LINGKARAN
(Teext ,Gambar (T ,Gambar dan Animation)
I. UNSUR-UNSUR LINGKARAN. (i). Unsur lingkaran yang berbentuk titik dan garis • Titik pusat : setiap lingkaran memiliki 1 titik titi k pusat ( titik P) • • • • •
Keliling Lingkaran (lingkarannya) Garis Tengah (Diameter) = d (misalnya Garis A ! Grs "D ! dsb) #ari$%ari (&adius) = r (misalnya Garis A' ! Garis ' ! dsb) usur (misalnya Garis lengkung AD ! dll) Tali busur (misalnya Garis lurus AD ! garis Lurus A" ! dll) C
A
r
r
B
P
G +
!
Catatan " #. iameter $e%a%& d&a ka%i 'anan *ari-ari "
d = r . '* sal saling ing teg tegak ak luru luruss deng dengan an tali busur AD! maka AG = GD
(ii). Unsur Lingkaran yang berbentuk Daerah dan +udut. +udut . • #uring Lingkaran (misalnya : daerah yang diarsir '" ! dll) • Tembereng (misalnya daerah yang dibatasi usur A" dan Tali
usur A ! dll) • +udut 'usat : misalnya +udut ' ! dll • +udut Keliling : misalnya +udut A"' ! dll C
!
Tembereng
A
B
P
Juring Lingkaran
Pendekatan nilai
(pi)
π
Pi (π) ada%a bi%anan an ni%aina tertent&. Bera'a ni%aina Kita akan baa$ $e'erti berik&t ini/ Linkaran denan ari-ari 0 1m ata& diameter 2 3 1m , die%indinkan $at& ka%i ber'&tar. *arak *arak an ditem'& k&ran %ebi #0,45 1m , $ebaai berik&t ini "
r20
6#0,45 1m
Maka keliling lingkaran itu adalah sekitar 12,57 cm Dengan demikian : Ke%i%in %inkaran #0,45 1m 2 7,#304 2 diameterna 3 1m
Keliling lingkaran dibagi diameternya = ,!1- /ilai tersebut mendekati nilai sebenarnya ! yaitu : = ,!1-10,2030,,2--,,2,30 4. 'ada kehidupan sehari$hari nilai yang dipakai adalah pembulatan sampai desimal.
*adi "
Keliling Lingkaran = Diameternya
• 'ada perhitungan yang kita akan gunakan
nilai = ,!1- atau
=
22 7
II. K!LILING AN LUAS LINGKARAN A. K!LILING LINGKARAN Kita te%a meneta&i ba8a "
Keliling Lingkaran 2 Diameternya
9aka Ke%i%in Linkaran 2 x diameterna. enan demikian r&m&$ &nt&k menit&n Ke%i%in %inkaran ada%a "
K =d atau K
=0r
Keteranan " K 2 Ke%i%in Linkaran d 2 diameter %inkaran ter$eb&t r 2 *ari-ari %inkaran 2 7,#3 ata& 2 22 7
"5nt5h 1 : 6itunglah keliling lingkaran dengan %ari$%ari :
a. #4 1m b. 0: 1m *a8ab " a. K 2 0 r K 2 0 x 7,#3 x #4 1m K 2 ;3,0 1m *adi Ke%i%in 2 ;3,0 1m b. K 2 0 r K 2 0 x 00 / 5 x 0: 1m K 2 #5< 1m *adi Ke%i%in 2 #5< 1m
Conto 0 " Diketahui taman berbentuk lingkaran dengan keliling = 2! m. Tentukanlah pan%ang diameternya7
( 2 7,#3) Pene%e$aian " Dik. : K = 2! m , = ,!1Dit. : d = 48 #a9ab : K= d 0:0,< m = 7,#3d
d 2 0:0,< m " 7,#3 2 ;= m 9aka iameterna 2 ;= m
Conto 7 " Seb&a roda denan diameter <4 1m die%indinkan di%antai. *ika roda it& ber'&tar $ebanak : ka%i , tent&kan 'anan %inta$anna. Pene%e$aian " ik. " Roda denan d 2 <4 1m banak '&taran 2 : ka%i it. " Panan %inta$an 2 > *a8ab " Panan %inta$an 2 : x K 2:xd 2 : x 7,#3 x <4 1m 2 #<70,: 1m 9aka Linta$an Roda it& 2 #<70,: 1m 2 #<,70: m
Conto 3 " Peratikan ambar di kanan ini/ Panan Radi&$ 2 r 2 <7 1m , ∠A?B 2 #0==. Tent&kan Panan B&$&r 'andek AB/ 'enyelesaian : Dik. : r = , m +udut 'usat = 1;; Dit. : 'an%ang busur pendek A = 4 m8 #a9ab : = #0= 'an%ang busur pendek A = 7<== x K = 1 / , < r = 1 / , < < / 3 < , = 1, m
A k d e n e r p u s u =
A
B
= # 0
, m ?
*adi Panan B&$&r Pendek AB 2 #70 1m
Conto 4 " 'ada gambar di kanan ini !diketahui diameter r5da keil (i) = ,; m dan diameter r5da besar (ii) = ; m. #ika &5da keil berputar ; kali ! berapa kali putaran r5da besar8 (i) (ii) 'enyelesaian : Dik. : r(i) = ,; m ! r(ii) = ; m dan &5da (i) berputar = ; kali Dit. : &5da (ii) berputar = 4 kali 8 #a9ab : isalkan r5da (ii) berputar = n kali ! maka : K(i) = d = ,!1- < ,; = 0-! nK(ii) = ;K(i) K(ii) = ,!1- < ; = 13 n < 13 = ; < 0-! n < 13 = 122*adi roda be$ar (roda (ii) ber'&tar #0 ka%i n = 122- : 13 = 1
B. LUAS LINGKARAN • L&a$ Linkaran dan L&a$ Per$ei 'anan.
C
r
2
r A
'an%ang 2 K
r a b e L
B
L&a$ Linkaran 2 L&a$ Per$ei Panan ABC 2 Panan x Lebar 2 # @0K x r 2 r x r 2 r 0
Unt&k $etia' %inkaran %&a$na da'at diit&n denan r&m&$ "
L 2 r
0
L 2 L&a$ Linkaran r 2 *ari-ari (radi&$) %inkaran 2 # @0diameter @5 2 7,#3 ata& 2 00 Cnth 1 : !itunglah "uas lingkaran #ika diametern$a : a. 2% cm &. '2 dm
Pene%e$aian Conto # " a. ik. " d 2 0= 1m r 2 #= 1m it. " L 2 > *a8ab " L 2 r L 2 7,#3 x (#= 1m) 2 7,#3 x #== 1m 2 7#3 1m 0
0
0
0
b. ik. " d 2 30 dm r 2 0# dm it. " L 2 > *a8ab " L 2 r L 2 @ x (0# dm) 2 @ x 33# dm 2 #7:< 1m
0
00
00
0
5
5
0
0
"5nt5h : Keliling suatu lingkaran = !2 m. 6itunglah luas lingkaran tersebut7 'enyelesaian : Dik. : K = !2 m Dit. : L = 48 #a9ab : L = r 0 K = 0r !2 = < ,!1- < r L = ,!1- < (1;m) !2 = !2 < r L = ,!1- < 1;; m r = !2 : !2 = 1; L = 7#3 1m0 "5nt5h , : Gambar dikanan ini adalah suatu daun pintu yang terbentuk dari setengah lingkaran dan persegi. Tentukan : a. Keliling daun pintu itu7 b. Luas daun pintu tersebut7
N
K
9
;: 1m
L
'enyelesaian : Dik. : Daun 'intu = setengah lingkaran > persegi N 9 KL = K/ = / = diameter = 02 m Dit. : a. K. daun pintu = 48 b. L. daun pintu = 48 #a9ab : K ;: 1m L a. K. Daun pintu = /K > KL > L > busur / = , KL > ? K.lingkaran #adi : = , < 02 > ? < / 3 < 02 Keliling daun = 0- > 1pintu = --2 m = --2 r = 02 / = -0 b. L. Daun pintu = Luas KL/ > L. ? lingkaran = 02 < 02 > ? < / < -0 = 0;- > ,33, #adi Luas daun pintu = 1,,33 m = 1,,33 7
C
m 1 = 0
A
B
"5nt5h - : 'erhatikan gambar di kiri ini. Garis lengkung A" adalah busur lingkaran yang berpusat di D 6itunglah luas daerah yang diarsir7
'enyelesaian : Dik. : AD = A = r = ; m Dit. : Luas yang diarsir = 48 #a9ab : (dihalaman berikut)
aa& ' :
L an) diar$ir = LABC D L# %in)karan 3
# r 0 L@g diarsir = – s 3
m 1 = 0
A
C
1
= (; m) .,!1-. (; m)
'
= -;; m 1.,!1-. -;; m
# r 0 3
$
$
B
'
= -;; m ,1- m = 2 m #adi Luas yang diarsir adalah 2 m
HUBUNGAN SUDUT PUSAT, PANJANG BUSUR DAN LUAS JURING +
C
Perhatika n
α
β *
,
Gambar
D
Besar Besar
∠ AOB
∠ COD
=
Pjg. busur AB Pjg. busur CD
=
L. juring OAB L. juring OCD
Jika sudut pusatnya dibandingkan dengan besar seluruh sudut pusatnya ( !" "#$ maka % +
*
α
,
Besar AOB
∠
!""
=
Pjg. busur AB &el. lingkaran
=
L. juring OAB L. lingkaran
III. GARIS SINGGUNG A. '/G&TBA/ GA&B+ +B/GGU/G LB/GKA&A/ Pada $etia' %inkaran ada banak Gari$ Sin&n , $bb. : Titik Sin&n
Gari$ Sin&n K • Garis singgung ialah garis
P L
lurus yang mem5t5ng lingkaran pada satu titik. • Titik p5t5ng garis singgung dengan lingkaran disebut titik singgung. • +etiap garis singgung saling tegak lurus dengan #ari$%ari di titik singgung.
Conto # " 9
P
K
L
'ada gambar diatas ! garis L adalah garis singgung lingkaran yang berpusat di '. ila E'K adalah sama sisi ! tentukanlah besar∠KL.
*a8ab " Pada E'K : PK 2 P9 2 K9 , m aka ∠K' = ∠'K = ∠'K = ;; ∠KL = 12;; (∠K' > ∠'L)
= 12;; (;; > 0;;) = ,;; Catatan :
∠'L = sudut yang dibentuk %ari$%ari dan garis singgung = 0;;.
Conto 0 " Pada ambar dikanan ini PA 2 ; 1m dan AB 2 < 1m. Tent&kan%a 'anan BC /
C m : 0
P
0m
Am B
*a8ab " Pada $eitia BCP , $ik&-$ik& di C , maka " PC 2 PA 2 r 2 ; 1m BC0 2 BP0 D PC0 2 (#4 1m) 0 D (; 1m)0 PB 2 PA AB 2 004 1m0 D :# 1m0 2 ; 1m < 1m 2 #4 1m 2 #33 1m0 BC 2 F#33 1m0 2 12 cm
Conto 7 " S P
R H
+egi$- 'C&+ adalah Layang$ layang garis singgung. #ika '+ = 1 m dan '& = m ! hitunglah Luas layang$layang tersebut7
#a9ab : Pada '&+ : +& = '& '+ = 1 = = -;; E +& = F-;; = ; m aka : L 'C&+ = < L'&+ = < ? '+ < +& = '+ +& = 1 m < ; m = ,;; m #adi Luas Layang$layang 'C&+ adalah 7== 1m0
. GA&B+ +B/GGU/G '&+KUTUA/ DUA LB/GKA&A/
(i). Penertian Gari$ Sin&n Per$ek&t&an Sebuah garis disebut Garis Singgung Persekutuan dua lingkaran , jika garis tersebut merupakan garis singgung untuk kedua lingkaran tesebut. A M
P
1). Garis singgung persekutuan persekutuan luar. luar. 'ada gbr : Garis A dan Garis "
L
? K N
C
B
Garis singgung persekutuan dua lingkaran terdiri dari dua %enis! yaitu :
). Garis Garis singgun singgungg persek persekutua utuann dalam. dalam. 'ada gbr : garis KL dan garis /
-er#a -elmpk #. Gamb Gambar ar d& d&aa b& b&a a %i %in nka kara ran n $e $ede demi miki kian an r&'a $eina ari$ $in&n 'er$ek&t&annaa ana 7 b&a. 'er$ek&t&ann 0. Gamb Gambar ar d& d&aa %i %in nka kara ran n $e $ei in na a a ari ri$$ $in&n 'er$ek&t&anna ana 0 b&a 7. Gam Gamba barr d&a d&a b& b&aa %in %ink kar araan den dena an n $arat ari$ $in&n 'er$ek&t&ann 'er$ek&t&annaa ana # b&a.
(ii). 9enent&kan Panan Gari$ Sin&n Per$ek&t&an L&ar (GSPL) Garis A = A = Garis +inggung 'ersekutuan Luar (G+'L (G+'L)) pada lingkaran H dan lingkaran '. P H' = Garis H' = %arak titik pusat kedua lingkaran itu. B
O
C A
*ika ?P 2 #a9aban : #5 1m , dan ?A 1m a. "2'## = 13 $ 2 PB 2 7=1m 20,$a. Tent&kan%a Tent&kan%a = 'anan AB/. AB/ aka "' = F =. 1 b. Baaimanaka Baaimanaka #adi A = "' = 1 m a. r&m&$na &umu &u mussny nyaa ! sbb :
Garis HA = r1 = %ari$%ari lingkaran pertama. Garis ' = r = %ari$%ari lingkaran kedua. 'ada E?PC , ∠" = 0;; , ?C 2 r # D r 0
dan CP 2 AB.
aka 'an%ang Garis +inggung 'ersekutuan Luar dapat ditentukan dengan rumus :
GSPL. AB 2 ?P0 D (r # D r 0)0
"5nt5h 1 : Diketahui lingkaran B berpusat di H dan %ari$%ari = r 1 = 1 m ! lingkaran BB berpusat di ' dan %ari$%arinya = r = m. #ika %arak titik pusat = H' = m ! tentukanlah pan%ang garis singgung persekutuan luarnya (G+'L). 'ernyelesaian : Dik. : r1 = 1 m ! r = m dan H' = m Dit. : G+'L = 48 #a9ab : G+'L = ?P0 D (r # D r 0)0 (#4 D 4)0 = 0<0 D (#4 D <5< D D #== = <5< = 45< 2 -
*adi Panan Gari$ Sin&n Per$ek&t&an L&ar 2 03 1m
"5nt5h : Diketahui dua lingkaran dengan r 1 = m dan r = 11 m. #ika pan%ang garis singgung persekutuan luar = 1 m ! tentukanlah %arak titik pusat kedua lingkaran itu7 'enyelesaian : isalkan 'usat lingkaran H dan ' Dik. : r1 = m ! r = 11 m Gspl = 1 m Dit. : H' = 48 #a9ab :
G$'% 2 ?P0 D (r # D r 0)0 (G$'%)0 2 ?P0 D (r # D r 0)0
(#0)0 2 ?P0 D (0 D ##)0 #33 2 ?P0 D (D;)0 #33 2 ?P0 D :# ?P0 2 #33 :# 2 004 ?P 2 004 2 #4 *adi *arak Titik P&$at ?P 2 #4 1m
Conto 7 " 'ada sebuah mesin di%umpai dua r5da yang dihubungkan dengan tali seperti gambar dikiri ini. +ehingga ila satu r5da diputar yang satu lagi ikut berputar. #ika pan%ang %ari$%ari kedua r5da itu sama paan%ang m dan %arak titik pusatnya = 1, m tentukanlah pan%ang tali tersebut7
'enyelesaian : Dik. : r1 = r = m #arak titik pusat = 1, m Dit. : 'an%ang Tali penghubung = 'Tp = 48 #a9ab : 0 D (r D r )0 ?P G$'% 2 # 0 'Tp = < 'an%ang Gspl > < ? K G$'% 2 #70 D (4 D 4)0 = < 'an%ang Gspl > K G$'% 2 #<; D =0 = < 1, m > ,1!- m G$'% 2 #<; 2 #7 = m > ,1!- m = 3!- m K = 2r #adi 'an%ang tali itu = 3!- m
K = < ,!1- < = ,1!-
(iii). 9enent&kan Panan Gari$ Sin&n Per$ek&t&an a%am (GSP). Dengan memperhatikan pr5ses gambar berikut ini ! tentukanlah rumus untuk menentukan pan%ang Garis +inggung 'ersekutuan Dalam (G+'D). Dengan atatan #ari$%ari lingkaran besar = r 1 dan %ari$%ari lingkaran keil = r dan G+'D$nya = KL M
'ada H' ! ∠ = 0;; ! KL = ' dan H = r1 > r
K
O
P L
aka rumus untuk menentukan pan%ang G+'D adalah :
G$'d. KL 2 ?P0 - (r # r 0)0
"5nt5h 1 : Diketahui dua lingkaran dengan r 1 = , m ! r = m dan %arak titik pusatnya = H' = 13 m. Tentukanlah pan%ang salah satu garis singgung persekutuan dalam (Gspd)7 'enyelesaian : *a8ab " Dik. : r1 = , m ! r = m dan G$'d = ?P0 - (r # r 0)0 0 - (7 4) 0 #5 = KL = 13 m = 0:; - <3 Dit. : Gspd = 48 = 004 = #4 1m #adi 'an%ang Garis singgung kedua lingkaran itu = #4 1m "5nt5h : 'ada gambar dikanan ini KL adalah garis singgung persekutuan dalam. A #ika HK = 'L = - m dan A = 12 m! tentukanlah pan%ang KL
L
? 3
K
3
P
B
'enyelesaian : Dik. : HK = r1 = - m ! 'L = r = - m ! A = 12 m Dit. : 'an%ang Gspd = KL = 4 8 #a9ab : Gspd. KL =
H' D (r1 > r) 1; D (- > -) 1;; D -
Gspd. KL = Gspd. KL = Gspd. KL = , = <
L A
? 3
3
P
B
K
H' = A AH ' H' = A HK 'L H' = 12 - H' = 1;
*adi 'anan KL (ari$ $in&n 'er$ek&t&an da%am) ada%a 2 < 1m
"5nt5h , : H K 'ada Gbr. dikanan ini H' = ,0 m ! HK = 0! m dan ' = ! m. 9 P #ika pada EH'C ! ∠C = 0;; ! ? tentukanlah : L a. 'an%ang C 7 b. Luas EH'C 7 KL = H' D (r1 > r) C = KL r 'enyelesaian : C = , ! KL = ,0 D (0! > !) C = ,;! Dik. : H' = ,0 m KL = 11 D #adi 'an%ang HK = r1 = 0! m KL = 10 = 7< C = ,;! m ' = r = ! m PH ?H 2 ?K KH Dit. : a. C = 48 b. L H'C = ?H x 0 2 ;,4 4,4 b. L EH'C = ...8 #4 x 7< L H'C = 0 2 #4 #a9ab : L H'C = 3; a. C = 'C ' *adi L&a$ E?PH 2 05= 1m 0 C = KL r
I. SUUT PUSAT AN SUUT K!LILING A. U+U& +AGAB +UDUT • B&$&r $ebaai $&d&t ada%a
A P
4== B
$ama denan $&d&t '&$at an menada' b&$&r ter$eb&t. S&d&t APB 2 4= = 9aka " be$ar b&$&r AB 2 Be$ar AB 2 4= =
"atatan : esar usur : Dinyatakan dalam +udut (dera%at) 'an%ang usur : Dinyatakan dalam +atuan 'an%ang. esar usur satu lingkaran = ,; ;
"5nt5h 1 : #ika +udut 'HC = 3; ! tentukanlah besar : a. usur 'C R b. usur &+ . usur '+
H
? 7 5 S
#a9ab : a.
usur 'C = ∠'HC = 3; b. usur &+ = ∠&H+ = 3; .
usur '+ = ∠'H+ = 12;; 3; = 1;;
H
7 5
R
? 7 5
75
S
P 15
P
. +UDUT +AGAB #A&AK 'UTA& • atu Putaran Penuh / Perputaran dari aal sampai kem&ali kepsisi semula , s&&. :
Sat& P&taran Pen& 2 7<==
P
*adi ∠ APB 2 7<==
A B
• Setena P&taran Pen& (S&d&t L&r&$)
P&taranPen& 2 x 7<= = 2 #:== 2 S&d&t L&r&$ *adi ∠ APB 2 #:=
=
#:==
(Garis A = Garis lurus) B
P
A B
"5nt5h 1 : erapa putaran penuh sudut ,; 8 P
7<=
*a8ab " 7<= 2 7< / 7<= putaran penuh / # / #= '&taran 'en&
A
"5nt5h : 6itunglah besar sudut : a. I putaran b. J putaran . ⅔ putaran d. putaran e. ;!- putaran
#a9ab : a. I putaran = I < ,;; = 3;; b. J putaran = J < ,;; = -; . ⅔ putaran = ⅔ < ,;; = -;; d. putaran = < ,;; = ; e. ;!- putaran = ;!- < ,;; = 1--;
Conto 7 " Bera'a '&taranka $&d&t berik&t ini a. :== b. <== 1. #4= d. ;<=
*a8ab " = := a. := 2 7<== '&taran 2 0; '&taran
=
= <= b. <= 2 7<== '&taran 2 #< '&taran
=
= #4 # '&taran 1. #4 2 7<== '&taran 2 03 = ;< 3 '&taran = d. ;< 2 7<== '&taran 2 #4
=
K+B'ULA/ : • +atu putaran penuh adalah perputaran dari a9al sampai kembali kep5sisi semula. A P B • +atu putaran penuh = ,; ; • +etengah putaran penuh = ? < ,;; = 12;; = +udut Lurus.
.
P
B a b
'&taran 'en& 2
7<== x a b
n= '&taran 'en& • +udut n; = 7<==
A
C. +UDUT 'U+AT DA/ +UDUT KLBLB/G (i). 'engertian S&d&t P&$at dan S&d&t Ke%i%in. 'ada setiap Lingkaran : ?
• +udut 'usat ialah +udut yang
dibentuk 5leh dua buah %ari$%ari. Titik sudutnya = Titik pusat lingkaran
'= A
p; = ∠ pusat
K
• +udut Keliling ialah +udut yang
dibentuk 5leh dua tali busur. Titik sudut setiap sudut keliling terletak pada keliling lingkaran
B
k=
L
? 9
k; = ∠ keliling
(ii). 6ubungan +udut 'usat Dan +udut Keliling
Soa% 'enantar. 'ada masing$masing gambar berikut ini tentukanlah < ; 7 ,.
.
1.
,;
; ;
;
x=
-1;
x=
x=
*a8ab " #. x= 2 <== 44= 2 ##4= 0. x= 2 <7= <7= 2 #0<= 7. x= 2 3#= 3#= 2 :0=
Kesimpulan : b;
x=
a ;
x= 2 a= b=
'ada gbr diba9ah ini : ∠A'" = ∠'usa t ∠A" = ∠Keliling B A
=
m=
r
m
r n=
0m= P 0n= n= C
Ditarik garis bantu D. 1) 'ada 'A ! A' = ' = #ari$%ari= r ! maka : ∠'A = ∠'A = m; +ehingga ∠A'D = m; > m; = m;4 (1) ) 'ada '" ! ' = "' = #ari$%ari= r ! maka : ∠'" = ∠'" = n; +ehingga ∠"'D = n; > n; = n; 4.. () ∠A'" = ∠A'D > ∠"'D 4(1) dan () = m > n = (m; > n;) ∠ABC 2 m= n= ∠A'" = ∠A"
*adi " ∠P&$at = 0∠Ke%i%in
Ke$im'&%an " Pada setiap lingkaran apabila Sudut Pusat dan Sudut Keliling menghadap busur yang Sama panjang maka :
Sudut Pusat = 2 x Sudut Keliling. B
k= P A
'=
C
'ada Gambar disamping ini : +udut 'usat = +udut A'" = p; dan +udut Keliling = +udut A" = k; Kedua sudut itu sama$sama menghadap usur A". aka p; = < k;
"5nt5h 1 : 'ada masing$masing gambar berikut ini tentukanlah < ; dan y; 7
a.
*a8ab " a. x= 2 0 . <5 = 2 #73=
A 3;
H <; "
b. y
;
L
H
K
1.
G D
-
;
P <;
6
I
=
*
3:=
b. = 2 .$&d&t $ik&-$ik& 2 .;== 2 34= 1. x= 2 ∠!+ 2 . 3:= 2 03= = 2 0 . 03 = 2 3:=
"5nt5h : 'ada gambar di kanan ini ! titik H adalah pusat lingkaran dan A = diameter. Tentukanlah k; 7 #a9ab : ∠A?B 2 S&d&t P&$at 2 #:= =
C k= A
?
B
9aka " k= 2 #:== " 0 2 ;== CC
C
C C
A
?
B
+udut keliling yang menghadap busur setengah lingkaran atau yang menghadap diameter besarnya selalu 0;; (+iku$siku) 'ada Gbr di kiri ini sudut " = 0;;
"5nt5h , : ;0= 'ada Gambar dikanan ini titik H adalah A B ; pusat lingkaran. #ika ∠A" = - ! = ;0 tentukanlah besar busur A7 #a9ab : esar usur A = < - ; 3<= = 0; C "5nt5h - : Lihat gambar di kiri ini7 + Titik pusat Lingkaran adalah titik '. 75= #ika besar busur D* = ,3 ; ! tentukanlah ∠D* 7 P #a9ab : esar busur ∠D* = ,3; : = 12! ; !
Conto 3 "
<0
=
A
;;
!
?
y
C
Tentukanlah gambar disamping ini titik H pusat lingkaran dan D garis tengah. a. #ika besar usur AD = ; ! tentukanlah <; 7 b. ila '" adalah sama sisi ! hitunglah y; 7
B
*a8ab " a. x= 2 b&$&r AB 2 (#:= = D <0=) 2 x ##:= 2 4;= b. = 2 ;== D <== (i). ∠"D = 0;; ! sebab ∠D* = sudut keliling yang menghadap diameter. 2 7== (ii).
∠D"H = ∠DH" = ∠"DH = ;; ! sebab '" sama sisi
Conto 4 " 'ada gambar diba9ah ini H titik pusat lingkaran K = diameter ! sudut K#L = 113; ! dan sudut KL = -2 ;. Tentukanlah : a. esar busur L b. esar a 5 . esar b; d. esar busur K/ K
a
5
o
5 # #
L
*
?
b5 3 : o
9
N
#a9ab : a. esar busur L = 12;; bs. KL = 12;; (<-2) = 12;; 0; = 2-; b. esar a 5 = sudut KL = -2; . esar b; = 113; -2; = 0; d. esar busur K/ = 12;; (<0;) = 12;; 1,2; = -;
I. SUUT ANTARA UA TALI BUSUR A. '/G&TBA/. 'ada sebuah lingkaran ! %ika kita menggambar dua tali busur yang tidak se%a%ar ! maka ada dua kemungkinan ! yaitu : 1). ungkin berp5t5ngan didalam lingkaran. ). ungkin berp5t5ngan diluar lingkaran. isalnya : (i). Gbr. kanan : Dua tali busur yang berp5t5ngan didalam lingkaran. (ii). C A
? B
P
P A
C
?
Gbr. Kiri : Dua tali busur yang erp5t5ngan diluar lingkaran
B
B.
9!N!NTUKAN B!SAR SUUT ANTARA UA TALI BUSUR
(i). Be$ar S&d&t antara d&a ta%i b&$&r an ber'otonan di da%am %inkaran. 'ada gbr. dikanan ini A" dan D adalah tali busur yang berp5t5ngan di '. aka ada - buah sudut yang terbentuk ! yaitu : ∠A'D ! ∠'" ! ∠A' dan ∠D'". ∠A'D =∠'" ! dan ∠A' = ∠D'". 'ertanyaan : #ika s. A = 112; ! s. "D = 1 ! maka : 1). ∠AD' = 4; dan ∠'" = 4; ). n; = 4;
#0<= n=
? A
C
P
n= ##3
=
B
'ada gambar dikanan ini salah satu +udut antara tali busur adalah : ∠D'" = n; esar ∠D'" = ∠AD' > ∠DA' esar ∠D'" = ? bs.A > ? bs."D esar ∠D'" = ? (bs.A > bs."D) #adi n; = ? (11- > 1) = 1;;
#0<= n=
? A
C
P B
##3=
Untuk dua tali busur yang berp5t5ngan didalam lingkaran berlaku rumus sbb :
#lh busur dihadapan ∠APB
∠APB 2
0
isalnya pada Gbr dikanan ini : = 2 bs. AD > bs. " bs. A > bs. D" ; x dan n =
A
n= P = x C ? B
"5nt5h 1 : Lihat gambar dikanan ini7 Tentukanlah : a. m; b. n; #a9ab : a. m; = ? (31 > 23); = 30; b. n; = 12;; 30; = 1;1;
n
A
:5=
=
m= C
5#= B
Conto 0 " R
30
;
= T 5=
S
P
a=
H
'ada gambar di kiri ini ! +C tali busur yang melalui pusat lingkaran (%adi +C adalah diameter). #ika besar bs. 'C = a ; ! ∠CT& = 3;; dan besar bs. C& = 30 ;! tentukanlah a ; 7
R
#a9ab : a ; = 12;; bs. +'
30; T 5==
S
0;
H
>; a ; = 12;; 0 a ; = 111;
a=
P
*adi a= 2 ###=
Conto 7 " C
= B
0= n=
T
x= A
7x=
s. +' > bs. 'C = 12; ; (busur ? lingkaran) ?(bs.&C > bs.+') = 3;; bs.&C > bs.+'= 1-;; 30; > bs. +'= 1-;; bs. +' = 1-;; 30; = 0;
'ada gambar dikiri ini A" = diameter. #ika bs.AD = <; ! bs.A = ,<; ! bs." = y; dan bs. "D = y ! tentukanlah : a. /ilai < b. /ilai y . n;
C
= B
0= n=
T
#a9ab : a. 'ada Gambar ! didapat : 7x 2 #:= <
4x = 2 #:= 4x 2 #:= x 2 #:= " 4 2 7<
7x
x= A
b. < = , ,< > y = 12; ,., > y = 12; 1;2 > y = 12; y = 12; 1;2 = 3
*adi = 2 50=
=
*adi x= 2 7<= 1. n 2 bs. A > bs. D" n 2 1;2 > 1-
n 2 #0<
9aka " n= 2 #0<=
s. A = ,< = ,. , = 1;2 s. D" = y = . 3 = 1--
(ii). Be$ar S&d&t antara d&a ta%i b&$&r an ber'otonan di %&ar %inkaran +5al pengantar : 1). 'ada gbr. (1) dikanan ini ! %ika m ; = ,; dan n; = ; ! tentukanlah p;7 ). 'ada gbr. () nilai m; dan n; seperti gbr. (1) ! tentukanlah : a. bs. AD b. bs. " #a9ab : 1). m; = n; > p; ,; = ; > p; p; = ,; ; p; = ,2;
Gbr. (1) m5 p5
n
5
Gbr. () ). a. bs. AD = < m; = < ,; = 1; b. bs. AD = < n; = < ; = ;;
5 C m ?
A
n5
p5 B
L
Dari pengalaman pada penyelesaian diatas : (i). A dan "D adalah Tali busur ! setelah 5 C m ? diperpan%ang berp5t5ngan di L ! diluar 5 5 p n lingkaran dengan sudut p; = ∠L". A B (ii). +udut p; adalah sudut antara dua tali busur. (iii). usur dihadapan p; adalah usur AD dan busur " #adi :
∠L" / p; = m; n;
p; = ? bs. AD ? bs. "
&umus untuk besar sudut antara tali busur yang berp5t5ngan diluar lingkaran adalah sbb.: ∠BLC = ata&
+elisih dua busur dihadapan ∠BLC
0
∠BLC = '= = s. AD 0 bs. "
L
Conto # " Diketahui busur K = -3 ; ! busur #74=
#/ = 1,; (lihat gambar dikiri ini7)
*
Tentukanlah besar ∠KL 7 N
?
K 35= ;
, .
L
9
#a9ab : b$. *N D b$. K9 ∠KL = 0 #47 D 35 = 0 #=< = 0
= ,;
#adi besar ∠KL9 2 47=
"5nt5h : Lihat gambar diba9ah ini7 Titik H pusat lingkaran ! H/ adalah sama sisi dan sudut #H/ = , ;. Tentukanlah a ; 7 9 'enyelesaian : N Dik. : H/ = sama sisi (sudut besar) = o 7< a ∠#H/ = ,; L K * ? Dit. : a; = 4 8 #a9ab : a ; = b$. K9 D b$. *N 0 :3= D 7< ; a = 0 a ; = 3: = -; 0
bs. #/ = ∠#H/ = ,; bs. K = ∠KH = 12;; (∠H/ > ,;) = 12;; (;; > ,;) = 2-;
"5nt5h , : 'ada gambar diba9ah ini ! 6 = diameter ! bs. D6 = 2 ;. #ika ∠' = ,;; ! tentukanlah besar bs. *G7 P
'enyelesaian : Dik. : 6 = diameter ! bs. D6 = 2; !∠' = ,;; Dit. : bs. *G = 4 8
o
J :4=
G
= 7
+
?
!
#a9ab : ∠' = ? (bs. D bs.*G) ,;; = ? (12;; 2; bs. *G) ;; = 0; bs.*G
b$. +G 2 ;4= D <== b$. +G 2 74=
*adi be$ar b$. +G 2 74=
II. S!GI-n TALI BUSUR A. S!GI !9PAT TALIBUSUR Soa% Penantar " Pada ambar di $ebe%a ini , K9 N dan LN ada%a diameter/ #). Jit&n%a be$ar ∠KL > ∠K/7 0). Jit&n%a be$ar ∠LK/ > ∠L/7 K
?
L
9
#a9ab : #). ∠KL > ∠K/ = 0;; > 0;; = 12;; 0). ∠LK/ > ∠L/ = 0;; > 0;; = 12;; +ebab : ∠KL ! ∠K/ ! ∠LK/ dan ∠L/ adalah ∠Keliling yang menghadap diameter
N
K
?
L
9
'ada +5al pengantar : Garis KL ! L ! / dan K/ adalah talibusur ! sehingga segi$empat KL/ disebut segi$- tali busur. 'ada segi$- KL/ " #). ∠KL berhadapan dengan ∠K/ dan %umlah kedua sudut itu = 12;;
0). ∠LK/ berhadapan dengan ∠L/
dan %umlah kedua sudut itu = 12;;
Apakah pada setiap segi$- tali busur ! dua sudut berhadapan selalu ber%umlah 12;;8 'ada halaman berikut kita akan membahasnya7
• Siat-$iat $ei-3 ta%ib&$&r 'ada gambar dikanan ini : A"D adalah segi$- talibusur. +udut A" = +udut Keliling = k ; ! dan p; sudut pusatnya ! maka : k; = ? p; +udut AD" = +udut keliling = n ; ! dan m; sudut pusatnya ! maka : n; = ? m; +ehingga : k; > n; = ? p; > ? m; = ?(p; > m;) = ? < ,;; = 12;; #adi : k; > n; = 12;; atau ∠A" > ∠AD" = 12;;
C
= n= ' ? m= k=
B
A
Dengan ara yang sama dapat ditun%ukkan bah9a : ∠AD > ∠"D = 12;;
Ke$im'&%an. Pada $etia' Sei-3 ta%ib&$&r %inkaran , d&a $&d&t berada'an $e%a%& ber&m%a #:= =
Conto # " C Peratikan ambar di kanan ini/ 5<= ABC ada%a $ei-3 ta%i b&$&r. :0= ? *ika ∠AD" = 2; dan ∠"D = 3; ! k= tent&kan%a " a. k = b. t= B t= *a8ab " A b. t= 5<= 2 #:== a. k= :0= 2 #:== t= 2 #:== D 5<= k= 2 #:== D :0= t= 2 #=3= k= 2 ;:=
"5nt5h : 'ada gambar dikanan ini ! ∠ = -;. #ika A = ! tentukanlah : ! a. s; b. t;
B C t=
'enyelesaian : Dik. : ∠ = -; dan A = Dit. : a. s; = 48 b. t; = 48 #a9ab : a. 'ada A ! A = ! maka s; = ∠A s; >∠A = s; > s; = s; = 12;; -; = 1; ⇔ $= 2
?
43=
#0<= " 0 2 <7 =
b. s; > t; = 12;; ,; > t; = 12;; ⇔ t= 2 #:== D <7= 2 ##5=
$= A
"5nt5h , : Lihat gambar di kanan ini7 Tentukanlah : a. <; b. y; . esar masing$masing sudut segi$- tali busur itu7 uat gambarnya #a9ab : a. <; > <; = 12;; . +udut$sudutnya : ⇔ <; = 12;; <; = 0;; ⇔ <; = 12;; : ,y; = , . !; ; ; < = 0; = 3!; b. y; > ,y; = 12;; y; = . !; ⇔ 2y; = 12;; ⇔ y; = 12;; : 2 = 11! ; y; = !;
7= ?
x=
x=
4=
Gambarnya : <5,4= ? ;=
=
##0,4=
;==
B. S!GI-n B!RATURAN
,;
;
?
Bngat bah9a : 1. +udut satu putaran penuh = sudut pusat satu lingkaran = ,;; ! seperti gambar di sebelah kiri ini. 'usat lingkaran = titik H C
. +itiap segitiga %umlah besar ketiga 7:= sudutnya selalu 12;; ,. 'ada segitiga sama kaki selalu ada dua sudut sama besar. 'erhatikan gbr A" di kanan ini ! sisinya 5#= 5#= adalah A ! A" dan ". A 'an%ang A" = 'an%ang " ! maka : ∠A" = ∠A" atau ∠A = ∠ dan∠A > ∠ > ∠" = 12;;
B
"5nt5h 1 : !
C
?
A
B
'ada gambar di atas titik H adalah pusat lingkaran dan A"D = segi$ beraturan. Tentukanlah : a. esar sudut AH b. esar sudut HA . esar sudut A"
#a9ab : 7<== = 50= a. esar ∠AH = 4 b. 'ada A" : ∠HA = ∠HA ! sebab AH = H = #ari$%ari lingkaran. ∠AH > ∠HA > ∠HA = #:== 3; > ∠HA > ∠HA = 12;; ∠HA > ∠HA = 12;; 3; 0∠HA 1;2; = ∠HA = 1;2; : = -;
*adi ∠?AB 2 43= . ∠AH = ∠HA = ∠HA = -; ∠A" =∠HA > ∠HA = 43= 43= 2 #=:=
*adi ∠?AB 2 #=:=
• 'ada +egi$ berturan A"D :
(i). ∠AH = salah satu ∠ pusat (ii). ∠"D = salah satu ∠ keliling !
?
A
B
• 'ada setiap segi$n beraturan berlaku rumus :
#). Be$ar $&d&t '&$at 2
C
"# n
0). Be$ar $&d&t ke%i%in 2 #:= D =
"# n
"5nt5h : Gambar dikanan ini adalah segi$2 beraturan dengan pusat titik '. Tentukanlah : a. <; b. y; #a9ab : a. ∠ pusat = <; = ,;; : 2 = -; b. ∠keliling = y; = 12;; -; = 1,;
P
x=
=
"5nt5h , : 'ada segi$- beraturan ! tentukanlah : a. esar masing$masing sudut pusatnya7 b. esar masing$masing sudut kelilingnya7 #a9ab : a. esar masing$masing sudut pusat = ,;; : - = #4= b. esar masing$masing sudut keliling = 12;; 1; = #34=
II. LINGKARAN ALA9 AN LINGKARAN LUAR S!GITIGA A. '/G&TBA/ 1). Lingkaran Dalam adalah Lingkaran yang dibuat didalam segitiga sedemikian sehingga sisi$sisi segitiga merupakan garis singgung pada lingkaran (segitiga itu merupakan segitiga garis singgung) ). Lingkaran Luar adalah Lingkaran yang dibuat di luar segitiga sedemikian sehingga sisi$sisi seditiga itu merupakan tali busur pada lingkaran( segitiga itu merupakan segitiga tali busur)
(i). Cara me%&ki$ Linkaran a%am Kita akan melukis Lingkaran dalam EABC , dengan ara menentukan titik pusat lingkaran terlebih dahulu ! sbb. : (langsung diikuti sis9a dengan alat 'enggaris dan %angka) Langkah$langkahnya : C P$ L (1). Gambar segitiga A" P$N (). Gbr. Lingkaran 'usat A (':A) T (,). Tandai titik K dan L U (-). Gbr. Lingkaran ': K N (). Gbr. Lingkaran ': L L P$K (). Tandai titik T P$M x (3). Tarik garis AT x B Lakukan langkah () sd (3) ! A M K dari sudut P$A P$B 'usat lingkaran = titik p5t5ng garis bagi AT dan U
(ii). Cara 9e%&ki$ Linkaran L&ar Langkah$langkahnya : (1). Gambar segitiga D* (). Gambar Lingkaran ':D (,). Gambar Lingkaran ': (-). Tandai Titik '5t5ng ':D dan ': ! lalu hubungkan dengan garis lurus (garis itu merupakan sumbu sisi D) Dengan melakukan langkah sd Gambarkan sumbu sisi D*
P"+
+
P"
P"
Titik perp5t5ngan sumbu sisi D dan sumbu sisi D* adalah pusat lingkaran luar tersebut
! P"!
. #A&B$#A&B LB/GKA&A/ DALA +GBTBGA C
1). L.HA = A < r ). L.HA" = A" < r !
+ t2r
,). L.H" = " < r
t2r
L.A" = (A (A" ("
o
= r (A > A" > ")
t2r A
B
r=
0L.
ABC
A > A" > "
Untuk setiap segitiga dengan sisi B = +1 ! +isi BB = + ! +isi BBB = +, dan Luas = L ! maka #ari$%ari (r) Lingkaran Dalam dapat ditentukan dengan rumus : 2L r & ' ( ' ( ' 1 2 "
"5nt5h : Diketahui sebuah segitiga dengan pan%ang sisi : s1 = 1, m ! s = 1- m dan s, = 1 m. Tentukanlah pan%ang %ari$%ari lingkaran dalamnya7 'enyelesaian : Dik. : +egitiga : s1 = 1, m ! s = 1- m dan s, = 1 m. Dit. : Lingkaran dalam : r = 48 #a9ab : 0L $# $0 $7 . :3 r = #7 0 #3 #4 r = #<: 30 = -
r=
*adi *ari-ari %inkaran da%am 2 3 1m
K = s1 > s > s, K = 1, > 1- > 1 = - ? K = 1 L = F 1 ( 1 D 1, )( 11-)( 1 D 1 ) L = F 1 . 2 . 3 .
L 2 :3
C. *ARI-*ARI LINGKARAN LUAR S!GITIGA Pada gambar dikanan ini , Lingkaran luar ∆ABC adalah berpusat di P. Dibuat diameter CD ,garis bantu DB dan tinggi CE. ∠CAB = 'CDB , sebab sama-sama menghadap busur BC dan ∠AEC = 'DBC = 0;; ! maka ∆AEC sebangun dengan ∆DBC , maka : A AC : CD = CE : BC
" = AC x BC 4 (1) C
< Luas A" = A < " " = 0 x L&a$ EABC 4 ()
AB AC x BC 2 0 x L&a$ EABC 4 (1) () C AB
C
P !
AB x AC x BC C 2 0 x L&a$ EABC AB x AC x BC 0r 2 0 x L&a$ EABC x AC x BC r 2 3 AB x L&a$ EABC
B
#adi pada setiap segitiga dengan +isi B = + 1 ! sisi BB = +) ! sisi BBB = +, dan Luasnya = L ! maka 'an%ang %ari$%ari lingkaran luar segitiga itu dapat ditentukan dengan &umus : S# x S0 x S7
r2
3xL
"5nt5h 1 : +ebuah segitiga pan%ang sisinya adalah m ! 2 m dan 1; m. Tentukanlah pan%ang %ari$%ari lingkaran luarnya7 #a9ab :
S# x S0 x S7 L 2 03 1m0 r2 3xL 7 < 1m x : 1m x #= 1m 3:= 1m 2 4 1m 2 r2 0 0 3 x 03 1m ;< 1m
*adi *ari-ari %inkaran %&ar $eitia it& ada%a 2 4 1m
0. 00. 000. 06. 6. 60. 600.
nsurunsur lingkaran -eliling dan "uas 3ilai pi 4aris singgung : Persekutuan "uarDalam udut Pusat dan udut -eliling udut se&agai #arak putar : +usur se&agai udut udut antara tali&usur egi' ali&usur egin &eraturan "ingkaran "uar dan dalam segitiga
A
B
C
C
P A
!
B
r20
6#0,45 1m
,;; 1;; ,;; ,;;
N
9
P K
L
erikut beberapa K5nstanta yang dibulatkan sampai - desimal dan &umus Luas +egi$n eraturan dengan pan%ang sisi = + +egi$ &umus Luas K5nstanta n +egi$n beraturan
7 3 4 < 5 : ; #= ## #0 #7
=,377= #,==== #,50=4 0,4;:# 7,<77; 3,:0:3 <,#:#: 5,<;30 ;,7<4< ##,#;<0 #7,#:4:
L 2 =,377= S0 L 2 #,==== S0 L 2 #,50=4 S0 L 2 0,4;:# S0 L 2 7,<77; S0 L 2 3,:0:3 S0 L 2 <,#:#: S0 L 2 5,<;30 S0 L 2 ;,7<4< S0 L 2 ##,#;<0 S0 L 2 #7,#:4: S0
+egi$ n
K5nstanta
&umus Luas +egi$n beraturan
#3 #4 #< #5 #: #; 0= 0# 00 07 03
#4,7734 #5,<303 0=,#=;3 00,5744 04,40=: 0:,3<40 7#,4<:: 73,:7#4 7:,0477 3#,:733 34,4534
L 2 #4,7734 S0 L 2 #5,<303 S0 L 2 0=,#=;3 S0 L 2 00,5744 S0 L 2 04,40=: S0 L 2 0:,3<40 S0 L 2 7#,4<:: S0 L 2 73,:7#4 S0 L 2 7:,0477 S0 L 2 3#,:733 S0 L 2 34,4534 S0
