Aplicaciones de la Integral de Línea • Trabajo como integral de línea El trabajo en la física elemental se define como “trabajo es igual a fuerza por Distancia”, es decir que el trabajo que se efectúa sobre el cuerpo se da por: W = Fd Donde F es una fuerza constante que actúa sobre el cuerpo y que es paralela al desplazamiento y d es la magnitud del desplazamiento. La fuerza (x, y, z) está dado por el campo vectorial
. Donde M, N y P son continúas
Donde el trabajo realizado por F al mover una partícula a lo largo de una curva suave orientada C. Sea:
Si T es el vector tangente unitario F*T es el componente tangencial de F. El trabajo realizado por F al mover la partícula desde Q una corta distancia Δt a lo largo de la curva es aproximadamente F*T Δt, y en consecuencia, el trabajo realizado al mover la partícula de A a B a lo largo de C se define como:
El trabajo es una cantidad escalar, pero puede ser positivo o negativo, es positivo cuando el componente de la fuerza a lo largo de la curva está en la dirección del movimiento del objeto y es negativo cuando dicho componente está en la dirección opuesta al movimiento del objeto. De esta manera tenemos que:
De modo que tenemos la siguiente fórmula alternativa del trabajo:
Hay otra expresión para el trabajo, que con frecuencia es útil en los cálculos. Si escribimos:
Y así obtenemos el trabajo de la forma:
Ejemplo: Halle el trabajo realizado por el campo de fuerza F(x, y)= (x2 ) i – (xy) j al mover una partícula a lo largo del cuarto de circulo r (t)= (cost) i + (sent) j, 0 ≤ t ≤ Π/2 Como
x= cost ; y= sent, tenemos:
F(r (t)) = (cos²t) i - (sent*cost) j
r` (t) = (-sent) i + (cost) j Por tanto el trabajo realizado es:
a)
Trabajo realizado por una fuerza constante
Si el campo de fuerzas es constante, el trabajo depende solamente de los puntos extremos a y b y no de la curva que los une. No todos los campos de fuerza tienen esta propiedad. Los campos de fuerza que tienen esta propiedad se llaman campos conservativos. W = F (b ) − F ( a )
Teorema de la independencia de la trayectoria: Sea F(r) continua en un conjunto abierto y conexo D. Entonces la integral de línea
es independiente de la trayectoria si y solo si
Para alguna función escalar f; es decir si y solo si F es un campo vectorial conservativo en D (dominio). Entonces F es conservativo si y solo si F=0; sí y solo si:
Ejemplo: Sea F(r)= F(x, y)= (4x3 + 9x2y2) i + (6x3y + ) j. Calcule el trabajo realizado por el campo de fuerzas de F(r), donde C es cualquier trayectoria de (0,0) a (1,2).
f(x, y)= x4 + 3x3y2 + y6 + C
= 1+12+64=77
Principio de trabajo y energía Una partícula de masa m se mueve a lo largo de una curva bajo la acción de un campo de fuerzas F(r). Si la velocidad de la partícula en el instante t es v (t), su energía cinética está definida por ½ mV² (t).
Sea r (t) la posición de la partícula en el instante t para un intervalo [a, b].
F(r (t))= mr`` (t)= mv` (t)
por la segunda ley de Newton
MASA DE UN ALAMBRE: Sea C la gráfica de una curva α en R3 como un alambre delgado de densidad variable, esta densidad se expresa mediante un campo escalar f(x, y, z) la masa por unidad de longitud en el punto (x, y, z) de C. La masa total M del alambre se define como: b ′ M = ∫ f ( x, y , z )ds = ∫ f (α(t )) α (t ) dt a
C
CENTRO DE GRAVEDAD DE UN ALAMBRE: El centro de gravedad de un alambre, cuya gráfica es de una curva a trozos, se define como el punto cuyas coordenadas (x, y, z )están determinadas por las ecuaciones.
xM = ∫ xf ( x, y , z ) ds C
yM = ∫ yf ( x, y , z ) ds C
zM = ∫ zf ( x, y , z ) ds C
α
suave
Un alambre de densidad constante se llama uniforme. En este caso el centro de gravedad se llama centroide.
CENTROIDE DE UN ALAMBRE: Se considera la densidad del alambre constante e igual a 1, en este caso, las coordenadas del centroide se determinan de las ecuaciones: l (α) xo = ∫ xds , l (α) yo = ∫ yds , l (α) zo = ∫ zds C
Donde
C
C
l (α)
es la longitud del alambre.
MOMENTO DE INERCIA: ) distancia de un punto cualquiera de C a un eje L. El Sea δ( x, y, zla momento de inercia I L de un alambre delgado con respecto a un eje L, f ( x, y, z )es la ds está definido por, I L = ∫δ 2 ( x, y, z,) * f ( x, y, z )donde C densidad en un punto ( x, y, z ) Los momentos de inercia respecto a los ejes coordenados se representan por, ,I ,I Integrales deI circulación y flujo x
y
F = Mi + Nj + Pk
z
Representa el campo de velocidades de un fluido que recorre en una región del espacio. La integral de F*T a lo largo de una curva en la región, da el flujo del fluido a lo largo de la curva Si la curva es un lazo cerrado el flujo se llama circulación alrededor de la curva
Definición: r (t ) == g (t )i + h(t ) j + k (t ) k F = M ( x, y , z ) i + N ( x , y , z ) j + P ( x, y , z ) k
El flujo de la curva a lo largo de “t” se representa por la ecuación: Flujo = ∫ F .Tds c
EJEMPLO El campo de velocidades de un fluido es F = xi + zj + yk. Encuentre el flujo a lo largo de la hélice r (t) = (cos t) i + (sen t) j + t k,
F = xi + zj + yk = ( cos t)i + tj + ( sin t)k ∂r = ( − sin t)i + ( cos t) j +1k = T ∂t
∫ F .Tdt c
π /2
∫ (−sin t. cos t + t. cos t + sin t )dt 0
π/2
cos 2 t + t. sin t 2 0
=
π 2
−
1 2
Flujo a través de una curva plana: Para encontrar la razón a la que un fluido sale o entra en la curva suave c en el plano xy. Etimológicamente flujo significa implica movimiento pero muchos cálculos del flujo no implican este, como es el caso de tener un parámetro F que fuese el campo eléctrico o magnético.
Si c es una curva suave cerrada en el dominio de un campo vectorial continuo F = M(x, y) i +N(x, y) j en el plano y si n es el vector normal unitario que señala hacia fuera sobre c, el flujo de F a través de c esta dado por: Flujo de F a través de c = ∫ F.nds c
Flujo de F a través de c = ∫ Mdy − Ndx c
M = x – y = cos t – sen t, Flujo de F a través de c =
N = x = cos t ,
Flujo de F a través de c =
2π
∫(cos 0
2π
2
dy = d (sen t) = cos t dt t −sin t . cos t +cos t . sin t )dt
dy = d(cos t) = -sen t dt 2π
sin 2t t 2 ∫0 (cos t )dt = 2 + 4 0
Flujo de F a través de c =π
Independencia de la trayectoria, funciones potenciales y campos conservativos
Independencia de la Funciones Potenciales Conservativos
Trayectoria, y Campos
En los campos gravitacionales y eléctricos, la cantidad de trabajo necesario para mover una masa o una carga de un punto a otro sólo depende de la posición inicial y final, y no de la trayectoria elegida entre los dos puntos. En esta sección analizamos la noción de integrales de trabajo independientes de la trayectoria, para luego describir las propiedades de los campos cuyas integrales de trabajo son independientes de la trayectoria recorrida. Con frecuencia, las integrales de trabajo son independientes de la trayectoria.
Independencia de la Trayectoria Si A y B Son dos puntos de una región abierta D en el espacio, el trabajo,
∫Fdr realizado por un campo F definido en D al mover una partícula desde A hasta B, depende por lo general de la trayectoria elegida. Sin embargo, para ciertos campos, el valor de la integral es el mismo para todas las trayectorias que van desde A hasta B. DEFINICIONES: Independencia de la trayectoria y campos conservativos
Sea F un campo definido en D en el espacio, y supongamos que para cualesquiera dos puntos A y B en D, el trabajo realizado al moverse desde A hasta B. Entonces, la integral es independiente de la trayectoria en D y al campo F se le llama campo conservativo en D. La palabra conservativo proviene de la física, donde se usa para hacer referencia a los campos donde se cumple el principio de conservación de la energía (esto ocurre en campos conservativos).
Bajo condiciones de diferenciabilidad que usualmente se cumplen en la práctica, un campo F es conservativo si, y solo si, es el campo gradiente se una f para alguna f . La función función escalar f ; es decir, si, y solo si, F= ∇ f tiene un nombre especial.
DEFINICION: Función Potencial
Si F es un campo definido en D y F= para alguna función escalar en D, entonces recibe el nombre de Función Potencial de F Un potencial eléctrico es una función escalar cuyo campo gradiente es un campo eléctrico. Un potencial gravitacional es una función escalar cuyo campo gradiente es un campo gravitacional, y así sucesivamente. Como veremos, una vez que hayamos encontrado la función potencial f para el campo F, podemos evaluar todas las integrales de trabajo en el dominio de F para cualquier trayectoria entre A y B por
B
∫
A
B
Fdr = ∫ ∇fdr = f ( B ) − f ( A). A
(1)
f para funciones de varias variables como algo parecido a Si se conserva a ∇ la derivada de f ′ para funciones de una sola variable, entonces se puede ver que la ecuación (1) es la versión vectorial análoga a la fórmula del teorema fundamental de cálculo.
b
∫
a
f ′( x ) dx = f (b) − f (a ).
Los campos conservativos tienen otra propiedad que veremos más adelante. Por ejemplo decir que F es conservativo en d equivale a decir que la integral de F en cada trayectoria cerrada en D es igual a cero. Naturalmente, deben cumplirse ciertas condiciones por parte de las curvas, los campos y dominios para que la ecuación (1) sea válida. A continuación analizaremos estas condiciones.
Integrales de línea en campos conservativos El siguiente resultado proporciona una manera conveniente de evaluar una integral de línea en un campo conservativo. El resultado establece que el valor de la integral sólo depende de los extremos y no de la trayectoria específica que los une.
TEOREMA 1: El teorema fundamental de las integrales de línea
Sea F= M i + N j + P k un campo vectorial cuyos componentes son continuos en una región conexa abierta D en el espacio. Entonces existe una función diferenciable tal que
Si, y solo si, para todos los puntos A y B en D el valor de es independiente de la trayectoria que una A con B en D.
Si la integral es independiente de la trayectoria desde A hasta B, entonces su valor es
Ejemplo 1 Calculo del trabajo realizado por un campo conservativo. •
Determinar el trabajo realizado por el campo conservativo F= yz i + xz j + xy k = ∇( xyz ) A lo largo de una curva suave C que une los puntos A(-1,3,9) y B(1,6,-4).
Solución. Con f ( x, y, z ) = xyz , tenemos B
∫
A
B
Fdr = ∫ ∇fdr A
B
∫
Fdr = f ( B ) − f ( A).
A
B
∫
A
B
∫
A
∫
B
A
Fdr =
xzy
(1, 6 , −4 )
−
xzy
( −1, 3, 9 )
Fdr = (1)(6)(−4) −( −1)(3)(9) Fdr = −24 + 27 = 3
TEOREMA 2: Propiedades de los campos conservativos relacionados con los lazos cerrados.
Las siguientes afirmaciones son equivalentes.
El campo F es conservativo en D.
Queremos demostrar que para dos puntos cualesquiera A y Ben D, la integral de Fdr tiene el mismo calor sobre cualesquiera dos trayectorias C1 y C2, desde A hasta B. Invertimos la dirección en C2 para obtener una trayectoria –C2 desde B hasta A (figura). Juntas C1 y –C2 forman un lazo cerrado C, y
∫Fdr −∫Fdr =∫Fdr +∫Fdr =∫Fdr =0 C1
C2
C1
−C 2
C
Entonces las integrales sobre C1 y C2 dan el mismo valor. Observe que la definición de la integral de línea muestra que al cambiar la dirección a lo largo de la curva se invierte el signo de la integral de línea.
