Algoritmo del método de
Gauss-Seidel :
Paso 1. Asignar un valor inicial a cada incógnita que aparezca en el conjunto. Si es posible hacer una hipó hipóte tesi siss razona zonab ble de éstos stos valo valorres, es, hac hacerla. la. Si no, no, se pued pueden en asig signar nar valor alorees seleccionados arbitrariamente. Los valores iniciales utilizados no afectarán la convergencia como tal, pero afectarán el nmero de iteraciones requeridas para dicha convergencia. convergencia.
Paso 2. !artiendo de la primera ecuación, determinar un nuevo valor para la incógnita que tiene el coeficiente más grande en esa ecuación, utilizando para las otras incógnitas los valores supuestos.
Paso 3. !asar a la segunda ecuación " determinar en ella el valor de la incógnita que tiene el coeficiente más grande en esa ecuación, utilizando el valor calculado para la incógnita del paso # " los valores supuestos para las incógnitas restantes.
Paso 4. $ontinuar $ontinuar con las ecuacione ecuacioness restantes restantes,, determina determinando ndo siempre siempre el valor calculado calculado de la incógnita que tiene el coeficiente más grande en cada ecuación particular, " utilizando siempre los ltimos valores calculados para las otras incógnitas de la ecuación. %&urante la primera iteración, se deben utilizar los valores supuestos para las incógnitas hasta que se obtenga un valor calculado'. $uando la ecuación final ha sido resuelta, proporcionando un valor para la nica incógnita, se dice que se ha completado una iteración.
Paso 5. $ontinuar iterando hasta que el valor de cada incógnita, determinado en una iteración particular, difiera del valor obtenido obtenido en la iteración previa, en una una cantidad menor que cierto cierto seleccionado arbitrariamente. arbitrariamente. (l procedimiento queda entonces completo.
)efi )efiri rién éndo dono noss al paso paso *, mien mientr tras as menor menor sea la magn magnitu itud d del sele selecc ccio iona nado do,, ma"or ma"or será la precisión de la solución. Sin embargo, la magnitud delepsilon del epsilon no no especifica el error que puede e+istir en los valores obtenidos para las incógnitas, "a que ésta es una función de la velocidad de conver convergen gencia cia.. ientr ientras as ma"or ma"or sea la veloci velocidad dad de conver convergen gencia cia,, ma"or ma"or será será la precisi precisión ón obte obteni nida da en los los val valor ores es de de las las inc incóg ógni nitas tas para para un
dado dado..
EJEMPLO 1 )esolver el siguiente sistema de ecuación lineales por el método Gauss-Seidel, hasta obtener un - ./. 0abla /' a. S(L original
0abla 0abla /' b. S(L ordenado en la diagonal
0.1 X1 !.0 X2 - 0.3 X3 " -1#.30
3.0 X1 - 0.1 X2 - 0.2 X3 " !.$5
3.0 X1 - 0.1 X2 - 0.2 X3 " !.$5
%1&
0.1 X1 !.0 X2 - 0.3 0.3 X3 " -1#.30 %2&
0.3 X1 - 0.2 X2 - 10.0 X3 " !1.40
0.3 X1 - 0.2 X2 - 10.0 X3 " !1.40
%3&
SOL'()*+, !rimero ordenamos las ecuaciones, de modo que en la diagonal principal tenga los coeficientes ma"ores para asegurar la convergencia. $omo se muestra en la tabla /b.
&espejamos +/ de %/', +# de %#' " +1 +1 de %1' obteniendo lo siguiente2 / =
x
4.3* + ./ x# 1 ec
%/'
+
.# x1
# =
x
−
/.51 − ./ x/ + .1 x1 4 %#'
ec
1 =
x
4/.6 − .1 x/ + .# x# / %1'
ec
)terain 1 Asignar valores iniciales /1=0; x 2 = 0 " /3 = 0 " calculamos +1 / =
x
4.3* + ./%' + .#%' 1
=
4.3* 1
=
#.7/7777
(ste valor junto con el de + 3 se puede utilizar para obtener + 2 − # =
x
/.51 − ./% #.7/777' + .1%' 4
#.456*#1
= −
La primera iteración se completa sustitu"endo los valores de + 1 " +2 calculados obteniendo2
4/.6 − .1% #.7/777' + .#% −#.456*#1' 4
1 =
x
=
4.*75
)terain 2, (n esta iteración, se repite el mismo procedimiento2 pero tomando ahora a + / -#.7/777, + #-8#.456*#1 " + 1-4.*75 / / =
x
4.3* + ./% −#.456*#1' + .#%4.*75' 1
− / # =
x
/ 1 =
x
/.51 − ./% #.55**7' + .1%4.*75' 4
=
#.6557#6
= −
4/.6 − .1% #.55**7' + .#%−#.6557#6' /
#.55**7
=
4.#5
A partir de esta iteración se puede calcular el error absoluto una vez teniendo los valores calculados en la primera " la segunda iteración tenemos2 / /
−
x
/ #
−
x
/ 1
−
x
x
x
x
/
=
#.55**7
#
=
−
1
=
4.*75
−
#.456*#1 −
#.7/7777 −
=
.14135
%#.655*#6'
4.#5
=
=
.#56355
.*1/5
$omo se observa en los resultados, el error no cumple con la condición dada en el problema
)terain 3, omamos los valores, + / -#.55**7, + #-8#.6557#6 " + 1-4.#5, calculados en la iteración #, se sustitu"en en ec/,ec# " ec1 como se muestra enseguida2
$alculando el error de nuevo con los valores obtenidos en la iteración 1 " #
$omo se observa todav9a no se cumple la condición
As9 que hacemos otra iteración
)terain 4.
$alculando el error con los valores obtenidos en la iteración 6 " 1. 1 /
−
x
1 #
−
x
1 1
−
x
x
x
x
# /
=
1.
# #
=
−
# 1
=
4.
−
#.*
1.1/
−
−
=
%#.655533'
7.555555
=
.1/ =
./#
./
&ado que se cumple la condición del error, el resultado es2 :/ -3.0
X2 " -2.5
X3 " !.0
$omo se puede comprobar no se tiene un nmero e+acto de iteraciones para encontrar una solución. (n este ejemplo, se hicieron 1 iteraciones, pero a menudo se necesitan más iteraciones. Se deja de investigación al alumno el método de ;acobi que es un tanto parecido a este.