Aplica¸c˜ cao a ˜o do m´etodo eto do de Gauss-Seidel Gauss-Se idel ao c´ alculo alculo do fluxo de potˆencia encia Caverna 30 de novembro de 2014
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Aplica¸ c˜ c˜ ao ao em fluxo flu xo de p otˆ enci en cia a
Considere o sistema de 2 barras a seguir
E2
E1 z
S2
S1 carga
referência Figura 1: Fluxo de potˆencia encia para duas barras. Calcule a tens˜ao ao na n a carga ca rga (barra ( barra 2) e a potˆ p otˆencia encia na barra de referˆ ref erˆencia. encia.
SOLUC ¸ ˜ AO Temos os dados E 1 = 1, 0112∠0◦ pu
A admitˆ ancia ancia y ser´a
1
y =
z
=
z = 0, 01 + j 0, 05 pu
S 2 = − 1, 0∠0◦ pu
1 = 3, 84615384651 − 19, 2307692308 j 0, 01 + j 0, 05
A matriz de admitˆ ancia ancia da rede ser´a Y =
onde os elementos fora da diagonal principal ser˜aaoo
Y 11 Y 21
Y 12 Y 22
84615384651 4651 + 19, 2307692308 j Y 12 = Y 21 = − y = − 3, 8461538 e os elementos da diagonal principal ser˜aaoo Y 11 = Y 22 = y = 3, 84615384651 − 19, 2307692308 j
de modo que explicitamente a matriz de admitˆancia ancia ser´a Y =
3, 84615384651 − 19, 2307692308 j −3, 8461538 84615384651 4651 + 19, 2307692308 j 84615384651 4651 + 19, 2307692308 j 3, 84615384651 − 19, 2307692308 j −3, 8461538
O conjugado conjug ado da potˆencia encia complexa complex a ´e dado por S k∗ = E k∗ · I k = E k∗
n∈K
1
Y kn E n + E k∗ Y kk E k
de modo que a tens˜ao E k ser´a dada por E k =
1 Y kk
S k∗ − E k∗
Y kn E n
n∈Ωk
O m´etodo de Gauss-Seidel nos permite obter o valor da tens˜ao E k , este m´etodo fornece para a n-´esima itera¸c˜ao a seguinte equa¸c˜ao k−1 nb 1 S k∗ (m+1) m+1 = E k − Y E − Y kn E n(m) kn n ∗(m) Y kk
E k
n=1
n=k+1
para uma matriz 2 × 2 o primeiro somat´orio acima ´e nulo de forma que a atualiza¸c˜ao da tens˜ ao E 2 ser´a dada por (m+1)
E 2
=
1 Y 22
S 2∗ ∗(m)
E 2
− Y 21 E 1
substituindo os valores obtidos na equa¸ ca˜o acima, teremos (m+1)
E 2
=
(m+1)
E 2
1 3, 84615384651 − 19, 2307692308 j =
(m+1)
E 2
(−1)
=
− (−3, 84615384651 + 19, 2307692308 j )1, 0112
∗(m)
E 2
1 3, 84615384651 − 19, 2307692308 j
−
1 3, 84615384651 − 19, 2307692308 j
1 ∗(m)
E 2
−
− (−3, 889923076959 + 19, 4461538462 j )
1 ∗(m)
E 2
+ 3, 889923076959 − 19, 4461538462 j
(1)
A equa¸c˜ao (1) nos permitir´ a calcular as itera¸c˜oes que desejarmos. Temos que E 20 = 1 + 0 j = 1
deste modo a itera¸ca˜o n = 1 ser´a (m = 0): 1 E 21 = 3, 84615384651 − 19, 2307692308 j E 21 =
−
1 3, 84615384651 − 19, 2307692308 j
E 21 =
1 ∗(0)
E 2
+ 3, 889923076959 − 19, 4461538462 j
1 − + 3, 889923076959 − 19, 4461538462 j 1
1 [ −1 + 3, 889923076959 − 19, 4461538462 j ] 3, 84615384651 − 19, 2307692308 j 2, 889923076959 − 19, 4461538462 j E 21 = 3, 84615384651 − 19, 2307692308 j
de forma que obtemos o valor para a itera¸c˜ao E 21 E 21 = 1 , 00120692307 − 0, 0499653846318 j
Para calcular E 22 , utilizemos a equa¸c˜ao (1) 1 E 22 = 3, 84615384651 − 19, 2307692308 j E 22
−
1 ∗(1)
E 2
+ 3, 889923076959 − 19, 4461538462 j
1 1 = + 3, 889923076959 − 19, 4461538462 j − 3, 84615384651 − 19, 2307692308 j 1, 00120692307 + 0, 0499653846318 j E 22 = 0, 998757733073 − 0, 0492838324922 j
Da equa¸c˜ao (1) podemos calcular E 23 , a saber 1 E 23 = 3, 84615384651 − 19, 2307692308 j
−
1 ∗(2)
E 2
2
+ 3, 889923076959 − 19, 4461538462 j
E 23
1 = 3, 84615384651 − 19, 2307692308 j
1 + 3, 889923076959 − 19, 4461538462 j − 0, 998757733073 + 0, 0492838324922 j
E 23 = 0, 998754480511 − 0, 0494131078092 j
Para o c´alculo de E 24 , utilizemos a equa¸ca˜o (1) 1 E 24 = 3, 84615384651 − 19, 2307692308 j E 24
1 = 3, 84615384651 − 19, 2307692308 j
−
1 ∗(3)
E 2
+ 3, 889923076959 − 19, 4461538462 j
1 + 3, 889923076959 − 19, 4461538462 j − 0, 998754480511 + 0, 0494131078092 j
E 24 = 0, 998748126942 − 0, 0494113426992 j
Por fim, a equa¸c˜ao (1) ser´a aplicada para calcular E 25 , a saber 1 E 25 = 3, 84615384651 − 19, 2307692308 j E 25
1 = 3, 84615384651 − 19, 2307692308 j
−
1 ∗(4)
E 2
+ 3, 889923076959 − 19, 4461538462 j
1 + 3, 889923076959 − 19, 4461538462 j − 0, 998748126942 + 0, 0494113426992 j
E 25 = 0, 998748118441 − 0, 0494116788492 j
Portanto, obtemos os seguintes resultados at´e a itera¸c˜ao n = 5 Itera¸c˜ao 0 1 2 3 4 5
E 2 [pu] 1 + 0 j 1, 00120692307 − 0, 0499653846318 j 0, 998757733073 − 0, 0492838324922 j 0, 998754480511 − 0, 0494131078092 j 0, 998748126942 − 0, 0494113426992 j 0, 998748118441 − 0, 0494116788492 j
Naturalmente, a itera¸c˜ao E 25 ´e o valor mais preciso que calculamos. A potˆencia na barra do gerador (barra 1) ser´a ∗
∗ = E 1 [y (E 1 − E 2 )] S 1 = E 1 I 12
substituindo os valores na equa¸c˜ao acima, teremos ∗
S 1 = 1, 0112 {[3, 84615384651 − 19, 2307692308 j ][1, 0112 − (0, 998748118441 − 0, 0494116788492 j )]} S 1 = 1, 0112 {[3, 84615384651 − 19, 2307692308 j ] [1, 0112 − 0, 998748118441 + 0, 0494116788492 j ]}
∗
∗
S 1 = 1, 0112 {[3, 84615384651 − 19, 2307692308 j ][0, 012451881559 + 0, 0494116788492 j ]}
∗
S 1 = 1, 0112 {[3, 84615384651 − 19, 2307692308 j ][0, 012451881559 + 0, 0494116788492 j ]} S 1 = 1, 0092953496 + 0, 0499677827136 j pu
Referˆ encias [1] MONTICELLI, A. J.; GARCIA, A. Introdu¸ca˜o a Sistemas de Energia El´etrica. Editora UNICAMP, 1 a . Edi¸c˜ao, Campinas, 2003. [2] STEVENSON, W. D. Elementos de An´ alise de Sistemas de Potˆencia. 2a ed. Editora MacGraw-Hill do Brasil. S˜ao Paulo.1986. [3] FUCHS, RUBENS DARIO. Transmiss˜ao de Energia El´etrica: linhas a´ereas; teoria das linhas em regime permanente. 2 a. Edi¸ca˜o; Editora Livros T´ecnicos e Cient´ıficos, Rio de janeiro, 1979. [4] STEVENSON, W. D.; Grainger, J. J. Power System Analysis. Editora McGraw-Hill. Singapura, 1994. [5] SOUSA, J. P. “Notas de Aula de Transmiss˜ ao de Energia El´etrica” Faculdade Guarapuava. Guarapuava, 2014.
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