Análisis Matemático II
APLICACIONES DE INTEGRAL INDEFINIDA
ℎ =
ECUACIONES DIFERENCIALES MUY SENCILLAS Una ecuación que contiene una función y sus derivadas, o solo sus derivadas, se llama “Ecuación Diferencial” usaremos la técnica de an tiderivada para resolver una ecuación diferencial de la forma:
= donde la variable dependiente "y” no aparece en el lado derecho. La solución de la ecuación diferencial (1) consiste simplemente en encontrar una función y(x) que satisfaga la ecuación (1), luego la solución general de la ecuación (1) es la integral indefinida.
así las variables están separadas, por lo que se dice que estas ecuaciones son “Ecuaciones Diferenciales Separables” y la solución general se obtiene por integración directa.
ℎ =
Ejemplo. - Hallar la solución general de la ecuación diferencial Solución
= √ √−
= √ √−, se puede diferenciales = √ 3,
La ecuación diferencial
escribir con quedando las variables separadas, ahora integrando ambos miembros para obtener la solución.
= Ejemplo.- Encontrar la solución general de la = 3 , = ∫ √ 3 ecuación diferencial = 2 3 ⟹ ∫ La solución general de la ecuación diferencial dada ∴ 3 3 = 2 3 9 que es la solución general. es: = ∫ 2 2 = OBSERVACION. - Las ecuaciones diferenciales NOTA. - Una ecuación diferencial de la forma de la
ecuación (1) puede aparecer junto con una condición inicial de la forma y con estas condiciones conociendo la solución general (2) se obtiene la solución particular de la ecuación (1), por lo tanto la combinación. combinación.
=
= , = de una ecuación diferencial con una condición inicial es llamado un “Problema con condición inicial”.
Ejemplo.- Resolver la ecuación diferencial
=
2 1, 0 = 3 La solución general es: = ∫ 2 1 1 = , como y(0) = 3 es decir: cuando x=0, y=3,
que al reemplazar en la solución general se tiene: 3=0+0+c entonces c = 3, por lo tanto la solución particular es OBSERVACION. - El método indicado para resolver una ecuación diferencial puede escribirse como integrar ambos lados de una ecuación diferencial con respecto a x.
= 3
( 1 ⟹ = ) = 2 1
También las ecuaciones diferenciales sencillas aparecen en la forma:
= …… (4)
La ecuación diferencial (4) se puede expresar con diferenciales en la forma:
tienen muchas aplicaciones en diversos campos, así por ejemplo se aplica al movimiento rectilíneo en Física, en Química, Q uímica, Biología, psicología, Sociología, Administración, Administración, Economía, etc., en esta sección trataremos solamente del movimiento rectilíneo, aceleración constante y movimiento vertical con aceleración gravitacional constante.
MOVIMIENTO RECTILINEO Las antiderivadas nos permite, en muchos casos importantes, analizar el movimiento de una partícula (o masa puntual) en términos de las fuerzas que actúan sobre esta. Si la partícula se mueve con movimiento rectilíneo, a lo largo de una línea recta (eje X), bajo la influencia de una fuerza dada, entonces el movimiento de la partícula queda descrito por su “función de posición” x(t) que da su coordenada x en el tiempo t.
La función de posición X(t) de una partícula que se mueve a lo largo del eje X. La “velocidad” de la partícula v(t) es la derivada, con respecto al tiempo de su función de posición.
=
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Ejemplo. - Las marcas de derrape de unos
Su aceleración a(t) es la derivada de su velocidad con respecto del tiempo.
= = situación típica, se tiene
En una la siguiente información a(t): la aceleración de la partícula x(0) = x0 Su posición inicial. v(0)= v0 Su velocidad inicial. Para determinar la función de posición de la partícula x(t). Primeramente, resolveremos el problema con condición inicial.
= ,0 = ……. (∝
correspondiente a la función velocidad v(t). Conociendo v(t) se puede resolver el problema con condición inicial.
= ,0 = ……. (
para la función de posición x(t) de la partícula.
ACELERACCION CONSTANTE La solución de los problemas con condiciones iniciales en las ecuaciones ( y ( es más sencillo cuando la aceleración ‘‘a” es constante y se parte de:
∝
neumáticos indican que se han aplicado los frenos durante una distancia de 160 pies antes de detenerse él automóvil. Supongamos que el automóvil en cuestión tiene una desaceleración constante de 20pies/seg 2 bajo las condiciones del derrape. ¿A qué velocidad viajaba el auto cuando se comenzó a frenar?
MOVIMIENTO VERTICAL CON ACELERACIÓN GRAVITACIONAL CONSTANTE Una de las aplicaciones de las ecuaciones de la velocidad y la aceleración esta seleccionada con el movimiento vertical cerca de la superficie de la tierra una partícula con este movimiento está sujeta a una aceleración “a” hacia abajo, que casi es constante si solo sé utilizar distancias verticales pequeñas. La magnitud de esta constante se denota con g, aproximadamente igual a o Si se desprecia la resistencia del aire, podemos suponer que esta aceleración debida a la gravedad es la única influencia externa sobre la partícula en movimiento, como aquí trabajamos con el movimiento vertical, es natural elegir el eje Y como el sistema de coordenadas para la posición de la partícula. Si elegimos la dirección hacia arriba como la dirección positiva, entonces el efecto de la gravedad sobre la partícula consiste en disminuir, su
32 / 9.8 /
= = = (a es una constante) ………………… (1) entonces la aceleración de la partícula es: = 32 / De donde = ∫ = ⟹ = = ∫ = ∫ 32 = 32 = ................. (2) Para calcular se tiene 0 = obteniendo 32 .... (1) = ′ = ∫ = ∫32 = Como = una segunda antiderivada se 16 tiene: para = 0,0 = , = 0 ⟹ = por lo …… (3) = ∫ = ⇒ ∫ tanto = 16 ….. (2) Aquí es la altura inicial de la partícula en pies, = es la velocidad inicial en pies/seg. y t el tiempo en Para 0 = entonces = , Luego segundos. Ejemplo. - Suponga que se dispara una flecha en = sentido vertical mediante una poderosa ballesta, NOTA. - Las ecuaciones (3) y (4) solamente son válidas en los casos en que la aceleración “a” es constante no se aplica cuando la aceleración varia.
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altura,
y también disminuí su velocidad
desde el piso, y que vuelve a tocar el suelo 48 segundos después. Si podemos despreciar la resistencia del aire. Determinar la velocidad inicial de la flecha y la altura máxima que alcanza.
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1. Resuelva la ecuación diferencial 2. 3. 4. 5.
=
3 donde y(2)=1 Hallar la solución general de la ecuación diferencial 1 √ 1 = 0 Hallar la solución general de la ecuación diferencial 4 = 0 Hallar la solución general de la ecuación diferencial 1 = 0 Hallar la solución particular de la ecuación diferencial 2 3 = 0, =
¿Cuál es la aceleración constante que debe mantener? 12. Si se aplica los frenos de un carro viajando a 50 mi/h y si los frenos pueden dar al carro una aceleración negativa constante de . ¿Cuánto tardará el coche en detenerse? ¿Qué distancia recorrerá antes de parar? 13. Una piedra se lanza verticalmente hacia arriba desde el suelo, con una velocidad inicial de . ¿Cuánto tiempo le tomará llegar al suelo y con qué velocidad llegará? ¿Durante cuánto tiempo está subiendo la piedra y que tan alto llegará?
20/
20/
6. La pendiente de la recta tangente en cualquier punto de esta curva es , si el punto está en la curva, encontrar una ecuación de la curva. 7. La pendiente de una curva en cualquier punto de ella es igual a . Encontrar una ecuación de la curva sí ésta
, 9,4
,
3√
cos
,2 En cada punto de una curva cuya ecuación es = ; = 6 2 , y en el punto 1,2 la pendiente de la curva es 8. Halle una pasa por el punto
8.
ecuación de la curva. 9. Una partícula se mueve en línea recia, x(t) es la distancia dirigida por la partícula desde el origen en t seg. V(t) es la velocidad de la partícula en t segundos, a(t) es la aceleración de la partícula en t segundos. a.
b.
= 5 2,2 = 0 = 0 , é = 3 , = 7 = 1 = 1 é
10. La velocidad de una partícula que se desplaza a lo largo de una recta en el
= √ 1 = √ 8
instante es . Determinar la distancia recorrida por la partícula desde el instante hasta el instante . 11. Si el conductor de un automóvil desea aumentar su rapidez de 20 mi/h a 50 mi/h mientras corre una distancia de 528 pies
= √ 24
1) Hallar la solución general de la ecuación diferencial a) b) c) d) e)
= + √ 1 = = 1 = + + = 0
2) Hallar la solución particular de la ecuación diferencial con las condiciones iniciales a) b) c) d)
e)
= 3 ,1 = 1 = ,2 = 1 √ + = 0,2 = 2 4 −= 0,1 = 2 = + ,3 = 1
3) Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidad inicial de 128 pie/seg. Si la única fuerza que se considera es la atribuida a la aceleración de la gravedad, determinar: a) Cuanto tiempo tardara la piedra en chocar contra el suelo. Lic. Efraín Gil Pando Vega | 7
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b) La velocidad con la cual chocara contra el suelo. c) A que altura se elevara la piedra en su ascenso. 4) Una pelota se deja caer desde la cúspide del monumento a Washington, el cual tiene 555 pies de altura a) ¿Cuánto tiempo tomara a la pelota llegar al suelo? b) ¿A qué velocidad chocara la pelota con el suelo? 5) En un movimiento rectilíneo, la función aceleración de un punto es en el instante . Si la velocidad del punto es -20 cuando , y la posición del mismo punto en 10 unidades en la dirección positiva cuando , encuentre la función velocidad V(t) y la función de posición x(t). 6) Una mujer que se encuentra en un globo deja caer sus binoculares cuando el globo está a 150 pies de altura sobre el suelo y se eleva a razón de 10 pie/seg. a) ¿Cuánto tiempo tardaran los binoculares en llegar al suelo? b) ¿Cuál es la velocidad de los binoculares al momento del impacto? 7) Usted arroja una pelota hacia arriba, desde el suelo, con una velocidad inicial de 97 pie/seg. ¿A qué altura sube la pelota, y por cuanto tiempo permanece en el aire? 8) Laura suelta una piedra a un pozo, esta llega al fondo 3 seg. después ¿Cuál es la profundidad del pozo? 9) Efraín arroja una pelota hacia arriba, con una velocidad inicial de 48 pies/seg. desde la parte superior de un edificio de altura 160 pies. La pelota cae al suelo en la base del edificio ¿Cuánto permanece la pelota en el aire, y con qué velocidad golpea al suelo? 10) Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 40 pies/seg. desde un punto situado a 20 pies sobre el nivel del suelo. a) Si v pies/seg. es la velocidad de la pelota cuando está a x pies del punto inicial, exprese v en términos de x b) ¿Cuál es la velocidad de la pelota cuando ésta se encuentra a 36 pies del suelo y sigue ascendiendo?
≥0 =0 =0
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= 32
11) Una partícula se desplaza en línea recta en forma tal que sí v cm/seg. es la velocidad de la partícula a los t segundos, entonces , donde el sentido positivo es a la derecha del origen. Si la partícula está en el origen al inicio del movimiento, determine
=
su posición segundos más tarde. 12) Juanito arroja una piedra hacia arriba, desde el suelo. La piedra alcanza una altura máxima de 225 pies. ¿Cuál era su velocidad inicial? 13) Gálvez arroja una pelota de tenis hacia arriba, desde la parte superior de un edificio de 400 pies de altura ¿Cuánto tiempo tarda la pelota en llegar al suelo? ¿Con que velocidad golpea al suelo? 14) Se arroja una pelota hacía arriba, desde el suelo, con una velocidad inicial de 160 pies/seg. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota? 15) Si el conductor de un automóvil desea aumentar la velocidad de 40 km./hr a 100 km./hr al recorrer una distancia de 200 m ¿Cuál es la aceleración constante que debe mantenerse? 16) El punto (3,2) está en una curva y en cualquier punto (x,y) de la curva, la recta tangente tiene una pendiente igual a . Encontrar una ecuación de la curva. 17) En cualquier punto (x,y) de una curva , y una ecuación de la recta tangente a la curva en el punto (1,1) es . Encontrar una ecuación de la curva. 18) Los puntos (-1,3) y (0,2) están en una curva y en cualquier punto (x,y) de la curva . Encontrar una ecuación de la curva. 19) Encontrar la curva que pasa por el punto (1,2) cuya normal en cualquier punto (excepto en x = 0) se biseca por el eje X. 20) La pendiente de la recta tangente en cualquier punto (x.y) en una curva es y el punto (1,-1) está en la curva. Encontrar una ecuación de la curva.
2 3
= 1 2 24 4
=
=
10
