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Alumnos: Cocom Tut Juan Carlos Dzul Dzidz Jose lorenzo Método de Gauss-Seidel Gauss-Seidel Este método se basa en la aproximación iterativa propuesta por Seidel en 1874 (Academia (Academia de Ciencias Ciencias de Munich! Munich! "ara la aplicación aplicación al problema problema del #lu$o de potencia% las ecuaciones de nodo & condiciones de contorno se combinan% para el nodo '
)e donde se puede expresar la tensión *' como
+a ecuación anterior es el cora,ón del al-oritmo iterativo! +a iteración comien,a con una estimación de las ma-nitudes & .n-ulos de todas las barras del sistema% & se van recalculando las tensiones utili,ando los me$ores valores disponibles! Esto es% para calcular la tensión *' se utili,an los *1!!!'/1 &a actuali,ados% & los *'!!!n del paso anterior! El méto método do tien tienee una una conv conver er-e -enc ncia ia extr extrem emad adam amen ente te lent lentaa pero pero se-u se-ura ra (exc (excep epto to para para problemas mal condicionados% o sin conver-encia posible! El méto método do de 0aus 0auss/ s/Se Seid idel el es un re#i re#ina nami mien ento to del del méto método do de aco acobi bi 2ue 2ue -eneralmente (pero no siempre conver-e m.s r.pido! El 3ltimo valor de cada variable es sustituido en cada paso en el proceso iterativo! El método de 0auss/Seidel% es un método iterativo & por lo mismo% resulta ser un método bastante e#iciente! A continuación se presenta un sistema de ecuaciones
)e la ecuación 1 se despe$a x1 % de la ecuación despe$a x 2 % 5% de la ecuación n se despe$a x n ! 6esolviendo lo anterior se obtiene el si-uiente con$unto de ecuaciones
Este 3ltimo con$unto de ecuaciones son las 2ue #orman las #órmulas iterativas! "ara comen,ar el proceso iterativo% le se le asi-na el valor de cero a las variables x 2 , , x n esto dar. un primer valor para x1 ! M.s precisamente% se tiene 2ue
A continuación% se sustitu&e este valor de x2 en la ecuación % & las variables x3 ,..., x n si-uen teniendo el valor de cero! Esto nos da el si-uiente valor para x2
Estos 3ltimos valores de x1 & x2 % se sustitu&en en la ecuación % mientras 2ue x4 ,..., xn
si-uen teniendo el valor de cero & as9 sucesivamente hasta lle-ar a la 3ltima ecuación! :odo este paso% dar.n una lista de primeros valores para las incó-nitas% la cual con#orma el primer paso en el proceso iterativo! )i-amos 2ue se tiene
Se repite el proceso% pero ahora sustitu&endo estos 3ltimos datos en ve, de ceros como al inicio% se obtendr. una se-unda lista de valores para cada una de las incó-nitas! "or lo tanto ahora se tiene
En este momento% se puede calcular los errores aproximados relativos% respecto a cada una de las incó-nitas! As9% se tiene la lista de errores como si-ue
El proceso se vuelve a repetir hasta 2ue
donde ∈ s es una cota su#iciente pre#i$ada! Criterio de Convergencia para el método de Gauss-Seidel
El método de 0auss/Seidel sur-io como una modi#icación del método de acobi 2ue acelera la conver-encia de éste! El método de 0auss/Seidel recorta sustancialmente el n3mero de iteraciones a reali,ar para obtener una cierta precisión en la solución! Evidentemente los criterios de conver-encia son similares a los de acobi! Este criterio no solo se aplica a las ecuaciones lineales 2ue se resuelven con el método de 0auss/Seidel sino también para el método iterativo del punto #i$o & el método de $acobi! "or tanto% al aplicar este criterio sobre las ecuaciones de 0auss/Seidel & evaluando con respecto a cada una de las incó-nitas% obtenemos la expresión si-uiente a
12
a
11
<1
a21 a22
<1
El valor absoluto de las pendientes en la ecuación% deben ser menor 2ue la unidad para ase-urar la conver-encia! a11 > a12 a22 > a21
n
aii > ∑ ai , j j =1
Es decir% el elemento dia-onal debe ser ma&or 2ue el elemento #uera de la dia-onal para cada re-lón de ecuaciones! +a -enerali,ación del criterio anterior para un sistema de n ecuaciones es j ≠ i
El método de 0auss/Seidel est. basado en el concepto de punto #i$o% es decir ( xi ; -i (x% i ; 1!! n% para resolver sistemas de ecuaciones lineales! "ara -aranti,ar la conver-encia se debe de cumplir 2ue el sistema ten-a una dia-onal dominante% es decir 2ue se cumpla la desi-ualdad si-uiente% si se cambió el orden de las ecuaciones esta puede diver-ir!
n a > ∑ a ii ij i=1 j ≠i
Gauss seidel con relajación
El metodo de 0auss/Seidel con rela$ación% es b.sicamente i-ual al método 0auss/ Seidel simple% con la di#erencia de 2ue esta dise
nuevo
= λ ⋅ xi
nuevo
+ (1 − λ ) ⋅ xi
anterior
)onde λ es un #actor ponderado comprendido entre = & !
Si λ;1 el resultado no es modi#icado% por lo tanto la ecuación se trans#orma en la ecuación para resolver por el método 0auss/Siedel de manera convencional! "ara valores de λ > 1 el método es conocido como sub/rela$ación% es utili,ado para hacer 2ue un sistema no conver-ente conver$a o apresure la conver-encia al amorti-uar las oscilaciones! "ara valores de λ ? 1 al método se le llama sobre/rela$ación% el cual se utili,a para 2ue la conver-encia se mueve en la dirección correcta hacia la solución verdadera% pero con una velocidad demasiado lenta! "or lo tanto se pretende 2ue con la ponderación me$ore la aproximación al llevarla m.s cerca de la verdadera! +a elección de un valor de λ adecuado es de #orma emp9rica% por lo -eneral este método no se utili,a para la solución de un solo sistema de ecuaciones! Es m.s usual cuando un sistema en estudio se debe resolver de manera repetitiva% una buena selección de λ es de vital importancia para el éxito del método!
Ejemplo Emplee el método de 0auss/Seidel con rela$ación para resolver ( λ;=!@= & εa ; B / 1
D 1
4 1 1 F 1 D 8
; 8=
1
;/
; 4
12 x1 80 − 5 4 − 1 − 1 x = − 2 2 6 8 x3 45 Si es necesario reordene las ecuaciones para 2ue el
sistema conver$a
Si lo pasamos al #ormato de una matri, & su vector de resultados% obtenemos lo si-uiente *eri#icando el criterio de conver-encia mediante la si-uiente ecuación
ai ,i >
n
∑a j =1
i , j
j ≠i
6esolviendo esta ecuación para un sistema de x obtenemos lo si-uiente a11 > a12 + a13 a 22 > a 21 + a 23 a 33 > a31 + a32
Conver-encia Esto 2uiere decir 2ue el elemento dia-onal debe ser ma&or al elemento #uera de la dia-onal para cada #ila! "or tanto reor-ani,amos el sistema de la si-uiente #orma
4 − 1 − 1 x1 − 2 4 > − 1 + − 1 6 8 x = 45 8 > 6 2 − 5 12 x3 80 12 > − 5 ⇒
"or lo tanto se puede ase-urar la conver-encia con este arre-lo! +as si-uientes #órmulas las utili,amos para encontrar 1% & en cada una de las iteraciones! x1 =
b1 − a12 x 2 − a13 x3 a11 b2 − a 21 x1 − a 23 x3
x2 =
x3 =
xi
a 22 b3 − a 31 x1 − a32 x2 a 33
nuevo
= λ ⋅ xi
nuevo
+ (1 − λ ) ⋅ xi
anterior
"ara calcular el primer valor de 1% se asumir.n & con valores cero! Entonces para 1% x1 = x1 = x1 =
b1 − a12 x 2 − a13 x3 a11
− 2 − ( − 1) ⋅ x2 − ( − 1) ⋅ x3 4 − 2 − ( − 1) ⋅ 0 − ( − 1) ⋅ 0 4
x1 = −0,50000
para calcular el valor de % se utili,ar. solamente el valor encontrado de 1% dado 2ue a es cero! x2 = x2 = x2 =
b2 − a 21 x1 − a 23 x3 a22 45 − ( 6) ⋅ x1 8 45 − ( 6) ⋅ ( −0,50000) 8
x2 = 6,00000
para calcular el valor de % se utili,ar. solamente el valor encontrado de 1% dado 2ue a es cero!
x3 = x3 = x1 x
2
x 3
0,50000
=
−
x3 =
=
6,00000
=
6,45833 x3
b3 − a31 x1 − a32 x 2 a33 80 − ( − 5) ⋅ x1 12 80 − ( − 5) ⋅ (−0,50000 ) 12
= 6,45833
Entonces en la primera iteración "ara la se-unda iteración% en el c.lculo de 1 el valor de & ser.n los calculados en la primera iteración% se-uidamente se le aplicar. la ponderación con el #actor λ! Entonces para 1% x1 = x1 = x1 =
b1 − a12 x 2 − a13 x3 a11
− 2 − ( − 1) ⋅ x 2 − ( − 1) ⋅ x3 4 − 2 − ( − 1) ⋅ 6,0000 − ( − 1) ⋅ 6,45833 4
x1 = 2,61458
aplicando la ponderación
cero!
x1
nuevo
= λ ⋅ x1nuevo + (1 − λ ) ⋅ x1 anterior
x1
nuevo
= 0,9 ⋅ 2,61458 + (1 − 0,9) ⋅ (−0,50000)
x1
nuevo
= 2,30313
para se utili,a solamente el valor de 1 de la se-unda iteración% dado 2ue a es
x2 = x2 = x2 =
b2 − a 21 x1 − a 23 x3 a 22 45 − ( 6 ) ⋅ x1 8 45 − ( 6 ) ⋅ (2,30313)
x2 = 3,89766
8
aplicando la ponderación nuevo
= λ ⋅ x 2 nuevo + (1 − λ ) ⋅ x 2 anterior
x1
nuevo
= 0,9 ⋅ 3,89766 + (1 − 0,9) ⋅ (6,00000)
x1
nuevo
= 4,10789
x2
para se utili,a solamente el valor de 1 calculado en la se-unda iteración% dado 2ue a es cero! x3 = x3 = x3 =
b3 − a 31 x1 − a32 x 2 a33
80 − ( − 5) ⋅ x1 12 80 − ( − 5) ⋅ (2,30313) 12
x3 = 7,62630
aplicando la ponderación x3
nuevo
= λ ⋅ x3 nuevo + (1 − λ ) ⋅ x3 anterior
x3
nuevo
= 0,9 ⋅ 7,62630 + (1 − 0,9) ⋅ (6,45833)
x3
nuevo
= 7,50951
Entonces en la se-unda iteración x
1
x x
= 2,30313
2
= 4,10789
3
= 7,50951
ε ax1
=
ε ax1
=
x1
nuevo
− x1 anterior
x1
nuevo
⋅ 100%
2,30313 − (−0,50000) 2,30313
⋅ 100%
nuevo
xr
− xr anterior
⋅100% ε a = nuevo x 121 , 71 % 5 % = > ε ax1 r Gna ve, obtenidos estos resultados% se debe calcular el error aproximado porcentual para cada uno de los resultados% para ello utili,amos la si-uiente #órmula "ara 1% x 2
nuevo
− x 2 anterior
ε ax 2
=
ε ax 2
=
ε ax 2
= 46,06% > 5%
x 2
nuevo
⋅ 100%
4,10789 − 6,00000 4,10789
x3
nuevo
− x3 anterior
ε ax 3
=
ε ax 3
=
ε ax 3
= 14,00% > 5%
x3
nuevo
"ara %
⋅ 100%
7,50951 − 6,45833 7,50951
⋅ 100%
⋅ 100% "ara %
)ado 2ue en las tres incó-nitas el error aproximado porcentual es ma&or a un B se debe hacer una nueva iteración! Se contin3a reali,ando el mismo procedimiento con los nuevos valores de obtenidos hasta 2ue los errores aproximados porcentuales en las tres incó-nitas sean menores 2ue el B!
El resultado de estas iteraciones si-uiendo el mismo procedimiento% se presenta en la :abla 7! :abla 7 6esultados de las iteraciones por el método de 0aussHSeidel con 6ela$ación con un λ;=!@ del e$emplo (e$ercicio 11!@ pp! 1 It eración
x
1
x x
1
x
=
=
%=====
1
/ =%====
%=1
%@4
4
%787
%=====
%=====
%1=78@
%871@
%848@
x
=
F
4
%=====
%48
%=@1
%F487@
%FF7
x
ε
a x1
ε
a x
ε
a x
=
F
7
7
7
1 1%71B
%81B
%F7B
=
F%=FB
%=B
%7B
4
F
=
4%==B
%8B
%1=B
1
1
=
= 2,37827
2
= 3,84289
3
= 7,65673
al sustituir estos valores en las ecuaciones ori-inales para veri#icar los resultados obtenemos 2ue 17 J(%787
J(%848@
J(7%FF7
; /1%@8F
/ J(%787
D 1 J(%848@
J(7%FF7
; 4%=171
/ J(%787
J(%848@
D J(7%FF7
; 7@%@8@41
Al calcular los porcenta$es de error de estos resultados se obtiene lo si-uiente
Error E1 = Error E2 = Error E3 =
- 2 - (-1,98655) -2 45 - 45,01271 45 80 - 79,98941 80
⋅ 100% = 0,67%
⋅ 100% = −0,03% ⋅ 100 % = 0,01%
KIK+IL06ANA Steven Chapra% 6a&mond Canale! OMétodos numéricos para in-enierosP% cuarta edición% ==! pp =1/1% =/1% 44/4F!
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