MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL ACELERADO

SISTEMAS DE POTENCIA

MÉTODO DE GAUSS ‐ SEIDEL AL ESTUDIO DE FLUJO DE CARGAS Ejercicios Estudio del flujo de potencia Objetivo principal en S.E.P.: satisfacer la demanda.  Hay que reducir el número de posibilidades: ESTUDIO DEL FLUJO DE POTENCIA Nuestro objetivo: 1.‐ Tensión y potencia en todas las barras. 2.‐ Flujo de Potencia en todas las líneas.  A) El método de análisis nodal es el más empleado.  B) Se emplea la matriz de admitancias de barra Ybus. Pi‐jQi ‐ Yi1V1Vi*‐ Yi2V2Vi*‐ ... ‐ YinVnVi*= 0 (I) (Vi = 1,2,..., n) (FORMA GENERAL DE LAS ECUACIONES DE FLUJO)  C) Las barras se clasifican según el tipo de datos e incógnitas. Tipo Se conoce Se desconoce Denominación 1 P , Q v , [v] Barra de carga 2 P , v , Qmax, Qmin Q , [v] Barra de tensión controlada 3 v , [v] P , Q Barra de referencia  D) Las líneas son representadas mediante su esquema en Π.

1


Ejemplo PQ En el esquema de la figura se representa un sistema eléctrico de potencia con tres nudos y se desea analizar el flujo de potencia. En este caso los nudos en los que se desconoce la tensión son Nudos de carga (PQ). Los valores son por unidad

Línea 1 2 3

Nudos 1‐2 2‐3 1‐3

Datos de Líneas Impedancia(Z) Admitancia (Y/2) j0,1 0 j0,2 0 j0,2 0

Nudo

Tipo

1 2 3

Compensador Generador Carga

Datos de generación y de carga: Generación Carga Voltaje P Q P Q Mod. Ang. 1,0 0 5,32 3,0 3,64 0,54

Se pide: Utilizando el método de Gaus Seidel con un factor de aceleración  de 1,4, hallar las tensiones de los nudos 2 y 3 con una tolerancia de 0,01. Pasos 1.‐ Elección de unas bases 2.‐ Transformación del sistema en el esquema equivalente en p.u. El ejercicio está en este punto. 3.‐ Formación de la matriz YBUS:

Y11 =

y12 1 y13 1 1 1 + =0+ +0+ = - j15 + + j0,1 j0,2 2 z12 2 z13

Y12 = -

1 1 == j10 z12 j0,1

2


Y13 = Y22 =

1 1 == j5 z13 j0,2

y12 1 y23 1 1 1 + + + =0+ +0+ = - j15 2 z12 2 z 23 j0,1 j0,2

Y23 = Y33 =

1 1 == j5 z23 j0,2

y13 1 y23 1 1 1 + + + =0+ +0+ = - j10 2 z13 2 z23 j0,2 j0,2 Ybus

5    15 10   j  10  15 5   5 5  10 

4.‐ Valores iniciales: DATO: SUPUESTO:

V1 = 1,00 [0º] pu V2 = 1,00 [0º] pu V3 = 1,00 [0º] pu

5.‐ Potencias en los nudos: NO HACE FALTA. Se conocen las potencias de los nudos en que no conocemos la tensión porque son de tipo 3(PQ). 6.‐ Iteración 1 ‐ Tensiones en los nudos:

V2(1) 



1  P2  jQ 2 (0)   (0)   Y21 V1  Y23 V3   Y22  (V2 ) 

 1  5,32  j3  1,0[0] ( j10)  ( j5)1,0[0]   1,2  j0,3547   15j  1[ 0] 

V3(1) 



1  P3  jQ 3 (1)   (0)   Y31V1  Y32 V2   Y33  (V3 ) 

 1   3,64  j0,54  1,0[ 0] ( j5)  ( j5)(1,2  j0,3547)  1,0460  j0,1867  1,0[ 0]  10 j  

7.‐ Incremento de tensión:

V2(real)  V2(1)  V2(0)  0,2 V2(imag )  V2(1)  V2(0)  0,3547

V21  V2(1)  V2(0)  0 ,2  j0,3547 V31  V3(1)  V3(0)  0 ,0460  j0,1867

8.‐ Aceleración de tensiones:

V2(1)  V2( 0 )  V20  1  1,40,2  j 0,3547   1,2800  j 0,4965

V3(1)  V3( 0 )  V30  1,0  1,40,0460  j 0,1867   1,0644  j 0,2613

3


Repetir desde el punto 5: Iteración 2 ‐ Tensiones en los nudos:

V2(2) 



 1  P2  jQ 2  Y21V1  Y23V3(1)    (1)  Y22  (V2 ) 

1  5,32  j3   1,0[ 0 ] ( j10)  ( j5)(1,0644  j0,2613)  1,0639  j0,2064   15 j  1,28  j0,4965 

1  P3  jQ 3 (2 )   (1)   Y31 V1  Y32 V2   Y33  (V3 )  1   3,64  j0,54    1,0[ 0] ( j5)  ( j5).(1,0639  j0,2064)  0,9049  j0,2076   10 j  1,0644  j0,2613  Incremento de tensión: V22  V2(2)  V2(1)  0 ,2161  j0 ,2901 V32  V3(2)  V3(1)  0 ,1595  j0 ,0538 Aceleración de tensiones: V2(2)  V2(1)  V22  1  1,4 0,2161  j0,2901  0,9774  j0,0904 V3(2)  V3(1)  V32  1,0  1,4 0,1595  j0,0538  0,8411  j0,1861 Repetimos Iteración 3 ‐ Tensiones en los nudos:  1  P2  jQ 2 V2(3)   Y21V1  Y23V3(2)    (2 )  Y22  (V2 )  1  5,32  j3    1,0[ 0] ( j10)  ( j5)(0,8411  j0,1861)  1,1167  j0,3165   15 j  0,9774  j0,0904  1  P3  jQ 3 ( 3)  V3(3)   (2)   Y31 V1  Y32 V2   Y33  (V3 )  V3(2) 



1   3,64  j0,54   1,0[ 0 ] ( j5)  ( j5).(1,1167  j0,3165)  0,9058  j0,2408   10 j  0,8411  j0,1861 

Incremento de tensión:

V23  V2(3)  V2(2)  0,1393  j0 ,2262 V33  V3(3)  V3(2)  0,0648  j0,0547

Hay que seguir iterando porque el error es superior a 0,01 Aceleración de tensiones:

V2(3)  V2(2)  V23  1,1724  j0,4070 V3(3)  V3(2)  V33  0,9317  j0 ,2627

Debemos seguir…pero recomiendo hacerlo con el MATLAB para agilizar la solución.

4

SISTEMAS ENERGÉTICOS

5

Ejemplo PV Datos de las líneas (valores p.u.): Línea Nudos Impedancia (Z)

Admitancia (Y/2)

1

1‐2

j0,1

0

2

2‐3

j0,2

0

3

1‐3

j0,2

0

Datos de generación y de consumo(cargas) (valores p.u.):

Nudo

Generación

Consumo

Voltaje

Límite de Potencia

P

Q

P

Q

Mod. Ang. Qmin

3,64

0,54

Tipo

1

Compensador

2

Generador

3

Carga

5,32

1,0 1,1

0

Qmax

0

3,5

Tolerancia: 0,001 Factor de aceleración a: 1,4

Pasos generales:  1.‐ Elección de unas bases  2.‐ Transformación del sistema en el esquema equivalente en p.u. El ejercicio está en este punto.  3.‐ Formación de la matriz YBUS:

Y11 =

y 12 1 y13 1 1 1 + + + = 0 + +0+ = ‐ j15 2 z12 2 z13 j0,1 j0,2

Y12 = ‐

1 1 = ‐ = j10 z12 j0,1

5


6

y 12 1 y 23 1 1 1 + + + = 0 + +0+ = ‐ j15 j0,1 j0,2 2 z12 2 z23 y 1 y 23 1 1 1 Y33 = 13 + + + = 0 + +0+ = ‐ j10 j0,2 j0,2 2 z13 2 z23 Y22 =

Ybus 



1 1 = ‐ = j5 z13 j0,2 1 1 Y23 = ‐ = ‐ = j5 z23 j0,2 Y13 = ‐

5   15 10   j 10  15 5   5 5  10

4.‐ Valores iniciales: DATO: V1 = 1,00 [0º] pu SUPUESTO: V2 = 1,10 [0º] pu V3 = 1,00 [0º] pu 5.‐ Potencias en los nudos:





P2  jQ 2  (V2(0) ) Y21V1  Y22 V2(0)  Y23V3(0)  1,1[ 0 º ] j10.1[ 0 º ]  j15.1,1[ 0 º ]  j5.1[ 0 º ]   1,65 j

Q2 = 1,65 < 3,5  6.‐ Iteración 1 ‐ Tensiones en los nudos:

V2(1) 



1  P2  jQ 2 (0)   (0)   Y21 V1  Y23 V3   Y22  (V2 ) 

 1  5,32  j1,65  1,0[ 0] ( j10)  ( j5)1,0[ 0]   1,1463[16 ,337  1,1[16 ,337]   15j  1,1[ 0] 

V3(1) 

 

1  P3  jQ 3 (1)   (0)   Y31V1  Y32 V2   Y33  (V3 ) 

 1   3,64  j0,54  1,0[0] ( j5)  ( j5)1,1[16 ,337]   0,9960[ 12,130]  1,0[ 0]  10 j  

7.‐ Cálculo de la tolerancia:

V2(real)  V2(1)  V2(0)  1,0556  1,1  0,0444 V2(imag )  V2(1)  V2(0)  0,3094  0,0  0,3094

V21  V2(1)  V2(0)  0 ,0444  j0,3094 V31  V3(1)  V3(0)  0 ,9738  j0,2093  1  0,0262  j0 ,2093

Aún no converge  8.‐ Tensiones de nudo:

V2(1)  V2(0)  V20  1,1  1,4 0,0444  j0,3094  1,0378  j0,4332  1,18922,655  1,122,655 V3(1)  V3(0)  V30  1,0  1,4 0,0262  j0,2093  1,006916 ,918



9.‐ Repetir el proceso desde 5. Cálculo de las potencia reactiva





P2  jQ 2  (V2(0) ) Y21V1  Y22 V2(0)  Y23V3(0) 

 1,122 ,655 j10.1[ 0 º ]  j15.1,122 ,655  j5.1,007[ 16 ,918º ]   7,765  3,7301 j

6






V2(2) 

7

La potencia reactiva es mayor que la Qmax: Entonces se fija la Q= Qmax y el nudo pasa a nudo de Carga. P2  jQ 2  5,32  3,5 j 10.‐ Iteración 2 ‐ Tensiones en los nudos:

 1  P2  jQ 2 1  5,32  j3,5 (1)   1,0[ 0] ( j10)  ( j5)1,007[ 16 ,918]   1,096114 ,89    (1)   Y21 V1  Y23 V3   Y22  (V2 )   15j  1,1[ 0] 

V3(2) 

 1  P3  jQ 3 1   3,64  j0,54 (2 )   Y V  Y V   1 , 0 ( j 5 )  ( j 5 ) 1 , 1  31 1 32 2  [0] [14 ,89 ]   0 ,8952[ 12 ,186]  Y33  (V3(1) )   10 j  1,007[ 16 ,918] 




V22  V2(2)  V2(1)  0,0480  j0,1411 V32  V3(2)  V3(1)  0,0883  j0,1040


V2(2)  V2(1)  V21  1,1  1,40,0480  j0,1411  1,1672  j0,19  1,111,802

V3(2)  V3(1)  V31  1,0  1,4 0,0883  j0,1040  0,85259 ,953 

13.‐ Cálculo de las potencia reactiva





P2  jQ 2  (V2(2) ) Y21V1  Y22 V2(2)  Y23V3(2) 

 1,111,802 j10.1[ 0 º ]  j15.1,111 ,802  j5.0,8525 9 ,953   3,9876  3,0274 j

P2  jQ 2  5,32  3,0274 j 

14.‐ Iteración 3 ‐ Tensiones en los nudos:  1  P2  jQ 2 1  5,32  j3,0274 (2)  V2(3)   1,0 [0] ( j10)  ( j5).0,85259 ,953   1,103016 ,00  1,1[16 ,00]   (2)   Y21 V1  Y23 V3   Y22  (V2 )   15j  1,1[ 11,802]   1  P3  jQ 3 1   3,64  j0,54 ( 3)  V3(3)   1,0[ 0 ] ( j5)  ( j5)1,1[16 ,00 ]   0,9291[ 16 ,122]   (2)   Y31V1  Y32 V2   Y33  (V3 )    10 j  0,8525[ 9 ,953]  15.‐ Cálculo de la tolerancia:

V22  V2(2)  V2(1)  0,0194  j0,0782 V32  V3(2)  V3(1)  0,0528  j0 ,1106


V2(3)  V2(2)  V2(2)  1,1  1,4 0,0194  j0,0782  1,0496  j0,3345  1,117,68 V3(3)  V3(2)  V3(2)  1,0  1,40,0528  j0,1106  0,962318 ,30

7




8

17.‐ Cálculo de las potencia reactiva:





P2  jQ 2  (V2(3) ) Y21V1  Y22 V2(3)  Y23V3(3) 

 1,117 ,68 j10.1[ 0 º ]  j15.1,117 ,68  j5.0,962318 ,30   6,4495  3,3863 j

P2  jQ 2  5,32  3,3863j 

18.‐ Iteración 4 ‐ Tensiones en los nudos:  1  P2  jQ 2 1  5,32  j3,3863 (3)  V2(4)   1,0 [0] ( j10)  ( j5).0,962318 ,30   1,102114 ,11  1,1[14 ,11]   (3)   Y21 V1  Y23 V3   Y22  (V2 )    15j  1,1[ 17,68]  1  P3  jQ 3 1   3,64  j0,54 (4)  V3(4)   1,0[ 0 ] ( j5)  ( j5)1,1[14 ,11]   0,8859[ 13,536]   (3)   Y31V1  Y32 V2   Y33  (V3 )    10 j  0,9623[ 18 ,30]  19.‐ Cálculo de la tolerancia:

V2(3)  V2(3)  V2(2)  0,0187  j0,0657 V3(3)  V3(3)  V3(2)  0,0523  j0 ,949 

20.‐ Tensiones de nudo:

V2(4)  V2(3)  V2(3)  1,1  1,40,0187  j0,0657  1,0743  j0,2420  1,112,69 V3(4)  V3(3)  V3(3)  1,0  1,4 0,0523  j0,0949  0,857311,40








P2  jQ 2  (V2(4 ) ) Y21V1  Y22 V2(4)  Y23V3(4 ) 

 1,112 ,69 j10.1[ 0 º ]  j15.1,112 ,69  j5.0,857311 ,40   4 ,3415  3,1143 j

P2  jQ 2  5,32  3,1143j  V2(5)

22.‐ Iteración 5 ‐ Tensiones en los nudos:  1  P2  jQ 2 1  5,32  j3,1143 (4 )    1,0 [0] ( j10)  ( j5).0,857311,40   1,101615,78  1,1[15,78]   (4)   Y21 V1  Y23 V3   Y22  (V2 )   15j  1,1[ 12,69] 

V3(5)  

 1  P3  jQ 3 1   3,64  j0,54 (5)   1,0[ 0] ( j5)  ( j5)1,1[15,78]   0,9195[ 16 ,05]   (4)   Y31V1  Y32V2   Y33  (V3 )    10 j  0,8573[ 11,40]


V2(5)  V2(5)  V2(4 )  0,0146  j0,0574 V3(5)  V3(5)  V3(4 )  0,0432  j0,0848


V2(6)  V2(5)  V2(5)  1,1  1,4 0,0146  j0,0574  1,0743  j0,2420  1,117,01

V3(6)  V3(5)  V3(5)  1,0  1,40,0432  j0,0848  0,945917,74

8




9






P2  jQ 2  (V2(5) ) Y21 V1  Y22 V2(5)  Y23 V3(5) 

 1,117 ,01 j10.1[ 0 º]  j15.1,117 ,01  j5.0 ,9459 17 ,74   6,1832  3,3567 j

P2  jQ 2  5,32  3,3567j 

26.‐ Iteración 6 ‐ Tensiones en los nudos:  1  P2  jQ 2 1  5,32  j3,3567 (5)  V2(6)   1,0[0] ( j10)  ( j5).0,945917,74   1,101214 ,29  1,1[14 ,29]   (5)   Y21 V1  Y23 V3   Y22  (V2 )   15j  1,1[ 17,01] 

 1  P3  jQ 3 1   3,64  j0,54 (6 )   1,0[0] ( j5)  ( j5).1,1[14 ,29]   0,8874[ 13,915]   (5)   Y31V1  Y32 V2   Y33  (V3 )    10 j  0,9459[ 17,74]

V3(6)  


V2(6)  V2(6)  V2(5)  0,0141  j0,0503 V3(6)  V3(6)  V3(5)  0,0395  j0,0747


V2(6)  V2(6)  V2(6)  1,1  1,40,0141  j0,0503  1,0716  j0,2514  1,113,20 V3(6)  V3(6)  V3(6)  1,0  1,4 0,0395  j0,0747  0,865312,25








P2  jQ 2  (V2(6) ) Y21 V1  Y22 V2(6)  Y23 V3(6) 

 1,113 ,20  j10.1[ 0 º]  j15.1,113 ,20  j5.0 ,865312 ,25   4 ,5566  3,1434 j

P2  jQ 2  5,32  3,1434 j 

30.‐ Iteración 7 ‐ Tensiones en los nudos:  1  P2  jQ 2 1  5,32  j3,1434 (6 )  V2(7)   1,0[0] ( j10)  ( j5).0,865312,25   1,101014 ,29  1,1[15,61]   (6)   Y21 V1  Y23 V3   Y22  (V2 )    15j  1,1[ 13,20]

V3(7)  

 1  P3  jQ 3 1   3,64  j0,54 ( 7)   1,0[0] ( j5)  ( j5).1,1[15,61]   0,9143[ 15,861]   (6)   Y31V1  Y32 V2   Y33  (V3 )    10 j  0,8653[ 12,25]


V2(7)  V2(7)  V2(6)  0,0115  j0,0448 V3(7)  V3(7)  V3(6)  0,0339  j0,0664


V2(7)  V2(7)  V2(7)  1,1  1,4 0,0115  j0,0448  1,0548  j0,3139  1,116 ,57

V3(7)  V3(7)  V3(7)  1,0  1,40,0339  j0,0664  0,934917,20 

33.‐ Cálculo de las potencia reactiva: 9




10



P2  jQ 2  (V2(7) ) Y21 V1  Y22 V2(7)  Y23 V3(7) 

 1,116 ,57  j10.1[ 0 º]  j15.1,116 ,57  j5.0,9349 17 ,20   5,9955  3,3326 j

P2  jQ 2  5,32  3,3326j …..  71.‐ Iteración 37 ‐ Tensiones en los nudos:  1  P2  jQ 2 1  5,32  j3,2405 (36)  V2(37)   1,0[0] ( j10)  ( j5).0,897914 ,96   1,100015,01  1,1[15,01]   (36)   Y21 V1  Y23 V3   Y22  (V2 )   15j  1,1[ 14 ,94] 

V3(37)  

 1  P3  jQ 3 1   3,64  j0,54 (37)   1,0[ 0] ( j5)  ( j5).1,1[15,01]   0,89943[ 15,06]   (36)   Y31V1  Y32 V2   Y33  (V3 )   10 j  0,8979[ 14 ,96]  72.‐ Cálculo de la tolerancia:

V2(37)  V2(37)  V2(36)  0,0003  j0,0013 V3(37)  V3(37)  V3(36)  0 ,0010  j0 ,0019

Converge  73.‐ Tensiones de nudo:

V2(37)  V2(37)  V2(37)  1,1  1,4 0,0003  j0,0013  1,0623  j0,2854  1,115,04

V3(37)  V3(37)  V3(37)  1,0  1,40,0010  j0,0019  0,900015,10 






P2  jQ 2  (V2(37) ) Y21 V1  Y22 V2(37)  Y23 V3(37) 

 1,115 ,04  j10.1[ 0 º]  j15.1,115,04  j5.0,900 15,10   5,3396  3,2460 j

P2  jQ 2  5,32  3,246 j

10

MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL ACELERADO

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