NOTAS DE CLASE SOBRE INTEGRALES DOBLES DOCENTE: FRANCISCO ARIAS DOMINGUEZ
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DOBLE
Densidad y Masa En física y química, la densidad (símbolo (símbolo )) es una magnitud escalar N
referida a la cantidad de masa contenida en un determinado volumen de una sustancia. La densidad media es la razón entre la masa de un cuerpo y el volumen que ocupa =
m : V
(La unidad unidad es kg=m es kg=m3 en el SI:)
Consideremos una lámina con densidad variable y supongamos que la lámina ocupa un lugar S en S en el espacio y su densidad (en unidades de masa por unidad de área) en un punto (x; ( x; y) está dada por por ((x; y), donde es una función continua en S . S . Esto signi…ca que (x; y) = lim
4m , 4A
donde m y A son la masa y el área de un rectángulo pequeño que contiene ( contiene (x; x; y) y el límite se toma como las dimensiones del rectángulo aproximado a 0 a 0.. La masa viene dada por,
4 4
m =
Z Z
(x; y)dA:
D
Ejemplo 1 : Determine : Determine la masa de la placa plana limitada por las curvas
x = y = y 2
2
1 y x = x = 2y 2 , cuya densidad es igual a la unidad.
Solución:
1
Para esta Placa se tiene que (x; y) = 1, por lo tanto
ZZ
m =
dA
D
Ahora, se debe identi…car la región D para de…nir los límites de integración.
Entonces la región D está de…nida como: D = (x; y) : 2y2
f
2
2 x y 1, 1 y 1g:
Por lo tanto:
1 y2 1
m =
Z Z Z 1
dxdy =
1 2y2 2
1
y2 dy =
1
4 : 3
Ejemplo 2 : Determine la masa de la placa plana limitada por las curvas
y = 32 x2 6x + 4 y y = 2 x 2 , cuya densidad varía de acuerdo a la función (x; y) = 1 + 2x. Solución: El cálculo de la masa se obtiene de la integral doble
j j
m =
ZZ
(1 + 2x) dA:
D
2
A continuación se muestra la región D.
La región D debe dividirse en dos regiones tipo 1, tal que: D = D1
[D : 2
Entonces m =
ZZ
(1 + 2x) dA =
D
ZZ
(1 + 2x) dA +
D1
ZZ
(1 + 2x) dA:
D2
Donde D1 =
f(x; y) : 0 x 2 ^
3 2 x 2
6x + 4 y 2x + 4g
D2 =
f(x; y) : 2 x 4 ^
3 2 x 2
6x + 4 y 2x 4g
En la siguiente …gura se muestra el orden de integración para obtener la
3
masa de la placa con la forma de la región D.
Entonces:
Z Z Z 2
m =
0
3 2
2
=
0
=
42x
x2 6x+4
Z Z Z 4
2x4
(1 + 2x) dydx +
(1 + 2x) dydx
2
3 2
13 3x3 + x2 + 4x dx + 2
x2 6x+4
4
8
2
29 3x3 + x2 2
8x
dx
40 80 + 3 3
= 40: N
Momentos y Centro de Masa
El objetivo principal de esta seccion es determinar el punto P en el cual se equilibra, horizontalmente , una placa delgada de cualquier forma dada, este punto se llama centro de masa o centro de gravedad de la placa. Los momentos Estáticos respecto de los planos coordenados se de…ne
4
como
ZZ ZZ
M x =
y(x; y)dA
D
M y =
x(x; y)dA
D
Ejemplo 3 : Determine los momentos estáticos de la placa plana descrita
en el ejemplo 1. Solución: Los momentos estáticos se calculan de la siguiente manera: M x =
1 y2 1
ZZ ZZ
y(x; y)dA =
ydxdy =
1 y2 1
1
xdxdy =
1 2y2 2
D
y 2 dy = 0;
y 1
1
y(x; y)dA =
Z Z 1
1 2y2 2
D
M y =
Z Z Z Z
3 2
1
3 4 y + 3y2 dy = 2
85 :
Por lo tanto, los momentos estáticos para una lámina con la forma de la región D del ejemplo 1 son: M x = 0
85 :
y
M y =
Ejemplo 4 : Determine los momentos estáticos de la placa plana descrita
en el ejemplo 2. Solución: Los momentos estáticos se calculan de la siguiente manera:
Z Z 2
M x =
0
3 2
42x
Z Z 4
y (1 + 2x) dydx +
2
x2 6x+4
5
3 2
2x4
x2 6x+4
y (1 + 2x) dydx
Z Z 2
=
9 5 135 4 x + x 4 8
0
4
+
2
3
35x
9 5 135 4 x + x 4 8
2
+ 10x + 16x dx
3
+ 10x2 + 16x dx
35x
Por lo tanto,
8 56 64 M x = + = : 3 3 3 Calculando el momento estático respecto al eje y se tiene:
Z Z 2
M y =
0
=
3 2
42x
Z Z 4
x (1 + 2x) dydx +
2
x2 6x+4
3 2
2x4
x (1 + 2x) dydx
x2 6x+4
262 1162 1424 + = : 15 15 15
Finalmente, para la región del ejemplo 2 se tiene que:
ZZ ZZ
M x =
y (1 + 2x) dA =
64 3
D
y M y =
x (1 + 2x) dA =
1424 : 15
D
y el centro de masa es el punto:
M y M x ; m m
:
El signi…cado físico del centro de gravedad, es que la lámina se comporta como si su masa estuviera concentrada en ese punto. Nota: El centro de gravedad recibe el nombre de centroide cuando la densidad es constante. 6
Ejemplo 5 : Determine el centro de masa de la placa plana descrita en
el ejemplo 1. Solución: La región del ejemplo 1: está acotada por las curvas x = y 2 1 y x = 2y2 2. Su densidad es: (x; y) = 1 y adicionalmente se obtuvo:
1 y2 1
m =
Z Z
dxdy =
1 2y2 2
4 3
y M x = 0
85 :
y
M y =
Entonces, el centro de masaes el punto
M y M x P ; m m
8 5
=
4 3
;
0 4 3
=
6 ; 0 : 5
En la siguiente …gura se observa el centro de masa o de gravedad de la placa D descrita en el ejemplo 1:
Ejemplo 6 : Determine el centro de masa de la placa plana descrita en
el ejemplo 2. Solución: La región D del ejemplo 2: tiene una densidad que varía según: (x; y) = 1 + 2x en el ejemplo 2 y 4 se obtuvo: m =
ZZ
(1 + 2x) dA = 40
D
7
y
64 1424 y M y = : 3 15 Entonces, el centro de masaes el punto M x =
M y M x P ; m m
=
1424 15
40
;
64 3
40
=
178 8 ; : 75 15
En la …gura siguiente se aprecia la región D y su centro de masa:
Momento de Inercia El momento de inercia (símbolo I) es una medida de la inercia N
rotacional de un cuerpo. Cuando un cuerpo gira en torno a uno de los ejes principales de inercia, la inercia rotacional puede ser representada como una magnitud escalar llamada momento de inercia. Los momentos de inercia respecto de los ejes vienen dados por: I x =
ZZ ZZ
y2 (x; y)dA
D
I y =
x2 (x; y)dA
D
Otro momento de inercia, es el momento de inercia alrededor del origen, que se llama momento polar de inercia , I 0 , es: I 0 =
ZZ
x2 + y 2 (x; y)dA:
D
8
Ejemplo 7 : Determine los momentos de inercia de la placa plana descrita
en el ejemplo 1. Solución: Los momentos de inercia alrededor de los ejes coordenados se calculan de la siguiente manera: 1 y2 1
I x =
Z Z Z Z Z Z Z Z Z 1
y2 dxdy =
1 2y2 2
y 2 dy =
7 3
7 6 y + 7y 4 3
1
1
x2 dxdy =
1 2y2 2
1
2y2 dy =
32 15
1 y2 1
I 0 =
4 15
1 y2 1
I y =
y2 1
1
x2 + y 2 dxdy =
1 2y2 2
1
7 3
7 6 y + 6y4 3
6y2 dy =
12 : 5
Nótese que el momento polar de inercia puede calcularse como se acaba de ilustrar, sin embargo, también puede obtenerse a partir de: 4 32 12 + = : 15 15 5 Ejemplo 8 : Determine los momentos de inercia de la placa plana descrita en el ejemplo 2. Solución: Los momentos de inercia alrededor de los ejes coordenados se calculan de la siguiente manera: I 0 = I x + I y =
Z Z Z Z 2
I x =
0
3 2
2
I y =
0
3 2
42x
x2 6x+4
42x
x2 6x+4
Z Z Z Z 4
y2 (1 + 2x) dydy+
2
3 2
4
2x4
3 2
712 2168 576 + = ; 35 35 7
x2 (1 + 2x) dydy =
128 3472 3856 + = ; 5 15 15
x2 6x+4
2x4
x2 (1 + 2x) dydy+
2
y2 (1 + 2x) dydy =
x2 6x+4
El momento polar de inercia puede calcularse a partir de: I 0 = I x + I y =
576 3856 35632 + = : 7 15 105 9
N
Probabilidad
Toda variable aleatoria continua X tiene un función de densidad f (x) tal que
0
Z 1
f (x)dx = 1
1
y la probabilidad de que X esté entre a y b se calcula por
Z b
P (a
X b) =
f (x)dx:
a
Cuando se tienen dos variables aleatorias continuas X y Y , la función de densidad conjunta de X y Y es una función f de dos variables ( f (x; y) 0 y
ZZ
f (x; y)dxdy = 1) tal que la probabilidad de (X; Y ) esté en una
R2
región S es dada por P ((X; Y ) S ) =
2
ZZ
f (x; y)dxdy:
S
Ejemplo 9 : If the joint density function for X and Y is given by
f (x; y) =
8< :
C (x + 2y) , si 0 0
x 10, 0 y 10
otherwise
…nd the value of the constant C . Then …nd P (X 7, Y 2) Solución: We …nd the value of C by ensuring that the double integral of f is equal to 1. Because f (x; y) = 0 outside the rectangle [0; 1] [0; 1], we have
Z Z 1
1
f (x; y)dydx =
11
Z Z
Z
10 10
10
C (x + 2y)dydx = C (10x + 100)dx = 1500C
0 0
0
Therefore, 1500C = 1 and so C =
1 1500 :
10
Now we can compute the probability that X is at most 7 and Y is at least 2:
Z Z 7
P (X 7; Y
2) =
f (x; y)dydx =
1
N
Z Z 7 10
1
2
0 2
1 868 (x+2y)dydx = 1500 1500
t
0:5783:
Valores Esperados
Si X es una variable aleatoria continua con una función de densidad de probabilidad f , entonces su media es dada por
Z 1
=
xf (x)dx
1
Ahora si se tienen dos variables aleatorias continuas X y Y , la función de densidad conjunta de X y Y , f , de…nimos la media de X y la media de Y , conocidos como valores esperados de X y de Y como
Z Z 1
1 =
1
1
xf (x; y)dxdy,
2 =
11
N Surface
Z Z 1
yf (x; y)dxdy:
11
Area of a Graph
De…nición: If a smooth parametric surface S is given by the equation
!r (u; v) = x(u; v)i + y(u; v) j + z(u; v)k,
b b b ZZ j! ! j b b b ! b b b ZZ s
(u; v) D:
2
and S is covered just once as (u; v) ranges throughout the parameter domain D, then the surface area of S is A(S ) =
ru
r v dA
D
!
@y @z where r u = @x i + @u j + @u k , r v = @x i + @y j + @u @v @v the surface area formula in De…nition becomes
A(S ) =
1+
@z @x
D
11
2
+
@z @y
@z @v
k:
2
dA:
Ejemplo 10 : Find the area of the part of the paraboloid z = x 2 + y 2
that lies under the plane z = 9. SOLUTION
ZZ s ZZ q ZZ p
A(S ) =
1+
@z @x
2
@z @y
+
2
1 + (2x)2 + (2y)2 dA
dA =
D
D
1 + 4(x2 + y 2 )dA:
=
D
Converting to polar coordinates, we obtain
Z Z p 2 3
A(S ) = N
2
1 + 4r 2 rdrd =
0 0
Z Z p 3
1 + 4r2 rdr =
d
0
0
p
(37 37 6
1):
Ejercicios
lamina occupies the part of the disk x2 +y2 1 in the …rst quadrant. Find its center of mass if the density at any point is proportional to its distance from the -axis. 2) Find the center of mass of the lamina in exercise 1 if the density at any point is proportional to the square of its distance from the origin. 2 2 3) A lamina occupies the region inside the circle x + y = 2y but outside the circle x 2 + y 2 = 1. Find the center of mass if the density at any point is inversely proportional to its distance from the origin. 4) Find the mass and center of mass of the lamina that occupies the region D and has the given density function . a) D = (x; y) : 0 x 2, 1 y 1 ; (x; y) = xy 2 : b) D = (x; y) : 0 x a, 0 y b ; (x; y) = cxy: 5) Find the moments of inertia I x , I y , I 0 for the lamina of exercise 4:(a). 1) A
f f
g g 12
6) Find
the moments of inertia I x , I y , I 0 for the lamina of exercise 2. 7) Suppose X and Y are random variables with joint density function f (x; y) =
8< :
0:1e
(0:5x+0:2y)
0
, si x
0, y 0
otherwise
(a) Verify that f is indeed a joint density function. (b) Find the following probabilities. i) P (Y
1)
ii) P (X 2, Y
4)
(c) Find the expected values of X and Y . 9) Find the area of the surface. a) The part of the plane z = 2 + 3x + 4y that lies above the rectangle [0; 5] [1; 4]: b) The part of the plane 2x + 5y + z = 10 that lies inside the cylinder x2 + y 2 = 9: c) The part of the plane with vector equation
r (u; v) = h1 + v, u 2v, 3 5u + vi ! that is given by 0 u 1, 0 v 1. d) The part of the hyperbolic paraboloid z = y x that lies between 2
2
the cylinders x 2 + y 2 = 1 and x 2 + y 2 = 4: 10) The …gure shows the torus obtained by rotating about the z-axis the circle in the xy-plane with center (b; 0; 0) and radius a < b. Parametric equations for the torus are x = b cos + a cos cos , y = b sin + a cos sin , z = a sin
where and are the angles shown in the …gure. Find the surface area of the torus.
13
