Problema Problema 1. Calcular
la integral doble: I =
Soluci´ on: on: Notemos
2
2
−2
−2
1 (x2 + y 2 + 5)3/2
dy dx.
que estamos ante una integral iterada. Para obtener su valor, consideremos la integral: 2
K (x) =
−2
Por otro lado, para cada x cada x
1 (x2 + y 2 + 5)3/2
dy
∈ [−2, 2] fijo, pero arbitrario:
1 (x2 + y 2 + 5)
dy = 3/2
Ahora, consideremo consideremoss la sustituci´ sustituci´ on on trigon tri gonom´ om´etrica etr ica y y = dy = dy = As´ı:
1 (x2 + y 2 + 5)
1 √ + ( 5 + x + x ) ] /
2 2 3 2
[y 2
√ 5 + x + x
2
tg(θ tg(θ), con θ
dy
π/ 2, π/2[, π/2[, de donde: ∈ ] − π/2
dy = 3/2 = = =
5 + x + x2 sec2 (θ) dθ
√ √ √ √ √ |
5 + x + x2 sec2 (θ) dθ [(x [(x2 + 5) + (x (x2 + 5) 5) tg2 (θ)]3/2 5 + x + x2 sec2 (θ) dθ [(x [(x2 + 5)(1 + tg2 (θ))]3/2 5 + x + x2 sec2 (θ) dθ [(x [(x2 + 5) sec sec2 (θ)]3/2 x2 + 5 sec2 (θ) 3 dθ (x2 + 5)3/2 sec(θ sec(θ)
|
x2 + 5 sec2 (θ) = dθ (x2 + 5)3/2 sec3 (θ) cos(θ cos(θ) = dθ x2 + 5 sen(θ sen(θ) = 2 x +5 Ahora, tg(θ tg(θ ) =
√ 5 y+ x + x
2
, de donde: y2 x2 + y 2 + 5 sec (θ) = 1 + tg (θ) = 1 + 2 = , x +5 x2 + 5 2
2
de donde:
x2 + 5 cos (θ) = 2 , x + y 2 + 5 2
y como θ como θ
π/ 2, π/2[, π/2[, entonces: ∈ ] − π/2 cos(θ cos(θ) =
As´ı:
2
+5
√
x2 + y 2 + 5 2
sen(θ sen(θ) = tg(θ tg(θ)cos(θ )cos(θ) = Por lo tanto:
√ x
y x +5 √ ( 5 + x + x )( x + y
1 (x2 + y 2 + 5)
2
dy = 3/2
2
(x2 + 5)
2
+ 5) y
=
y
x2 + y 2 + 5
x2 + y 2 + 5
.
A partir de aqu´ı se infiere que: K (x) = = =
y =2
y (x2 + 5) (x2
x2 + y 2 + 5
y √ + 5) x
2
+4+5
4 (x2 + 5) x2 + 9
y =−2
+
(x2
2 √ + 5) x
2
√
∀ x ∈ [−2, 2].
2
4 dx. (x2 + 5) x2 + 9
+4+5
Por tanto, nuestra integral se reduce a: I =
−2
√
Para resolver dicha integral consideremos la sustituci´on trigonom´etrica: 2
x = 3 tg(t) =
⇒ dx = 3 sec (t) dt,
donde t
∈ ] − π/2, π/2[. As´ı:
4 dx = (x2 + 5) x2 + 9
√
= = = = =
12sec2 (t)
[9tg2 (t) + 5] 9 tg2 (t) + 9 12 sec2 (t) dt [9tg2 (t) + 5] 9sec2 (t) 12sec2 (t) dt 3[9tg2 (t) + 5] sec(t) 4sec(t) dt 9 tg2 (t) + 5 4cos(t) dt 9sen2 (t) + 5 cos2 (t) 4cos(t) dt 4sen2 (t) + 5
Ahora consideremos la sustituci´ on u = sen(t), entonces du = cos(t) dt. As´ı:
4cos(t) dt = 4sen2 (t) + 5
4 du 4u2 + 5 1 = du 5 2 u + 4 2 2u = Arctg 5 5 2 2sen(t) = Arctg 5 5
√ √
√ √
Por otro lado, tg(t) =
x , con lo cual: 3 sec2 (t) = 1 + tg2 (t) = 1 +
de donde: cos2 (t) = Ahora, como t
∈ ] − π/2, π/2[, entonces:
cos(t) =
x 2 x2 + 9 = , 9 9
9 . x2 + 9
√ x 3+ 9 . 2
dt
Y as´ı: sen(t) = tg(t)cos(t) =
√ x x+ 9 . 2
Por lo tanto:
4 2 dx = Arctg 5 (x2 + 5) x2 + 9
√
√
√ √ 2x 5( x2 + 9)
=
√ 25 Arctg
A partir de aqu´ı se concluye finalmente que: 2 I = Arctg 5
√
=
√ 25 Arctg
=
√ 25 Arctg
=
√ 45 Arctg
≈ 0.823864
2x
5(x2 + 9)
2
√ − √ − √ √ √ √ √ 2x 5(x2 + 9)
4 65 4 65 4 65
−2
2 Arctg 5 2 + Arctg 5
4 65
4 65
