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Cálculo de esfuerzos normales y de corte, utilizando utilizan do el método gráfico del círculo de Mohr.
ResistMaterialesS120172 Ing. Industrial (45)
Febrero, 2018
INTRODUCCIÓN En Ingeniero Civil Christian Mohr hizo grandes aportaciones a la teoría de estructuras. El más conocido y útil aun en la actualidad a pesar de los desarrollos tecnológicos es el método para determinar los esfuerzos máximos y mínimos de compresión y tensión además de los esfuerzos cortantes el cual se lama Circulo de Mohr, este método fue desarrollado cerca del año 1882. El método de Mohr consiste en representar el estado plano completo de esfuerzo mediante el dibujo de un círculo en el plano στ. El círculo de Mohr se dibuja en un sistema de ejes perpendiculares con el esfuerzo cortante (τ) marcado en el eje vertical y el esfuerzo normal (σ) en el eje horizontal.
A continuación se hará una breve explicación sobre este método haciendo énfasis en los conceptos más importantes además de la resolución de problemas empleando este método
RESUMEN En
el
siguiente
trabajo
investigativo
podremos
encontrar
la
información
correspondiente a los métodos y elementos necesarios para la comprensión y construcción (diagramación) del Círculo de Morh, como herramienta que permite la determinación del estado tensional en los distintos puntos de un cuerpo. El círculo de Mohr es una de las pocas construcciones de graficas en ingeniería que no ha perdido vigencia con la introducción de nuevos métodos tecnológicos, principalmente motivado a que el círculo de Mohr suministra y ofrece información, simultáneamente general y detallada, sobre determinados problemas en ingeniería. Resulta ser un método extensamente usado en ingeniería para el cálculo de los momentos de inercia, esfuerzos y en algunos casos deformaciones debido a su sencillez y versatilidad, usando las mismas características de un círculo (radio, centro, entre otros). Su aplicación permite realizar el cálculo rápido y exacto de los esfuerzos principales máximo y mínimo, el esfuerzo cortante máximo, los ángulos de orientación del elemento sometido al esfuerzo principal y del elemento sometido al esfuerzo cortante máximo y el esfuerzo normal que existe junto con el esfuerzo cortante máximo sobre el elemento sometido al esfuerzo cortante máximo. Está fundamentado en las leyes de transformación de ciertas entidades matemáticas llamadas tensores, a las que el círculo de Mohr representa con sencillez y claridad. Unicamente se requiere recurrir a relaciones trigonométricas elementales para obtener ecuaciones de interés en la solución de algunos problemas asociados a la resistencia de materiales. Este método es de las pocas construcciones gráficas en ingeniería civil que no ha perdido importancia con la introducción métodos y elementos de cálculo más avanzados.
CIRCULO DE MOHR PARA ESFUERZOS. El círculo de Mohr es una representación gráfica de los estados de esfuerzo a los que están sometidos los sólidos. El eje X nos entrega los valores de los esfuerzos normales en los puntos en que corta el circulo (s1 y s2). La línea paralela al eje Y que pasa por el centro del círculo muestra los esfuerzos de corte máximo y mínimo al intersecarse con el circulo.
Las dos formas del círculo de Mohr se muestran en la siguiente figura, la diferencia son el eje de las ordenadas t y su correspondiente sentido positivo de los ángulos.
Caso bidimensional En dos dimensiones, la Circunferencia de Mohr permite determinar la tensión máxima y mínima, a partir de dos mediciones de la tensión normal y tangencial sobre dos ángulos que forman 90º:
NOTA: El eje vertical se encuentra invertido, por lo que esfuerzos positivos van hacia abajo y esfuerzos negativos se ubican en la parte superior.
Usando ejes rectangulares, donde el eje horizontal representa la tensión normal s y el eje vertical representa la tensión cortante o tangencial t para cada uno de los planos anteriores. Los valores de la circunferencia quedan representados de la siguiente manera: Centro del círculo de Mohr:
Radio de la circunferencia de Mohr:
Las tensiones máximas y mínimas vienen dados en términos de esas magnitudes simplemente por:
Estos valores se pueden obtener también calculando los valores propios del tensor tensión que en este caso viene dado por:
Caso tridimensional El caso del estado tensional de un punto P de un sólido tridimensional es más complicado ya que matemáticamente se representa por una matriz de 3x3 para la que existen 3 valores propios, no necesariamente diferentes.
En el caso general, las tensiones normal (σ) y tangencial (τ), medidas sobre cualquier plano que pase por el punto P, representadas en el diagrama (σ,τ) caen siempre
dentro de una región delimitada por 3 círculos. Esto es más complejo que el caso bidimensional, donde el estado tensional caía siempre sobre una única circunferencia. Cada uno de las 3 circunferencias que delimitan la región de posibles pares (σ,τ) se conoce con el nombre de circunferencia de Mohr.
Fig 2
Construcción del círculo de Mohr: 1. Dibujo de un sistema de ejes coordenados con s como abscisa, positivo hacia la derecha, y t como ordenada, positivo hacia abajo. 2. Localice el centro C del círculo en el punto con coordenadas s prom y t = 0. s prom sx sy /2 =
+
3. Localice el punto A que representa las condiciones de esfuerzo sobre la cara X1 del elemento mostrado en la figura marcando sus coordenadas s = sx y t = txy. Note que el punto A corresponde a θ = 0°. 4. Localice el punto B que representa las condiciones de esfuerzo sobre la cara del elemento mostrado en la fig 2, trazando sus coordenadas s = sy y t = - txy. Observe que el punto B sobre el círculo corresponde a θ = 90°. 5. Dibuje una línea del punto A al B. Esta línea es un diámetro del círculo y pasa por el centro C . Los puntos A y B, que representan los esfuerzos sobre planos a 90° uno del otro están en extremos opuestos del diámetro (y, por lo tanto, están a 180° uno del otro sobre el círculo). 6. Con el punto C como centro, trace el círculo de Mohr por los puntos A y B. El círculo dibujado de esta manera tiene radio R.
7. Cálculo de los esfuerzos pr incipa les y ubicación en la fig. 3 s1,2 =s prom + R
8. Cálculo del ángulo θ de la ecuación:
9. Cálculo del esfuerzo cortante máximo,tmax, y del ángulo b. tmax = R
Ejemplo:
También para graficar el círculo de Mohr se puede construir de la siguiente forma:
1. Se deben calcular antes los esfuerzos principales .σx , σy , σz y σxy σ= Fx/A σy=Fy/A σz=Fz/A
2. Dibujar un plano cartesiano con escalas iguales tanto en X como en Y. 3. El siguiente paso es ubicar los puntos A(σx, σxy) y B(σy, -σxy).
4. Trazar una línea que una los puntos A y B. 5. Encontrar el centro del círculo con la ecuación σc= (σx + σy)/2
6. Hallar el radio del círculo:
7. Trazar el círculo. 8. El ángulo 2È indica la deformación en grados, o cuanto se desplazo el solidó de su eje inicial. 9. Identificar los puntos extremos.
Se dibuja un punto en X de coordenadas σx y σxy, y un punto Y de coordenadas óy
y -óxy. Se traza una línea uniendo los puntos X y Y, la cual define el punto de intersección con el eje X (o Sigma) y se dibuja el circulo con centro en C, con diámetro XY. Al observar que la abcisa de C y el radio del círculo son respectivamente iguales a las cantidades ómed y R. Las abscisas de los puntos A y B en donde el círculo interseca el eje ó representan respectivamente los esfuerzos principa les σmax y σmin en el punto considerado.
Ejemplo. -Trace el círculo de Mohr para:
Solución: σx=200 Pa σy=-100 Pa σxy=50 Pa
A(200,50) B(-100,-50) σc=(200 - 100)/2 = 50 Pa
r=((150^2)+(50^2))^(1/2)= 158.11
Construcción Circulo deMohr
Los esfuerzos normales se representan en las abscisas y los cortantes en las ordenadas. Los esfuerzos principales también vienen dados por:
Ejemplo: Un elemento tiene se desea hallar:
de
esfuerzo
Los esfuerzos y las direcciones principales, e indicar en el elemento su orientación correcta (con respecto al sistema xy) Trazar otro elemento que muestre determinando los esfuerzos normales correspondientes.
Gráficamente se pueden obtener los resultados
Empleando
las
ecuaciones:
El esfuerzo esta a 45° respecto a las normales es decir 45°- 25.7°=19.3°
CONCLUSIÓN El círculo de Mohr es una técnica usada en ingeniería para el cálculo de los momentos de inercia, esfuerzos y en algunos casos deformaciones. Es un método simple que opta las mismas características de un círculo (radio, centro, entre otros). Con este método también es posible el cálculo rápido y exacto de los esfuerzos principales máximo y mínimo, el esfuerzo cortante máximo, los ángulos de orientación del elemento sometido al esfuerzo principal y del elemento sometido al esfuerzo cortante máximo y el esfuerzo normal que existe junto con el esfuerzo cortante máximo sobre el elemento sometido al esfuerzo cortante máximo. La razón para este método este en vigencia con tanta tecnología a nuestro alrededor se encuentra en la información, simultáneamente general y detallada, que el circulo de Mohr suministra sobre determinados problemas de la ingeniería. Las aplicaciones de esta construcción grafica tienen su fundamento en las leyes de transformación de ciertas entidades matemáticas llamadas tensores, a las que el círculo de Mohr representa con sencillez y claridad. Tan solo es necesario recurrir a relaciones trigonométricas elementales para obtener ecuaciones de interés en la solución de algunos problemas propios de la resistencia de materiales. El círculo de Mohr es una de las pocas construcciones gráficas en ingeniería civil que no ha perdido importancia con la introducción de las calculadoras y los computadores.
REFERENCIAS Federico Antico y Santiago Pezzotti, 2008, CIRCULO DE MOHR para el cálculo de tensiones principales en el plano y el espacio. Disponible en: http://www.aero.ing.unlp.edu.ar/catedras/archivos/Circulo%20de%20Mohr2.pdf CIRCULO DE MOHR , https://ibiguridp3.wordpress.com/res/mohr/ CIRCULO DE MOHR PARA ESFUERZOS http://materiales.azc.uam.mx/gjl/Clases/MA10_I/S6.pdf
EN
CIRCULO DE MOHR, http://www.bdigital.unal.edu.co/53252/48/circulodemohr.pdf https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%ADrculo_de_Mohr https://www.academia.edu/7518816/CIRCULO_DE_MOHR/its https://www.alipso.com/monografias/circulo_de_mohr/
2D,
