UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA DE LA SELVA Practica: Practica: Proble Problemas mas de Optimizació Optimización n e Integr Integral al Doble Matemática III-Ciclo: I-2014 Facultad: Informática y Sistemas
OPTIMIZACION 1.- Suponga que (1,1) es un punto crítico de la función f, que que tiene segundas derivadas continuas. En cada caso ¿Qué se puede decir acerca de f? a) f xx (1,1) = 4 , f xy (1,1) = 1 , f yy (1,1) = 2
b) f xx (1,1) = 4 , f xy (1,1) = 3 ,
f yy (1,1) = 2
c) Sea (x0, y0) un punto crítico de la función f(x, y). Determinar si hay un máximo o mínimo mínimo relativo, relativo, un punto punto de de silla o si la información información es insuficien insuficiente, te, conocido conocidoss los datos que se indican en cada uno de los siguientes casos: i ) f xx ( x 0 , y 0 ) = 9; f yy ( x 0 , y 0 ) = 4; f xy ( x 0 , y 0 ) = 6 ii ) f xx ( x0 , y 0 ) = −3; f yy ( x0 , y 0 ) = −8; f xy ( x0 , y 0 ) = 2 iii ) f xx ( x 0 , y 0 ) = −9; f yy ( x 0 , y 0 ) = 6; f xy ( x 0 , y 0 ) = 10
2.- Encuentre los extremos relativos ó puntos de ensilladura de las funciones 3 2 2 2 2 a) f ( x, y ) = x y + 12 x − 8 y b) f ( x, y ) = x + y + x y + 4 c) f ( x, y ) = 1 + 2 xy − x 2 − y 2
d ) f ( x, y ) = 2 x 3 + xy 2 + 5 x 2 + y 2
e) f ( x, y ) = 9 − 2 x + 4 y − x 2 − 4 y 2 g ) f ( x, y ) = xy 1 −
x
2
−
y
2
h) f ( x, y ) =
f ) f ( x, y ) = e x cos y 2 2 x y − 8 x + y
xy a2 b2 3.- Encuentre los valores máximo y mínimo absolutos de f del conjunto S a) f(x,y) = 3x + 4y ; S = { (x,y) / 0 ≤ x ≤ 1 ; -1 ≤ y ≤ 1 } 2 2 b) f ( x, y ) = x + y ; S = { (x,y) ,y) / -1 ≤ x ≤ 3 ; -1 ≤ y ≤ 4 }
c) f ( x, y ) = x 2 − 6 x + y 2 − 8 y + 7 ; S = { (x,y) / x 2 + y 2 ≤ 1 } d) f(x,y) = 5 – 3x + 4y ; S es la región triangular triangular cerrada con vértices (0,0) , (4,0) y (4,5) 2 2 2 f) f(x,y) = x + y + x y + 4 ; S = {( x, y ) / x ≤ 1, y ≤ 1} d) f ( x, y ) = x 2 + 2 xy + 3 y 2 , S es la región triangular de vértices (-1,1), (2,1),(-1,-2) 2 e) f(x,y) = 1 + xy – xy – x – y – y , S es la región acotada por la parábola y = x y la recta y = 4 (2,-2,3) al plano 6x + 4y – 4y – 3z 3z = 2 4.- Encuentre la distancia más corta del punto (2,-2,3) 2 2 5.- Determine el menor y mayor valor de la función z = 1 − x − y en el circulo ( x − 1) 2 + ( y − 1) 2 ≤ 1 6.- Encuentre tres números positivos cuya suma sea 100 y cuyo producto sea mínimo 7.- Un tanque metálico rectangular sin tapa debe contener 256 pies cúbicos de líquido. ¿Cuáles son las dimensiones del tanque que requiere menos material para su construcción? 8.- Un disco circular tiene la forma de la región acotada por la circunferencia x 2 + y 2 = 1 ; si T grados es la temperatura de cualquier punto (x,y) del disco y T = 2 x 2 + y 2 − y encont encontrar rar los los punto puntoss más calien calientes tes y más fríos fríos en el disco disco 3 9.- Una caja de cartón sin tapa debe tener un volumen de 32 000 cm .Encuentre las dimensiones que haga mínima la cantidad de cartón utilizado.
10.- La base de una pecera con volumen dado V está hecha de pizarra y, los lados, de vidrio. Si la pizarra cuesta 5 veces (por unidad de área) más que el vidrio, encuentre las dimensiones de la pecera que reduzca al mínimo el costo de los materiales. 11.- En relación a un sistema de coordenadas cartesianas, una persona está en el origen, se encuentra en el interior de una plaza, cuyo contorno tiene por ecuación 2 2 6 x + 3 y + 4 xy = 140 ; la persona quiere salir de la plaza y caminar lo menos posible ¿A cuál punto se debe dirigir? 12.- ¿Para cuales valores de k está garantizado que mediante el criterio del Hessiano que f ( x, y ) = x 2 + kxy + y 2 ?, tendrá a) En (0,0) un punto silla b) En (0,0) un mínimo local 13.- Utilice multiplicadores de Lagrange para hallar los valores máximos y mínimos de las funciones sujeto a las restricciones dadas a) f ( x, y ) = x 2 − y 2 ; x 2 + y 2 = 1 b) f ( x, y ) = 4 x + 6 y; x 2 + y 2 = 13 c) f ( x, y ) = x 2 y; x 2 + 2 y 2 = 6 d ) f ( x, y, z ) = 2 x + 6 y + 10 z; x 2 + y 2 + z 2 = 35 e) f ( x, y ) = 8 x 2 − 24 xy + y 2 ; x 2 + y 2 = 1
f ) f ( x, y ) = x 2 + y 2 ; x 4 + y 4 = 1
g ) f ( x, y, z ) = 2 x + 6 y + 10 z; x 2 + y 2 + z 2 = 35 h) z =
1 x
1
1
y
2
+ ;
x
+
1 y
2
=
1 a
14.- El plano x + y + 2z = 2, interseca al paraboloide z = x 2 + y 2 en una elipse, encuentre los puntos en esta elipse que están más lejos y más cerca del origen 15.- ¿Qué punto de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 se encuentra más alejado de (1,-1,1)? 16.- Encuentre el máximo valor de la función f(x,,y,z) = x + 2y +3z en la curva de intersección del plano x – y + z = 1 y el cilindro x 2 + y 2 = 1 17.- La temperatura en grados centígrados en cualquier punto de la región limitada por las rectas x = 0, y = 0, x + y =3. Esta dada por f ( x, y ) = 8 x 2 + 4 xy + 5 y 2 − 4 x − 8 y , determine la máxima y mínima temperatura en la región incluida las líneas fronteras. 18.- Un tanque metálico rectangular sin tapa debe contener 256 pies cúbicos de líquido ¿Cuáles son las dimensiones del tanque que requieren menos material para su construcción? 19.- Determine la máxima utilidad empresarial si la función de producción es 2 z = 10 – 2x + xy – x + 5y. Los precios de los insumos x e y son iguales a 3 para cada uno de ellos y el precio unitario del producto z es 6. 20.- Demostrar que todo plano tangente al cono ( z − 1) = x 2 + ( y − 7) 2 , pasa por el punto (0, 7,1). 21.- Una partícula viaja con una velocidad constante 3i + 4j – k ; pasa por (0,1,1) y después choca con la superficie z = -x + 6x – 9; la partícula rebota, con un ángulo de reflexión igual al ángulo de incidencia suponiendo que no pierde rapidez (celeridad) ¿Cuál es la velocidad de la partícula después del rebote? 22.- Probar que f : R 2 → R , dada por y y f ( x, y ) = 5 xe − x5 − e5 , tiene solo un punto crítico, el cual es máximo local pero no un máximo absoluto 2 2 2 2 2 2 2 23.- (a) Probar que el valor máximo de x y z sobre la esfera x + y + z = r es
(
r 2
3
)3
(b) Usar la parte (a) para demostrar que los números no negativos x,y,z se cumple x + y + z ( xyz)1/3 ≤ 3 24.- Mostrar que de todos los triángulos con perímetro dado, el triángulo equilátero posee área máxima. Sugerencia: usar la fórmula de Herón para el lado del triángulo de a +b+c lados a, b, c. S = p ( p − a )( p − b )( p − c ); donde p = 3 25.- Dentro de un triángulo existe, un punto p, tal que la suma de los cuadrados de sus distancias a los de dicho triangulo es mínima. Hallar dicho mínimo ax bz cy 2 2 2 Sugerencia: Minimizar x + y + z , con la condición + + = A (A es el área) 2 2 2 26.- En una planta procesadora, cierto distribuidor de un concentrado de jugo de una fruta tropical de la zona de Tingo María desea minimizar los costos de los envases cilíndricos en los que se expende el concentrado, el metal de la tapa y el fondo cuesta 0.2 ctvs /pulg pulg. Mientras que la parte lateral de cartón cuesta 0.1 ctvs / pulg pulg. . Si el envase debe contener 27 π /2 pulg pulg pulg ¿Qué dimensiones debe tener el cilindro para minimizar el costo de los materiales. 27.- Una compañía produce artículos A, B, C y D cuyas utilidades por unidad son s/. 10, S/.20, s/. 30. y s/.20. La disponibilidad de mano de obra y las materias primas restringen el monto de la producción. De tal forma que si a, b, c y d es el número de unidades producidas por A, B, C y D, se cumple entonces la relación 2 2 2 2 a + 2b + 4c + 3d = 22100 , maximizar las utilidades de la compañía 28. Sea N el número de alumnos matriculados en una universidad, p el coste de mantenimiento y t el coste de la matrícula. Supongamos que N es una función de p y de ∂ N ∂ N t tal que < 0 y < 0 ¿Que podemos concluir del hecho de ser negativas ambas ∂ p ∂t derivadas parciales? 29. Una medida de la sensación de calor en una persona viene dada por el ´índice de temperatura aparente. Ese ´índice admite el siguiente modelo: A = 0.885 t − 22.4 h + 1.20 t h − 0.544 Donde A es la temperatura aparente en grados centígrados, t la temperatura del aire y h la humedad relativa. ∂ A ∂ A 0 a) Hallar y , para t = 30 y h = 0.80 ∂t ∂h b) ¿qué influye más sobre la temperatura aparente, la temperatura del aire o la humedad? Justificar la respuesta. 30. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (3, 2) y determina con los ejes coordenados un triángulo de área mínima en el primer cuadrante. 30.- En un triángulo se conoce el ángulo α y se sabe que los lados contiguos a dicho ángulo suman 20 cm. Hallar la longitud de estos lados de forma que e l área del triángulo sea máxima. 31. Encontrar el punto de la superficie z = x 2 + y 2 − xy + 1 más próximo al origen de
coordenadas
32. Una caja rectangular descansa sobre el plano XY con un vértice en el origen. Hallar el volumen máximo de la caja si el vértice opuesto al origen está sobre el plano 6x + 4y + 3z − 24 = 0. 33. Una estatua de 4 m de altura está situada sobre una base de 3 m de altura. ¿A qué distancia, desde el suelo horizontal, se verá dicha estatua bajo un ´ángulo máximo? tan + tan Indicación: tan( + ) = 1 − tan tan 34.- Una empresa fabrica dos productos. Los ingresos totales por la venta de a unidades 2 2 del primero y b del segundo son R = −5a − 8b − 2ab + 42a + 102b. Hallar a y b de forma que los ingresos sean máximos. 35. Una industria fabrica un producto de dos factorías. El coste de producción de x 2 unidades en la primera es C 1 = 0.02x + 4x + 500 y el coste de producción de y unidades 2 en la segunda es C 2 = 0.05y +4y +275. Si el producto se vende a 15 euros la unidad, calcular qué cantidad debe producirse en cada factoría con el fin de hacer máximo el beneficio B = 15(x + y) – C1 – C2. INTEGRAL MULTIPLE 1.- Aproxime
∫∫ ( x − 3 y
2
)dA en el rectángulo R: [0,2]x[1,2], para m = n = 2
R
Tomando como puntos muestra a) la esquina superior izquierda b) la esquina superior derecha c) la esquina inferior izquierda d) la esquina inferior derecha de cada rectángulo 2.- (a) Estime el volumen del solidó que se encuentra debajo de la superficie z = x 2 + 4 y arriba del rectángulo R: [0,2]x[0,3] , utilice una suma de Riemann con m = 2, n = 3 ; y tome como puntos muestra la esquina superior derecha de cada rectángulo (b) Utilice la regla de punto medio para estimar el volumen del sólido de la parte (a) 3.- A continuación aparece una tabla de valores para una función f(x,y) definida en R: [1,3]x[0,4] y 0 1 2 3 4 x 1.0 2 0 -3 -6 -5 1.5 3 1 -4 -8 -6 2.0 4 3 0 -5 -8 2.5 5 5 3 -1 -4 3.0 7 8 6 3 0 a) Estime
∫∫ f ( x, y )dA usando la regla del punto medio con m = n = 2 R
b) Estime la doble integral con m = n = 4 eligiendo como puntos de muestra los puntos mas alejados del origen 4.- Se llena agua una piscina de 20 por 30 pies. La profundidad se mide a intervalos de 5 pies, comenzando en una esquina esquina de la piscina, y se anotan los valores en la tabla. Estime el volumen de agua de la piscina.
0 5 10 15 20
0 2 2 2 2 2
5 3 3 4 3 2
10 4 4 6 4 2
15 6 7 8 5 2
20 7 8 10 6 3
25 8 10 12 8 4
30 8 8 10 7 4
5.- La siguiente figura muestra curvas de nivel de una función f en el cuadrado
∫∫ f ( x, y)dA aproximando al entero más cercano
R: [0,1]x[0,1] . Utilícela para estimar
R
1 14
12
13
10 11
9
0 6.- Sea R = (x,y) /
1 ≤ x ≤ 4 ,
0 ≤ y≤ 2
∫∫ f ( x, y)dA donde f está
Evalúe
x
1 dado por
R
a) f( x,y) =
2 3
b) f(x,y) =
,
1 ≤ x ≤ 3,
0 ≤ y ≤ 2
,
3 ≤ x ≤ 4,
0 ≤ y ≤ 2
− 1 , 1 ≤ x ≤ 4 1 ≤ x ≤ 4, 2 ,
0 ≤ y ≤ 1 1 ≤ y ≤ 2
7.- Si R = (x,y) / 0 ≤ x ≤ 6 , 0 ≤ y ≤ 4 P es una partición en R de 6 rectángulos iguales mediante x = 2, x = 4, y = 2
∫∫ f ( x, y )dA
Aproxime
, tomando como puntos muestra el punto medio de los
R
rectángulos; Para las funciones 2 2 a) f(x,y) = 2 – x – y b) f(x,y) = x + 2y e) f(x,y) = x + y
d) f(x,y) = (1/6)( 48 – 4x – 3y ) 8.- Calcular
f) f(x,y) = e
xy
2 y − 1 2 dxdy , D es limitado por y = 4 − x , y = 0 2 +1
∫∫ x D
9.- calcular
2
c) f(x,y) = 10 – y
senx
∫∫ 4 − sen y dxdy ,
D = { (x,y)/ 0 ≤ x ≤ π /2 ; 0 ≤ y ≤ x }
2
D
10.- Calcular
∫∫ xy − y
2
dxdy , D es el triangulo de vértices O(0,0) , A(10,1) , B(1,1)
D
11.- Evalué las integrales dobles
a) d)
g)
1 x
∫ ∫ ysen xdydx
b)
0 0
4 x
∫ ∫ 2 x
a
∫ ∫ 0
2
y sec h 2 ( )dydx x x
1
a2 −x2
0
3 ydydx
e)
h)
2 y
∫ ∫ e 1
x + y
0
/ 2 1
∫ ∫ 0
4
y dydx
∫ ∫
y
d)
1 / 2
0
∫ ∫
0 arcsenx
∫ ∫
e
cos y
dydx
e)
1 1
∫ ∫ sen( x 0 y
f)
yx 2 dxdy
12.- Calcular las integrales, invirtiendo el orden 2 4 a a 2 x a) b) dydx e x dxdy 0 x 0 2 y x 2 + y 2
∫ ∫
c)
cos x
2
1
dxdy
2
)dxdy
i)
c)
0
2
2 3e x
0
4 − x
∫ ∫
/ 2
xdydx
senx
∫ ∫
(1 +
/ 2 x
senx
0
0
1 1 − y 2
∫ ∫ 4 − sen y dydx 0
∫ ∫
2
−1 ar cos x
0
e y dydx
2
)dydx
13.- Hallar el área e la región plana limitada arriba por x 2 + y 2 = 2 , y en la parte de
abajo por y = x 2 Rpta. π /2 + 1/3 14.- Calcular el área de la región del plano XY acotado por las graficas de las curvas 3 x = y , x + y = 2, y = 0. 15.- Hallar el área de la región D comprendida entre las curvas y 2 = 4 − 4 x
2 y = 4 − x ,
Rpta. 8
16.- Calcular el volumen del sólido limitado por las superficies z = x 2 + y 2 , y = x 2 , y = 1, z = 0 17.- Calcular el volumen del sólido cuya base es la región en el plano XY acotado por las curvas y = 4 − x 2 , y = 3x, y cuyo techo es el plano z = x + 4. Rpta. 625/12 18.- Hallar el volumen limitado por el paraboloide hiperbólico z = x 2 − y 2 y los planos z = 0, x = 3, 19.- Hallar el volumen del cuerpo limitado por las superficies del paraboloide
hiperbólico z = xy, el cilindro y =
x y los planos x + y = 2, y = 0, z = 0. Rpta. 3/8 20.- Calcular el volumen del sólido limitado por las superficies z = x 2 , z = 4 − x 2 , z + 2y – 4 = 0, y = 0. 21.- Hallar el volumen del espacio comprendidito debajo del plano x + y +z = 8, arriba de z = 0 y entre los planos x + 2y = 8, x – 2y = 8 22.- Hallar el volumen del espacio comprendido debajo de z = 4 − y 2 , arriba de z = 0 y
dentro de las superficies cilíndricas y 2 − 2 x = 0 , y 2 = 8 − 2 x 23.- Un camión de volteo vierte una carga de arena en una caja de arena rectangular (ver la figura) de modo que la altura del montículo, de arena, en pies, esta dada por 4 ; Para − 2 ≤ x ≤ 2 , − 4 ≤ x ≤ 4 ( x e y en pies) f ( x, y ) = 1 + x 2 y 2
z (-2,-4)
(2,-4)
(-2,4)
(2,4)
x Plantee la integral que da el volumen de la arena 24.- La profundidad de un lago que cubre la región (ver figura) entre las curvas 1 1 y = − ( x 2 − 2500) y y = ( x 2 − 2500) 25 25
2
2
Esta dada en pies por f(x,y) = 2500 – x – (y /4) , donde x , y están en pies. Hallar el volumen de agua en el lago en pies cúbicos
(0,100) y = −
(50,0)
(-50,0)
1 25 x
y =
la o
( x 2 − 2500)
1 25
( x 2 − 2500 )
(0,-100) 25.- El propietario de un campo de golf desea ahorrar dinero en fertilizantes sin que esto afecte la calidad del campo. Determina que debido a la forma en que normalmente recorren el campo los jugadores y al uso mayor de las zonas de tee y los verdes, un hoyo típico de su campo de golf requiere de distintas cantidades de fertilizantes en áreas distintas. En particular, define la función f(x,y) como la cantidad de fertilizante en libras/pie cuadrado , necesarias en el punto (x,y) en el hoyo numero tres , el cual aparece en la figura.
1000 900
verde
Tram a de arena
fairway
(x,y)
60 0
150
x
tee 2
Sabe que el área de tee necesita una aplicación uniforme de 0.004 lib/pie , el verde 2 necesita 0.005 lib/pie y el resto del terreno necesita mas fertilizante en el centro que en 2 los lados ; la cantidad de fertilizante varia linealmente desde 0.001 lib/pie en los lados 2 hasta 0.003 lib/pie en el centro , Así , se tiene que. 0 ≤ x ≤ 150, 0 ≤ y ≤ 60 0.004;
0.002 0 ≤ x ≤ 75, 60 ≤ y ≤ 900 x + 0.001; 75 f ( x, y ) = − 0.002 x + 0.005; 75 ≤ x ≤ 150, 60 ≤ y ≤ 900 75 0.005; 0 ≤ x ≤ 150, 900 ≤ y ≤ 1000
¿Cómo puede determinar el propietario la cantidad total de fertilizante que necesita en el hoyo No 3? 26.- Calcular las integrales iteradas, pasando a coordenadas polares a) b)
4 − y
2
∫ ∫ 0
0
2
∫ ∫ 0
4 − x 2
0
2a
∫ ∫ d) ∫ ∫ c)
2
0
0
1
y
x 2 + y 2 dxdy e −( x
2 ax − x 2
2 + y 2 )
x 2 + y 2
27.- Calcular
dxdy dxdy
∫∫
4 − x − y 2
D
28.- Calcular
,
dydx
1
0 y
dydx ,
∫∫ ( x
x 2 y 2 2
+ y )
∫∫ x
dxdy
2
D
29.- Calcular
2
D
a2
+
2
y 2 b2
2
, donde D esta dado por x 2 + y 2 − 2 x ≤ 0
dxdy , D esta limitado por 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4
, a > 0, b > 0 y
D:
+4
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
y − x
30.- Calcular
∫∫ e
y + x
dxdy , D es limitado por x + y = 2 y los ejes coordenados
D
Rpta. e − e −1 31.- Calcular
∫∫ e
x + 2 y
dxdy , Des limitado por x + 2y = 4, x – 2y = 0 y el eje X
D
32.- Evalúese
1 / 2
1− y
∫ ∫ 0
y
x 2 − y 2 dxdy
Por medio de la transformación (x,y) = (u – uv , uv) 33.- Evalúese
1 x
∫ ∫ 0 0
2 2 x + y dydx ; por medio de la transformación (x,y) = (u, uv)
34.- Hallar el área de la región limitada por las líneas x 2 + y 2 = 2 x , x 2 + y 2 = 4 x y = x , y = 0. 35.- Hallar el área limitada por las curvas y 2 = 4ax + 4a 2 , x + y = 2a (a > 0) . 36.- Hallar el área limitada por las curvas y =
8a 3
, x = 2y, x = 0 (a > 0) 2 2 x + 4a 37.- Encontrar el volumen del sólido del primer octante bajo el paraboloide z = x 2 + y 2
y dentro del cilindro x 2 + y 2 = 9 39.- Calcular el volumen del sólido limitado por el plano XY la superficie z = ae −( x
2
+ y2 )
2 2 2 y el cilindro, x + y = R
2
Rpta. a (1 − e − R )u 3
40.- Encontrar el z = a − x + y 2
2
volumen del sólido limitado superiormente por el cono
, e inferiormente por el plano XY y lateralmente por el cilindro
x + y = ax . 2
2
Rpta.
a
3
(9 − 16)u 3
36 41. Calcular las áreas interceptadas por las curvas: a ) = 2a, = 4a cos , a > 0 b) = 2, = 2(1 + cos ) , e interior al primer cuadrante c) (x 2 + y 2 ) 2 = xy , e interior al primer cuadrante 42. Calcular los volúmenes de los sólidos limitados por: 2
y + x 2 ) = 1, z = 0 a) x + y = 1, x + y = 2, z ( 2 2 2 2 2 b) 3x + y = 72 z , 2x + y = 24( 2 − z ) 2
c) z = 0,
2
2
x 2
2 p
+
y 2
2q
2
= z , (p, q > 0); x 2 + y 2 = a 2
d ) z = x 2 + y 2 , z = 2(x 2 + y 2 ); xy = a 2 ; xy = 2a 2 ; x = 2 y; y = 2 x; x > 0, y > 0 2 2 2 2 e) y + z = −2( x − 1); z + y = 2( x + 1)
f) interior al cilindro g) interior al cilindro z =
2 2 x + y = 2 x ; y comprendido entre los planos z = x , z = 2x 2 2 x + y = 2 x ; y limitado por el plano z = 0 y la superficie de ecuación
xy 2 x 2 + y 2
Profesor: Portilla Sandoval
