continua para todo número real x que

x

0

−1

Existe una función f definida y

satisface una

∫ g ( x )dx = 3 . 1

1

a)

para los siguientes intervalos de tiempo:

1

()

f x dx =

∫ f ( x ) dx b) ∫ g ( x ) dx c) ∫ ( f ( x ) + g (− x )) dx

Calcule:

segundos. Calcule la corriente promedio

1

es constante en 0,

t

e)

∫

1

∫ −

x

1

4

∫−

1

g)

−x

x −1 x+3

π

y

hallar el valor de c.

x +1 dx −2 x + 6 4

dx

∫ 1 − sen

2

∫ −

3

3 + x dx

dx

1

∫

d)

dx

0

x

+

1+ x

1

∫ (y + 1). 1 − y

f)

tg( x )

4 0

3

b)

0

dy

dx

( x)

18) Decida si las siguientes proposiciones

19) Calcule las siguientes integrales definidas:

son verdaderas y cuales falsas:



( ) ≥ 0 para todo x ∈[a, b] entonces ∫ f ( x ) dx ≥ 0 . b) Sí ∫ f ( x ) dx = 0 entonces f ( x ) = 0 para todo x ∈[a, b] . a) Sí f es continua y f x b



a

4

∫

−4 2

∫

x − 2 dx



x x − 2 dx

−2



∫ ( x −1) 2

1

π

∫ 0

4

8

2 − x dx

( )+ 1

tg x

dx

b

a



1

∫ ( x 0

2

+ 4 x )

x 3 + 6 x 2 + 1 dx

2007



( ) = f (− x ) para todo x ∈[− a, a] y f es integrable en [− a, a], entonces ∫ − f ( x ) dx = 0 . d) Sí F ′( x ) = f ( x ) para toda x ∈[0, b] entonces ∫ f ( x ) dx = F (b ) . e) Sí ∫ ( f ( x )− g ( x )) dx ≥ 0 entonces f ( x ) ≥ g ( x ) para todo x ∈[a, b] . f) Sí F ′( x ) = G′( x ) para todo x ∈[a, b] entonces F (b ) − F (a ) = G (b ) − G (a ) . senx g) La función + cos x es f ( x ) = c) Sí f x

π

π

2

2

6

a

π

() dy ( y ) + sen ( y ) − 2 3 arcsen ( x ) dx

∫ sen



0

b



0

()

cos x

∫ sen ( x) (sen x + 1) dx



a

b

0.5

∫

∫ (1 + x )

1

∫ x 1

1 2

−1

dx = 0 .

1

9

∫ x (1 + x )



2

1

π



∫

20)

Sí

3

0

( ) = ∫ ln (t + 4)dt , en el plano x = 3 es 28 ln(2) .

curva g x donde 21)

3

22)

( ) = 5 e ∫ g (t )dt = 2 . 1

que:

para

todo

[ ]

x ∈ a, b

b b ∫ a f ( x ) dx ≤ ∫ a g ( x) dx

1 2

∫ ( x − t ) g (t )dt , x

2

∫ 0

≤

∫ a g ( x ) dx b

Encontrar una función f y un valor de la

( ) − x cos( x ) − 1 x

()

t f t dt = sen x

2

2

para

todo x real.

( ) = x ∫ g (t )dt − ∫ t g (t )dt , x

0

()

b

constante c, tal que:

demostrar

0

x

f ′ x

∫ a f ( x ) dx

0

x

( )=

0

()

y calcular f ′ 1 y f ′′ 1 .

22) Calcule las siguientes integrales definidas: a)

d )

3

∫ −

3

4

3 + x dx x −1

∫− x +3 1

dx

)

( ) ≤ g ( x )

f x

ii)

Dada una función g, continua para

f x

x

3

todo x, tal que g 1 Si

−2

dx

() (

entonces i)

2

− 21

cos x Ln 1 + senx dx

i) La pendiente de la recta tangente a la x

1

∫



dx

2 4

−1

x

h) El valor de la integral

2

x

1



2

3 cos y

2

1 − x

0

a

integrable en π , π .

37

dx

b)

e)

1

∫ −

1

1

x − x dx

∫ 0( y +1). 1− y

c)

dy

f )

1

dx

∫

x + 1+ x

π

tg ( x )

0

∫

4 0 1

− sen

2

dx

( x )

2007

Guia 2 Integral Definida

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