Método d de G Gauss-Seidel
El método de Gauss-Seidel es casi idéntico al método de Jacobi. Éste último encuentra valores para cada incógnita del sistema de ecuaciones lineales y en la siguiente iteración sustituye estos valores en el sistema. La única diferencia entre el método de Jacobi y el de Gauss-Seidel estriba en que, en el método de Gauss-Seidel, una vez que se ha calculado el valor de xi(k+1), éste valor se sustituye inmediatamente en la misma iteración, iteración, esto es x1( k +1) = x2 ( k +1) = x3( k +1) =
1 a11
1 a22
1 a33
( b1 − a12 x2 ( k ) − a13 x3 ( k ) − … − a1n xn ( k ) ) ( b2 − a 2121 x1( k 1) − a23 x3( k ) − … − a2 n xn ( k ) ) +
( b3 − a31 x1( k 1) − a32 x2( k 1) − … − a3 n xn ( k ) ) +
+
xn ( k +1) =
1 ann
( bn − an1 x1( k 1) − an 2 x2 ( k 1) − an3 x3( k 1) − … − an,n 1 xn 1( k 1) ) +
+
+
+
−
−
Para k=0,1,2,… Al igual que en el método de Jacobi, se toma como aproximación inicial x ( 0) = ( x1( 0 ) , x2( 0) , x3( 0) ,… , xn ( 0) )T = (b1 / a11 , b2 / a22 , b3 / a33 , … , bn / ann )
T
( n +1) 1)
(n)
−x ≤ ξ Y se considera que se ha llegado a una buena aproximación cuando x donde ξ es el vector de tolerancia preestablecido. Ejemplo. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales por medio del método de Gauss-Seidel. Considera una tolerancia de 0.001 y redondeo a cuatro cifras significativas.
6 x1 + 2 x2 + x3 = 22 − x1 + 8 x2 + 2 x3 = 30 x1 − x2 + 6 x3 = 23 Solución. Despejamos x1, x2 y x3 de la primera, segunda y tercera ecuación, respectivamente
1 ( 22 − 2 x2 − x3 ) 6 1 = ( 30 + x1 − 2 x3 ) 8 1 = ( 23 − x1 + x2 ) 6
x1 = x2 x3
Ahora, expresamos estos despejes en términos recursivos 1 ( 22 − 2 x2( k ) − x3( k ) ) 6 1 x2 ( k 1) = ( 30 + x1( k 1) − 2 x3( k ) ) 8 1 x3( k 1) = ( 23 − x1( k 1) + x2 ( k 1) ) 6 Tenemos el vector de aproximaciones iniciales x1( k +1) = +
+
+
+
x (0 ) =
Sea k=0,
x1(0) =
22 (0) ,x 6 2
=
30 (0) ,x 8 3
=
+
(22/6,30/8,23/6) T
23 6 .
1 30 23 22 − 2 − = 1.778 6 8 6 1 23 = 3.014 = 30 + 1.778 − 2 8 6 1 = ( 23 − 1.778 + 3.014 ) = 4.039 6
x1(1) = x2(1) x3(1) (1)
Y ahora x1
= 1.778, x2
(1)
=
3.014, x3(1)
=
4.039 . Como
x (1) − x (0) =
(1.778 − 3.667,3.014 − 3.75,4.039 − 3.833) = (1.889,0.736,0.206)
Es mayor a la tolerancia prefijada ξ = (0.001,0.001,0.001) , es necesario hacer otra iteración. En las siguientes iteraciones, los resultados son: (2)
= 1.989, x2
(3)
(4)
k=1 con x1
k=2 con x1 k=3 con x1
(2)
=
2.989, x3(2)
=
4.000
=
2.004, x2 (3)
=
3.001, x3(3)
=
4.000
=
2.000, x2 (4)
=
3.000, x3(4)
=
4.000
Es claro que el método de Gauss Seidel converge más rápido a la solución del sistema que el de Jacobi. Sin embargo, es importante señalar que la convergencia de estos métodos no siempre está asegurada. Ambos métodos utilizan una técnica similar a la del punto fijo vista en la unidad anterior. Recordemos que el método del punto fijo tiene dos desventajas: 1. En algunas ocasiones no converge a la solución. 2. Cuando converge a la solución lo hace de forma muy lenta. Estos mismos problemas pueden presentarse tanto en el método de Jacobi como en el método de Gauss-Seidel.
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Como ya hemos visto, el método del punto fijo converge en la n-ésima iteración si, y sólo si, g ′(τ ) < 1;
xn −1 < τ < a
donde a es la raíz buscada. Se puede probar que este criterio de convergencia para el método del punto fijo se preserva tanto para el método de Jacobi, como para el método de Gauss-Seidel y que se traduce en la expresión n
aii >
∑1 a ,
i j
;
j≠i
…(26.a) Esto es, el coeficiente diagonal en cada una de las ecuaciones del sistema en valor absoluto debe ser mayor que la suma en valor absoluto de los demás coeficientes en la ecuación. Este criterio es suficiente, aunque no necesario, para garantizar la convergencia, es decir, si (26.a) se cumple habrá convergencia y si no se cumple puede que el método converja o no. Los sistemas que cumplen con esta propiedad son conocidos como diagonalmente dominantes. Ejemplo. Determina si la matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones lineales del ejemplo anterior es diagonalmente dominante. Solución. Tenemos el sistema j =
6 x1 + 2 x2 + x3 = 22 − x1 + 8 x2 + 2 x3 = 30 x1 − x2 + 6 x3 = 23 Por lo que la matriz de coeficientes es 6 A = −1 1
Entonces, tenemos que a11
2 1 8 2 −1 6
> a12 + a13 , a22 > a21 + a23 , a33 > a31 + a32 ya
que
|6|>|2|+|1| |8|>|-1|+|2| |6|>|1|+|-1| Por lo tanto, la matriz de coeficientes del sistema es diagonalmente dominante.
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