APLICACIONES DE LA INTEGRAL DOBLE (GEOMÉTRICAS Y FÍSICAS) Si tenemos una masa distribuida de modo continua sobre una región A región A del del plano xy plano xy , un elemento dm de dm de masa será dm= (x, y)dydx= (x, y)=dA y)=dA En donde = (x, y) es y) es la densidad en el punto (x, y) de y) de A A,, en tal supuesto, cabe utilizar una integral doble para calcular a) la masa M="r" (x, y)dA; b) el primer momento de la masa respecto al eje x eje x Mx="" y (x, y)dA c) su primer momento respecto al eje y , My="" x(x, y)dA De a y b se deducen las coordenadas del centro de masa
Otros momentos de importancia en las aplicaciones a la mecánica son los momentos de inercia de la masa. Estos son los segundos momentos que se obtienen utilizando los cuadrados en lugar de las primeras potencias de las distancias o brazos de palanca x y y. As y. As el momento de inercia respecto respecto al eje x eje x representado por Ix se se de!ine por
y el momento de inercia respecto al eje y es es "iene tambi#n inter#s el momento de inercia polar respecto al origen dado por Esta ultima !ormula r2=x2+y2 es el cuadrado de la distancian desde el origen al punto representati$o % x, x, y ) En todas estas integrales deben ponerse los mismos lmites de integración que si se tratara solo de calcular el área de A. Observacin !.& !.& 'uando una partcula de masa m gira alrededor de un eje, y describiendo una circun!erencia de radio r con con $elocidad $elocidad angular angular o $elocidad lineal v= r , su energa cin#tica es (mv=#mr . Si un sistema de partculas de masa m!,m2,$,mn gira alrededor de su eje con la misma $elocidad angular %, siendo r!,r2,$,rn sus r!,r2,$,rn sus distancias al eje de giro, la energa cin#tica del sistema es
Donde
Es el momento de inercia del sistema respecto al eje en cuestión que depende de los $alores m& de las masas y de sus distancias r&.
'uando una masa m se mue$e sobre una recta con $elocidad v como su energa cin#tica es (mv, y se precisa una cantidad de trabajo para detener la partcula. Esta !orma análoga, si un sistema de masas e!ecta un mo$imiento de rotación como en el caso de un $olante, la energa cin#tica de que esta animado esto y se necesita esta misma cantidad de trabajo para lle$ar al reposo el sistema giratorio. *emos que + desempea en este caso el mismo papel que ejerce m $olante en el mo$imiento rectilneo. En cierto sentido el momento de inercia de un $olante el lo que se opone a iniciar o detener su mo$imiento de rotación de igual modo que la masa de un automó$il podra consumir trabajo para iniciar o detener su mo$imiento. Si en lugar de un sistema discreto de partculas, como en las ecuaciones -, -/, se tiene una distribución continua de masa en un alambre, una placa delgada o un sólido, 0ay que di$idir la masa que total en elementos de masa m tales que si r representa la distancia de cierto punto de m a un eje, todos los demás puntos del elemento m se 0allan a distancia r' del eje donde cuando tienden a cero la má1ima dimensión del m. El momento de inercia de la mas total respecto al eje en cuestión se de!ine por
As, por ejemplo, el momento polar de inercia dado por la ecuación de un eje z trazado por el punto 2 perpendicular al plano xy . Además de su importancia en relación con la energa cin#tica de los cuerpos en rotación, el momento de inercia desempea un papel decisi$o en la teora de la !le1ión de $igas cargadas, cuyo 3coe!iciente de rigidez4 $iene dado por I , siendo el modulo de 5oung, e I, el momento de inercia de una sección recta de la $iga respecto a un eje 0orizontal que pasa por su centro de gra$edad. 'uanto mayor sea I , tanto mejor resistirá la $iga a la !le1ión. Este 0ec0o se utiliza en las $igas de per!il en I con cuyas alas superior e in!erior están a distancias relati$amente grandes del centro, y proporcionan, por tanto, mayores $alores de r2 en la ecuación 62, contribuyendo as a incrementar el momento de inercia respecto al que sera si toda la masa se 0allase distribuida uni!ormemente7 por ejemplo, en una $iga de de per!il cuadrado. Observacin 2 .& 8os momentos son tambi#n importantes en estadstica. El primer momento se utiliza en el calculo de la media %es decir, $alor promedio) de un conjunto de datos. El segundo momento %que corresponde al momento de inercia) se usa en el cálculo de $arianza %r9) o de la des$iación tpica %r). 8os momentos tercero y cuarto tambi#n se Emplean en relación con ciertas magnitudes estadsticas denominadas *orcimien*o o seso y cr*osis y el momento de *-#simo se de!ine por
En esta e1presión7 r& recorre todos los $alores de la $ariable estadstica en consideración por ejemplo: r& puede representar altura en centmetro o peso en decagramos, etc. ;ientras que m& Es el nmero de indi$iduos de todo el grupo cuya 3medida4 es igual a r& .
, la $arianza se puede escribir tambi#n as
=ay una di!erencia esencial entre el signi!icado atribuido a y en el caso de la !órmula
que e1presa el área en la !igura > bajo la cur$a y?!%1) desde 1?a a 1?b, y el que se le da en las integrales dobles de las ecuaciones -6 a -@. En 6@ se debe remplazar y por !%1) deducido de la ecuación de la cur$a, antes de integrar, puesto que y signi!ica la ordenada del punto %1, y) sobre la cur$a y?!%1). ero en el caso de las integrales dobles a a b no 0ay que reemplazar por una !unción de 1 antes de integrar, porque el punto %1, y) es, en general, un punto del elemento dA?dyd1 y 1 e y son $ariables independientes. 8as ecuaciones de las cur$as que constituyen la !rontera la región A inter$ienen solo en los lmites de integración. As: -.& En el caso de integrales simples tales como
no se integra respecto a y, sino que se sustituye y por su $alor en !unción de 1 antes de realizar la integración. 6.& En el caso de integrales dobles, tales como 0ay que integrar respecto a y7 por consiguiente no se debe sustituir y antes de e!ectuar la integración. 8as ecuaciones y?!-%1) e y?!6%1) de las cur$a de contorno de A se utilizan para los lmites de integración y solo se deberán sustituir despu#s de e!ectuar la integración.
Bibliogra!a propuesta 8ibro: 'álculo "omo ++ Autor: Coland E. =ostetler Cobert . Editorial: rupo Editorial +beroamericano 8ibro: 'álculo con eometra Analtica Autor: SoFosFi Earl G. Editorial: rupo Editorial +beroamericano
