U S P s a c i t á m e t a M D-6
PREUNIVERSITARIO
Matemática 2015 Datos y Azar
G!a Te"rico#Práct e"rico #Práctica ica D#$
Varia%&e A&eatoria co'ti'a co'ti 'a ('ci"' )e )e'si)a) )e *ro%a%i&i)a) Distri%ci"' Norma& y )e +er'o&&i
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Variable Aleatoria Continua Al igual que para la variable aleatoria discreta, la función de probabilidad de la variable aleatoria continua describe cómo se distribuyen las probabilidades para cada uno de los valores que ésta puede adoptar. Dicha función recibe el nombre de función de densidad de probabilidad (o simplemente función de densidad), f(x). Dado que los elementos del dominio de f(x) son valores continuos, su grfica se representa mediante una curva en el plano cartesiano, donde el rea ba!o la curva entre dos puntos a y b representa la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor comprendido en dicho intervalo, tal como muestra la figura ".
f(x)
P(a
a
b
#ecuerda que, al igual que para una variable aleatoria discreta, el dominio de la variable aleatoria continua corresponde al espacio muestral del experimento y su recorrido corresponde a los valores que ésta puede tomar (dependiendo de cómo se defina). $or otra parte, el dominio de la función de densidad de probabilidad corresponde al recorrido de la variable aleatoria, mientras que su recorrido corresponde a la probabilidad asociada a cada uno de los elementos del dominio, es decir, a los reales comprendidos entre % y ". &omo consecuencia de lo anterior, para que f sea función de densidad de probabilidad se deben cumplir dos aspectos importantes' ". f(x) debe ser positivo o cero para todos y cada uno de los elementos del dominio de f. sto porque por la propia definición, la probabilidad de un suceso toma valores entre % y ", nunca negativos. . l rea ba!o la curva de f en su dominio debe ser ". sto porque, por definición, la suma de las probabilidades asociadas a cada uno de los elementos del dominio de f debe ser la unidad (o el "%% *). +i la grfica de f no cumple con alguno de los puntos mencionados, entonces no se trata de una función de densidad de probabilidad.
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!emplo' erifica si la función de la grfica es una función de probabilidad de una variable aleatoria continua f(x)
0,5
-0,5
0,5
1,0
-&ul es la probabilidad de que tome valores mayores o iguales que %/ -&ul es la probabilidad de que tome valores menores o iguales que %/ Dichas probabilidades corresponden al rea ba!o la curva descrita a la derecha e i0quierda del e!e de las ordenadas respectivamente, esto es, $( 1 %) 2 %,34 , mientras que $( 5 %) 2 %,4.
6tro aspecto importante de destacar de una variable aleatoria continua, es que la probabilidad de que ésta tome un valor en particular a es %, es decir, $( 2 a) 2 %. 7a !ustificación es sencilla' suponga que se escoge un estudiante en particular de un colegio y se mide su estatura. 8os preguntamos cul es la probabilidad de que dicho estudiante mida exactamente ",3" m. $ues bien, como se explicó anteriormente, la exactitud de la medición depender del instrumento utili0ado, de modo que un estudiante que eventualmente mide ",3" m de altura, con otro instrumento de medición puede medir ",3" m, con otro ",3"9 m, pero nunca llegaremos a un valor exacto. &omo consecuencia de lo anterior, la probabilidad de que una variable aleatoria continua tome valores dentro de un intervalo es la misma tanto si se considera uno, alguno o ambos extremos del intervalo, esto es, $(a : : b) 2 $(a 5 5 b) 2 $(a 5 : b) 2 $(a : 5 b).
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Dado que la probabilidad de que una variable aleatoria continua tome un valor en particular es %, se cumple que' $(a : : b) 2 $(a 5 5 b) 2 $(a 5 : b) 2 $(a : 5 b) Ejercicios Propuestos
". -&ul(es) de las siguientes funciones puede(n) ser función de densidad de una variable aleatoria continua/ a) f(x) 2 %, 4, con x
∈ ;<", "=
b) f(x) 2 x < ", con x
c) f(x) 2 <", con x
d) f(x) 2
x
con x
∈ ;", >=
∈ ;<", %=
∈ ;<", "=
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. 7a probabilidad de que una variable aleatoria continua tome valores dentro de un intervalo, se puede calcular como el rea ba!o la curva de su función de densidad para ese intervalo. A partir de la grfica de la función de densidad de una variable aleatoria continua , -&ul es la probabilidad que tome valores en el intervalo ; %,? @ ",=/
A) B) &) D) )
%, %,? %,4 %,?% %,
>. +ea f la función de densidad de una variable aleatoria continua . -cul es la probabilidad de que pertene0ca al intervalo ;%,"=/
A) B) &) D) )
%,"4 %,>4 %,>34 %,?4 %,34%
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Distribución normal
7a distribución normal(o gaussiana) es aquella en que los datos de una variable aleatoria continua se concentran alrededor de la media µ con cierta desviación estndar (tCpica) σ. +e escribe 8(µ,σ) y su grafica se conoce como la campana de auss "
f (x ) = σ
e
− " x − µ ) σ (
)π
Eedia ' µ arian0a '
− ∞ < x < +∞
σ
&uando la población se distribuye 8(µ,σ) , se puede asegurar que'
Aproximadamente el 5,45 Aproximadamente el 68,27 68,3 de la pobla!i"n #e en!$entra en el inter%alo &-,' 5,5 de la pobla!i"n #e en!$entra en el inter%alo
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&-2,'2
Aproximadamente el ,7 de la pobla!i"n #e en!$entra en el inter%alo
&-3,'3
!ercicios #esueltos ". 7a estatura de los integrantes de una delegación de "F% deportistas se describe aproximadamente con una distribución normal 8( "F, 9) a)-&ul es aproximadamente el porcenta!e de deportistas en la delegación cuya estatura es mayor a "34cm/ Aproximadamente - * 184-*175 + ' * 184'*13 a e#tat$ra en !m del 68,3 de lo# deporti#ta# #e en!$entra entre &175,13
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b)-&untos deportistas aproximadamente son de estatura mayor que "4 3cm y menor que ""cm/ Aprox!"#"!$%&$ µ'3σ ( 1)4' 27(157 * µ+3σ ( 1)4+27(211 ," $-&"&.r" $% /! #$0 997 #$ 0o#$por&-&"- -$ $%/.$%&r" $%&r$
Ejercicios PSU DEMRE 2015 Sea X una variable aleatoria continua, tal que X ∼ N(µ, σ2), donde se sabe que P(µ − σ ≤ X ≤ µ + σ) = 0,6826 y P( µ − 2σ ≤ X ≤ µ + 2σ) = 0,9!" #$u%l es el valor de P(µ + σ ≤ X ≤ µ + 2σ)& ') 0,9 *) 0,29 $) 0,86!0 ) 0,88 -) Nin.uno de los anteriores"
Estandariación !"ipificación# PREUNIVERSITARIO PAIDAGOGOS – O’HIGGINS 1395 CONCEPCION – FONO 412217361
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xisten muchos fenómenos reales que pueden representarse estadCsticamente mediante la distribución normal. 8o obstante el anlisis matemtico solo se considera para la distribución normal tipificada(es decir de promedio (media) % y de desviación estndar ").$ara el estudio de una distribución estndar de media µ y desviación estndar σ , esta se puede transformar en una distribución normal tipificada reali0ando un cambio de variable, para luego aplicar todo el anlisis valido para este tipo de distribución &ualquier variable que se distribuya 8(µ,σ) puede transformarse a una variable G de distribución 8(%,") mediante el siguiente cambio de variable G
=
.
− µ σ
xiste una tabla que permite conocer el rea ba!o la curva hasta cualquier valor de la variable, lo que indica directamente la proporción de datos que son menores o iguales que dicho valor
Ejemplo$ +e mide la masa en gramos de los huevos producidos en un gallinero. +C dichas masas se distribuyen de forma normal con H24 g y I2"? g, -cul es la probabilidad de que al elegir aleatoriamente un huevo su masa sea menor que 4 g. +ea ' masa de los huevos producidos en un gallinero, entonces se distribuye normal con media H24 g y desviación estndar I2"? g y se denota 8 (4,"?) $ara calcular $(:4) se tipificara la variable
$rimero se reali0a el cambio de variable ,
Z =
Determinamos el valor de G para un 24, AsC $(:4)2$(G:<%,"4)2$(GJ%,"4)
X − µ
Z =
σ
52 − 54 16
=
−1 8
= −0,125
7uego $(GJ%,"4)2"< $(G:%,"4) 2 " K %,4934 2 %,4%4
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Ejercicios Propuestos ". &alcula , utili0ando la tabla los valores de G ,las siguientes probabilidades
a) $(G:%,%)2
b) $(G1",3)2
c) $(G1<",%2
. 7a masa promedio de un grupo de cargas es "F Lg y su desviación estndar es de "%Lg. +i se sabe que las masas se distribuyen normal, -cul es la probabilidad de que la masa de una carga seleccionada aleatoriamente sea mayor que "%Mg/
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%nter&alo de Confiana Nn intervalo de confian0a es un rango de valores que probablemente contiene al valor del parmetro que se quiere estimar. 7os valores que establecen los lCmites del intervalo de confian0a se denominan lCmites de confian0a, y el nivel de confian0a es la probabilidad de que el intervalo calculado contenga al verdadero valor del parmetro. AsC, un intervalo de confian0a de ("< α )O"%%* para le media de población H , con I dada , es'
− P&(H)2 x
z 1−
α
⋅
2
Donde n es el tamaQo de la muestra y
σ
, x + z
n
x
1−
α
2
⋅
σ n
es su promedio
!emplo' ". +i el tiempo en minutos de atención se distribuye 8(H,),construye un intervalo de confian0a al 94* para el tiempo de atención (H). $ara esto considera una muestra aleatoria de "%% clientes, el tiempo promedio de atención es de F minutos. Datos'
2. Ejemplo PSU DEMRE 2015 /a cantidad de televisores or 1ailia en una ciudad, se odela or edio de una distribuci3n noral con edia µ y varian4a 0,2" Se toa una uestra aleatoria de 00 1ailias de esta ciudad, obteni5ndose una edia de 2, televisores" Para los resultados de esta uestra, #cu%l de los si.uientes intervalos es el intervalo de con1ian4a de nivel 0,9 ara µ&
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2,75 − 1,6 ⋅ 1 -2,75 + 1,6 ⋅ 1 40 40 ') 2,75 − 0,5 ⋅ 1 - 2,75 + 0,5 ⋅ 1 200 200 B) − 1,6 ⋅ 1 - 1,6 ⋅ 1 400 400 &) − 0,5 ⋅ 1 - 0,5 ⋅ 1 20 20 D)
2,75 − 1,6 ⋅ 1 20 )
2,75 + 1,6 ⋅
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Distribución 'inomial Nn experimento sigue el modelo de distribución binomial si' i. ii. iii.
n cada ensayo son posibles solo dos resultados(éxito o fracaso) 7a probabilidad de un suceso(éxito o fracaso) es contante en cualquier ensayo l resultado en cada ensayo es independiente de los anteriores
7a función de probabilidad de una distribución binomial, denotada por B(n,p), donde n es el nRmero de ensayos, p es la probabilidad de éxito y ( el valor de la variable aleatoria , es'
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n − P ( X = x) = ⋅ p ⋅ ( − p ) 1 x
n x
x
con x5n,
x ∈ ℵ0 , n ∈ ℵ, 0 ≤ p ≤ 1
7a función de distribución acumulada de la distribución binomial es'
n n n − − ⋅ ⋅ ( − ) + ⋅ ⋅ ( − ) + + ⋅ ⋅ ( − ) p 1 p p 1 p .... p 1 p 1 x 0
P ( X ≤ x ) =
0
n
1
n 1
n x
x
!emplo' ". 7a probabilidad de que un celular sea aprobado por un control de calidad en una industria, antes de salir al mercado, es )*6
Determina la probabilidad de que exactamente de ? celulares sean aprobados por el control de calidad
Determina la probabilidad de que entre cuatro celulares, ms de sean aprobados
. 7a probabilidad de aprobar una asignatura es %,3. ntonces la probabilidad de que > de 4 estudiantes aprueben la asignatura es'
A) %,>%F3 B) %,">> &) %,>"4 D) %,?9"> ) %,???? PREUNIVERSITARIO PAIDAGOGOS – O’HIGGINS 1395 CONCEPCION – FONO 412217361
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>. Nn estudiante contesta al a0ar una evaluación de "4 preguntas y 4 alternativas cada una. -&ul es la probabilidad de que responda correctamente ? preguntas/
15 ⋅ 0,2 ⋅ ( 0,8) 6 A) 15 ⋅ 0,2 ⋅ ( 0,8) 6 6
6
B)
&)
15 ⋅ 0,2 ⋅ ( 0,8) 5
D)
15 ⋅ 0,2 ⋅ ( 0,8)
5
15 ⋅ 0,5 ⋅ ( 0,5) 6 ) 6
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Sabla de tipificación para distribuciones normales ($(G:0))
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