“CÁLCULO INTEGRAL”
PROFESOR: JIMÉNEZ ESTÉVEZ OSCAR
UNIDAD 4
APLICACIONES DE LA INTEGRAL
ALUMNO:
NÚMERO DE CONTROL:
JUAN GARCÍA PEDRO OCTAVIO
10680250
G2 08:00-9:00 am SEGUNDO SEMESTRE INGENIERÍA EN MECATRÓNICA
H.H. Cuautla Mor. 02 de Junio
Cálculo Integral
del 2011
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Aplicaciones de la integral 4.1 Longitud de curva. La idea para calcular la longitud de una curva contenida en el plano o en el espacio consiste en dividirla en segmentos pequeños, escogiendo una familia finita de puntos en C, y aproximar la longitud mediante la longitud de la poligonal que pasa por dichos puntos. Cuantos más puntos escojamos en C, mejor será el valor obtenido como aproximación de la longitud de C.
, * +, - , -
Para ello, escogemos una parametrización una partición aproximadamente la longitud del arco longitud del segmento .
,
y
de y calculamos como la
, y aplicando a las Utilizando la norma euclídea en coordenadas de el teorema del valor medio en el intervalo
, - ( , -) | | | | | || | , | | | | ( ( )
Así la longitud total de la curva es
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El valor de este sumatorio está entre los valores de la suma inferior y la suma superior de Riemann de la función asociadas a la partición Si tomamos particiones de cada vez más finas, y dado que es integrable por ser continua, las sumas superiores e inferiores tienden a la integral de Riemann, y se obtiene la definición de la longitud de C como
| | , | |
| |
Sin embargo, según esta definición, aparentemente la longitud de una curva dependerá de la parametrización que se utilice para representarla. El siguiente teorema muestra que gracias la equivalencia entre las parametrizaciones de una curva regular y simple, la fórmula anterior no depende de .
,, -
, -
Teorema. Sea C una curva regular y simple en , y , dos parametrizaciones de C. se tiene que
| | | | , - , -
Demostración:
Sea biyectiva, de Entonces de variables.
la clase
función de cambio de parámetro, y regula, de modo que . , y aplicando el teorema de cambio
(()) | | ()) | | | | *||+ , - | |
Definición (Longitud de una curva).
Sea C una curva regular y simple en . Sea parametrización de C. Se define la longitud de C como
una
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Si C es una curva regular a trozos, se define su longitud como la suma de las longitudes de cada trozo regular. Si C es una curva cerrada simple, se puede dividir por tres puntos, y considerarla como una curva regular a trozos.
, ∫ √ ∫ √ || √ √ 0 √ √ ] √ (√ )
Ejemplo: Encontrar la longitud del segmento de la parábola en el intervalo .
Longitud del arco
Resolviendo ahora
=
con
+
Unidades
lineales.
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4.2 Cálculo de áreas. El problema del cálculo de área
Ya se dijo que el desarrollo del cálculo integral en buena medida se debe al problema de calcular áreas de funciones como esta:
Una aproximación para calcular el área consiste en dividir el intervalo en otros más pequeños y calcular el área de los rectángulos que se forman bien al tomar el valor de la función en un extremo del intervalo, bien en otro extremó, es decir:
Aproximación del área mediante rectángulos más pequeños que la función.
En este caso, hemos dividido el intervalo mayor en 4 subintevalos más pequeños y hemos tomado como altura de los rectángulos el valor de la función en el extremo superior del intervalo. Así la suma de las áreas de los rectángulos son más pequeñas que el área buscada. Área suma rectángulos
< Área
de la función
Esta suma, en la que la suma de las áreas de los rectángulos es menor que el área total se denomina suma inferior de la función en el intervalo.
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Pero podríamos haber tomado estos otros rectángulos:
Aproximación del área mediante rectángulos más grandes que la función.
Ahora la suma del área de los rectángulos es mayor que el área total, es decir: Área de la función < Área suma rectángulos
Esta suma, en la que la suma de las áreas de los rectángulos es mayor que el área total se denomina suma superior de la función en el intervalo. Por tanto, el área buscada está entre la suma superior y la suma inferior de la función: Suma inferior
Área
Suma superior
Además, observemos lo que ocurre cuando los subintevalos que tomamos son cada vez menores:
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Vemos que las sumas inferiores son cada vez mayores y cada vez más cercanas al área buscada, a medida que los intervalos son más pequeños.
La aproximación se mejora al aumentar el número de rectángulos.
Por contra, las sumas superiores son cada vez más pequeñas y también cada vez más cercanas al área buscada, a medida que los intervalos son más pequeños. A medida que los subintevalos son menores, las sumas superiores e inferiores se acercan al área buscada. Para llegar a calcular dicha área, necesitamos calcular una suma infinita (la de los infinitos rectángulos a medida que estos son más pequeños), cosa que en matemáticas se denomina sumar una serie. Esto excede con mucho los contenidos del curso. Lo que se necesita saber es que tanto las sumas superiores como las sumas inferiores convergen (se acercan) al área buscada, y dicha suma se representa, si la función es f (x ) y el intervalo es [ a, b], por la integral:
Ahora bien, el siguiente problema es cómo se calcula esta integral, pues en las integrales indefinidas no habíamos incluido ningún intervalo. La integral definida. La regla de Barrow.
Se denomina intervalo [ a,
Cálculo Integral
integral definida b] a la expresión:
de
la
función
f (x )
en
el
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La integral definida posee las mismas propiedades que la definida, es decir:
∫ ∫ ∫() ∫ ∫
La integral definida, puesto que representa, si la función es positiva, el área que encierra la función con el eje x , tiene algunas propiedades tales como: 1. Si
es un punto que está dentro del intervalo [ a, b], entonces: c
En otras palabras, el área de la función desde a hasta b es la suma de las aéreas de la función desde a hasta c y desde c hasta b, si la función es positiva.
2. Si calculamos la integral de derecha a izquierda, en vez de izquierda a derecha se cumple:
3. La integral cuando el intervalo se reduce a un punto es cero:
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Pero sin duda la propiedad más importante, y que permite calcular integrales definidas es la llamada Regla de Barrow. Regla de Barrow: Si f(x) es una función que tiene primitiva F(x), y queremos calcular su integral definida en un intervalo [a, b], se cumple que:
Ejemplo: Calcular la integral resultado geométricamente.
definida
e
interpretar
el
Aplicando la regla de Barrow, queda:
Donde
representa unidades de área.
Geométricamente es el área representada en la figura:
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Aplicaciones de la integral definida al cálculo de áreas de recintos planos. La aplicación de la integral definida para el cálculo de áreas depende de cómo sea la función en el intervalo concreto. Se pueden presentar los siguientes casos: Áreas limitadas por una función y el eje
x
1. La función es siempre positiva siempre en el intervalo: En este caso el área simplemente viene dada por:
Donde a y b son los puntos entre los que queremos calcular el área, y que habitualmente son los puntos de corte de la función con el eje x. Geométricamente:
2. La función se siempre negativa dentro del intervalo: En este caso el área viene dada por:
Geométricamente:
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3. Si la función es a veces positiva y a veces negativa en el intervalo, se calculan los puntos de corte y se calculan las integrales sucesivas, utilizando los apartados anteriores:
En cualquier caso, y cuando calculemos áreas, siempre es conveniente comenzar por calcular los puntos de corte de la función con el eje x para saber si es positiva o negativa y calcular las integrales correspondientes, o bien utilizar siempre el valor absoluto para asegurarnos de que el resultado es positivo. Ejemplo: Calcular el área que encierra con el eje gráfica de la función:
Calculamos los puntos de corte con el eje
x
la
x :
{
Corta al eje x en (0 , 0), (2, 0) y (5, 0).
Veamos cómo es la función entre 0 y 2. Tomamos un valor situado en ese intervalo y lo sustituimos en la función. Se obtiene:
Como 4 es positivo, significa que la función es positiva en ese intervalo, luego el área será:
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En el otro intervalo, entre el 2 y el 5, tomamos otro valor para saber si la función es positiva o negativa:
La función es negativa en el intervalo, luego el área será:
En total el área pedida será:
Gráficamente:
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4.3 Áreas entre curvas Áreas limitadas por dos funciones
También es posible aplicar las integrales definidas para el cálculo de áreas de recintos limitados por dos curvas, por ejemplo el de la figura:
Si las curvas son f(x) y g(x) se cumple que el área limitada por las dos curvas en el intervalo [a, b] es:
( )
Siempre que f(x) esté por encima de g(x) en el intervalo [ b].
a,
Si las curvas se cortan en el intervalo, se subdivide el intervalo en otros menores, en cada uno de los cuales se aplican la integral anterior, determinando qué curva está por encima, y se suma el resultado. En todo caso siempre es necesario hallar los puntos de corte entre las curvas, que se calculan igualando las expresiones algebraicas de ambas funciones:
y resolviendo la ecuación resultante.
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Ejemplo: Calcular el área limitada por las curvas y
Comenzamos calculando los puntos de corte de las funciones:
Las funciones se cortan en los puntos 1 y 3.
Veamos qué función está por encima y cuál por debajo en ese intervalo. Dando un valor intermedio, por ejemplo el 2:
Como el valor de g (x ) es mayor, significa que g (x ) está por encima de f (x ) en el intervalo, de modo que el valor del área será el dado por la integral definida:
( ) ( )
Si se hace un dibujo, lo cual es sencillo porque se trata de una recta y una parábola:
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4.4 Calculo de volúmenes. 4.5 Volúmenes de sólidos de revolución. 4.6 Cálculo de volúmenes por el método de disco. Los sólidos de revolución son sólidos que se generan al girar una región plana alrededor de un eje. Por ejemplo: el cono es un sólido que resulta al girar un triángulo recto alrededor de uno de sus catetos, el cilindro surge al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados.
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Calculo de volúmenes Método del disco: Si giramos una región del plano alrededor de un eje obtenemos un sólido de revolución. El volumen de este disco de radio R y de anchura ω es: Volumen del disco = wR 2π
Para ver cómo usar el volumen del disco y para calcular el volumen de un sólido de revolución general, se hacen n particiones en la grafica. Estas divisiones determinan en el sólido n discos cuya suma se aproxima al volumen del mismo. Teniendo en cuenta que el volumen de un disco es , la suma de Riemann asociada a la partición, y que da un volumen aproximado del sólido es:
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Fórmula del volumen por discos.
Por tanto, recordando la definición de integral definida de Riemann se obtiene que:
( ) ( )
Si se toma el eje de revolución verticalmente, se obtiene una fórmula similar:
Antes de comenzar a esbozar diversos ejemplos de estos métodos, estableceremos algunas pautas que les ayudarán a resolver problemas sobre sólidos de revolución.
COMO HALLAR VÓLUMENES POR EL MÉTODO DEL DISCO (O ARANDELA) 1. Dibujar la región y trazar sobre esta un sea perpendicular al eje de la rotación. hacerla de girar alrededor del eje generara una sección trasversal típica disco o arandela dependiendo del caso.
segmento que La región al de rotación en forma de
2. Hallar: para el caso del disco el radio principal y para el caso de la arandela los radios interno y externo. 3. Establecer los límites de integración. 4. Por último integrar para hallar el volumen deseado.
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Ejemplo 1: La región entre la curva
√
, y el eje x se gira alrededor del eje x para generar un sólido. Halla su volumen. 1. TRAZO DE LA REGIÓN Y DE LA SECCIÓN TÍPICA . Abajo se muestra la región R pedida:
2. EXTRACCIÓN DEL RADIO PRINCIPAL: Es claro que el método a utilizar es el método de los discos. Luego, la distancia del segmento r (radio principal) es f, es decir:
√
3. LIMITES DE INTEGRACIÓN: Estos límites nos lo fueron dados en el enunciado del ejemplo 4. FORMULACION DE LA INTEGRAL: Aplicando la expresión correspondiente para volúmenes usando el método del disco tenemos:
(√ )
Por tanto el volumen del sólido es Cálculo Integral
.
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Ejemplo 2: Hallar el volumen generado por el área bajo la curva generada por el segmento de la recta que gira en torno al eje x.
,
,
1. Realizamos la grafica:
2. Planteamos la integral: El área de cada sección tiene la forma
. /
.
3. Calculamos el volumen del sólido:
. /
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4.7
Cálculo de momentos, centros de masa y trabajo.
LA MASA DE UN SÓLIDO
La masa de un sólido es una medida de la materia que contiene y su volumen es una medida del espacio que ocupa. Si la masa por unidad de volumen es la misma en todo el cuerpo se dice que éste es homogéneo o que tiene densidad constante. En mecánica se simplifican mucho los cálculos cuando se puede considerar a la masa del cuerpo concentrada en un punto que se denomina centro de masas. En un cuerpo homogéneo este punto coincide con el centro geométrico o centroide. Por ejemplo, el centro de masas de una pelota de goma homogénea coincide con el centro geométrico de la pelota considerada como una esfera. El centro geométrico de una hoja de papel rectangular estará situado entre las dos superficies en la mitad del espesor pero, en este caso, se puede considerar situado sobre una de las superficies en el punto de intersección de las diagonales. Así, pues, el centro de masas de una hoja delgada coincide con el centro geométrico de la hoja considerada como un área plana. EL MOMENTO (DE PRIMER ORDEN) M L DE UN ÁREA PLANA.
El momento (de primer orden) M de un área plana con L respecto a una recta L es el producto del área por la distancia de su centro geométrico a dicha recta. El momento de un área compuesta de otras varias con respecto a una recta es igual a la suma de los momentos de las áreas individuales con respecto a dicha recta.
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Procedimiento para hallar el momento de masas de un área plana.
PASO 1: Se dibuja el área y se traza una franja representativa y su rectángulo genérico correspondiente. PASO 2: Se efectúa el producto del área del rectángulo por la distancia de su centro geométrico o centroide al eje, y se escribe la suma correspondiente a todos los rectángulos. PASO 3: Se aplica la regla de Barrow o teorema fundamental del cálculo integral, suponiendo que el número de rectángulos crece indefinidamente.
̅
NOTA: Para un área plana A cuyo centro geométrico es el punto y cuyos momentos con respecto a los ejes x e y son M x y M y, respectivamente se tiene:
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CENTRO DE MASA DE UNA REGIÓN PLANA ( C ). m
EJEMPLO 1: Dada el área plana de la figura, hallar ( a) su momento con respecto a los ejes coordenados y ( b) las coordenadas de su centro geométrico.
SOLUCIÓN (a) El área del rectángulo superior es 5 x 2 = 10 unidades y su centro geométrico es el punto A(2.5,9). Análogamente, las áreas y centros de los otros rectángulos son: 12 2 unidades, unidades, B(1, 5); C(2.5, 5); 10 unidades, (2.5, 1). Los momentos con respecto al eje x son: 10(9); 12(5); 2(5) y 10(1). Por lo tanto. El momento del área de la figura con respecto al eje x es M x
10(9) 12(5) 2(5) 10(1) 170
Análogamente, el momento del área de la figura con respecto al eje y es M y Cálculo Integral
10(2.5) 12(1) 2(2.5) 10(2.5) 67 Página 22
(b) El área de la figura es A = 10+12+2+10 las coordenadas del centro geométrico es: x
M y M
67 34
, y
M x M
170 34
=34.
Por tanto,
C m : ( x , y) C m (67 34,5)
5
, -
EJEMPLO 2: Encontrar el centro de masa de la región limitada por un arco de la función y el eje x . Tomando el arco definido en el intervalo .
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Referencias bibliográficas:
,
, -
Longitud de curva. . http://www.mitecnologico.com . Disponible en: http://www.mitecnologico.com/Main/LongitudDeCurvas . .
, , , , , , , , , , , , -
Longitud de arco. . http://fcm.ens.uabc.mx . Disponible en: http://fcm.ens.uabc.mx/~chelo/analisis%20vectorial/nucle os/capitulo1/l9ba.htm . . El problema del área bajo la curva. . http://www.slideshare.net . Disponible en: http://www.slideshare.net/alicia.gemignani/area-bajouna-curva-presentation . .
Capítulo 11, Integración. Cálculo de áreas. Documento.pdf. . Volúmenes de sólidos de revolución. Documento.pdf. .
.
.
. Volumen de sólidos de revolución . http://www.cidse.itcr.ac.cr . Disponible en: http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursoslinea/CALCULODIFERENCIAL/cursoelsie/aplicacionesintegral/html/node6.html . .
Calculo de momentos, centros de masa y trabajo. Diapositiva.ppt. .
Cálculo Integral
.
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Unidad 4 4.1 Definición de serie. En matemáticas, una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie con términos serie.
∑ como
. Siendo N es el índice final de la
Mapa conceptual:
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4.1.1 Finita
Se representa una serie con términos an como donde n es el índice final de la serie (es decir que es finita siempre y cuándo n tome un valor finito).
4.1.2 Infinita
Las series infinitas son aquellas donde
toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir,
4.2 Serie numérica y convergencia, Prueba de la razón (criterio de D´Alembert) y Prueba de la raíz (criterio de Cauchy). Criterios de convergencia
Clasificar una serie es determinar si converge a un número real o si diverge ( u oscilante). Para esto existen distintos criterios que, aplicados a la serie en cuestión, mostrarán de qué tipo es (convergente o divergente).
Condición del resto
∑ Para que una serie .
sea divergente, una condición suficiente es que
Esta afirmación es muy útil, ya que nos ahorra trabajo en los criterios cuando el límite es distinto de cero.
Criterio de D'Alembert o Criterio del Cociente (Criterio de la razón)
∑
Sea una serie
, tal que
(serie de términos positivos).
Si existe
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Con
,
:, el Criterio de D'Alembert establece que
si L < 1, la serie converge. si L > 1, entonces la serie diverge. si L = 1, no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie.
Criterio de Cauchy (raíz enésima)
∑ ,
Sea una serie existe
, tal que
(serie de términos positivos). Y supongamos que
, siendo
Entonces
L < 1, la serie es convergente. L > 1 entonces la serie es divergente. L=1, no podemos concluir nada a priori y tenemos que recurrir al criterio de Raabe, o de comparación, para ver si podemos llegar a alguna conclusión.
Criterio de Raabe En algunas series, puede ocurrir que ni el criterio de D'Alembert ni el de la raíz nos permitan determinar la convergencia o divergencia de la serie, entonces recurrimos al criterio de Raabe.
∑ . /
Sea una serie existe
, tal que
(serie de términos positivos). Y supongamos que
, siendo
Por tanto, si L > 1, entonces la serie es convergente y si L < 1, la serie es divergente Las conclusiones son al contrario que en los criterios de D'Alembert y de la raíz.
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Criterio de la integral de Cauchy Si f ( x) es una función positiva y monótonamente decreciente definida en el intervalo
[1,
∞) tal que f (n) = an para todo n, entonces finita.
es
converge si y sólo si
Más generalmente, y para el tipo de función definida antes, pero en un intervalo [N, ∞ ), la serie
Converge si y sólo si la integral
Converge.
Criterio de condensación de Cauchy
Sea una serie monótona de números positivos decrecientes. sólo si la serie
Converge si y
converge.
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Criterio de Leibniz
) se llama alternada . Tal serie converge
Una serie de la forma (con si se cumplen las siguientes condiciones: para n par y n impar
La serie tiene que ser absolutamente decreciente es decir que:
Si esto se cumple, la serie serie diverge.
es condicionalmente convergente de lo contrario la
Nota: Se debe descartar primero la convergencia absoluta de criterio, usando los criterios para series positivas.
antes de aplicar este
Criterios de convergencia comparativos Son aplicables en caso de disponer de otra serie tal que se conozca su condición, tal como la divergencia para la serie geométrica con razón (en valor absoluto) mayor que 1, |z| > 1. Entonces:
Criterio de comparación directa (de la mayorante o de Gauss) Si
Si
converge
Si
diverge
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converge diverge
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Criterio de comparación por paso al límite del cociente
Entonces:
Si L = 0 y
converge
converge
Si y diverge diverge En otro caso, ambas series comparten la misma condición (ambas convergen, o bien ambas son divergentes).
Convergencia absoluta Una serie alternada an converge absolutamente si
Es una serie convergente. Se demuestra que una serie que converge absolutamente, es una serie convergente.
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Conclusión: Existen series de números reales que son convergentes, divergentes, oscilantes, etc. Entre las series más populares tenemos las aritméticas, siempre divergentes, y las geométricas que convergen sólo cuando el valor absoluto de la razón es menor que 1. Dada una serie de números reales positivos siempre procedemos a aplicar el criterio necesario de convergencia. Si la serie no lo satisface, seguro que la serie es divergente. Si lo satisface debemos verificar si satisface algún criterio de suficiencia de, convergencia, como por ejemplo, el criterio del cociente o de D’Alembert o el cr iterio de la raíz o de Cauchy. En el caso de series de números reales alternadas, solemos comprobar si se satisface el criterio de Leibniz por su sencillez de aplicación. Basta con averiguar si el límite del término general de la sucesión que da lugar a la serie tiende a cero. Hemos visto la inestimable ayuda que Mathcad nos puede prestar para ir descubriendo el carácter de las series. Con Mathcad podemos realizar la suma infinita de una serie o bien, definir un conjunto de series finitas (truncadas) de la primera y representarlas gráficamente. Entonces comprobaremos la exactitud de nuestro cálculo analítico.
4.3, 4.4 Serie de Potencias y radio de convergencia
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Definición: Dada una sucesión
*+ ∞
de números complejos, a la Serie
∞
Se le llama serie de potencias. A los números complejos serie; y son números complejos.
se les llama coeficientes de la
El siguiente teorema da una idea completa del campo de convergencia de las series de potencias.
||
Teorema: Sea punto
, entonces si
| |
la serie es convergente en el único
la serie es absolutamente convergente en el círculo
y es divergente en el exterior de este círculo; si convergente en todo el plano.
,
la serie es absolutamente
De este modo, cuando , en el , existe un círculo con el centro en el punto interior del cual la serie es absolutamente convergente y en el exterior del cual la serie es divergente. Este se llama círculo de convergencia de la serie de potencias y su radio , radio de convergencia de la misma. Los casos
y
se pueden
considerar como casos límites. En el primero de ellos el círculo de convergencia se reduce a un punto y su radio es igual a cero. En el segundo, el círculo de convergencia se extiende a todo el plano, de modo que se puede considerar que su radio es igual a . Llamando en los tres casos al número R radio de convergencia de la serie de potencias, el contenido de la fórmula de Cauchy-Hadamard puede expresarse por la fórmula:
Esta última se llama fórmula de Cauchy-Hadamard . Para las aplicaciones de la fórmula de Cachy- Hadamard, en muchos casos suele ser útil la relación siguiente:
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Determinación del radio de convergencia de una serie de potencias Con el propósito de ilustrar las posibilidades de Mathcad a la hora de determinar el intervalo de convergencia y la suma de series de números reales, vamos a estudiar la siguiente serie de potencias de Taylor:
| | En primer lugar vamos a calcular el radio de convergencia
con
:
Por tanto, , y la serie será convergente para valores de la variable x tales que , es decir, valores entre 0 y 6 ( 0 < x < 6 ).
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Conclusión: Toda serie de potencias viene caracterizada por su radio de convergencia. Para valores de la variable dentro de dicho radio de convergencia, la serie converge, es decir, la suma de sus infinitos términos converge a un valor finito. Determinar el radio de convergencia es fundamental para poder manipular la serie de potencias como una función dentro de su dominio de existencia. Fuera del intervalo o círculo de convergencia determinado a partir del radio de convergencia, la función diverge y, por tanto, su utilización matemática es puramente formal, en principio. Derivar e integrar una función definida como la suma infinita de potencias de la variable sólo puede realizarse en el interior del intervalo de convergencia. Es allí donde somos capaces — como hemos visto — de sumar dicha serie o su derivada/integral a fin de poder indirectamente determinar el valor de la suma de una serie de números reales. En este campo de las matemáticas, donde la comprobación de resultados no es fácil, Mathcad nos proporciona una inestimable ayuda.
4.5 Serie de Taylor Las series de Taylor surgen de una ecuación que el desarrollo en la cual se puede encontrar una solución aproximada a una función. Esto creo que servía antes de que se inventaran las calculadoras que pueden resolver funciones trigonométricas y exponenciales y logarítmicas etc. La serie de Taylor se basa en ir haciendo operaciones según una ecuación general y mientras más operaciones tenga la serie más exacto será el resultado que se está buscando. Dicha ecuación es la siguiente:
Con el objetivo solo de demostrar la serie se aplicara con las funciones e, seno y coseno. Como se puede observar en la ecuación, hay una parte en la cual hay que desarrollar un binomio (x-a)n por lo que para simplificar el asunto se igualara a "a" siempre a 0. Para fines prácticos no afecta mucho en el resultado si se hacen muchas operaciones en la serie.
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