Análisis Combinatorio Juan Carlos Damián Sandoval Universidad San Martin de Porres
Abril del 2013
Factorial de un Número Definición. Se define al factorial de un número natural ” n” como el producto que resulta de multiplicar todos los números naturales desde la unidad hasta el número ” n”. Se denota como: n! ó n y se lee ”factorial de n”. Así: n! = 1 x 2x 3x 4x . . . xn
Ejemplo 5! = 5x 4x 3x 2x 1 = 120 7! = 7 x 6x 5x 4x 3x 2x 1 = 5040 = 5040
Observación Por convención se asume que: 0! = 1.
Propiedades 1. Degradación: n! = n(n − 1)! n! = n(n − 1)(n − 2)(n − 3) . . . (n − k + 1)(n − k )! 2. Para dos números naturales a y b (a , b ≥ 1). Si a ! = b ! entonces a = b 3. (n + 1)! + n ! = (n + 2).n! 4. (n + 1)! − n! = n(n!) 5. n! + (n + 1)! + (n + 2)! = (n + 2)2 n!
Observaciones: 1. Si se cumple que n! = 1, entonces: n = 1 ∨ n = 0. 2. Las operaciones aritméticas dentro de factoriales, no están definidas; es decir : (a ± b )! = a ! ± b ! (a .b )! = a !xb ! ( b a )! = b a !! (a n )! = (a !)n .
Ejemplo 11! Reducir: M = 15!+16! + 15! 9!+10! Solución: Se observa que: 15! + 16! = (1 + 16)15! = 17x 15! 9! + 10! = (1 + 10)9! = 11 x 9! x 15! x 10x 9! Entonces: M = 1715! + 1111 x 9! M = 17 + 10 = 27
Análisis Combinatotio Definición El análisis combinatorio estudia la manera de ordenar o agrupar los elementos de un conjunto, siguiendo leyes y estableciendo fórmulas que nos permiten calcular el número de ordenaciones o agrupaciones que puedan formarse.
Principio de Adición Si un evento A ocurre de m maneras diferentes y otro evento B ocurre de n maneras diferentes, siendo ambos mutuamente excluyentes(No pueden ocurrir A y B simultaneamente); entonces la ocurrencia de los eventos: A o B sucede (m + n ) maneras diferentes.
Ejemplo Un persona desea viajar de lima a chiclayo y decide viajar en avión o en omnibus, si hay 2 lineas de transporte aéreo y tres por transporte terrestre. De Cuántas maneras pueden realizar el viaje de Lima a Chiclayo?
Solución el número de maneras es: 2 + 3 = 5
Principio de Multiplicación Si un evento A puede ocurrir de m maneras diferentes y después de haber ocurrido cualquiera de ellos, otro evento B puede ocurrir de n maneras diferentes, entonces la ocurrencia de los eventos A y B sucede de (mxn) maneras diferentes.
Ejemplo Pedro tiene 2 polos distintos y 3 pantalones diferentes. De cuantas maneras distintas pueden vestirse utilizando dichas prendas?.
solución Utilizando el diagrama del árbol para mostrar los diferentes casos que se presentan, se tiene: Del diagrama se obtiene que el número de maneras distintas de vestir es:2x 3 = 6
Variaciones Variaciones o arreglos simples Se denomina variaciones simples o sin repetición o simplemente variaciones de ”k ” objetos tomados de ” n” objetos distintos, a cada unos de los arreglos u ordenes que se hagan con los ” k ” objetos, de manera que estos arreglos difieran en algún elemento o en el orden de su colocación. El número de variaciones de ” k ” objetos que pueden formarse a partir de ”n” objetos de distintos es: n k
V =
n!
(n − k )!
k < n
Ejemplo Con los dígitos 1, 3, 5, 7, 9, De cuántos números diferentes de tres cifras distintas se pueden formar?.
Solución: Aplicando la Formula se tiene: V 35 = (5−5!3)! = 60 Se pueden formar 60 números diferentes.
Ejemplo En una carrera de 100 metros participan 7 corredores. De cuántas formas diferentes se podrían repartir las medallas de oro, plata y bronce?.
Solución: Aplicando la Formula se tiene: V 37 =
7! (7−3)!
= 210
Ejemplo Cuántos equipos de fulbito se pueden formar con 8 jugadores?.
Solución: Aplicando la Formula se tiene: V 68 = Se pueden formar 20160 equipos.
8! (8−6)!
= 20160
Variaciones con Repetición Definición Son todas las agrupaciones de ” k ” elementos, que se pueden formar a partir de ” n”elementos distintos, donde cada uno de los elementos puede formar parte de la agrupación, tantas veces como sea posible. El número de variaciones con repetición de ” k ” elementos, que pueden formarse a partir de ” n” elementos distintos es: VR k n = n.n.n. n. . . . n = nk
Ejemplo Hallar el número de variaciones con repetición de dos elementos tomados de 4 elementos distintos.
Solución Aplicando la formula se tiene: VR 24 = 42 = 16
Permutaciones Permutaciones Simples Son permutaciones simples de ” n” elementos distintos, todas las agrupaciones de esos ” n” elementos, dispuestos linealmente, sin que ninguno falte o se repita. Estas agrupaciones se diferencian entre sí, sólo por el orden de sus elementos. Permutaciones son aquellos variaciones de tipo: V k n en donde n = k . P n = V nn = n!
Ejemplo De cuántas maneras pueden sentarse 4 personas en 4 asientos uno a continuación de otro?.
Solución: P 4 = 4! = 24
Permutaciones Circular Es el arreglo que se puede hacer con los elementos de un conjunto, distribuidos alrededor de una curva cerrada de forma circular. El número de permutaciones circulares de ” n” elementos, está dado po: P nc = (n − 1)!
Ejemplo Al rededor de una torta circular de cumpleaños, se ubican 6 velas diferentes. De cuántas maneras pueden ser ubicadas?.
Solución: El número de maneras está dado por: P 6c = (6 − 1)! = 5! = 120
Permutación con Repetición Definición El número de permutaciones de n objetos en el que se repiten alguno de ellos en el que se repiten alguno de ellos esta dado por: n (k 1 ,k 2 ,k 3 ,...k m )
P
n! = k 1 !k 2 !k 3 ! . . . k m !
Donde k 1 , k 2 , k 3 , . . . k m : Números de veces que se repiten cada elemento. k 1 + k 2 + k 3 + . . . k m = n: Número total de elementos.
Ejemplo De cuántas maneras se pueden permutar 2 bolas rojas, 5 amarillas, 3 azules?.
Solución: P 2105 3 ,
,
10! = = 2520 2!5!3!
Ejemplo De cuantas maneras diferentes se pueden ordenar las letras de la palabra Socorro?
Solución: La letra La letra La letra La letra
O , se repite 3 veces. r , se repite 2 veces. s , se repite 1 vez. c , se repite 1 vez. P 37 2 1 1 ,
,
,
7! = = 420 3!2!1!1!
Combinaciones Definición Son arreglos u ordenaciones que pueden formarse con ” n” elementos tomados de ”k ” en ”k ”, de modo que dos arreglos cualesquiera difieren por lo menos en un elemento. El número de combinaciones está dado por: n! , C = (n − k )!k ! n k
0 ≤ k ≤ n
Ejemplo un alumno del centro Pre de la USMP tiene que resolver solamente 8 preguntas de 10 en un examen de admisión. Cuántas maneras de escoger las preguntas tiene el estudiante?.
Ejemplo Solución: El estudiante puede empezar a resolver por cualquiera de las 10 preguntas, Entonces el número de maneras de escoger las 8 preguntas es: C 810
10! (10)(9)(8!) = = = 45 (10 − 8)!8! 2!8!
Bibliografía "LAZARO CARRION, MOISES; Lógica y teoría de conjuntos. Editorial Moshera Lima 2009 "FIGUEROA ROBERTO, Matemática Básica. Editorial San Marcos. Lima 2004 .ESPINOZA RAMOS,E.(2002). Matemática Básica. Editorial Servicios Gráficos JJ. Perú. "VERA G. CARLOS, Matemática Básica. Editorial Moshera Lima 2009.
