5.2 El Metodo de Gauss-Seidel

5.2 El Método de Gauss-Seidel

SISTEMAS ELECTRICOS DE POTENCIA

El método de Gauss-Seidel

Una ecuación no lineal con una incógnita se incógnita se describe de la siguiente manera F(x) =0 Se describe y justifica primero el algoritmo para resolver una ecuación no lineal con una sola incógnita, f(x) = 0, 0, y después se extiende al caso general de un conjunto de ecuaciones no lineales: ~ f(~x) =~0 1 Se reescribe la ecuación en la forma: x = F(x) lo cual es siempre posible. Nótese que, en general, F(x) no es única para la misma f(x). 2 A partir de una solución inicial que se adivina se aplica iterativamente x(j+1) = F(x(j)) 3 El proceso iterativo se suspende cuando la diferencia entre dos estimaciones sucesivas es menor que cierta tolerancia especificada de antemano. Ejemplo

Resolver f(x) = X2 − 5x + 4 = 0. 0. Se puede verificar fácilmente que las raíces se ubican en x = 1 y x = 4. En la figura 3.4 se muestra la gráfica de gráfica de las funciones f(x) = X2 − 5x + 4 en trazos 1

4

punteados,  ()  = 5  2 + 5   y y = x. x. En ella se nota que estas dos últimas se cruzan exactamente en donde f(x) corta el eje x. x . Esta es la interpretación geométrica del método de Gauss.

INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE TAMAZULA

M.E.R. JORGE ALBERTO CARDENAS MAGAÑA

5.2 El Método de Gauss-Seidel

SISTEMAS ELECTRICOS DE POTENCIA

En este caso, si se parte de una estimación inicial x(0) = 3 la solución converge a la raíz ubicada en x = 1 de acuerdo a las siguientes aproximaciones x(1) = F(x(0)) = 2.6 x(2) = F(x(1)) = 2.15 Nótese que si x(0) = 5 el proceso diverge y que si x (0) = − 2 el proceso converge. Se concluye que la convergencia del método depende mucho del valor inicial, lo cual junto con su lentitud constituyen sus principales desventajas Conjunto de ecuaciones no lineales

El algoritmo descrito se puede aplicar para resolver el sistema de ecuaciones no lineales

INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE TAMAZULA

M.E.R. JORGE ALBERTO CARDENAS MAGAÑA

SISTEMAS ELECTRICOS DE POTENCIA

5.2 El Método de Gauss-Seidel

Nótese que los valores de la iteración anterior deben conservarse hasta evaluar la última variable de la presente iteración.

INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE TAMAZULA

M.E.R. JORGE ALBERTO CARDENAS MAGAÑA