BAB I PENDAHULUAN
1.1 1.1.
Lata Latarr Be Bela lak kang ang Masal asala ah
Sistem persamaan linier merupakan salah satu model dan masalah matematika yang yang banak banak dijum dijumpai pai dalam dalam berbag berbagai ai disipl disiplin in ilmu, ilmu, termas termasuk uk matema matematik tika, a, fisika, fisika, biologi, ilmu sosial, teknik dan bisnis. Sistem Siste m – sistem persamaan linier muncul secara secar a langsung dari masalah-masalah nyata dan merupakan bagian dari proses penyelesaian masalah – masalah lain, misalnya sistem persamaan linier non simultan. Suatu sistem persamaan linier terdiri atas sejumlah berhingga persamaan linier dalam sejumlah berhingga variabel. Menyelesaikan persamaan suatu sistem persamaan lini linier er adal adalah ah menca mencari ri nila nilaii – nila nilaii varia variabe bell – varia variabe bell terse tersebu butt yang meme memenu nuhi hi persamaan linier yang diberikan. Sistem Sistem Persam Persamaan aan Linear Linear dalam dalam bentuk bentuk persam persamaan aan perkal perkalian ian matriks matriks dapat dapat ditulis ! " b. #i dalam penyelesaian sistem persamaan akan dicari nilai ! $, !%, ..., ! n yang memenuhi sistem persamaan berikut &
#eng #engan an a adal adalah ah koef koefisi isien en kons konstan tan,, b adal adalah ah kons konsta tan, n, n adal adalah ah juml jumlah ah persamaan, dan !$, !%, ..., !n adalah bilangan tak diketahui. Menyelesaikan suatu sistem persamaan linier adalah mencari nilai-nilai variabel-variabel tersebut yang memenuhi semua persamaan linier yang diberikan. 'erdapat dua kelompok yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier. Metode pertama yaitu metode langsung, yakn yaknii meto metode de yang ang menc mencari ari siste sistem m persa persama maan an lini linier er dala dalam m langk langkah ah berh berhin ingg gga. a. (ont (ontoh ohny nyaa sepert sepertii meto metode de elim elimin inas asii gaus gausss dan dan meto metode de elim elimin inasi asi gaus gausss jord jordan an.. )elomp )elompok ok kedua kedua dikena dikenall sebaga sebagaii metode metode tak langsu langsung ng atau atau metode metode iterasi iterasi,, yang yang bermula dari suatu hampiran a*al dan kemudian berusaha memperbaiki hampiran penyelesaian a*al dan kemudian berusaha memperbaiki hampiran dalam tak berhingga namu namun n
meng menggu guna naka kan n
lang langka kah h
konv konver erge gen. n.
Meto Metode de
iter iteras asii
digu diguna naka kan n
untu untuk k
menyelesaikan menyelesaikan sistem persamaan persamaan linier berukuran besar dan proporsi koefisien nolnya besar. Metode iterasi yang akan a kan dibahas yaitu metode iterasi +acobi dan metode iterasi auss-Seidel.
$
Sist Sistem em pers persam amaa aan n
lini linier er meru merupa paka kan n
kum kumpula pulan n
pers persam amaa aan n
lini linier er yang ang
mempunyai solusi atau tidak mempunyai solusi yang sama untuk semua persamaan. Penyelesaian sistem persamaan linier terbagi menjadi dua metode, metode langsung dan metode metode tak langsu langsung ng iterat iteratif if.. Metode Metode iterat iteratif if terdir terdirii dari dari iterasi iterasi +acobi +acobi dan iterasi iterasi auss-S auss-Seid eidel. el. Metode Metode iterasi iterasi jacobi jacobi adalah adalah metode metode iterasi iterasi yang yang menghi menghitun tung g nilai nilai hampir hampiran an sekaran sekarang g atau terbar terbaru u dengan dengan mengacu mengacu pada pada nilai nilai hampir hampiran an sebelum sebelumny nya. a. Metode iterasi auss-Seidel adalah metode iterasi yang menghitung nilai hampiran sekarang dengan mengacu pada nilai hampiran terbaru. /iyyaka & %0$1 Munculnya permasalahan yang terjadi dalam menyelesaikan persamaan linier yang yang tida tidak k dapa dapatt dise diseles lesai aika kan n deng dengan an meto metode de lang langsu sung ng,, mung mungki kin n dapa dapatt bera berali lih h penyelesaiannya dengan menggunakan metode tak langsung. #alam metode tak langsu langsung ng salah salah satu satu cara yang yang dapat dapat diguna digunakan kan adalah adalah dengan dengan cara metode metode auss auss Seidel. #alam Penerapannya pada program Matlab tentunya akan lebih memudahkan pengguna dalam menyelesaikan persamaan linier dengan metode auss Seidel. 2leh karena itu Makalah ini akan membahas tentang Metode 3terasi auss Seidel dalam plikasi Matlab.
1.2.
Rumusan Ma Masalah
#alam pembahasan latar belakang diatas. rumusan masalah dalam makalah ini adalah & $ pakah pakah dengan dengan metode metode auss Seidel Seidel dalam sistem sistem pemogram pemograman an matlab mampu mampu menyelesaikan persamaan linier yang tidak memiliki solusi 4 % 5agaim 5agaimana ana cara metod metodee auss auss Seidel Seidel dalam menyeles menyelesaik aikan an persam persamaan aan linier linier pada pemograman matlab 4 6 5agaim aimana proses pembuata atan
aplikasi
pemograman
matla tlab
dengan
menggunakan metode auss Seidel dalam menyelesaikan persamaan linier 4 7 5agimana 5agimana cara menjalanka menjalankan n aplikasi aplikasi pemograman pemograman matlab matlab dengan dengan menggunak menggunakan an metode auss Seidel dalam menyelesaikan persamaan linier 4
1.3.
Tujuan
5erdasarkan rumusan masalah yang diberikan sebelumnya, maka tujuan dari pembuatan makalah ini adalah &
%
$ 8ntuk mengetahui apakah dengan metode auss Seidel dalam sistem pemograman matlab mampu menyelesaikan persamaan linier. % 8ntuk mengetahui cara metode auss Seidel dalam menyelesaikan persamaan linier pada pemograman matlab 4 3) 8ntuk mengetahui proses pembuatan aplikasi pemograman matlab dengan menggunakan metode auss Seidel dalam menyelesaikan persamaan linier 4 7 8ntuk mengetahui cara menjalankan aplikasi pemograman matlab dengan menggunakan metode auss Seidel dalam menyelesaikan persamaan linier 4
1..
Man!aat
5erdasarkan latar belakang, rumusan dan tujuan pembuatan makalah, maka manfaat yang bisa diperoleh dari makalah ini adalah sebagai berikut & $ Menambah referensi bacaan dalam mempelajari pemograman matlab dengan metode auss Seidel. % Menambah referensi bagi para pembaca dalam membuat serta menjalankan aplikasi pemograman matlab dengan dengan metode auss Seidel. 6 Sebagai bahan referensi bagi mahasis*a yang sedang memperlajari pemograman matlab khususnya dengan metode auss Seidel.
6
BAB II TIN"AUAN TE#RITI$
2.1.
$%stem Persamaan L%n%er
Suatu Persamaan Linear dengan n peubah ! $, ! %, . . . , ! n adalah persamaan yang dapat ditulis dalam bentuk &
#engan a$, a%, . . . , a n dan b adalah konstanta-konstanta riil, n adalah jumlah persamaan, dan !$, !%, . . . , ! n adalah bilangan tak diketahui nton, $9:;. Penyelesaian dari persamaan linier a$!$ < a%!% < ... < a n!n " b adalah urutan dari bilangan s$, s%, ... , s n sedemikian sehingga persamaan tersebut bernilai benar bila bilangan s$, s%, ... , s n masing-masing disubstitusikan ke ! $, !%, . . . , ! n. Suatu sistem sebarang yang terdiri dari n persamaan linear dengan peubah n ditulis sebagai &
)uantitas-kuantitas aij untuk i, j " $, %, ..., n disebut koefisien. /ilai koefisienkoefisien aij dan ruas kanan b i pada setiap persamaan diketahui. )uantitas-kuantitas ! ij disebut variabel, yang nilainya belum diketahui dan hendak dicari. Sistem persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai & = " 5 #engan adalah sebuah matriks n ! n &
dan = dan 5 adalah vektor-vektor n-komponen &
#engan pangkat ' menyatakan operasi transpose matriks, yakni mengubah baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris. Matriks disebut matriks koefisien, vektor kolom
5
sering
disebut
vektor
konstanta.
Sistem
persamaan
diklasifikasikan, menurut penyelesaiannya, menjadi tiga kelompok & $. SPL yang mempunyai penyelesaian tunggal
7
linier
dapat
%. SPL yang tidak mempunyai penyelesaian 6. SPL mempunyai tak berhingga penyelesaian Sahid, %00>
2.2.
Matr%ks
Misalkan kita memiliki suatu susunan bilangan seperti yang dicontohkan di ba*ah ini&
Maka susunan bilangan yang diatur sedemikan rupa dalam format baris dan kolom yang membentuk sebuah persegi tersebut dinamakan Matriks. Sebuah matriks A dikatakan berukuran m? n jika memiliki m baris dan k kolom, dengan elemen pada baris ke i dan kolom ke j dilambangkan dengan aij ,
kolom ke j
baris ke i
#engan indeks i berjalan dari i = $ hingga i = m , sedangkan indeks j dari j = $ hingga j = n . 5ila jumlah baris dan kolom sebuah matriks sama atau m " n , maka matriks tersebut dinamakan sebagai matriks bujur sangkar berukuran n ? n , atau disebut matriks berorde n. +ika setiap elemen sebuah matriks merupakan bilangan riil, maka matriks tersebut dinamakan matriks riil. Sedangkan jika sekurang-kurangnya terdapat satu elemen yang berbentuk bilangan kompleks, maka matriks tersebut dinamakan matriks kompleks. Semua operasi matriks yang akan dibahas berikut ini berlaku baik untuk matriks riil maupun matriks kompleks.Sebuah matriks A berukuran m ? n dengan elemen aij seringkali ditulis secara ringkas dalam bentuk A " @aijA. latas & 7$
2.3.
Met&'e Iteras% (auss)$e%'el
Metode auss-Seidel digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier SPL berukuran besar dan proporsi koefisien nolnya besar, seperti sistem-sistem yang
>
banyak ditemukan dalam sistem persamaan diferensial. 'eknik iterasi jarang digunakan untuk menyelesaikan SPL berukuran kecil karena metode-metode langsung seperti metode eliminasi auss lebih efisien daripada metode iteratif. kan tetapi, untuk SPL berukuran besar dengan persentase elemen nol pada matriks koefisien besar, teknik iterasi lebih efisien daripada metode langsung dalam hal penggunaan memori komputer maupun *aktu komputasi. #engan metode iterasi auss-Seidel hampiran pembulatan dapat diperkecil karena dapat meneruskan iterasi sampai solusinya seteliti mungkin sesuai dengan batas hampiran yang diperbolehkan. Menurut Sahid %00> pada metode iterasi auss-Seidel, nilai-nilai yang paling akhir dihitung digunakan di dalam semua perhitungan. +elasnya, di dalam iterasi +acobi, menghitung - k
xi
=
- k
- k
- k
- k
- k
f - x$ , x% ,..., xi −$ , xi −$ ,..., xn
sedangkan pada iterasi auss-Seidel menghitung xi- k +$ = f - x$- k +$ , x%- k +$ ,..., xi-−k $+$ , xi-−k $ ,..., xn- k
rumus untuk hampiran ke-k pada metode iterasi auss-Seidel adalah sebagai berikut & xi- k =
(
i −$ n $ bi − ∑ j =$ aij xi- k − ∑ j =i +$ aij x j- k −$ aij
)
dengan syarat aii B 0 dan k " $, %, ... Metode iterasi auss-Seidel dapat dinyatakan dalam bentuk matriks. /yatakan matriks koefisien sebagai " # < L < 8, dengan L dan 8 berturut-turut adalah matriks segitiga ba*ah dan atas dengan diagonal nol dan # matriks diagonal. Cumus iterasi auss-Seidel dapat ditulis dalam bentuk &
yang menghasilkan
Metode iterasi auss-Seidel hampir sama dengan metode iterasi +acobi. Perbedaannya hanya terletak pada penggunaan nilai elemen vektor ! baru yang langsung
1
digunakan pada persamaan di ba*ahnya. 8ntuk lebih jelasnya, perhatikan sistem persamaan linier berikut, $0 x1 – x2 < % x3
"1
P$
- x1 < $$ x2 – x3 <6 x4
" %>
P%
% x1 – x2 < $0 x3 – x4
" -$$
P6
" $>
P7
6 x2 – x3 < : x4
/yatakan terlebih dahulu setiap variabel dalam ketiga variabel yang lain & $. /yatakan x1 dari persamaan P$ dalam x2, x3, dan x4. %. /yatakan x2 dari persamaan P% dalam x1, x3, dan x4. 6. /yatakan x3 dari persamaan P6 dalam x1, x2, dan x4. 7. /yatakan x4 dari persamaan P7 dalam x1, x2, dan x3. hasilnya adalah &
P>
P1
P;
P:
Pada baris pertama, x1 baru dihitung berdasarkan x2lama dan x3lama. )emudian x1 baru tersebut langsung dipakai pada baris kedua untuk menghitung x2 baru. Selanjutnya x1 baru dan x2 baru digunakan pada baris ketiga untuk mendapatkan x3 baru. 5egitu seterusnya hingga x4 baru pun diperoleh pada baris keempat.
;
Sistem persamaan tersebut dapat dinyatakan dalam indeks k seperti di ba*ah ini dimana k adalah jumlah iterasi.
+ika diberikan nilai-nilai a*al x0 adalah x10 " 0, x20 " 0, x30 " 0, dan x40 " 0, atau dinyatakan sebagai hampiran a*al x0 " 0D0D0D0 ', jika pada k " $ akan memperoleh hampiran pertama sebagai berikut &
Lalu proses perhitungan diulangi lagi dengan k " %. 5egitu seterusnya proses ini diulang-ulang lagi untuk nilai-nilai k berikutnya sampai xk mendekati solusi yang sesungguhnya, yaitu x " $D %D -$D $ '
2..
Be*era+a ,atatan Tentang Met&'e Iteras% (auss $e%'el
Menurut Suryapratomo ada beberapa catatan yang harus diperhatikan dalam menggunakan metode iterasi auss Seidel. 5eberapa catatan tersebut antara lain &
:
$. Proses iterasi efisien jika tebakan dekat dengan nilai sejatinya. 'ebakan yang baik bisa dibuat jika fenomena fisiknya telah dipahami. • %. Proses iterasi bisa konvergen menuju nilai sejatinya atau sebaliknya. 8ntuk menjaga konvergensi, pastikan persamaan iterasi disusun dari matriks • •
dominan diagonal. rtinya, nilai mutlak kebanyakan elemen diagonal aii lebih besar daripada
•
elemen lainnya aij. Matriks EF dalam SPL EFE=F"E5F dikatakan dominan diagonal jika & n
a ii
≥
∑
a ij
untuk semua baris − i
a ij
untuk sedikitnya
j =$ j ≠ i n
a ii
>
∑
$
baris − i
j =$ j ≠ i
•
8ntungnya, kebanyakan sistem fisik biasanya memberikan SPL yang dominan diagonalnya.
2.-.
ar%a*el / ar%a*el 0ang D%gunakan
5erikut variabel-variabel yang mungkin bisa digunakan dalam penerapan iterasi gauss seidel sebagai berikut & bs
" menghitung nilai absolut.
5reak
" keluar dari suatu loop.
(lc
" membersihkan tampilan command *indo*.
(lear
" membersihkan variabel.
Gps
" bilangan yang sangat kecil mendekati nol yang merupakan batas akurasi perhitungan.
Length
" untuk mengetahui ukuran atau dimensi dari matriks.
Load
" mengeluarkan kembali pekerjaan dari dalam file.
/
" berisi bilangan asli yaitu @0, $, %, ...A.
/orm
" fungsi distribusi normal gaussian.
2perasi &
" sampai dengan.
2perasi D
" perhitungan tetap dilakukan tanpa menuliskan hasilnya.
2perasi H
" operasi transposisi untuk matriks berisi bilangan riil atau transposisi dan konjugasi untuk matriks kompleks.
2perasi I
" perkalian.
Save
" menyimpan pekerjaan ke dalam file.
'ic toc
" menghitung *aktu dari suatu operasi dalam second.
9
Jeros
" membuat matrik atau vektor nol semua elemennya berisi angka nol yang berukuran n ! n.
2.. Penera+an Met&'e (auss $e%'el Alg&r%tma $. Mulai %. 3nput jumlah variabel yang akan dihitung, elemen matriks a, dan elemen vektor
ruas kanan b. 6. Proses iterasi K proses iterasi • k"0D • for i"$&n • !ki"0.0D • end • 7. Memasukkan tol">.0e->D • delta"$.1e-7D • ma!step"$00D • *hilekma!stepdeltaNtol • for i"$&n • ib " vbiD • m " bibD • for j"i<$&n • m " m - aib,jI!kjD • end • for j"$&i • if i""j • !i"mOaib,iD • else • m " m - aib,jI!jD • end • end • end • >. 8ntuk mencek error delta"0.0D • for i"$&n • d " !i-!kiD • d!i"absdD • !ki"!iD • ifd!iNdelta • delta " d!iD • end • end •
$0
• • • •
k " k<$D fprintfiterasi ke-Kg,kD ! end
1. Stop Im+lementas% Langkah +a'a Matla* K Program untuk melakukan eliminasi auss Seidel K n " dimensi matriks K a " elemen matriks koefisien K b " elemen ruas kanan clearD clcD n " input +umlah variabel yang akan dihitung"D a " input Masukkan elemen matriks a&D b " input Glemen vektor ruas kanan b&D displayGlemen matriksDa displayGlemen ruas kananDb vb " $&nD for i"$&n ib"vbiD bar"iD ib!"ibD m " absaib,iD for j"i<$&n ib"vbjD ifabsaib,iNm m"absaib,iD bar"jD ib!"ibD end end ib"vbiD vbi"ib!D vbbar"ibD end K proses iterasi k"0D for i"$&n !ki"0.0D end tol">.0e->D delta"$.1e-7D ma!step"$00D *hilekma!stepdeltaNtol for i"$&n ib " vbiD m " bibD
$$
for j"i<$&n m " m - aib,jI!kjD end for j"$&i if i""j !i"mOaib,iD else m " m - aib,jI!jD end end end Kperiksa error delta"0.0D for i"$&n d " !i-!kiD d!i"absdD !ki"!iD ifd!iNdelta delta " d!iD end end k " k<$D fprintfiterasi ke-Kg,kD ! end
Langkah-langkah dalam menjalankan progam matlab dengan menggunakan metode auss Seidel sebagai berikut & $. 5uka aplikasi matlab dengan menekan double click pada dekstop MatLab
%. Sehingga akan muncul tampilan seperti gambar di ba*ah
%$ 6. )emudian klik kanan menu Qile – /e* - M-file
7. Selanjutnya masukkan coding yang telah disediakan ke dalam file yang baru di buka seperti pada gambar berikutD $6
>. Setelah cooding dibuat, langkah selanjutnya yaitu menyimpan pada *ork Matlab dengan syarat tidak boleh menggunaan spasi. )emudian mengklik #ebug-Cun, seperti langkah di ba*ah.
$7
1. Setelah me-run, maka lakukan masukkan matriks yang dingin dicari. Test%ng I $%stem Persamaan l%near $%!$-!%<6!6 " : !$<;!%-6!6 " ->$ 7!$-7!%<9!6 " 1$
$>
$1
,atatan Rasil akar persaman tidak langsung diperoleh, namun diperoleh dalam •
•
bentuk iterasi. +ika kita masukkan nilai ! pada iterasi terakhir pada persamaan, diperoleh hasil yang sama maksudnya nilai ruas kanan sama dengan nilai
•
ruas kiri. 5anyaknya persamaan diperoleh melalui data matriks a dan matriks b.
Test%ng II Sistem Persamaan Linear $%!$ – !% " -; !$ < ;!% " -61 7!$ -7!% "$1
$;
,atatan #engan nilai ! yang sama dengan testing sebelumnya, dilakukan untuk •
•
mencari % variabel, ternyata hasil yang diperoleh tetap sama. (ooding persamaan ini tidak hanya berlaku pada matriks 6 ! 6, namun juga berlaku untuk matriks % ! 6 atau yang lainya.
Test%ng III $%stem Persamaan l%near $%!$-!%<6!6 " :
$:
!$<;!%-6!6 7!$-7!%<9!6
" ->$ " 1$
,atatan •
+ika jumlah variabel yang kita masukkan tidak sesuai dengan jumlah variabel yang ada pada matriks, maka hasil yang diperoleh tidak sesuai.
Test%ng I $%stem Persamaan L%near
$%!$-!%<$0!6
"66
!$<;!%<$:!6
"7>
7!$-7!%<6$!6
"-60
$9
%0
,atatan •
#engan memasukkan persamaan linear yang tidak ada solusi jika diselesaikan dengan analitis, metode gauss seidel mampu menemukan
•
nilai variabel persamaan. /ilai variabel yang diperoleh pada persamaan linear yang tidak ada
•
solusi dalam bentuk pecahan desimal. +ika nilai variabel dimasukkan kedalam persamaan, hasil yang diperoleh mendekati hasil yang sebenarnya.
%$
BAB III E$IMPULAN DAN $ARAN
3.1.
es%m+ulan
5erdasarkan penjelasan yang diberikan di atas dapat disimpulkan bah*a & $ #engan metode auss Seidel dalam sistem pemograman matlab mampu menyelesaikan persamaan linier yang tidak memiliki solusi melalui iterasi-iterasi yang dimunculkan pada pemograman. % (ara metode auss Seidel dalam menyelesaikan persamaan linier yang tidak memiliki solusi pada pemograman matlab antara lain & /yatakan terlebih dahulu setiap variabel dalam variabel yang lainnya Pada baris pertama, x1 baru dihitung berdasarkan x2lama dan x3lama. )emudian x1 baru
• •
tersebut langsung dipakai pada baris kedua untuk menghitung x2 baru. Selanjutnya x1 baru dan x2 baru digunakan pada baris ketiga untuk mendapatkan •
x3 baru. 5egitu seterusnya untuk setiap variabel. +ika diberikan nilai-nilai a*al x0 adalah x10 " 0, x20 " 0, x30 " 0, dan x40 "
•
0, atau dinyatakan sebagai hampiran a*al x0 " 0D0D0D0'. Proses perhitungan diulangi lagi dengan k " $, %, 6, ... dst. 5egitu seterusnya proses ini diulang-ulang lagi untuk nilai-nilai k berikutnya sampai xk mendekati solusi yang sesungguhnya.
3.2.
$aran
%%
DA4TAR PU$TAA
/iyyaka, Shella. %0$1. Perbandingan Metode Iterasi Jacobi Dan Iterasi Gauss!eide" Da"am Penye"esaian !istem Persamaan #inier Dengan Menggunakan !imu"asi $om%utasi. Lampung & 8niversitas /egeri Lampung skripsi
Sahid. %00>. Pengantar $om%utasi &umerik dengan MA'#A(. ndi & ogyakarta.
latas, Rusin. (uku Pe"engka% )isika Matematika *disi I . 5ogor & 3nstitut Pertanian 5ogor
Suryopratomo, )etut. Metode Iterasi Gauss !eide" + Penye"esaian !istem Persamaan #inier . +ogjakarta & 8niversitas ajah Mada
%6