Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Ingeniería en comunicaciones y electrónica
Análisis numérico: Método de gauss-seidel
ALUMNOS: Díaz Cruces Gonzalo Oswaldo Mario A. Mosen Murillo !a"l#..
G!UPO: $C%&
Método de Gauss-Seidel
El método de Gauss-Seidel es llamado de esta forma en honor a los matemáticos alemanes Carl Friedrich Gauss y Philipp Ludwig on Seidel y es un re!namiento del método de "aco#i $ue generalmente %pero no siempre& conerge más rápido' siempre $ue el sistema de ecuaciones cumpla con las caracter(sticas su!cientes) Es un método iteratio utili*ado para resoler sistemas de ecuaciones lineales) +un$ue puede aplicarse a cual$uier sistema de ecuaciones lineales $ue produ*ca una matri* de coe!cientes con los elementos de su diagonal nonulos' la conergencia del método solo se garanti*a si la matri* es diagonalmente dominante o si es simétrica y' a la e*' de!nida positia %el sistema de#e tener tantas ecuaciones como inc,gnitas& El método consiste en hacer iteraciones' a partir de un ector inicial' para encontrar los alores de las inc,gnitas hasta llegar a u na tolerancia deseada' la diferencia radica en $ue cada e* $ue se desee encontrar un nueo alor de una x i' además de usar los alores anteriores de las x ' tam#ién utili*a alores actuales de las x encontradas antes %desde x hasta x i-.&) X i
(
i−1
n
)
= bi−∑ aij X − ∑ aij X ( jk − ) / aij
( K )
j=1
k j
1
j=i + 1
Este proceso se #asa en usar alores calculados inmediatos para hallar un alor de x. Esto facilita la conergencia del mismo)
Para asegurar una conergencia
+lgoritmo
El algoritmo para la soluci,n de pro#lemas utili*ando el método de GaussSeidel es el siguiente/ .) 0eri!car si el sistema satisface las condiciones su!cientes para la conergencia) 1) 2omando la diagonal de la matri* %o#tenida con el sistema de ecuaciones&' despe3ar cada aria#le $ue se encuentre en esa diagonal' de esta manera o#tendremos las ecuaciones de las inc,gnitas / X 1 , X 2 , X 3 , … , X n 4) +signar un alor inicial aleatorio a cada inc,gnita $ue apare*ca en el con3unto) Se puede comen*ar utili*ando un cero para cada aria#le aun$ue' si es posi#le' se puede hacer una hip,tesis ra*ona#le de los posi#les alores de cada aria#le )Los alores iniciales utili*ados no afectarán la conergencia como tal' pero afectarán el n5mero de iteraciones re$ueridas para dicha conergencia) 6) Partiendo de la primera ecuaci,n' determinar un nueo alor para la inc,gnita utili*ando para las otras inc,gnitas los alores supuestos) 7) Pasar a la segunda ecuaci,n y determinar en ella el alor de la inc,gnita utili*ando el alor calculado para la inc,gnita del paso 6 y los alores supuestos para las inc,gnitas restantes) 8) 2erminar de calcular cada inc,gnita utili*ando siempre los 5ltimos alores calculados para las otras inc,gnitas de la ecuaci,n) %9urante la primera iteraci,n' se de#en utili*ar los alores supuestos para las inc,gnitas hasta $ue se o#tenga un alor calculado&) Cuando la ecuaci,n !nal ha sido resuelta' proporcionando un alor para la 5nica inc,gnita' se dice $ue se ha completado una iteraci,n) :) Continuar iterando hasta $ue el alor de cada inc,gnita' determinado en una iteraci,n particular' di!era del alor o#tenido en la iteraci,n preia' en una cantidad menor $ue cierto seleccionado ar#itrariamente) El procedimiento $ueda entonces completo)
E3emplo/ ;esoler el siguiente sistema de ecuaci,n por el método Gauss-Seidel utili*ando un
< ).)
). =. > :) = 1 - )4 = 4 < -.?)4 4) =. - ). = 1 - )1 = 4 < :)@7 )4 =. - )1 = 1 - .) = 4 < :.)6 SOLUCIÓN:
Para asegurar la conergencia del método' eri!caremos si el sistema es diagonalmente dominante' para lograr esto ordenaremos las ecuaciones' de tal modo $ue el alor a#soluto de los coe!cientes de la diagonal del sistema sean mayores o iguales a la suma de los alores a#solutos de los coe!cientes restantes) 3 X 1 0.1 X 1 0.3 X 1
−0.1 X −0.2 X ¿ 7.85 + 0.7 X −0.3 X ¿−19.3 −0.2 X −10 X ¿ 71.40 2
3
2
3
2
3
0eri!cando la conergencia/
¿ a ∨≥∨a ∨+¿ a ∨−−→ 3 ≥ 0.1+ 0.2 11
12
13
¿ a ∨≥ ∨a ∨+¿ a ∨−−→ 0.7 ≥ 0.1 + 0.3 22
21
23
¿ a33∨≥ ∨a32∨+¿ a32∨−−→ 10 ≥ 0.3 +0.2
+hora' como siguiente paso' despe3aremos cada inc,gnita $ue se encuentre en la diagonal' esto es/ X i
=
X 2=
7.85
+ 0.1 X + 0.2 X 2
3
3
−19.3−0.1 X + 0.3 X 1
7
3
X 3=
71.4
−0.3 X + 0.2 X 1
2
10
Para comen*ar' asignaremos alores a =1 y =4' hay $ue recordar $ue los alores no afectan el resultado' pero si el n5mero de iteraciones) Comen*aremos con/ X 2= 0
A
X 3= 0
Por lo tanto' el alor de =. es/ 0
X 1 =
7.85 3
=2.6166
+hora' calculando el alor de =1 de#emos tomar los alores inmediatos de cada aria#le' de forma $ue =4< y =.<1)8.88) hay $ue resaltar $ue se ocupo el alor recién calculado para =.) 0
X 2 =
−19.3− 0.1 ( 2.6266 )+ 0.3 (0 ) 7
=−2.7945
Por 5ltimo' o#tendremos a =4 con los alores inmediatos de cada aria#le) E sto es/ =.<1)8.88 y =1<-1):?67 0
X 3 =
71.4
−0.3 ( 2.6166)+ 0.2 (−2.7945 ) 10
=7.005
2erminado esto se ha o#tenido la primera iteraci,n) Para las siguientes iteraciones se siguie el mismo procedimiento) Segunda iteraci,n/ 1
X 1=
1
X 2=
1
X 3=
7.85
+ 0.1 (−2.794 )+ 0.2 (7.0056 ) 3
=2.9905
−19.3−0.1 ( 2.9905)+ 0.3 ( 7.0056) 7
71.4
−0.3 ( 2.9905 )+ 0.2 (−2.4996 ) 10
=−2.4996
=7.0002
2ercera iteraci,n/ 2
X 1=
2
X 2=
2
7.85
+ 0.1 (−2.49962 )+ 0.2 (7.0002) 3
=3.00003
−19.3−0.1 (3.00003 )+ 0.3 ( 7.00029) 7
X 3=
71.4
=−2.49998
−0.3 ( 3.00003 )+ 0.2 (−2.49998 ) 10
=6.99999
Cuarta iteraci,n 3
X 1
=
3
X 2=
3
X 3
=
7.85
+ 0.1 (−2.49998 )+ 0.2 (6.99999 ) 3
−19.3−0.1 ( 3.0000)+ 0.3 (6.99999) 7
71.4
−0.3 ( 3.0000 )+ 0.2 (−2.50000 ) 10
=3.0000
=−2.50000
=7.00000
+hora' si calculamos la ariaci,n entre una iteraci,n y otra' y la comparamos con el error dado' encontraremos $ue/
| X − X |=|3.00000−3.000031|=0.000031 3
2
1
1
| X − X |=|2.500000−(−2.499998 )|=0.000012 3
2
2
2
| X − X |=|7.0000−6.99999|=0.000001 3
2
3
3
9ado $ue las ariaciones son menores al error' el resultado para cada aria#le es/ X 1=3 ; X 2=−2.5 ; X 3=7
Conclusiones/
Las caracter(sticas $ue de#e de cumplir el sistema de ecuaciones son las siguientes/ • • •
•
Las ecuaciones del sistema de#en ser lineales Los elementos de la diagonal no de#en ser nulos 9e#e generar una matri* con tantas ecuaciones como inc,gnitas %Matri* cuadrada& 9e#e ser un sistema diagonalmente dominante para asegurar la conergencia %es su!ciente aun$ue no es necesario&